第三章 一元积分学 第二节 定积分计算及其他
一：定积分计算。
定积分与不定积分有密切联系（牛顿－莱布尼兹定理揭示了其联系）。但两者是两个完全不同的概念，有着很大的区别，从最后结果上看前者是一个数值而后者是一簇函数，而且定积分有明显的几何、物理等方面的实际意义，其内容非常丰富。我们首先要熟悉定积分的概念、性质、几何意义。定积分的计算方法也可分为基本方法和特殊方法。基本方法涉及牛－莱公式、换元法、分部法，其基本步骤和思路与不定积分有很多相似的地方，比如恒等变形、一些常用的凑微分、换元和分部积分的典型类型和原则。但与不定积分有很多不同的地方，比如定积分的结果与积分表达式中所用的符号（积分变量）无关而不定积分的结果必须是一簇以原积分变量为自变量的函数；定积分在换元时除了要换积分表达式同时还要换积分上、下限，定积分换元一定要符合换元公式的条件（否则就可能得出错误的结果）；周期函数、分段函数、奇偶函数等函数的定积分有其自身的特点，等等。 例1． 求下列定积分 (1)
dx x a x a a
⎰
+-0
arctan (2)dx x x
x ⎰-+++ππ22103
2cos 1)11(
解(1)分析:思路一：被积函数中有比较复杂的因子x
a x
a +-arctan
不好直接处理，可试一下将此因子换成一个变量：=t x
a x a +-arctan
。思路二：被积函数可视为两类不同函数：幂函数10
=x 和反三角函数x
a x
a +-arctan
的积，可试一试分部法，按前面介绍的用分部法的原则应该是1与dx 结合凑出dx dv =。思路三：将x a x a +-变形为x
a x a +-2
2，那么容易想到作三角代换：t a x cos =．思
路四：被积表达式中有
x a x
a +-，可试一试换元x
a x
a t +-=．事实上以上几种思路都可行，下面给出按前两种思路的解答过程。
方法一：令x a x a t +-=arctan ，则t a t t a x 2cos tan 1)tan 1(2
2=+-=，0=x 时4
π
=t ，a x =时0=t ⎰⎰⎰⎰+-=-==+-40404004
02cos |2cos )2cos ()2cos (arctan ππ
ππtdt a t at t a td t a td dx x a x a a
2a = 方法二： ⎰⎰-++-=+-a a a
dx x
a x x a x a x dx x a x a 022002|arctan arctan
2
|21)(4102202222a x a x a x a d a
a =--=---=⎰
（２）分析：首先可以看出积分区间是关于原点对称的区间，此时应先看一看被积函数有无奇偶性，本题中被积函数无奇偶性，但是是奇函数与偶函数的和。下面给出解答过程
dx x dx x dx x x x ⎰
⎰
⎰
=+=+++
-π
π
π
π
20
220
2210
3cos 222cos 122cos 1)11(
28)cos cos (24|cos |24|cos |222
20
20
=-===⎰⎰⎰⎰ππ
π
π
π
xdx xdx dx x dx x
注：本题的计算比较简单，但计算过程中涉及到定积分计算中的几个要注意的方面： （1）奇偶函数的积分的特点，（2）周期函数积分的特点，本题中有一步：
⎰⎰=π
π0
20
|cos |24|cos |22dx x dx x ，这是因为|cos |x 是周期为π的周期函数。关于周期函
数的积分有两个命题可以用:若)(x f 是周期为T 的可积的周期函数，则（i ）
⎰
⎰⎰-+==22
)()()(T
T T
T
dx x f dx x f dx x f αα
， (ii)⎰⎰
=T
nT
dx x f n dx x f 0
)()(,(会证明吗？)
(3)本题还出现了|cos |cos 2x x =,在不定积分中当出现)(2x g 时可以按)()(2x g x g =计算
下去（虽不严谨，但不算错）．但在定积分中要特别小心,我们都按|)(|)(2x g x g =往下计算,当出现绝对值|)(|x g 时我们要根据)(x g 的正负情况将积分区间分段处理．绝对值函数实际上属于分段函数，对于分段函数（) )(),(max()),(),( min(x g x f x g x f 也属于分段函数）都需分段处理． 例２．求下列定积分：
(1)⎰+-+2
2
11
)11(dx e x x x
x (2)dx x x x ⎰+π023
cos 1sin 解： （１）⎰+-+2
211)11(dx e x x x x ⎰+=2211dx e x x =-+⎰+
22112)11(dx e x x x x ⎰+=2211dx e x x ⎰++22
11
x x xde
⎰+=2
2
11
dx e
x
x 22
11|x
x xe
++25
22
11
2
3e dx e
x
x =-⎰+
（２）作换元 t x -=π，则
=-+-=⎰
)(cos 1sin )(0
23dt t
t t I π
π-
+⎰dt t t
ππ023cos 1sin dt t
t t ⎰
+π
23cos 1sin I dt t t
-+=⎰ππ023cos 1sin
从而 =
I dx x
x x ⎰
+π
23cos 1sin )2(2)(cos cos 1cos 12cos 1sin 2022023-=+--=+=⎰⎰ππ
ππππt d t t dt t t 注：不定积分中介绍的裂项相消法、循环回归法等方法对定积分也适用．不定积分中一般通过
分部积分达到目的，但在定积分中既可通过分部积分达到“回归”的目的也可通过换元达到“回
归”的目的，本例的（２）就是如此（在教材中有类似的题）
利用对称性计算定积分
我们知道对于积分
⎰
-a
a
dx x f )(，当)(x f 具有奇偶性时可以简化计算．从几何上看这里有几
个特点（１）积分区间的中点为0=x ，（２）)(x f 为偶函数时，其图象关于直线0=x 对称，（３）)(x f 为奇函数时，其图象关于原点)0,0(对称．我们把以上特点和方法推广至一般的积分
⎰
b
a
dx x f )(，先介绍两个命题，其证明留在后面给出．
命题１：
⎰
⎰
-+++-+=20
)]2
()2(
[)(a
b b
a
dx x b
a f x
b a f dx x f 命题２：
⎰⎰
⎰
-++=-+=b
a
b
a
b
a
dx x b a f x f dx x b a f dx x f )]()([[21)()(
由此得出几个有用的推论： 推论１：dx x f x f dx x f a
a a
])()([)(0
⎰⎰
-+=-，⎰⎰-+=
a
a
dx x a f x f dx x f 00
)]()([2
1)( 推
论
２：若
)
(x f 的图象关于
点)0,2
(b a +对称，
即
=-+)2(
x b a f ])2
,0[( )2(a
b x x b a f -∈++-，或]),[( )()(b a x x f x b a f ∈-=-+，则0)(=⎰
b a
dx x f ．（比如⎰=π
0)(cos dx x f ）．
推论３：若
)
(x f 的图象关于直线
2
b
a x +=
对称，即
=-+)2(
x b a f ])2
,0[( )2(a
b x x b a f -∈++，或]),[( )()(b a x x f x b a f ∈=-+，则⎰
⎰
⎰
-+-+==20
2)2
(2)(2)(a b b
a a
b
a
dx x b
a f dx x f dx x f （比如⎰⎰=ππ
020)(sin 2)(sin dx x f dx x f ）．
推论
４
：如
果
+-+)2
(
x b
a f ])2
,0[( )2(
a
b x l x b a f -∈=++或
]),[( )()(b a x l x f x b a f ∈=+-+，则l a
b dx x f b a
2
)(-=⎰
．
（比如对于积分⎰20)(π
dx x f ，其中x x x x f cos sin cos )(+=，由于1)2
()(=-+x f x f π
，故4)(20ππ
=⎰dx x f ）
例3．求下列定积分：
(1)⎰-36
2
)2(cos π
ππdx x x x
(2)dx x b x a x ⎰+π02222sin cos cos
(3)
⎰
20
sin ln πxdx (4)
⎰
+20
tan 11
π
α
dx x
解:(1)分析:这里积分上、下限的和为
2
π
,而且被积函数中有x cos ,试一试上面介绍的命题. =-⎰362)2(cos πππdx x x x =--+-⎰3622
