第五章 矩阵分析
本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.
§5.1 向量与矩阵的范数
从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用.
一、向量的范数
定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：
1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有
x =0；
2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有
y x y x +≤+，
则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为?） 为V 上的一种向量范数.
例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义
2
22212
n
x x x x
+++=
则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模].
证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足 1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =；
2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有
22||||||kx k x =
=；
3）三角不等式 对任意复向量1212(,,,),(,,,)T T n n x x x x y y y y == ，有
2222
21122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++++
2221122()()()n n x y x y x y ≤++++++
2
21
1
1
||2||||||n
n
n
i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不
等式）
222222
2
22||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+
因此 222||||||||||||x y x y +≤+
所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x = 定义 112||||||||||n x x x x =+++ ， 1max i i n
x
x ∞
≤≤=，
则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数. 证 仅对后者进行证明. 1）非负性 当0x ≠时，max 0i i
x
x ∞
=>，又显然有00∞=；
2）齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ， m a x m a x ;
i i i
i
kx
kx k
x k x
∞
∞
===
3）三角不等式 对任意向量1212(,,,),(,,,),T T n n x x x x y y y y ==
()i i i
i i i
y x y x y
x +≤+=+∞
max max
i i
i i
y x max max +≤ =∞∞
+y x .
综上可知∞x 确为向量范数.
上两例中的∞x x x ,,21是常用的三种向量范数.
一般地，对于任何不小于1的正数p ，向量()T n x x x x ,,,21 =的函数
p
n
i p i p
x x
1
1??
? ??=∑= 也构成向量范数，称为向量的p -范数.
注（1）当1p =时，1;p
x
x =
（2）当2p =时，2x 为2-范数，它是酉空间范数；当i x 为实数时，
122
21
()n
i i x x ==∑为欧氏空间范数；
由p -范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并不仅限于p -范数.在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即：
1、H?lder 不等式 设正实数,p q 满足
11
1,p q
+=则对任意的,,n x y C ∈有
111
1
1
()()n
n
n
p
q p
q
i i
i i i i i x y
x y ===≤∑∑∑
2、Minkowski 不等式 对任意实数1p ≥,及,,n x y C ∈有
（1111
1
1
()()()n
n
n
p
p p
p
p
p
i i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑）.
例3 设()T n 1,,1,1 =为n 维向量，则
1,
,
21===∞
x
n x n x
各种范数值差距很大.但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称
为范数的等价性.
定理1 设βα??,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数（它们不限于p -范数），则存在正的常数12,C C ,使对一切向量x ，恒有
βα
β
x C x
x
C 21≤≤ (1)
证 如果范数x α和x β都与一固定范数譬如2-范数2x 满足式（1）的
关系，则这两种范数之间也存在式（1）的关系，这是因为若存在正常数12
,C C ''和12
,C C ''''，使 12
2212
2,C x x C x C x
x C x α
β
β
''≤≤''''≤≤
成立，则显然有
112
2||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤ 令111222,C C C C C C ''''''==，则得式（1），因此只要对2β=证明或（1）成立即可. 设V 是n 维的，它的一个基是12,,,n x x x ，于是V 中的任意向量x 可表示为
1122n n x x x x ξξξ=+++
从而，1122n n x x x x ααξξξ=+++ 可视为n 个变量12,,,n ξξξ 的函数，记为12(,,,)n x α?ξξξ= ，易证12(,,,)n ?ξξξ 是连续函数，事实上，若令
112
2n n x x x x V ξξξ''''=+++∈ ,则 12
(,,,)n x α?ξξξ''''= . 12
12(,,,)(,,,)n n x x x x ααα
?ξξξ?ξξξ'''''-=-≤- 11111()()n
n n n
n n x x x x α
ααξξξξξξξξ''''=-++-≤-++- . 由于i x α (1,2,,)i n = 是常数，因此i ξ'与i ξ充分接近时，12
(,,,)n ?ξξξ''' 就与12(,,,)n ?ξξξ 充分接近，所以12(,,,)n ?ξξξ 是连续函数.
