故选A.
3．(20１6·四川）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ，c ,且错误!+错误!＝错误!. (1)证明：sin A s ｉn B =sin Ｃ；
(2）若ｂ2＋c ２
－ａ２
＝错误!ｂc ，求ｔan Ｂ. (1)证明 根据正弦定理,可设
a sin Ａ＝b
sin B
=错误!＝k (k >0)，
则a =k s ｉn A ，b =k s ｉn B ，c =ｋsi ｎ C . 代入＼f(cos A,a )+错误!=错误!中，有 错误!＋错误!＝错误!，变形可得
si ｎ Ａｓｉｎ Ｂ=ｓｉｎ A co ｓ B ＋co ｓ A sin B =ｓi ｎ（A ＋Ｂ)．
在△ＡBC 中,由Ａ+B ＋C =π，有sin （A +B )＝sin(π-Ｃ)=ｓｉn C ，所以sin A sin Ｂ=sin C ． (2)解 由已知，b 2+c ２
－a 2＝
６
5
bc ，根据余弦定理,有 cos A =＼f(b 2＋ｃ2－ａ2,2ｂｃ)＝
３
５
,所以sin Ａ=错误!＝错误!. 由(１)知，si ｎ A ｓin B ＝ｓｉn A cos B ＋ｃｏs A s ｉn B ， 所以错误!sin B =错误!c ｏs B +错误!sin Ｂ. 故t ａn B =＼f(ｓin B,ｃo ｓ B ）=4.
高考必会题型
题型一 正难则反的转化
例1 已知集合Ａ={x ∈R |x 2-4mx +2m +６＝0}，Ｂ＝{ｘ∈Ｒ|x <0｝，若A ∩B ≠?,求实数m 的取值范围.
解 设全集U ＝｛m |Δ=（-4m )2－4（2ｍ＋６)≥０｝, 即U ＝{m |ｍ≤－１或m ≥3２
｝.
若方程x ２
-4ｍｘ+2m +６=0的两根ｘ1,x 2均为非负， 则错误!
所以使A ∩B ≠?的实数m 的取值范围为{m |ｍ≤－1}．
点评 本题中,Ａ∩B ≠?，所以A 是方程x 2－4m ｘ+２m ＋６＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：（1)两负根;(2)一负根和一零根；(3）一负根和一正根．分别求
解比较麻烦,我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略,即先由Δ≥０,求出全集U ，然后求①的两根均为非负时ｍ的取值范围,最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”.
变式训练1 若对于任意t ∈[１,２］,函数g (x ）=x 3+错误!x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__＿__＿__＿_. 答案 错误!
解析 g ′(x ）＝3x 2+(m +4)x －2，若g (x )在区间（ｔ，3)上总为单调函数，则①ｇ′(x )≥０在(t,3)上恒成立,或②g ′(x ）≤0在(t,3）上恒成立． 由①得３ｘ2＋（ｍ+4)x -2≥0，
即m +４≥＼f （2,x ）－３x 在x ∈(ｔ，3）上恒成立， 所以ｍ＋4≥＼f(２,ｔ)-3ｔ恒成立，则m +4≥-1, 即m ≥-5；
由②得ｍ+4≤错误!-3x 在x ∈（ｔ,3)上恒成立， 则m +4≤错误!-9,即ｍ≤-错误!.
所以使函数g (x ）在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为-错误!例2 已知函数f (x ）＝eln ｘ,g （x ）=＼ｆ（1,e ）f (x )-(x +1). (e ＝2．７18……)
（1)求函数g (ｘ）的极大值;
(2）求证：１＋＼f(1,2）＋错误!＋…+错误!>l ｎ(n ＋１)(n ∈Ｎ*)． （1)解 ∵g (ｘ)=错误!ｆ(x )-(x +1)＝l ｎ x -(x +1)， ∴g ′(x )＝１
x －1(x ＞0).
令g ′(x )>0,解得０∴函数ｇ(x )在(０,1）上单调递增，在(1，+∞)上单调递减, ∴g (x )极大值＝g (1)＝-2．
(２)证明 由(1）知x =1是函数g (x )的极大值点,也是最大值点，
∴g (ｘ）≤g (1)=-2,即ln x -（x +1)≤－2?ln x ≤x -1(当且仅当ｘ＝１时等号成立), 令t =ｘ－1，得t ≥l ｎ(t +1)（t >-１）． 取t =错误!(n ∈N *)时， 则错误!＞ln 错误!＝ln 错误!,
∴1>ｌn 2，错误!>ｌｎ 错误!，错误!＞ｌn 错误!，…,错误!>ln 错误!,
叠加得1＋错误!+错误!+…+错误!＞ln （2·错误!·错误!·…·错误!)＝ln(n +1)．即1＋错误!+
＼f(1，3)+…＋1
n
>ln （n +1）．
点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围. 变式训练2 设a 为实数，函数f (x )=ｅx -2x +2a ,x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值;
（2）求证：当a ＞ln 2-1且x >０时，e x ＞x ２
-2ａx ＋1． （1)解 由f (x )＝e x -2x +2ａ，ｘ∈Ｒ 知f ′(x ）=e ｘ
－2,ｘ∈R . 令ｆ′(x ）＝0，得x =ｌｎ ２.