]2)2
()2(cos )
2(cos [21πππππdx x x x x x x ⎰-36)2(121πππdx x x π
ππ
π
π2
ln )221(21
3
6=-+=⎰dx x x (2)分析:被积函数)(x f 满足)()(x f x f --=π,故
0sin cos cos 0
2
2
2
2
=+⎰
dx x
b x a x π
(3) ⎰⎰
⎰-=-+==
20
20
20)2ln 2sin (ln 21
)]2sin(ln sin [ln 21sin ln π
π
π
πdx x dx x x xdx I
⎰⎰⎰+-=+-=+-=2
020sin ln 2142ln sin ln 4142ln 2sin ln 212ln 4π
ππ
πππ
tdt tdt xdx
242ln I +-=
π 所以2
2
ln π-=I
注：本题用了推论1，也用了对称性：
⎰
⎰=π
π
20
)(sin 2)(sin dx x f dx x f ，
中间有一步换元：x t 2=，最后达到循环回归的目的。本题也可以先用命题1。
dx x x xdx I ⎰⎰++-==2
40
)]4
sin(
ln )4
sin(
[ln sin ln π
π
π
π
2ln 4
)22sin(ln )]4cos(ln )4sin(
[ln 4040
π
πππ
π
π
--=-+-=⎰⎰dx x dx x x
令t x =-22
π，则I tdt dx x 21
sin ln 21)22sin(ln 2040==-⎰⎰π
π
π
（4）4
121])
2
(
tan 11tan 11[21tan 1120202
0π
π
π
π
ααπα==-+++=+⎰⎰⎰dx dx x x
dx x
注意：以上这些方法与积分区间有密切联系。
定积分计算还可以利用二重积分、递推等方法。 例4．求下列定积分：
（1）⎰-1
0ln )
sin(ln )(dx x
x x x a b )0(>>a b ， （2）设)(x f 满足,sin )( ,0)0(x
x
x f f -=
'=π求⎰π0)(dx x f 。
（3）
⎰
2
cos cos π
nxdx x n ，
（n 为正整数） 解：（1）由于
⎰=-b a y a
b dy x x
x x ln dy dx x x dx dy x x dx x x x x b a b a y y a b ⎰⎰⎰⎰⎰==-10101
0))sin(ln ()ln (sin ln )sin(ln )( 令t
e x =，则
2
)1(1
)
1(11
sin ln sin ++-
==⎰⎰
∞
-+y tdt e xdx x t y y )1arctan()1arctan()1(11ln ln sin )(21
0+-+=++-=-⎰⎰b a dy y dx x x x x b a a b （2）由题设知t d t
t
x f x
⎰
-=
sin )(π 2sin sin sin )(000
==-=-=⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
ππππ
π
ππtdt dt dx t t dtdx t
t
dx x f t x
注：本题也可用分部法去解：
⎰⎰
'-=π
ππ
00
)(|)()(dx x f x x xf dx x f ，下面的过程由学生完成。
化为二重积分计算的两关键步骤：（1）将被积函数或其中一部分表示为积分，（2）交换积分次序
（3）⎰⎰⎰-===20
2020cos sin 1sin cos 1cos cos π
ππx nxd n nx xd n nxdx x I n
n n
n
⎰
-=
2
1sin sin cos π
xdx nx x n
⎰⎰+=+=--20
1201
)sin sin cos (cos cos )sin sin cos
cos (cos 2π
π
dx nx x nx x x dx x nx x nx x I n n n
n
120
1)1cos(cos --=-=⎰n n I xdx n x π
于是得 121-=n n I I ，又4cos cos 201ππ
==⎰xdx x I ，故12
+=n n I π
例5．
（1）设)(x f 连续，，且,2)2(,3)2(,1)0(),()(-='==='F F F x f x F 则___)2(1
0='⎰dx x f x 。
（2）已知)(x f 有二阶连续导数，且5sin )]()([,
2)(0
=''+=⎰
π
πxdx x f x f f ，则___)0(=f 。
（3）已知
6
1
2
ln 2π
=
-⎰
a
x
e dx ，则___=a 。
解：（1）令x t 2=，则
⎰⎰⎰⎰-=='=
'202
020201
0])(|)([4
1)(41)(41)2(dt t f t tf t tdf dt t f t dx x f x 2
3211|)(41)2(24120-=--=-⨯=t F f 下面解法错在哪里？⎰
⎰⎰=-=='1
1
1
10
)2(|)2()2()2( dx x f x xf x xdf dx x f x
（2）⎰⎰⎰
''+=''+π
ππ
sin )(sin )(sin )]()([xdx x f xdx x f xdx x f x f
而
⎰⎰⎰⎰⎰
-+=-='-='=''π
ππππ
π0
sin )()()0()(cos cos )()(sin sin )(xdx
x f f f x xdf xdx x f x f xd xdx x f 所以
3)0(5)0(2)()0(sin )]()([0
=⇒=+=+=''+⎰
f f f f xdx x f x f ππ
（3）令,1-=
x e t 则2
212),1ln(t
tdt
dx t x +=
+= b b dt t
e dx b
a x arctan 232)arctan 3(arctan 2121
3
2
2
ln 2-=-=+=-⎰
⎰
π，其中1-=a
e b 由
2ln 14
arctan 6arctan 232=⇒=⇒=⇒=-a b b b π
ππ 或
1arctan 23
2)1(1)1(21
1
2
ln 22
2
ln 22
ln 2--=
-+-=-=-⎰
⎰
⎰
a a
x x a
x x x a
x e e e d dx e e e e dx π
注：方法一符合我们前面提到的思路：把复杂的因式设为一个变量。方法二也是常见的：当被积函数只是指数函数的函数)(x
e f 时，总可以凑成⎰
⎰=x
x
x x
de e e f dx e
f )()(，然后用换元等方法去解。 练习题:
１．求下列不定积分： （1）
⎰
---2
2
2
1
x x dx （2）
⎰
-100
])[(dx x x （3）⎰π
n dx x x 0
|sin |
（4）⎰+402)
cos (sin πdx x x x （5）dx e x
⎰--2ln 021 （6）⎰20sin ln sin π
xdx x （7）⎰-+1
02)2()1ln(x dx x （8）⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-⎰0
,0
,1)( ,)(231
x e x x x f dx x f x
（答案：（1）12
π-
（小心：很容易出现错误答案
12π），（2）50，（3）π2
n ，（4）4
2ln ，
（5）)32ln(23++-
，（6）12ln -，（7）32ln ，（8）13
7--e ) ２．求下列不定积分：
（1）
dx e x x ⎰
--+44
21cos π
π （2）⎰+40)tan 1ln(π
dx x 及dx x x ⎰++1021)1ln( （3）⎰--323
cos cos )(π
πdx e e x x （4）
⎰
-+2
2
)1ln(dx e x x （5）⎰-4
2
cos )
sin (cos π
dx x
x x e x （6）⎰
-+1
01dx e e x
x
x
（答案：（1）
418+
π
（用对称性中的推论1），（2）2ln 8
π（用对称性中的推论1） （３）0（可用对称性中的命题２；或换元x t cos =，然后由奇偶性），
（４）38
（方法与(1)类似, (5)22843-π
e (用裂项相消法),(6)
)1arctan (arctan 21e
e e -） 3．（1）求
⎰
⎰
+=x
dt t
x f dx x f x 1