所以在有界闭集{
}
222
1212(,,,)1n S ξξξξξξ=+++= 上，
函数12(,,,)n ?ξξξ 可达到最大值2C 及最小值1C .因此在S 中，i ξ不能全为零，所以10C >.记向量
1
2
122
2
2n
n y x x x x
x
x
ξξξ=
+
++
，
则其坐标分量满足
2
2
2
1
2
122
2
2
1n
x x x
x
x
ξξξ+
++
= ，
因此，y S ∈.从而有 11122220,,n C y
C x x x α
ξξξ???
<≤=≤ ? ???
. 但2
,x
y x =
故 122x C C x α'≤≤.
即 12222C x x C x ≤≤.
二、矩阵的范数
定义2 设V 是数域F 上所有n m ?矩阵的集合，A 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对V 中任意矩阵A 、B 及F 中
任意常数k 总有
1）非负性 0≥A 并且仅当0=A 时，才有0=A ； 2）齐次性 A k
kA =；
3）三角不等式 B A B A +≤+； 则称()?A
是V 上的一种矩阵范数.
例4 对n m C ?（或n m R ?）上的矩阵A ()ij a =定义
∑∑===m i n
j ij M a A
11
1
，
∑∑===
m
i n
j ij
M a A
112
2
，
11max ij M i m j n
A a ∞
≤≤≤≤=，
则∞
?
?
?
M M M ,,2
1
都是n m C ?（或n m R ?）上的矩阵范数.
实用中涉及较多的是方阵的范数，即m n =的情形.
定义3 设F 是数域，?是n n F ?上的方阵范数.如果对任意的,n n A B F ?∈，总有
AB A B ≤?，
则说方阵范数?具有乘法相容性.
注意：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中作为第4个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了.
例5 对n n C ?上的矩阵][A ij a =定义ij n
j i a n A ≤≤?=,1max ，则?是一种矩阵范
数，并且具备乘法相容性.
证 非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下：三角不等式
ij ij b a n B A +?=+max
()
max max ij ij n a b ≤+ B A +=； 乘法相容性
??
?
???≤?=∑∑==n k kj ik n
k kj ik b a n b a n AB 11max max
()()
B A b n a n ij ij =?≤max max ， 证得A 为矩阵范数且具有乘法相容性.
并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性.例如对于22?R 上的方阵范数
.M ∞
就不具备相容性条件.此时
ij j i M a A
2
,1max ≤≤=∞
.
取 1110,0111A B ????
== ? ?????，
则有 1==∞
∞
M M B
A ，
而 2M M M AB
A B
∞
∞
∞
=>.
定义4 如果n 阶矩阵A 的范数A 与n 维向量x 的范数x ，使对任意n 阶矩阵A 及任意n 维向量x 均有x A Ax ≤，则称矩阵范数A 与向量范数x
是相容的.
定理2 设x 是某种向量范数，对n 阶矩阵A 定义
Ax x
Ax A x x 1
max max
=≠== （2）
则A 为方阵范数，称为由向量范数x 导出的矩阵范数，而且它具有乘法相容
性并且与向量范数x 相容.
证 首先可证，由（2）式定义的函数关系||||A 满足与向量范数||||x 的相容性.对于任意n 阶矩阵A 及n 维向量x ，当0x ≠时，有
0||||||||
max ||||||||||||
y Ax Ay A x y ≠≤=， 即 ||||||||||||;Ax A x ≤ （3） 而当0x =时，||||0||||||||Ax A x ==，于是总有（3）式成立.
容易验证||||A 满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，因而A 是一种方阵范数.并且，对任意n 阶矩阵,A B ，利用（2）式和（3）式可得
00max
max max x x x A Bx ABx Bx AB A A B x x x
≠≠≠=≤==.
即说矩阵范数A 具备乘法相容性.