于是当x 变化时,f ′(x )，f (x )的变化情况如下表:
x (－∞，ｌｎ 2)
ln ２ (ｌn 2，＋∞)
f ′(ｘ) － 0 + f (ｘ）
单调递减 ↘
2－2ln 2＋２a
单调递增 ↗
故ｆ(x )的单调递减区间是(－∞,ln 2), 单调递增区间是（ln ２，+∞), f （x ）在x =ｌｎ 2处取得极小值,
极小值为ｆ(ln 2)＝ｅln ２
-２ｌn ２+2ａ＝2-2l ｎ 2+２a . (２)证明 设g （x )=e x -x 2+２ax －1，ｘ∈Ｒ， 于是ｇ′（x ）＝ｅx －2x ＋2ａ,x ∈Ｒ. 由(１)知当ａ＞ln 2－1时,
g ′（x )取最小值为g ′（ｌn 2)=2（1－ln 2＋a )>0. 于是对任意ｘ∈R ,都有ｇ′(x )>０, 所以g (x )在Ｒ内单调递增．
于是当a >l ｎ 2－1时,对任意x ∈（0,+∞), 都有ｇ(x ）>ｇ(0）．
而ｇ(0)=0,从而对任意x ∈（０，＋∞)，都有g （x )>0． 即e x -x 2＋２ａｘ-１＞0，故e ｘ>x ２
-２ax +1. 题型三 主与次的转化
例3 已知函数ｆ(x )＝x ３＋3a ｘ-1,g (x )=f ′（x )-ａx －5,其中f ′(x ）是f (x )的导函数．对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有ｇ(x )<0，则实数ｘ的取值范围为_＿______．
答案错误!
解析由题意,知ｇ（x)=3x2-ax＋3a－5，
令φ（a)=（3-x)a＋3x２-5，－1≤ａ≤1.
对-１≤a≤1,恒有ｇ(x)<0，即φ(ａ)＜0,
∴错误!即错误!
解得－错误!故当x∈错误!时，对满足-１≤a≤1的一切a的值,都有ｇ(x)<０.
点评主与次的转化法
合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元,起到了化繁为简的作用.在不等式中出现两个字母:ｘ及a,关键在于该把哪个字母看成变量,哪个看成常数．显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[－１，1]内关于a的一次函数小于0恒成立的问题．
变式训练3 设ｆ(x）是定义在R上的单调递增函数,若f(1-ax-x２)≤f(２－ａ)对任意ａ∈[－1，1]恒成立,则x的取值范围为_____＿＿____＿__．
答案(－∞，-1]∪［0,＋∞）
解析∵f(x)是Ｒ上的增函数，
∴1-ax－x2≤2－a,a∈[-1,１］．(*)
(*)式可化为（ｘ－１）ａ+x2+1≥0
对ａ∈[-1,1］恒成立．
令g(a)=(x－1)a＋x2+1.
则错误!
解得x≥０或x≤-1,
即实数x的取值范围是(－∞,－1]∪[0，＋∞).
题型四以换元为手段的转化与化归
例4 是否存在实数a，使得函数y＝sin2x+a cos ｘ+＼ｆ(５,8)a－错误!在闭区间［0,错误!]上的最大值是1?若存在,则求出对应的ａ的值；若不存在,请说明理由.
解y=sｉn2x+ａcｏs x＋错误!ａ－错误!
＝１-cos２x＋a cｏｓx＋错误!ａ－错误!
=-(cos x－错误!)2+错误!+错误!a-错误!.
∵0≤x≤＼f（π，2)，∴0≤coｓx≤１,令coｓx=t，
则ｙ＝－(t-错误!)2＋错误!+错误!a-错误!，0≤t≤1.