4
1
211)( ,)(
（2）设)(x f 满足,)1arcsin()( ,0)0(2
-='=x x f f 求⎰
1
)(dx x f 。
（答案：（1）)12(61--
，
（2）2
1
4-π） ４．设)(),(x g x f 在],0[a 上连续，且满足c x a g x g x a f x f =-+-=)()(),()(，证明：
⎰⎰
=
a
a
dx x f c dx x g x f 0
)(2)()( ５．设⎰=20
sin cos π
nxdx x I n n ，试建立n I 的推递式．
（12
1
21-+=
n n I n I ） ６．设⎰
=40
tan π
xdx I n n ，试建立n I 的推递式．
（21
1
---=
n n I n I ） ７．设⎰
-=
1
2)1(dx x I n n ，求n
n n I I 1
lim
+∞→．
（先建立n I 的推递式11
22-+=
n n I n n
I ） ８.设0)(≥x f 且在),(+∞-∞上连续,且满足x dt t x f x f x
40
sin )()(=-⎰
,则)(x f 在],0[π上的平
均值为_______．
（⎰⎰
=-=
x
x
dt t f dt t x f x F 0
)()()(，则x x F x F 4sin )()(='，两边积分可得结果
π
π23）
二：变限积分函数
变限积分函数也是函数，那么上一章中用导数讨论函数的方法和问题对变限积分函数同样适用，同样也存在求导、求极限、单调性、极值、最值、介值问题、泰勒展开等一系列问题，与微分方程问题也有联系．又由于变限积分函数是通过积分表达的，因此又有积分学的特点．我们首先熟悉两点：
（１）若)(x f 在],[b a 上可积，则函数⎰=x
a dt t f x F )()(在],[
b a 上连续；若)(x f 在],[b a 上
连续，则函数⎰
=
x
a
dt t f x F )()(在],[b a 上可导，且)()(x f x F ='．
（２）变限积分函数的求导公式：设)(x f 连续，)(),(x x ψϕ连续可导，则
)
())((x f dt t f x
a
='⎰
，
)
())((x f dt t f b
x
-='⎰
，
)
())(())(()
(x x f dt t f x a
ϕϕϕ'='⎰
，
)())(()())(())(()
()
(x x f x x f dt t f x x ψψϕϕϕψ'-'='⎰
．
例６．（１）设)(x f 连续，⎰
-=
x
dt t x tf x F 0
)()(，则_____)( _____,)(=''='x F x F ．
（２）_____)2(][lim
2
2
2
2
2
=-⎰
⎰-→x dt
du e x
t
u x ．
（３）设⎰
+=1
2
)()(dx x f x x x f ，则_____)(=x f ． （４）设⎰
-=x
dx x f x x f 0
2
)(2)(，则_____)(=x f ．
（５）设)(x f 满足
x x x f dt xt f sin )()(1
+=⎰
，且)(x f 可导，则0≠x 时，____)(='x f ．
解：（1）换元t x u -=，那么
⎰⎰⎰⎰-=--=-=x
x
x
x
du u uf du u f x du u f u x dt t x tf x F 0
)()())(()()()(
从而⎰⎰
=-+=
'x
x
du u f x xf x xf du u f x F 0
)()()()()(，)()(x f x F =''
注：遇到积分变限函数问题时，要分清积分变量和函数变量。对于函数⎰=)
()
(),()(x x dt t x f x F ϕψ
的
求导问题，被积函数中还有函数变量x ，我们一般先换元变成如下形式：
⎰
)
()
()(x b x a dt t g 或⎰
⎰
=)
()
()
()
()()()()(x b x a x b x a dt t g x h dt x h t g
再求导。
（2）用洛比达法则计算（涉及积分变限函数的未定式的极限，往往用洛比达法则）
2
2lim )2(2lim
)2(][lim
422
2
2
2
2
2
2
2
2
--→-→-→-
=-=-=-⎰⎰⎰e e x du
e x dt
du e x x x
u x x
t
u x （3）令⎰
=1
)(dx x f c ，则cx x x f +=2)(，从而2
31)()(1
21
c
dx cx x dx x f +=
+=⎰⎰ 故 3
2)(322312x
x x f c c c +
=⇒=⇒+=
（4）两边求导得微分方程 )(22)(x f x x f -='，并且0)0(=f ，解此微分方程得
2
1212-+-x e x 注：注意（3），（4）的区别，（3）其实与积分变限函数没关系，题设中出现的积分⎰
1
)(dx x f 是一
个常值。（4）中出现的积分
⎰
x
dx x f 0
)(是一个函数，是一个积分方程问题，我们总是通过对
方程两边求导以达到消掉积分的目的（必要时要对方程变形以方便求导），从而得到一个微分方程，另外还需从原方程中找出初始条件，再解微分方程． （５）令)0(≠=x xt u ，则
⎰⎰
=
x
du u f x
dt xt f 01
)(1)(， 故x x x f du u f x x
sin )()(10
+=⎰，变形得 x x x xf du u f x
sin )()(20
+=⎰
，两边求导得
x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2++'+=，从而得 x x x x f cos sin 2)(2+-='
注：本题可进一步求出)(x f ，但求不出特解．
例７．设dt t x F x
⎰=
01cos )(，求)0(F '
分析：0≠x 时，x x F 1cos )(='，而由于被积函数x
x f 1
cos )(=在0=x 处不连续，不能套用前
面的公式去求导．因此只能用导数定义x
F x F F x )
0()(lim )0(0-='→去求．
解：x
dt t x F x F F x x x ⎰→→=-='0001cos lim
)
0()(lim )0( dt t
t x x t d t dt t x x x ⎰⎰⎰+-=-=020201sin 21sin )1(sin 1cos 从而x
dt t t x x x dt t x F x F F x x x x x ⎰⎰+-==-='→→→0200001sin 21sin lim
1cos lim )0()(lim )0(
01
sin lim 21sin lim 2)1sin (lim 0000==+-=→→→⎰x
x x dt t t x x x x
x x 例８．设)(x f 在],[b a 上连续，且对⎰
≤
≥∈∀x
a
dt t f x f x f b a x )()(,0)(],,[，证明：
],[,0)(b a x x f ∈=
分析：若令⎰
=
x
a
dx x f x F )()(，则有)()(x f x F ='，则0])([0)()(≤'⇒≤-'-x F e x F x F x ，由
此再想办法证得结论。 证明：令⎰
=
x
a
dx x f x F )()(，则有)()(x f x F ='，令)()(x F e x G x -=
依题设有0)]()([)(≤-'='-x F x F e x G x
从而对],[b a x ∈∀，0)()(=≤a G x G ，又由题意可知0)(≥x G 所以对],[b a x ∈∀，0)(=x G ，即],[,0)(b a x dt t f x
a
∈=⎰
两边求导得 ],[,0)(b a x x f ∈= 练习题:
9．（１）设⎰
+=
x
du u u x f 1
1ln )(，则_____)1()(=+x f x f ．
（答案：x 2
ln 2
1） （２）设)(x f 有一阶连续导数，0→x 时，
⎰
'-x
dt t f t x 0
22)()(的导数与2x 为等价无穷小，则
_____)0(='f ．（答案：2
1
）
（３）⎰
-=
1
||)(dt x t t x f 的最小值点为________．（答案：
2
2
） （４）设)(x f 连续，且20
arctan 21)2(x dt t x tf x
=
-⎰
，2
1
)1(=f ，则_____)(21=⎰dx x f ．
（答案：
2
1
） （５）0→x 时，⎰
x
dt t 02
arcsin 是关于x 的_____阶无穷小；