一般地，把由向量p -范数p x 导出的矩阵范数记作p A .下面看常用的三种矩阵范数：
例6 证明：对n 阶复矩阵[]i j A a =，有 1）11max n
ij j n
i A a ∞≤≤==∑，称为A 的列和范数.
2）11
max n
ij j n
j A a ∞≤≤==∑，称为A 的行和范数.
证 1）设11
1
max n
n
ij
ik
j n
i i w a a
≤≤===∑∑.若A 按列分块为12(,,,)n A ααα=
则11
1max k j j n
w αα≤≤==.任意n 维向量12(,,)T n x x x x = ，有
1122112211111
121
11()max .
n n n n
n j
j n
Ax x x x x x x x x x x w ααααααα≤≤+++≤+++≤+++≤ ＝
于是，对任意非零向量x 有
11
Ax w x ≤. 以下证明存在非零向量k e 使
1
1
k k
Ae w e =.事实上，设k e 是第k 个分量为1而
其余分量全为0的向量，则1k e =1,且
1k ik i Ae a w =∑n
=1＝,
即
1
1
k k
Ae w e =.
2）的证明与1）相仿，留给读者去完成. 例7 证明对n 阶复矩阵A ，有
21max i i n
A σ≤≤=，
这里()n i i ,,2,1 =σ是A 的奇异值，称此范数为A 的谱范数.
证 设H A A 的全部特征根为12,,n λλλ 不妨设11m a x
i i n
λλ≤≤=.于
是11max i i n
σσ≤≤==.因为H A A 为H -矩阵，故有酉矩阵U ，使得
,,H H U A AV diag λλλ=Λ= 12n (,).
如设12(,,,)n U u u u = 则i u 是H A A 相应于特征根i λ的单位特征向量，即有
,H i i i A A u u λ= 2
1i
u =.
对任意满足2||||1x =的复向量12(,,,)T n x x x x = ，有
22
||||()()H H
Ax Ax Ax x ==H U U x Λ
令H y U x =，则222222||||||||||
||1H y U x x ===，说明y 亦为单位向量.若设12(,,,)T n y y y y = ,则
2
221||
||||1n
i
i y y ===∑
于是 2
22
11
||||||n
H
i i i Ax y y y λλ==Λ=≤∑.
即有
12Ax σ≤.
由x 的任意性，便得
21221
max x A Ax σ==≤
特别取1x u =，则有211111112
H H H Au u A Au u u λλ==＝，
即
112Au σ=.
这说明2Ax 在单位球面{}
21,n x x x C =∈上可取到最大值1σ，从而证明了
21221
max x A Ax σ===
各种矩阵范数之间也具有范数的等价性
定理3 设,a A A β是任意两种矩阵范数 则有正实数12,,C C 使对一切矩阵
A 恒有
12a C A
A C A β
β≤≤
§5.2 向量与矩阵序列的收敛性
在这一节里，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去. 可数多个向量（矩阵）按顺序成一列，就成为一个向量（矩阵）序列，
例如 ()()(
12(,,,)k k k T k n x x x x = ，
1,2,3,k = 是一个n 维向量序列，记为{}k x ，诸k x 的相应分量则形成数列{}k i x .
定义5 设有向量序列()()()12{}:(,,,)k k k T
k k n x x x x x = .如果对1,2,i n = ，
数列(){}k i x 均收敛且有()lim k i i k x x →∞
=，则说向量序列{}k x 收敛.如记
12(,,,)T n x x x x = ，则称x 为向量序列{}k x 的极限，记为lim k k x x →∞
=，或简记为
k x x →.
如果向量序列{}k x 不收敛，则称为发散.类似于数列的收敛性质，读者不难证明向量序列的收敛性具有如下性质.