当错误!>1,即a>2时，函数y=－(t-错误!）2＋错误!+错误!a－错误!在ｔ∈[0，１]上单调递增，
∴t=１时,函数有最大值ｙmax=a＋错误!a－错误!＝1,
解得a＝错误!<2（舍去);
当0≤错误!≤1，即0≤a≤2时,
则t＝错误!时函数有最大值,
ｙmaｘ＝错误!＋错误!a-错误!＝１，
解得ａ＝＼f（3，２)或a=－4(舍去)；
当错误!<0，即a<0时，
函数ｙ=-（t－错误!）2+错误!+错误!a-错误!在t∈［0,1］上单调递减,
∴t=0时,函数有最大值yｍaｘ＝5
８a-
1
2=1，
解得ａ＝＼f（12，5)＞０(舍去),
综上所述，存在实数a＝错误!,使得函数在闭区间[0,错误!]上有最大值1．
点评换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况．
本题是关于三角函数最值的存在性问题,通过换元,设ｃｏｓｘ＝t，转化为关于t的二次函数问题,把三角函数的最值问题转化为二次函数y=-(t-错误!）2+错误!＋错误!a－错误!,0≤ｔ≤1的最值问题，然后分类讨论解决问题．
变式训练4 若关于x的方程9x+(４＋a)·3x＋４＝0有解，则实数a的取值范围是____＿__＿＿＿__.
答案(-∞，-8]
解析设t＝3x，则原命题等价于关于t的方程t2+(4+a)t＋４＝0有正解，分离变量ａ,得a＋4＝-错误!，
∵t＞0，∴－错误!≤－4，
∴a≤-8，即实数a的取值范围是(-∞，－8].
高考题型精练
1．若函数f(x)=x3-tx2+3ｘ在区间[1,4］上单调递减,则实数t的取值范围是()
A．(-∞，错误!] ?B．(－∞，3]
Ｃ．［＼ｆ(51,8），＋∞) D.[3,＋∞)
答案 C
解析f′(x)＝３x2-２tx+3，
由于f(x）在区间[1,4]上单调递减，
则有f′(ｘ)≤0在[1,4］上恒成立，
即3x2-2tx＋3≤0，即t≥3
２(x＋
1
x)在[1，４]上恒成立，
因为ｙ＝＼f(3,2)(x ＋＼f(1,x ))在[1,4]上单调递增, 所以t ≥错误!（4＋错误!）=错误!， 故选C.
2．已知函数f (x )=｜lo ｇ＼f(1，2)ｘ|,若m 解析 ∵f (ｘ)＝|l ｏg 错误!x |，若m 2m ＝-log 错误!n ，
∴mn =1，∴０1,
∴m ＋3n ＝ｍ+错误!在m ∈(0，１)上单调递减, 当m ＝1时，ｍ+３n ＝４，∴ｍ+3n ＞4.
３.过抛物线ｙ＝ax 2(a >0)的焦点Ｆ，作一直线交抛物线于P ,Q 两点,若线段PF 与FQ 的长度分别为p ,ｑ,则错误!＋错误!等于( ) A ．2a ?Ｂ．1
2a
Ｃ.4a D.＼f(4,a )
答案 Ｃ
解析 抛物线y =ａx 2(a >0)的标准方程为x 2＝1
a ｙ（a ＞0）,焦点F (０，错误!）,
取过焦点F 的直线垂直于ｙ轴， 则|PF ｜＝|QF |=错误!, 所以＼f(１,p )+１
ｑ
=４ａ．
4．已知函数ｆ(x ）=(e 2x +1+1)（ax +３a -１),若存在ｘ∈(0,＋∞),使得不等式f (x ）<１成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(０,e ＋2
３(ｅ+1)）
B ．(０,2
e ＋１）
C ．(－∞，错误!)
D ．(-∞,错误!） 答案 C
解析 因为x ∈(0，+∞)，所以2x +1＞1, 则e
２x ＋1
+1>e+1,
要使f（x）＜1，则aｘ+3a-1<
1
e＋１
,
可转化为:存在x∈(０,+∞）使得a＜错误!·错误!成立．
设g(x)＝错误!·错误!，
则a＜g(x)max，
因为x>0，则ｘ+3>3,
从而错误!<错误!，
所以g(ｘ）<＼ｆ(e+２,3(e＋1))，即ａ<错误!，
选Ｃ.
5．已知ｆ(x）=＼f(3,３ｘ＋3),则f(－２015)＋f（-2 0１4)＋…+f（0)+f(1)＋…＋ｆ(2 01６)=__＿_＿___.
答案２016
解析f（x)+ｆ(1－x）=错误!+错误!
＝错误!＋错误!
=＼ｆ（３x+3，3ｘ+3）=１,
∴f(0)＋ｆ（１)＝1,ｆ（－2015)+f(2 0１６)＝1，
∴f(－2０1５)+ｆ（－2014）+…＋f(0)+f(1)＋…+f(２0１６)=２016．
6.若二次函数ｆ(x)=4x2-2（ｐ－２)x-2p2－ｐ+１在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得ｆ(c)＞0,求实数ｐ的取值范围是_＿__＿__＿.
答案(－３，＼ｆ（3,２))
解析如果在［－1,1]内没有值满足f(c)＞0,
则错误!?错误!