⎰
2
arcsin x tdt 是关于x 的_____阶
无穷小．（答案：4,3）
（６）设)(x f 连续，1)1(,0)0(='=f f ，则___)(lim 20
10
=-⎰
-→n
x
n n n x x dt
t x f t ．（答案：
n
21
） １０．设⎰
+
=2
|sin |)(π
x x
du u x f ，(i)证明)(x f 为周期函数；(ii)求)(x f 的最大值和最小值．
(答案:22,2-
)
１１．设)(x f 连续，)0( )()(1>=
⎰
+∞
+ααx
dt t t f x F ，且1)(lim =+∞→x f x ，+∞
→x 时)(x F 与α
x c
为等价无穷小，求c ．（答案：
α
1
） １２．设)(x f 连续，⎰
=x
dt t f x f x 0
)()()(ϕ单调减少，证明：),(,0)(+∞-∞∈=x x f
三：积分等式的证明
例9．设)(x f 在],[b a 上可积，证明：
（１）
⎰
⎰
-+++-+=20
)]2
()2(
[)(a b b
a
dx x b
a f x
b a f dx x f （２）
⎰⎰
⎰
-++=-+=b
a
b
a
b
a
dx x b a f x f dx x b a f dx x f )]()([[21)()(
证：（１）
⎰⎰⎰
+++=b
b a b a a
b
a
dx x f dx x f dx x f 2
2)()()(，
换元t b
a x -+=
2
，得
⎰⎰⎰⎰
---+-+=-+=--+=20200
2
2)2
()2())(2()(a
b a b a
b b a a
dx x b a f dt t b a f dt t b a f dx x f
同样地，换元t b
a x ++=
2
，得
⎰⎰
⎰
--+++=++=2020
2
)2
()2()(a
b a b b
b a dx x b a f dt t b a f dx x f
所以
⎰
⎰
-+++-+=20
)]2
()2(
[)(a
b b
a
dx x b a f x b a f dx x f （２）⎰
=
b
a
dx x f I )(，换元t b a x -+=，得
⎰⎰-+=-+=b a
b
a
dx x b a f dt t b a f I )()(
⎰-++=b
a dx x
b a f x f I )]()([2⎰-++=⇒b
a
dx x b a f x f I )]()([21
命题得证．
例１０．设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，证明： （１）
⎰⎰
--''++-=b
a
b
a
dx b x a x x f b f a f a b dx x f ))()((21))()((2)(
（２）
dx b x x f dx a x x f b a f a b dx x f b
b a b
a a b
a
⎰⎰⎰
++-''+-''++-=2
222))((21))((21)2()()(
证明：（１）
⎰⎰⎰
---='--=--''b
a
b a
b
a
dx b a x x f x f d b x a x dx b x a x x f )2)(()())(())()((
⎰⎰++--=---=b a
b
a
dx x f b f a f a b x df b a x )(2))()()(()()2(
从而得结论．
注：本题也可左边推出右边，同学们去试一试．（２）的证明留给同学们去完成．这两个结论与后面几个题有联系．
总结：这类问题的解决主要用分部、换元及积分区间的分段处理，另外也可用利用导数证明恒等式的方法去证明积分恒等式（比如练习题１６）。 练习题：
１３．设)(x f 在),0(+∞内连续，且)()(2
x f x
a f =，0>a 为常数，试证：
（１）
⎰⎰
=a a a dx x x f dx x x f 1)()
(2
（２）
⎰⎰
=a a
dx x
x f dx x x f 11
2)()
(
（３）
⎰⎰
+=+
a a
x dx x a x g dx x
x a x g 11
22)(1)(，其中)(x g 为连续函数． （（１）作换元t
a x 2=可得结论，（２）先作换元2
x t =，积分区间变为],1[2a ，再将该区间分成
两个区间],[ ],,1[2
a a a 并利用（1）可得结论,(3)是(2)的特例.） 14. 设)(x f 在],[
b a 上连续, 且)()(
x f x ab
f =,0>a 为常数，试证： ⎰⎰
=b
a
b
a
dx x
x f ab dx x x x f )
(2)ln(ln )( 15．设)(x f 在]1,0[上连续, 证明：
xdx x f xdx x f cos )(cos cos )2(sin 20
220
⎰⎰
=π
π
（左边dx x x f x x f ))2
cos()]2(2[cos )2(sin (2120--+=⎰π
ππ
⎰+=20)sin )(cos 2(sin 21πdx x x x f ⎰-=20)cos (sin )2(sin 21π
x x d x f ⎰--=1
12)1(21dt t f ⎰-=1
02)1(dt t f ）
１６．设)(x f 在],0[a 上连续可导，且0)(,0)0(>'=x f f ，)(x g y =是)(x f y =的反函数，证明：
)( )()()
(0
a f a dx x g dx x f a f a
=+⎰
⎰
（证法一：令)(x F )( )()()
(0
x f x dt t g dx x f x f x
-+=
⎰
⎰
，那么],0[,0)(,0)0(a x x F F ∈='=，
从而得结论，证法二：令)(x g t =，那么)(t f x =，则
⎰⎰
=a
a f t tdf dx x g 0
)
(0
)()(，再分部即可．
本题还可用定积分定义去证．本题的条件“0)(>'x f ”是为了保证)(x f 有反函数，而条件“)(x f 可导”是为了证明方便（可以求导），而事实上条件改为“设)(x f 在],0[a 上连续且严格单调”时结论仍成立，此时严格证明只能用定积分的定义。该结论的几何意义是什么？此结论可导出一个不等式 ：设)(x f 在],0[+∞上可导，且0)(,0)0(>'=x f f ，)(x g y =是)(x f y =的反函数，证明：
)( )()()
(0
b f a dx x g dx x f b f a
≥+⎰
⎰
）
四：涉及定积分的介值问题
例１１．设)(x f 在],[b a 上连续，不恒为常数，且)(min )()(]
,[x f b f a f b a x ∈==
证明：),,(b a ∈∃ξ使得⎰
-=ξ
ξξa
f a dx x f )()()(
证明：令)()()()(x f a x dt t f x F x
a
--=
⎰
，则)()()()(b f a b dt t f b F b a
--=⎰
0))()((>-=⎰b
a
dt b f t f
又由题设知 ),(0b a x ∈∃，使得)()(m ax )(0a f x f x f >= 所以0))()(()()()()(0
0000<-=--=
⎰⎰
x a
x a
dt x f t f x f a x dt t f x F ，
由连续函数的零点存在定理，知),(b a ξ∃，使得0)(=ξF ，即得结论． 例１２．设)(x f 在],0[π上连续，且
⎰
⎰=π
π
cos )(,0)(xdx x f dx x f
证明：在),0(π内存在两个不同的点，使得 0)()(21==ξξf f 证明：（证法一：用罗尔定理）令⎰
=x
dt t f x F 0
)()(，则)()(x f x F ='，0)()0(==πF F
又⎰⎰⎰
===
π
ππ
sin )()(cos cos )(0xdx x F x xdF xdx x f
从而知),(0b a x ∈∃，使得0sin )(00=x x F ，即0)(0=x F
由罗尔定理知 ),(),,0(001πξξx x ∈∈，使得0)()(21='='ξξF F ，即0)()(21==ξξf f ． 证法二：（用反证法）由
⎰
=π
0)(dx x f 知),(0b a x ∈∃，使得0)(0=x f
若)(x f 在),0(π内只有这个零点，则由连续函数性质知)(x f 在),0(0x 与),(0πx 必定异号，又
0cos cos x x -在),0(0x 与),(0πx 异号，从而)cos )(cos (0x x x f -在),0(0x 与),(0πx 同号．故