设{},{}k k x y 是n C 中两个向量序列，,a b 是复常数，n ,m A C ?∈如果
l i m ,l i m k k k k x x y y →∞
→∞
==，则
1lim();
2lim .
k k k k k ax by ax by Ax Ax →∞
→∞
>+=+>=
定理4 对向量序列{}k x ，x x k =∞
→k lim 的充分必要条件是0lim =-∞
→x x k k ，
其中?是任意一种向量范数.
证明1）先对向量范数i n
i x x
≤≤∞
=1max 证明定理成立.有
i k i k k k x x x x =?=∞
→∞
→)(lim lim ，n i ,...,2,1=；
,0lim )(=-?∞
→i k i k x x n i ,...,2,1=；
0max lim )(1=-?≤≤∞→i k i n
i k x x ；
0lim =-?∞
∞
→x
x k k .
2）由向量范数等价性，对任一种向量范数?，有正实数21,b b ，使
∞∞-≤-≤-x x b x x x x b k k k 21.令∞→k 取极限即知
lim 0lim 0k k k k x x x x
∞
→∞
→∞
-=?-=.
于是定理对任一种向量范数都成立.
根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有
极限.
由于m n C ?中矩阵可以看作一个mn 维向量，其收敛性可以和mn C 中的向量一样考虑.因此，我们可以用矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列的收敛性.
定义6 设有矩阵序列{}n m k ij k k a A A ?=][:)(，如果对任何
,(1,1)i j i m j n ≤≤≤≤，均有
ij k ij k a a =∞
→)
(lim 则说矩阵序列{}k A 收敛，如令n m ij a A ?=][，又称A 为{}k A 的极限.记为
,lim A A k k =∞
→或A A k →.
矩阵序列不收敛时称为发散.
讨论矩阵序列极限的性质，以下设所涉及的矩阵为n 阶矩阵： 1) 若A A k k =∞
→lim ，{}k a 为数列且a a k k =∞
→lim ，则()aA A a k k k =∞
→lim .
特别，当a 为常数时，()k k k k A a aA ∞
→∞
→=lim lim .
2) 若A A k k =∞
→lim ，B B k k =∞
→lim ，则()B A B A k k k ±=±∞
→lim .
3) 若A A k k =∞
→lim ，B B k k =∞
→lim ，则()AB B A k k k =∞
→lim .
4) 若A A k k =∞
→lim 且诸k A 及A 均可逆，则{}
1-k A 收敛，并且
11lim --∞
→=A A k k .
容易证明性质1)-3)成立，对性质4)注意到行列式k A 值定义的和式无非是k A 中元素()(,1,2,,)k ij a i j n = 的乘法与加法之组合，再由
lim k →∞
(),k ij ij a a =
即可知
lim k k A A →∞
=
用()k ij A 表示Ak 中(,)i j 元素的代数余子式，用ij A 表示A 中（,i j ）元素的代数余子式，便有
()lim k ij ij k A A →∞
=.
进而 **lim k k A A →∞
=.
这里*
k A 是k A 的伴随矩阵，*A 是A 的伴随矩阵.又
*
1k
k
k A A A -=， 所以*1
1lim k
k A A A A
--→∞
==. 定理5 对于矩阵序列{}k A ，lim k k A A →∞
=的充分必要条件是对任何一种矩阵范
数?,有lim 0k k A A →∞
-=
定理5的证明与定理4类似，由于矩阵范数的等价性，只需证明对矩阵范数,max ij i j
A a =定理成立，其方法也与定理4的证明一致，这里从略.
以下主要介绍范数在特征值估计方面的应用.
定义7 设n n A C ?∈,1,,,,j n λλλ 为A 的n 个特征值，称
()max j j
A ρλ=
为A 的谱半径.
有了谱半径的概念，可以对矩阵范数作如下的初步估计. 定理6 设n n A C ?∈,则对n n C ?上的任一矩阵范数?，皆有 ()A A ρ≤
证 设λ是A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量，故0x ≠，所以0x ≠.另设v ?是n C 上与矩阵范数?相容的向量范数，由Ax x λ=，应有
v v Ax x λ=
而v v Ax A x ≤,于是有
v v x A x λ≤
同除0v x ≠，有 A λ≤. 故 max j
A λ≤,
于是 ()A A ρ≤.