?p≤-３或p≥错误!,
取补集为-3＜p<错误!,即为满足条件的ｐ的取值范围．
故实数p的取值范围为(-3,＼f(3,2))．
7.对任意的｜m｜≤2,函数f(x)＝mx2-2x+1－m恒为负，则x的取值范围是＿______＿________．
答案(错误!，错误!)
解析对任意的|ｍ|≤２，有ｍx2-２ｘ+１-m<０恒成立，
即|m｜≤2时,(x2－1)m-2x＋1<0恒成立.
设g(m)=(ｘ２－1）m-2x+1，
则原问题转化为g(m)＜0恒成立(m∈[-２，2］).
所以错误!
即错误!
解得错误!＜ｘ<错误!，
即实数ｘ的取值范围为（错误!,错误!)．
8．(２0１6·天津模拟）已知一个几何体的三视图如图所示,如果点Ｐ,Q在正视图中所示位置：点P为所在线段的中点，点Q为顶点，则在几何体侧面上，从Ｐ点到Q点的最短路径的长为＿____＿__．
答案ａ错误!
解析由三视图,知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿Ｐ点与Ｑ点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平,如图所示．
则PQ=错误!＝错误!=a错误!.
所以P，Ｑ两点在侧面上的最短路径的长为a错误!．
９．求使不等式x2+(a-6)x+9－3a＞０,｜a|≤1恒成立的ｘ的取值范围．
解将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－３)ａ＋x2－6x＋９>0.
令ｆ（a)=（x-３)a＋ｘ２－6x+9.
因为ｆ(a）>0在|a|≤１时恒成立，所以
（１)若x＝3,
则f(ａ)＝0，不符合题意,应舍去．
(2)若x≠3，
则由一次函数的单调性,
可得错误!
即错误!
解得x<２或x>４.
即x的取值范围为（-∞，2)∪（4，+∞）.
10.已知ｆ(x)是定义在[-１,1］上的奇函数,且f(1）=1，若ｍ，n∈[－1,1],m＋ｎ≠０时，有错误!＞0.
(1)证明f（x)在[-1,1]上是增函数;
（2）解不等式ｆ(x 2－1)+f （3-３x ）<０；
(3)若f (x ）≤ｔ２
-2at +1对?ｘ∈[-1,１]，a ∈[－1,１］恒成立,求实数t 的取值范围． 解 (1)任取－1≤ｘ１由已知f (x 1)+f (-x 2)x １－x 2>0,ｘ1－ｘ2＜0,
∴f (x 1)-f (ｘ2)<0,
即f (x )在[－１,1]上是增函数.
(２）因为ｆ(ｘ)是定义在［-１，1]上的奇函数， 且在[－1,1]上是增函数, 不等式化为f (x 2－1)解得x ∈(１，错误!]．
(3)由（1)知,ｆ(x ）在[－1,1］上是增函数, 所以f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝1,
要使f （x )≤t ２
－2at +1对?ｘ∈[-1，１］,a ∈[-1,1]恒成立， 只要t 2-２at +1≥1?t 2－2at ≥0,
设g (a )＝t 2-2at ，对?a ∈[-１，１]，g (a )≥0恒成立， 所以错误! ?错误!
所以t ≥２或t ≤-2或t ＝0.
11.已知函数ｆ(x )=2|ｘ－1|-a ，g (x )=－|2x ＋ｍ|,a ，m ∈R ，若关于x 的不等式ｇ（ｘ)≥-1的整数解有且仅有一解－2. （１)求整数m 的值；
(2)若函数y =f (ｘ)的图象恒在函数y =错误!g (x )的图象的上方,求实数a 的取值范围. 解 (1)由g (x )≥-1,
即－|2ｘ+m |≥－1，|2x ＋m ｜≤1, 得错误!≤x ≤错误!. ∵不等式的整数解为－２， ∴＼f(-ｍ－1,2)≤-2≤错误!， 解得3≤ｍ≤5.
又∵不等式仅有一个整数解－2，
∴m＝４.
（２)函数y=ｆ(x)的图象恒在函数y＝错误!g(x)的上方, 故ｆ（x)-错误!g（x)>０对任意x∈R恒成立,
∴a＜2|ｘ-1|＋|x＋2|对任意ｘ∈Ｒ恒成立.
设ｈ（x）=２|x－１|+|ｘ+２|，
则h(x)＝错误!