必有
0)cos )(cos (0
0≠-⎰
π
dx x x x f ，
又由题设知
0)(cos cos )()cos )(cos (0
00
0=-=-⎰⎰⎰
π
ππ
dx x f x xdx x f dx x x x f
于是得出矛盾，所以)(x f 在),0(π内至少有两个零点．即得结论．
总结：这类问题的解决主要用连续函数的介值性质、微分中值定理（含泰勒公式，可对柀积函数用微分中值定理或泰勒公式，也可对积分变限函数用微分中值定理或泰勒公式）及积分中值定理。在教材里面介绍的积分中值定理的结论是这样的：],[b a ∈∃ξ，使得))(()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ。
而事实上该可改为：),(b a ∈∃ξ，使得))(()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ，用拉氏微分中值定理很容易证
明该结论。 练习题：
1７．设)(x f 在],[b a 上连续，且严格单调增加，证明：存在唯一的),(b a ∈ξ，使得
))(())(()(ξξ-+-=⎰
b b f a a f dx x f b
a
１８．设)(x f 在]1,0[上正值连续，证明：
（１）存在唯一的)1,0(∈a ，使得
dx x f dx x f a
a
⎰
⎰
=1
)
(1
)( （２）对任意正整数n ，存在唯一的)1,0(∈n x ，使得 dx x f dx x f n
n
x x n
⎰
⎰
=1
1)
(1
)(，且a x n n =∞→lim ．
（为证a x n n =∞
→lim ，先说明}{n x 单减且有界）
１９．设)(x f 在],0[π上连续，且
⎰
⎰=π
π
cos )(,0sin )(xdx x f xdx x f
证明：在),0(π内存在两个不同的点，使得 0)()(21==ξξf f （仿例１２的证法二）
２０．设)(x f 在],[b a 上连续，且
⎰
⎰=b
a
b
a
xdx x f dx x f )(,0)(
证明：)(x f 在),(b a 内至少存在2个不同的零点． （例１２的二种证法都可以用，本题可推广：若),,1,0( 0)(n k dx x f x b
a
k ==⎰
，则)(x f 在)
,(b a 内至少存在1+n 个不同的零点）
２１．设)(x f 在],[b a 上二阶连续可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得
24
))(()2()()(3
a b f b a f a b dx x f b
a
-''=+--⎰
ξ
（方法一利用例１０的（２）及积分中值定理，方法二：令⎰
=x
a
dt t f x F )()(，在2
b
a x +=
处分别展开)(),(b F a F 的值（实际上就是第二章第三节的例５））
２２．设)(x f 在],[b a 上三阶连续可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得 )()(12
1
))()((2)()()(3ξf a b b f a f a b a f b f '''--'+'-=- （⎰
'=
-b
a
dx x f a f b f )()()(，再利用例１０的（１）及积分中值定理）
五：与定积分有关的极限
例13．设)(),(x g x f 为],[b a 上的连续正值函数，令⎰
=
=∈b
a
n n b a x dx x f x g d x f M )]()[(),(max ]
,[，
证明：（１）M d n
n n =∞
→lim
（２）M d d n
n n =+∞→1
lim
证明：（１）M dx x g M d b
a
n
n n →≤⎰
1])([
另一面，对0>∀ε，存在],[],[b a ⊂βα，使得 ],[,)(βαε∈-≥x M x f ，因此
εεβ
α
β
α
-→-≥≥⎰⎰M dx x g M dx x f x g d n
n
n
n
n 11])()[(])()([
综上得M d n n n =∞
→lim
（２）（分析：先介绍一个命题：设0>n a ，若n n n a a 1lim
+∞→存在，则n n n a ∞→lim 存在，且n n n a ∞
→lim n
n n a a
1lim +∞→=
那么如能证明n n n d d 1lim
+∞→存在，则由上面命题及（1）便知M d d
n
n n =+∞→1lim )
≤
=+-⎰
21
1
2
])()()()([dx x f
x g x f x g d n b
a
n n ⎰
-b
a
n dx
x f
x g )()(1
⎰
+b
a
n dx x f
x g )()(1
11+-=n n d d
故有
1
-n n d d n n d d 1+≤,即}{1-n n d d
单调增加. 又M d d Md dx x f
x g M dx x f x g d n n n b
a
n b
a
n
n ≤⇒
=≤=---⎰⎰111
)()()]()[(,即}{1
-n n d d
有界, 所以n n n d d 1lim
+∞→存在,再由(1)知M d d
n
n n =+∞→1lim ．
注：取1)(=x g ，可得M dx x f n
b
a
n
→⎰
1])([
例1４．设)(),(x g x f 为],0[T 上的连续，)(x g 为周期为T 的周期函数且0)(≥x g ，证明：
⎰⎰⎰=
∞→T T
T
n dx x g dx x f T
dx nx g x f 000
)()(1)()(lim 证明：)(nx g 为周期为n T 的周期函数，记⎰=T dx x g c 0)(，那么n i n c
dx nx g T n i
T n
i ,,2,1,)(1 ==⎰- n c
f dx nx
g f dx nx g x f dx nx g x f n
i i T n i T n
i n
i i n
i T n i
T n i T
∑⎰
∑∑⎰
⎰
=-==-===1
11
1
10
)()()()()()()(ξξ
⎰⎰
⎰
∑=
→==T
T
T
i
n
i dx x f dx x g T
dx x f T c f n
T T
c
1)()(1
)()(ξ
例1５．设)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，⎰∑--+-==b a n i n dx x f a b n
i
a f n a
b A )())((1，求 n n nA ∞
→lim ．
分析：显然0→n A 即为无穷小，那么就有讨论该无穷小的阶的问题，本题就是此问题．
解：⎰∑--+-==b a n i n dx x f a b n i a f n a b A )())((1∑⎰=-+--+--+=n i a b n i
a a
b n
i a dx x f a b n i a f 1)()(1)())(([ dx x i n
a
b a f n
i a b n i
a a
b n i a i ))((1)()(1
--+
=∑⎰
=-+--+ξ 记 )(max x f M i
I x i '=∈，)(min x f m i
I x i '=∈，其中)](),([1a b n
i
a a
b a I n
i i -+-+
=-
则有 i n i n n i i M n
a
b a b nA m n a b a b ∑∑=---≤≤--1122
而 )]()([2
)(22lim 2lim 11a f b f a
b dx x f a b M n a b a b m n a b a b b a i n i n n i i n --='-=--=--⎰∑∑=∞→-∞→ 练习题：
２３．求（１）∑=∞→+n
j n j n n 122lim （２）∑=∞
→+2
122lim n
j n j
n n
（３）设)(x f 在]1,0[上有一阶连续导数，求⎰∞→1
)(lim
dx x f x
n
n ，⎰∞
→1
)(lim dx x f x n n n
（（１）化为定积分411lim 1021
22π
=+=+⎰∑=∞→dx x j n n n
j n ，
（２）
221211j n n dx x n j n
j +≤+⎰
+⎰-+≤n j
n
j dx x 1211，两边极限均为21102π=+⎰+∞dx x （３）的答案为０，)1(f ，后一问用一下分部法） ２４．求dx nx x n |sin |)1ln(lim