定理7 设n n A C ?∈，lim 0k k A →∞
=的充分必要条件是()1A ρ<.
证 对n n A C ?∈,由定理3.5.1知，存在n 阶的逆矩阵P 使得
112(,,,)s P AP J diag J J J -== ,
其中
1
0110i i
i i
i i i n n J λλλλ??? ?
?
?= ? ?
??
?
, 则 112(,,)k k k k k s P A P J diag J J J -== .
因此lim 0lim 0lim 0(1,2,,)k k k i k k k A J J i s →∞
→∞
→∞
=?=?== .而
(1)11()()()()2(1)()
()1
()2()()i n k i k i k i k i i k i k i k i k i k i k i f f f f n f f J f f f λλλλλλλλλ-?
?''' ?- ?' ? ?
? ?'' ?
?' ?
?
?
?
！！
！
其中()k k f λλ=因为对任一多项式(),g λ当k →∞时，()01k
i i g k λλ→?<.而1(1,2,,)()1i i s A λρ<=?< .
由定理6和定理7即得如下结果.
定理8 设n n A C ?∈,如果存在n n C ?上的一种相容矩阵范数.使1A <，则
lim k →∞
0k A =
定理9 设λ是n 阶矩阵A 的任一特征根，那么，对任一种矩阵范数.,都有A λ≤。
证 设,A a =则0,a ≥对任意给定的0,ε>令A
B a ε
=+于是，若设A 的全部特征根为12,,,,n λλλ 则B 的全部特征根恰是
1
2
,
,,
.n
a a a λλλεε
ε
+++
又1 1.a B A a a εε=
=<++由定理7知0,k B →再由定理6知1i
a λε
<+ 1,2,i n = 即,i a λε<+1,2,,.i n = 由ε的任意性，令0ε→取极限，便有
,1,2,,.i a i n λ≤= 即知对任一特征根λ，有a λ≤.
§5.3 矩阵的导数
本节讨论三种导数：矩阵对变量的导数、函数对矩阵的导数、矩阵对矩阵的导数
一、函数矩阵对变量的导数
如果矩阵中诸元素都是某实变量x 的函数，则称这种矩阵为函数矩阵.它的一般形式是
()??
?
?
?
?
?
??=)()
()()()()()()()(21
2222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x A mn m m n n ，
其中()()1,2,,;
1,2,,ij a x i m j n == 都是实变量x 的函数.
定义8 设函数矩阵()[()]ij m n A x a x ?=，如果对一切正整数
(),1,1i j i m j n ≤≤≤≤，均有
()0
lim ij ij x x a x b →=
则说当0x x →时函数矩阵()A x 有极限,n m ij b B ?=][叫做()A x 的极限,记为
()0
lim x x A x B →=.
该定义的实质是：如果()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处都有极限，则说
()A x 在0x 处有极限()A x .
若()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处连续，即
0lim ()()ij x x A x a x →= (1,2,,;1,i m j
n
== 则称A ()x 在0x x =处连续，且记为0
0lim ()()x x A x A x →=.如果()A x 在某区间[,]a b 上处处连续，则说()A x 在[,]a b 上连续.
容易验证下列等式是成立的：
设()()0
lim ,lim x x x x A x A B x B →→==，则
（1）0
lim(()())x x A x B x A B →±=±；
（2）()0
lim ()x x kA x kA →=；
（3）()0
lim ()()x x A x B x AB →=.
定义9 对于函数矩阵()n m ij x a x A ?=)]([，如果所有元素
()()
n j m i x a ij ,,2,1;,,2,1 ==在某点x 处[或在某区间上]均可导，则称()x A 在x 处[或在某区间上]可导.导数[或导函数]记为()d
A x dx
，简记为()x A '.并规定
()()()()()()()()()()()11121
21222
1
2n n m m mn
a x a x a x a x a x a x d A x A x dx
a x a x a x '''??