则h(x）在区间（-∞，1）上是减函数,
在区间(１,+∞）上是增函数,
∴当x=1时,h(x）取得最小值3,
故a＜3，
∴实数a的取值范围是(-∞,３）．
转化与化归思想方法
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归， 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问 题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有 效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、 不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标 的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数 学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转 化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化 的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化, 这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问 题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆
化归思想在初中数学解题中的应用
化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。
一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定
(no.1)2013年高中数学教学论文 教学中后进生的转化
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 数学教学中后进生的转化 摘要：数学课程要面向全体学生，使人人都能获得良好的数学教育，所以对于数学教学中的后进生，我们不抛弃，也不放弃.在教学中，培养后进生学习数学的兴趣，增强他们的自信心是前提，充分考虑后进生的特点，因材施教是根本，课后对他们多一些关爱，多一些辅导是保障，将这一切付诸于实际行动才是关键. 关键词：数学教学后进生转化 随着新课程改革的不断推进和发展，学生的主体性得到了充分体现，个性得到了发展.在教学中，我们经常可以听到这样的声音：“老师，我还有一个问题.”“老师，我发现了一个规律.”“老师，我有不同的方法.”……这些声音使课堂充满了活力，令人欣喜万分.然而，我们也会发现，活跃的课堂上仍有几束迟疑的目光，仍有几张迷茫的脸庞，他们就是我们通常认为的后进生.对于这部分学生，我们不能放弃.如何使后进生参与学习活动，让他们学有所获呢？在教学实践中我作了如下尝试. 首先，教师要增强学生的自信心和自尊心，培养他们的学习兴趣. 每个学生都是有自尊心的，后进生也是如此，他们也有很强的表现欲和上进的积极性.因此，教师要善于用敏锐的眼光捕捉每个学生的闪光点，应该用赏识的目光和态度及时给予肯定、鼓励，以激发学生的学习兴趣和上进心，让他们看到自己并不是一无是处，而是有自己的“强项”，从而积累学习的动力，培养自信心，迎难而上追求进步. 其次，教师要提高课堂效率. 1．注重旧知复习，温故而知新 数学这门课程有别于语文、英语等其他课程，它的知识前后联系比较紧密，如果学生某一环节出现问题，就会导致下一环节学习比较困难，往往后进生就是这样形成的.所以，在上新课之前，我先布置学生预习，并让学生做好充分的复习工作，教学中再以问题的形式提问，将新旧知识联系起来. 例如，在讲“一元二次方程”时，第一节课讲的是用直接开平方法，第二节课讲配方法，配方法对于后进生来说有点困难，所以我在课的开始就让学生用直接开平方法解一题，然后把这题的常数项改一下，学生会发现这样就不能用上节课所学的方法来解，我引导学生能不能想办法往我们上节课所学的方法上去靠，这样后进生就会感觉教学起点比较低，从而提高其学习热情. 2．加强直观教学，促进知识理解
九、化归与转化思想专题(刘成宏)
九、化归与转化思想专题 上海市向东中学 刘成宏 经典例题 【例1】若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点，求 MN 的最大值． 分析: 动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点, 横坐标相同，那么MN 就转化为N M ,两点纵坐标之差，即x x MN cos sin -=求最值． 解: x x MN cos sin -==)4 sin(2π - x 最大值为2． 【例2】设点)0,(m M 在椭圆 112 162 2=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点. 当MP 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围． 解：设),(y x P 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为 112 162 2=+y x ，故44≤≤-x ． 因为()y m x MP ,-=，2222312)4(4 1 12241m m x m mx x -+-=++-= ． 依题意可知，当4=x 取得最小值．而[]4,4x ∈-， 故有44≥m ，解得1≥m ． 又点M 在椭圆的长轴上，即44≤≤-m . 故实数m 的取值范围是]4,1[∈m ． 【例3】设R y x ∈,且x y x 6232 2 =+，求2 2 y x +的范围. 分析:设2 2 y x k +=，再代入消去y ，转化为关于x 的方程有实数解时求参数k 范围的问题.其中要注意隐含条件，即x 的范围. 解:方法一、由02362 2 ≥=-y x x 得20≤≤x . 设2 2 y x k +=，则2 2 x k y -=，代入已知等式得：0262 =+-k x x ， 即x x k 32 12 +- =，其对称轴为3=x .