⎰
+∞→π
．
２５．设)(x f 为],[b a 上的非负连续，且严格单调增加，由积分中定理知存在],[b a x n ∈，使得
⎰-=
b a n
n n dx x f a
b x f )(1)]([ 证明：b x n n =∞
→lim （可利用例１３的结论） ２６．设n
n n A n 21
2111+
++++=
，求： （１）n n A ∞
→lim ；
（２）)2(ln lim n n A n -∞
→．
（（１）是简单的，答案是2ln ．（２）实际上是例１５的特例，答案是4
1
） 六：从积分中提取信息
例16．设)(x f 为]1,0[上可导，且⎰
-=310
1)(3
)1(dx x f e f x ，证明：)1,0(∈∃ξ，使得
0)()(='+ξξf f
分析：这是介值问题，先要作辅导函数，根据题设及欲证的结论容易想到辅导函数：
)()(1x f e x F x -=，题设中通过积分给了我们信息，由积分中值定理知)()1(010x f e f x -=，从而 )1()(0F x F =，在]1,[0x 对)(x F 用罗尔定理便可得结论。证明过程略。
例17．设)(x f 为]1,0[上连续，且1)(1
2=⎰
dx x f x
（1） 证明：3|)(|max ]
1,0[≥∈x f x
（2） 又若
⎰
=1
0)(dx x f ，证明：)22(3)(m ax ]
1,0[+≥∈x f x
证明：（1）记=M |)(|max ]1,0[x f x ∈，则3
|)(||)(|
1
210
21
2M
dx x M dx x f x dx x f x =
≤≤⎰⎰⎰
由题设
1)(1
2=⎰
dx x f x ，可得
313
≥⇒≥M M
（3） 由题设可得 对任意实数a ，有
1)()(1
=-⎰dx x f a x x 。
记=M |)(|max ]
1,0[x f x ∈，那么 ⎰⎰
-≤-=1
1
|||)()(|
1dx a x x M dx x f a x x
当10≤≤a 时，3
123||31
0+-=
-⎰a a dx a x x 即对]1,0[∈∀a ，有1)3123(3≥+-a a M ，取2
1
=a ，可得
)22(31622+≥⇒≥-M M 例1８．设)(x f 为)0,0](,[>>-b a b a 上的非负连续，且己知
0)( =⎰
-b
a
dx x f x ，证明：
⎰⎰
--≤b
a
b
a
dx x f ab dx x f x )()(2
分析：条件0)( =⎰
-b
a
dx x f x 该怎么用？先看欲证的结论
0)()()()(22
≤-⇔≤⎰⎰⎰
---b
a
b
a
b
a
dx x f ab x dx x f ab dx x f x
再由条件
0)( =⎰
-b
a
dx x f x ，可知对任意实数c ，有
0)()(0)()(22≤-+⇔≤-⎰⎰
--dx x f ab cx x dx x f ab x b a
b
a
取一个适当的c ，使得))((2
b x a x ab cx x -+=-+，就会有
],[,0)())(()()(2b a x x f b x a x x f ab cx x -∈≤-+=-+，结论就出来了。
证明：由题设知
⎰⎰
---+=-b
a
b
a
dx x f b x a x dx x f ab x )())(()()(2
又由题设知，当],[b a x -∈时，0)())((≤-+x f b x a x 所以
⎰⎰⎰⎰
----≤⇒≤-+=-b
a
b a
b a
b
a
dx x f ab dx x f x dx x f b x a x dx x f ab x )()(0)())(()()(22。
练习题：
2７．设)(x f 为]1,0[上可导，且⎰
-=21
1)(2
)1(2
dx x f e f x ，证明：)1,0(∈∃ξ，使得
)( 2)(ξξξf f ='
２８．设)(x f 为]1,0[上连续，且
0)()()(1
110
1
====⎰⎰⎰
-dx x f x dx x xf dx x f n ，
1)(1
=⎰dx x f x
n
，证明：)1(2|)(|max ]
1,0[+≥∈n x f n x
（考虑积分
dx x f x n
)()21(1
0⎰-）
２９．设)(x f 为]1,1[-上可导，M x f ≤'|)(|，且存在)1,0(∈a ，满足0)(=⎰-a a
dx x f ，
证明：)1(|)(|
21
1
a M dx x f -≤⎰
-
（由题设知 存在],[a a c -∈，满足0)(=c f |||)(|c x M x f -≤⇒
⎰⎰⎰
⎰⎰-+-≤+=-----1
1
1
111
)()(|)()(||)(|a
a a
a
dx c x M dx x c M dx x f dx x f dx x f ．）
３０．设)(x f 为],[b a 上可导，且M x f ≤'|)(|，
0)(=⎰
b
a
dx x f ，记⎰=x
a
dt t f x F )()(
（１）证明：对],[b a x ∈∀，有8
)(|)(|2
a b M x F -≤
（２）又若0)()(==b f a f ，证明：对],[b a x ∈∀，有16
)(|)(|2
a b M x F -≤
（易见)()(,0)()(x f x F b F a F ='==，（１）实际上要证明8
)(|)(|max 2
],[a b M x F A b a x -≤=∈，
若0=A ，结论成立，若0>A ，必存在),(0b a x ∈，使得A x F =|)(|0，那么0x 必是)(x F 的极值
点
，
从
而
|
||)(|0)()(000x x M x f x f x F -≤⇒=='，
|)(|0x F A =⎰⎰==b
x x a
dx x f dx x f 0
|)(||)(|，再按],2
[],2,
[00b b
a x
b a a x +∈+∈两种情况讨论。
）
定积分的计算方法总结 定积分的计算方法总结 总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以帮助我们总结以往思想，发扬成绩，是时候写一份总结了。总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编为大家整理的定积分的计算方法总结，希望对大家有所帮助。 定积分 1、定积分解决的典型问题 （1）曲边梯形的面积 （2）变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。 定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f （x）在区间[a，b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。 推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg （x）dx。 推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。 性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b—a）≤∫abf（x）dx≤M（b—a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf（x）dx=f（ξ）（b—a）。 4、关于广义积分 设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a 的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。 定积分的应用 1、求平面图形的'面积（曲线围成的面积） 直角坐标系下（含参数与不含参数） 极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2） 旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积） 功、水压力、引力 函数的平均值（平均值y=1/（b—a）*∫abf（x）dx） 定积分的四种求法 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1 用定义法求2 30x dx ?的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限． 