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 墨红镇中学李慧连内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：
高中数学教学中关于后进生的转化
高中数学教学中关于后进生的转化 摘要：高中数学“后进生”，通俗地讲就是班上成绩低于班级平均分，拉班级“后腿”，在学习态度，学习方法上或多或少存在一定问题的学生。众所周知，高中数学是高中阶段非常重要的学科，也是们高考取得胜利的关键，因而，分析高中数学后进生的形成原因，实施切实有效的转化策略，帮助他们早日“脱困乐学”，是摆在教师面前光荣而又艰巨的重大任务。 关键词：高中数学;后进生;转化 一、数学后进生形成的原因 相关的理论研究表明，高中数学后进生的成因是错综复杂的，总体分为内因和外因，所谓的内因是学生本人在学习数学过程中表现出智力方面的差异，比如对数学知识的接受能力、思维能力、理解能力、记忆力、想象力的强弱等;同时内因还表现在学生个人情感上、意志上、态度上、兴趣上和学习方法上的各种差异。而外因指来自学生外部的原因，一般是周围的环境影响，包括学习氛围、家庭氛围、家长、教师和学生的相处所带来的影响。比如由于家庭的变故或者受到学习氛围的影响，成绩跌落，这是由于外部因素引起的，但由于没得到及时的援助，知识链断层，导致丧失接受新知识的能力，而个人意志力不坚强，灰心丧气，从此转
化为数学后进生。 二、数学后进生的转化策略 前苏联教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“每一个学生都各自是一个完全特殊的，独一无二的世界。”每个学生都有自己的特点、兴趣、情感和需要，具有不同的数学发展水平.要让不同的学生都有所提高，有所发展，数学教师必须根据学生的个体差异，采用不同的方法做好学生的个别教育.有的时候一个班里数学后进生虽然不多，但如果处理得不好的话，却会对班级的数学学习氛围产生极大的影响。下面我就把工作过程中的几点经验拿出来和大家共同探讨一下。 （一）挖掘数学思维的闪光点，摒弃学习数学的自卑心理 后进生一般比较自卑、内向、孤僻，甚至有种玩世不恭的心理，更需要教师、家长的关心爱护。有关资料表明，在大多数情况下，学生受表扬越多，对自己的期望就越高，学习就越努力。反之，受到表扬越少，学生随之产生的自我期望和努力就越少。因此，教师要不断地鼓励，尤其是要善于挖掘、捕捉后进生的闪光点，使其摈弃学习数学的自卑心理，并不失时机地进行鼓励和表扬。 在教学过程中，要为后进生创造成功的教学环境。每个学生在学习上或多或少都有成功的经历和体验。面对新的学习任务，教师在教学中要有意识营造一种环境或气氛，
2013年高中数学教学论文 教学中后进生的转化
数学教学中后进生的转化 摘要：数学课程要面向全体学生，使人人都能获得良好的数学教育，所以对于数学教学中的后进生，我们不抛弃，也不放弃.在教学中，培养后进生学习数学的兴趣，增强他们的自信心是前提，充分考虑后进生的特点，因材施教是根本，课后对他们多一些关爱，多一些辅导是保障，将这一切付诸于实际行动才是关键. 关键词：数学教学 后进生 转化 随着新课程改革的不断推进和发展，学生的主体性得到了充分体现，个性得到了发展.在教学中，我们经常可以听到这样的声音：“老师，我还有一个问题.”“老师，我发现了一个规律.”“老师，我有不同的方法.”……这些声音使课堂充满了活力，令人欣喜万分.然而，我们也会发现，活跃的课堂上仍有几束迟疑的目光，仍有几张迷茫的脸庞，他们就是我们通常认为的后进生.对于这部分学生，我们不能放弃.如何使后进生参与学习活动，让他们学有所获呢？在教学实践中我作了如下尝试. 首先，教师要增强学生的自信心和自尊心，培养他们的学习兴趣. 每个学生都是有自尊心的，后进生也是如此，他们也有很强的表现欲和上进的积极性.因此，教师要善于用敏锐的眼光捕捉每个学生的闪光点，应该用赏识的目光和态度及时给予肯定、鼓励，以激发学生的学习兴趣和上进心，让他们看到自己并不是一无是处，而是有自己的“强项”，从而积累学习的动力，培养自信心，迎难而上追求进步. 其次，教师要提高课堂效率. 1．注重旧知复习，温故而知新 数学这门课程有别于语文、英语等其他课程，它的知识前后联系比较紧密，如果学生某一环节出现问题，就会导致下一环节学习比较困难，往往后进生就是这样形成的.所以，在上新课之前，我先布置学生预习，并让学生做好充分的复习工作，教学中再以问题的形式提问，将新旧知识联系起来. 例如，在讲“一元二次方程”时，第一节课讲的是用直接开平方法，第二节课讲配方法，配方法对于后进生来说有点困难，所以我在课的开始就让学生用直接开平方法解一题，然后把这题的常数项改一下，学生会发现这样就不能用上节课所学的方法来解，我引导学生能不能想办法往我们上节课所学的方法上去靠，这样后进生就会感觉教学起点比较低，从而提高其学习热情. 2．加强直观教学，促进知识理解
高中数学-化归与转化思想
一、 考点回顾 化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。常见的转化有： 1、等与不等的相互转化 等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。 2、正与反的相互转化 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。 3、特殊与一般的相互转化 对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。 4、整体与局部的相互转化 整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。 5、高维与低维的相互转化 事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。 6、数与形的相互转化 通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。 7、函数与方程的转化 二、 经典例题剖析 例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>． （Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． 解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；
转化与化归思想的应用
转化与化归思想的应用 题型一 特殊与一般的转化 例1 已知函数f (x )＝a x a x ＋a (a >0且a ≠1)，则f ????1100＋f ????2100＋…＋f ????99100的值为________． 答案 99 2 解析 思维升华 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． (1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列， 则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝________. (2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋ x )f (x )，则f ???? 52＝________. 答案 (1)4 5 (2)0 题型二，常量与变量的转化 例2， 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________. 变式练习：设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为___________．(－∞，－1]∪[0，＋∞) 探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的.
题型三 函数、方程、不等式之间的转化 例3 若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 014)＝________. 答案 2 014 解析 (2)∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1， f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1， ∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1. ∴f (x ＋1)＝f (x )＋1. ∴数列{f (n )}为等差数列． ∴f (2 014)＝f (1)＋2 013×1＝2 014. (1)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范 围是________． 答案 (1)(－∞，－8] 2．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ( A ) ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假． 命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 题型四 数与形的转化 例4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞) 解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|， 在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．
化归思想方法在解题中的应用
化归思想方法在解题中的应用 汕头金平职业技术学校李顺生 摘要：化归，指的是转化与归结．即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题，从而最终解决原问题的一种思想。近几年高考，随着试题由知识立意向能力立意的转变，不断加大化归思想的考查力度。如此，重视化归思想在高中数学教学中的应用显得尤其重要。 关键词：新课程解题渗透化归数学思想 近几年高考试题十分重视数学思想方法的考查，特别是考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只能满足于解出来，只有做到对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。 在中学数学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓的化归，指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题，从而最终解决原问题的一种思想。 化归应遵循一定的原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过以简单问题的解决，达到复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困
转化与化归思想
高三数学思想、方法、策略专题 第三讲 转化与化归思想 一．知识探究： 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。 3．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决； （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据； （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律； （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
化归思想在初中数学解题中的应用
化归思想在初中数学解题中的应用 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。 一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 ⒈化陌生的问题为熟悉的问题 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉化简单问题为容易问题 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定解决方案的问题，从而使问题获解。中学数学受多年应试教育的影响，有些问题被复杂化了，而学生对于这类问题却又相当头疼，所以通过化归，将问题变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路，往往更容易让学生接受。 ⒊化抽象问题为具体直观问题 具体化就是把比较抽象的问题转化为比较具体、直观的问题，以便形象地把握问题所涉及的各个对象之间的关系，使问题易于求解。新课程标准提出：数学教学要紧密联系生活实际，注重探索和合作，由具体到抽象。但绝不是只要让学生直观感受,满足于具体的现象而忽视问题的本质。对于抽象的关系,可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳,逐步提高他们的思维的能力。 ⒋从一般到特殊，从特殊再到一般。 极端化原则就是运用极端化位置或状态的特性引出一般位置或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。这也是我们常说的从一般到特殊再到一般。 ⒌条件和结论的和谐统一。 所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称。和谐化原则就是在对问题进行化归时，要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式与形内部固有的和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。 三、化归思想的要点 1、化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法。
浅析高中数学后进生的原因及转化策略
浅析高中数学后进生的原因及转化策略 发表时间：2019-07-31T16:13:38.823Z 来源：《中小学教育》2019年8月3期作者：唐波 [导读] 数学作为一门基础学科,在学校教学中的地位是众所周知的。每一所学校,每一个班级,都客观地存在着或多或少的学业相对较差的学生,我们称之为后进生。在义务教育阶段的很多学校后进生都呈上升趋势,对巩固义务教育成果影响很大,因此,重视对后进生的教育,是素质教育的一个重要的环节。 唐波四川绵阳南山中学实验学校 621000 【摘要】数学作为一门基础学科,在学校教学中的地位是众所周知的。每一所学校,每一个班级,都客观地存在着或多或少的学业相对较差的学生,我们称之为后进生。在义务教育阶段的很多学校后进生都呈上升趋势,对巩固义务教育成果影响很大,因此,重视对后进生的教育,是素质教育的一个重要的环节。 【关键词】高中数学后进生转化策略 中图分类号：G626.8 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2019）08-158-01 在数学教育过程中，不可避免地存在一些学习困难的学生，其中有智力型后进生，也有非智力型后进生。如何转化非智力型后进生，是当今数学教育的重要课题，教师要采取相应的措施，全面提高教学质量。作者结合教学实践谈谈看法和体会。 一、导致高中数学后进生的原因 （一）学生方面。 1.学不得法。 老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出数学思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、整理，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。 