解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n ． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ??=?=? ??? （3）求和：33 111222n n n i i i i i i S x n n n ===???????≈?=? ? ? ????? ??∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞????????+++?? ? ? ???????????L ＝4 43332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+? ?L ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4． ∴2 30x dx ?=4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲． 二、微积分基本定理法 例2 求定积分2 21(21)x x dx ++?的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝2 21x x ++的一个原函数是y ＝3 23x x x ++． 所以.2 2 1(21)x x dx ++?＝3221()|3x x x ++＝81421133????++-++ ? ?????＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 三、几何意义法 例3 求定积 分1 1dx -?的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的 面积，只要作出图形就可求出． 解 ：1 1dx -?表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π= 半圆，又在x 轴上方． 所 以1 1dx -?＝2 π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法 例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx π π-?；⑵22sin 1 x x dx x ππ-+?． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解． 解：由被积函数tan x 及22sin 1 x x x +是奇函数，所以在对称区间的积 分 定积分计算方法 定积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、求解物 体的质量和质心等问题。本文将介绍三种常见的定积分计算方法：几 何意义法、Riemann和法和不定积分法。 1. 几何意义法 几何意义法是通过将曲线下面的面积分割为若干个几何图形的面积，并求和得出结果。这种方法适用于简单曲线的定积分计算。 以求解函数f(x)在区间[a, b]上的定积分为例，我们可以将[a, b]区间 等分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx=(b-a)/n。然后，从第一个小 区间开始，计算f(x)在该小区间上的函数值，乘以Δx得到该小区间上 的面积。接着，将所有小区间的面积相加，即可得到整个[a, b]区间上 的定积分结果。 2. Riemann和法 Riemann和法是通过将函数f(x)逐步逼近为一系列简单的几何图形，计算这些几何图形的面积之和来求解定积分。 首先，将[a, b]区间等分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx=(b- a)/n。然后，在每个小区间上选择一个样本点xi，计算其函数值f(xi)， 乘以Δx得到该小区间上的面积。最后，将所有小区间上的面积相加， 即可得到整个[a, b]区间上的定积分结果。 3. 不定积分法 不定积分法是通过求解函数的原函数来计算定积分。不定积分与定积分是相互关联的，可以通过求解定积分来得到不定积分，也可以通过求解不定积分来计算定积分。 对于给定的函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，那么F(x)称为f(x)的原函数。在这种情况下，我们有∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。 通过求解不定积分，我们可以得到函数的原函数F(x)，然后将原函数的上界和下界代入，计算得到定积分的结果。 总结 定积分的计算方法有几何意义法、Riemann和法以及不定积分法。根据不同的问题和曲线特点，选择合适的计算方法能够有效地求解定积分。需要注意的是，在使用这些方法计算定积分时，正确地确定积分的上界和下界是非常重要的。 通过学习和掌握这些定积分计算方法，我们可以更加灵活地应用微积分的知识，解决实际问题，丰富数学应用领域。 这些方法只是定积分计算的基础，还有其他更加复杂的积分计算方法，例如变量代换法、分部积分法等。深入学习和理解这些方法，有助于提高我们的数学素养和解决实际问题的能力。 参考资料： - Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning. 定积分的计算方法总结 引言 定积分是微积分中重要的概念之一，它可以用于求取曲线下的面积、求解物理 问题中的积分以及解决各种与变化量有关的问题。本文将总结定积分计算的常用方法，包括基本定积分公式、换元积分法和分部积分法。 基本定积分公式 基本定积分公式是计算定积分时最基础也是最常用的方法之一。以下为常见的 基本定积分公式： 1.$\\int x^m dx = \\frac{1}{m+1}x^{m+1}$，其中m为常数，m eq−1。 2.$\\int \\frac{1}{x} dx = \\ln|x|$，其中x为正实数。 3.$\\int e^x dx = e^x$。 4.$\\int \\sin x dx = -\\cos x$。 5.$\\int \\cos x dx = \\sin x$。 6.$\\int \\tan x dx = -\\ln|\\cos x|$。 换元积分法 换元积分法是一种常用的定积分计算方法，它通过引入一个新的变量来简化被 积函数的形式。具体步骤如下： 1.选择一个适当的变量代换，通常选择与题目给定的被积函数中具有根 号、三角函数等特殊形式相关的变量。 2.根据选择的变量代换，将被积函数中的所有变量都用新的变量表示。 3.计算新的被积函数的导数，并将被积函数转换为对新变量的积分。 4.计算新的积分。 以下是换元积分法的一个例子： 求解定积分$\\int 2x(x^2+1)^3 dx$。 解：设u=x2+1，则du=2xdx。将被积函数中的所有x用u表示，则原积分 变为$\\int u^3 du$。计算新的积分得$\\frac{1}{4}u^4 + C$，其中C为常数。最后，将u替换回x得到最终结果$\\frac{1}{4}(x^2+1)^4 + C$。 积分的计算公式 积分是微积分中的重要概念，它可以用来计算曲线下的面积、求解定积分等问题。积分的计算公式是积分学习的基础，本文将介绍一些常见的积分计算公式及其应用。 一、不定积分公式 1. 常数函数积分：对于常数函数f(x)=C，其中C为常数，其不定积分为∫f(x)dx=Cx + C1，其中C1为常数。 2. 幂函数积分：对于幂函数f(x)=x^n，其中n≠-1，其不定积分为∫x^n dx= (x^(n+1))/(n+1) + C2，其中C2为常数。 3. 正弦函数积分：对于正弦函数f(x)=sin(x)，其不定积分为∫sin(x) dx= -cos(x) + C3，其中C3为常数。 4. 余弦函数积分：对于余弦函数f(x)=cos(x)，其不定积分为∫cos(x) dx= sin(x) + C4，其中C4为常数。 5. 指数函数积分：对于指数函数f(x)=e^x，其不定积分为∫e^x dx= e^x + C5，其中C5为常数。 二、定积分公式 定积分是积分的一种特殊形式，其计算结果表示曲线下的面积。下 面介绍几个常见的定积分计算公式。 1. 基本定积分：∫k dx=kx + C6，其中k为常数。 2. 