2.好高骛远。 一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题却很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，陷入题海。到真正考试时不是演算出错就是思路受阻。 3.缺乏反思。 高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃，很多地方难度大、方法新、分析能力要求高，这就要求学生必须经常进行课后反思。如二次函数在闭区间上的最值问题，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，等等。还有的内容是初高中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，及时反思并查缺补漏，两极分化是不可避免的。 （二）教师方面。 1.讲不得法。 课堂是教学的主阵地，课堂教学是老师和学生共同学习和交流的重要环节。据调查有43％的学生认为教师在上课时还存在一些问题，有学生在情况调查中写道：老师在上课、解题时好像讲得头头是道，可是没有想到我们却听得头昏脑涨，结果只是老师会解题，一旦自己动手就不知道从何处着手了。不站在学生的角度，只用自己的观点去解释和理解问题。讲解例题时分析不到位，使学生在学习过程中“只知其然，而不知其所以然”。 2.督不到位。 在学习的过程中，课后辅导是督促、检查学生学习任务落实到位的重要一环。老师要及时督促学生完成学习任务，否则教学就不能得到很好的落实，学生的学习也只能是纸上谈兵。调查结果表明，有41％的同学认为老师的教学督促检查落实不够、不及时，这是老师普遍存在的问题。 二、转化数学后进生群体学习水平的途径 （一）加强学法指导。 1.养成预习的好习惯。 高中数学学习任务重，学习要有自主性，不要一味依赖老师，要制订一个适合自己的切实可行的学习计划，要合理地安排时间。除了完成学习任务外，还要抽出一点时间进行预习，做到心中有数，为听课做好准备。 2.养成勤学好问的好习惯。 学问要边学边问，可能有些问题别人感到很简单，但对后进生来说却不容易。要多问老师、问同学，久而久之可以使自己从怕问、不会问到想问、善于问。每解决一个问题，就有一分收获，也就会有一个好心情，就会发现学数学原来是一件很愉快的事，也会为自己学习数学种下“兴趣”的种子。 （二）加强教法研究。 1.努力实施因材施教。 教师要善于不断改进教学模式、教学方法，引导学生走出学习数学的困境，努力实施因材施教。在教学方法上可采取谈话式、探究式、讲练结合、个案教学等方式，让学生有更多的机会参与数学学习，对学生提出的疑问，及时给予答疑解惑，并加以肯定和鼓励。 2.指导学生找到学好数学的方法。 教师在教学中要引导学生像蜜蜂一样进行“采蜜式”的学习，博采百家之花而酿一己之蜜，经过消化咀嚼，使知识积少成多。同时通过多种机会注重培养学生学习数学的兴趣，当学生对一个数学问题终于恍然大悟时，就会有很大的成就感。要让学生体验到学数学的无穷快乐，同时不断地把所学得的知识转化为能力。 3.教会学生主动地学习。 教学不仅是要研究教学中“教”的规律，而且要研究学生“学”的规律，教师要教会学生主动地学习。教学是以教材为中介研究教与学的双
转换与化归思想
浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：12 2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点 令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2 222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现 三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。 转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下
化归思想在初中数学解题中的应用
化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。
一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定
高中数学化归与转化的思想在解题中的应用
高中数学化归与转化的思想在解题中的应用 一、知识整合 1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。 2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。 3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。 4．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 二、例题分析 例1．某厂2010年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（） A. m>N B. m化归与转化思想
化归与转化思想 一．利用换元法进行转化 1．若 ,42x ππ<<求函数3tan 2tan y x x =的最大值。 2．在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213 x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． 3．奇函数f(x)的定义域R ，且在[0+∞）上是增函数，当0≤θ≤π/2时，是否存在实数 m, 使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有θ∈〔0，π/2〕的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m;若不存在，说明理由． 二．正难则反的转化 4．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目， 则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A ．15 B ．45 C ．60 D ．75 5．已知非空集合A={x| 2 x -4mx+2m+6=0，x ∈R}，若 A ∩R-≠,求实数m 的取值范围(R- 表示负实数集, R+表示正实数集). 三．利用构造法进行转化 6．已知a b e >>。 证明b a a b < 7．已知函数2 2 ()ln (1).1x f x x x =+-+ (1) 求函数()f x 的单调区间; （2）若不等式1(1) n a e n ++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）. 求a 的最大值. ?
四．空间问题平面化的原则 8．如图，设正三棱锥S-ABC 的底面边长为a ，侧面等腰三角形的顶角 为0 30，过A 作与侧棱SB,SC 都相交的截面AEF ，求这个截面周长的 最小值。 五．等与不等的转化 9．若f(x)是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，且f(1)=1，则 f(2 010)= . 六．常量与变量的转化 10．设f （x ）是定义在R 上的单调增函数，若f （21ax x --）≤f （2-a ）对任意 a ∈［-1，1］恒成立，求x 的取值范围. 11．已知函数247(),[0,1]2x f x x x -=∈- （1）求()f x 的单调区间和值域； （2）设1a ≥，函数32 ()32,[0,1]g x x a x a x =--∈，若对于任意的1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得01()()g x f x =成立，求a 取值范围。