幂函数定积分：对于幂函数f(x)=x^n，其中n≠-1，其定积分为∫[a,b] x^n dx= [(b^(n+1))/(n+1)] - [(a^(n+1))/(n+1)]，其中a、b为积分区间的上下限。 3. 正弦函数定积分：对于正弦函数f(x)=sin(x)，其定积分为∫[a,b] sin(x) dx= -cos(x)∣[a,b] = -cos(b) + cos(a)，其中a、b为积分区间的上下限。 4. 余弦函数定积分：对于余弦函数f(x)=cos(x)，其定积分为∫[a,b] cos(x) dx= sin(x)∣[a,b] = sin(b) - sin(a)，其中a、b为积分区间的上下限。 5. 指数函数定积分：对于指数函数f(x)=e^x，其定积分为∫[a,b] e^x dx= e^x∣[a,b] = e^b - e^a，其中a、b为积分区间的上下限。 三、应用举例 1. 计算面积：利用定积分公式可以计算曲线下的面积。例如，要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的面积，可以使用定积分公式∫[0,1] x^2 dx= [(1^3)/(3)] - [(0^3)/(3)] = 1/3。 2. 求解定积分：定积分还可以用来求解各种实际问题。例如，要求 、定积分计算基本方法 1牛顿一莱布尼兹公式： 护0)=a,®(P )二b ， f ［®(t)］在［S P ］上连续， b p f f (x)dx = f f ［®(t)］®'(t)dt 。 注：条件3书上用较强的条件f(x) 在 ［a,b ］上连续且当"［sP ］时，护(t)的 值域不超出［a,b ］来代替。实际上代换W (t)的值域可以超出［a,b ］，如上图。 b b b a udv =[uv]a - [vdu 注意事项： 1、被积函数含绝对值记号。 1 - 兀3 兀3 4 02 sin 2 xcosxdx + (sin 2 x( -cosx)dx =- 2、广义积分有推广的牛顿-莱布尼兹公式 (1)如果f(x)在［a,b)上连续，f(b-O) = K ,原函数F(x)在［a,b ］上连续，贝U 仍有 (2)如果f(x)在［a,址)上连续，f(x)的原函数F(x)适合lim F(x)存在记为F (畑)则 -be d X 例 解： 0兀 J si n 3x-si n 5xdx = 3 兀 9 f sin 2 X I cos b [f(x)dx =F(x) a4 = F(b-O)-F(a) 仍有[f (x)dx = F (x) 产=F (址)-F(a)。 dx ~~ 2 x a 例 1 ：计算 I (a) = [ y ____ 1 J |2x -X 2 | (1 < a < 3) 解：① 当1 va c2时，在［1, a)上 2x-X 2 =2x -X 2, a dx I (a) = f , = arcsin(x -1) a = arcsi n(a-1) 。 ②当a =2时, a dx ■, 是广义积分。 'A /|2X -X 2| 2』 dx J 2x -x 2 =limarcsin(x -1) 2_G 兀 1 arcsin( 2 — 1)=-或者用推广的牛顿 莱布尼兹公式 1 ----- = arcsi n(x-1) ③当a >2时, a dx _ 2 dx 'J |2x -x 2 | J 2x -x 2 + r dx J x 2 -2x ZL+ r a dx 2 '2 J (x _1)2 _1 |+[ln (x-1) +J(x-1)2 -1] a 兀 2 ： 2 =一 +ln(a — 1)+J a —2a 。 定积分应用公式总结 定积分在数学中是一种用来计算指定“区域”中不定积分的一种方法。也可以看作是不定积分的一种特殊情况，在定积分中，dt、dx （或ds）等变量的范围已知，可以按照一定的规律来进行计算。由于定积分的应用范围很广，所以它也被称为积分计算的“母亲”。 定积分的基本定义： 定积分（bounded integral）是指当向量函数f（x）从一定的初始点a到某个终点b时，求其在这段路径上的积分，其计算公式为： $$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^{n}f(x_{i})*triangle x_{i}$$ 其中，$triangle x_{i}$表示离散点x的间隔。 定积分的特征： 定积分的计算方式和不定积分的方式不同，它的极限不是某分段的函数的极限，而是某一固定的函数的极限。鉴于此，定积分用来计算是属于离散点的变量，而不是一般定积分中的连续变量。 定积分的常用公式： 1、等差数列积分公式： $$int_a^bnf(x)dx=frac{n}{2}[f(a)+f(b)] $$ 其中，f（x）表示一元函数，a为起始点，b为终点，n为数列的项数。 2、等比数列积分公式： $$int_a^bnf(x)dx=frac{f(a)-f(b)}{ln r}$$ 其中，f（x）表示一元函数，a为起始点，b为终点，n为数列 的项数，r为公差的比值。 3、定积分的把握方法： （1）由题目给出函数和边界。 （2）确定不定积分的具体形式，如极限形式、公差形式或被积函数形式等，并推导出新的定积分积分公式。 （3）确定积分的终点，并填入公式中求解。 4、定积分的运用： 定积分的应用涉及面很广，主要有在统计学、几何学、概率论、力学及物理学中的应用。 （1）在统计学中，定积分可以用来求解定量分析双变量函数在一定范围内的离散点数据，或求解单变量函数的极限。 （2）在几何学中，定积分可以用来求解曲线长度、曲线与某平面图形（如圆形或矩形）的重叠情况、曲线的面积等。 （3）在概率论中，定积分可以用来求解统计量的概率分布，即求解概率密度函数的积分。 （4）在力学及物理学中，定积分可以用来求解物体的外力及运动情况，求解动能、机械能和生物能的定积分计算等。 综上所述，可以看出，定积分是一种非常重要的计算方法，可以用来计算出各种连续变量、离散变量，不仅在数学中应用广泛，而且在物理及工程应用也十分重要。它是一种重要的数学工具，可以为科学研究带来很大的帮助。 定积分计算的方法与技巧 摘要：定积分是积分学的重要组成部分，其概念抽象、难以理解、解题方法灵活多变。本文讨论了定积分计算的各种方法与技巧。 关键词：定积分换元积分法分部积分法计算方法 定积分与不定积分是积分学的两个组成部分，定积分不仅是积分学的基础，而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具.定积分概念抽象、定理较多，学生不仅在理论学习中难以理解掌握，在定积分计算中难度也很大，往往面对一个题目，不知如何下手.因此，本文通过对各种题型、各种解题方法的分析研究，讨论了定积分计算的方法与技巧，希望对初学者有所帮助. 一、利用定积分定义计算定积分 定积分的思想方法是：“分割、取近似、求和、求极限”，实质是在连续区间上求和，我们通过例子来说明定积分定义的含义. 例1.用定积分定义计算：edx. 解：将区间［0，1］n等分，分成n个小区间［，］，则每个小区间的长为Δx=，并取ξ=为右端点（i=1，2，…，n），得到： 原式=f（ξ）Δx=e•==e-1. 注：一般来说，用定义计算定积分是十分麻烦的，实际计算中，并不用上述方法. 二、利用定积分性质估算定积分的值 例2.估算定积分（1+sinx）dx的值 解：f（x）=1+sinx在［，π］上的最大值为f（）=2，最小值为f（π）=1，即：1≤1+sinx≤2，所以：π=1×（-）≤（1+sinx）dx≤2×（-）=2π. 三、利用Newton-Leibniz公式计算定积分 设f（x）在［a，b］上连续，且F′（x）=f（x），则f（x）dx=F（b）-F（a），这就是Newton-Leibniz公式.由此看出：Newton-Leibniz公式刻画了定积分与不定积分的紧密联系，它使得计算定积分时，只要找到被积函数f（x）的某个原函数F（x），F（x）在b，a两点的函数值的差就是所求的定积分.Newton-Le ibniz公式是最基本的定积分计算公式，而找到f（x）的原函数F（x）是应用这个公式的关键，所以，熟练使用Newton-Leibniz公式的关键是对不定积分的计算相当熟练. 例3.计算定积分：（1）dx；（2）dx. 解：（1）原式=（3x+）dx=［x+arctanx］=1+ （2）原式=dx=tanx|=1 四、利用定积分对积分区间的可加性计算定积分求定积分的四种方法
定积分计算方法
定积分的计算方法总结
积分的计算公式
定积分计算法
定积分应用公式总结
定积分计算的方法与技巧
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