?''' ?'==
?
? ?'''??
,
其中()ij
a x '表示()x a ij 对x 的一阶导数. 矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质：
1° 若函数矩阵()()x B x A ,都可导，则它们的和亦可导，并且
()()[]()()x B dx
d x A dx d x B x A dx d
+=+. 2° 若()x A 可导，()f x 是x 的可导函数，则()x f ()x A 可导，且
()()[]()()()()x A dx d x f x A x f dx d x A x f dx d +??
?
???=， 特别地，当()x f 为常数k 时，有
()[]()x A dx
d k x kA dx d
=. 3° 若()x A 可导，则()x A T 可导，并且
()()T
T dx x dA x A dx d ??
? ??= 4° 若()x A ，()x B 可导且二者可乘，则()x A ()x B 亦可导，且
()()[]()()()()x B dx d x A x B x A dx d x B x A dx d +??
?
???=?. 推论 若()x A 可导，Q P ,为数字矩阵，则
()[]()x A dx
d P x PA dx d
=, ()[]()Q x A dx d Q x A dx d ??
?
???=. 5° 若()x A 为可逆的可导函数矩阵，则()x A 1-亦可导，且
()[]
()()()x A dx
x dA x A x A dx d 1
11----=. 证 因为1()(),A x A x E -=所以
111()()[()()]()()0d dA x dA x A x A x A x A x dx dx dx
---=+=. 于是
111
()()()()dA x dA x A x A x dx dx
---=- 函数矩阵的导数本身也是一个函数矩阵，它可以再进行术导运算，下面我们给出函数矩阵对纯量的高阶导数：
22
3232
1()()
()()()
()
()()
()k k k
d A x d dA x dx dx dx d A x d d A x dx dx dx d A x d d A x dx dx dx
-=== 例1 设)(x A 为n 阶可导函数矩阵，求()x A 2的一、二阶导数.
解
()()()[]()()()()x A x A x A x A x A x A dx
d
x A dx d '+'==
2 [注意一般 2()2()()d
A x A x A x dx
'≠]
()()()()()[]x A x A x A x A dx d
x A dx
d '+'=22
2 ()()()[]()()x A x A x A x A x A ''+'+''=2
2.
例2 设
()()()??????
? ??=t x t x t x x n 21,
其中()t x i 均为t 的可导函数，n n ij a A ?=][为n 阶实对称矩阵，求二次型Ax x T 对
t 的导数.
解
[]()
x A x x A x Ax x Ax x dt
d T T T T
'+'+'=. 又A 为数字矩阵， A '=0，又x A x T '为t 的函数.而有
()()
()
Ax x x A x x A x x A x T T T
T
T T '
='='
='.
所以
()
x A x Ax x dx
d T T
'=2. 二、函数对矩阵的导数
定义1 设
n
m ij x X ?=][为多元实变量矩阵，
()()1111,,,,,,n m mn f X f x x x x = 是以X 中诸元素为变量的多元函数，并且偏导数ij
x f
??()1,2,,;1,2,,i m j n == 都存在，
则定义函数)(X f 对矩阵X 的导数为
???
?
?????
?
????????????????????=mn m m n
n x f x f x f x f x f x f x f x f x f dX df
2
1
2222111211 特别，当X 为向量()T
n x x x x ,,,21 =时，函数()n x x x f ,,,21 对x 之导数为
()x f x f x f x f dx df T
n ?=???
?
????????=,,,2
1 例3 设[]
()∑∑==?==m i n
j ij
n
m ij
x X f x X 11
2
,,求dX
df 解
2,1,2,,;
1,2,,ij ij
f
x i m j n x ?===? .
X x x x x x x x x x dX df mn m m n n 22222222222
1
22221
11211
=??
?
?
?
?
?
??=
.
例4 设1122,n n a x a x a x a x ???? ? ? ? ?== ? ? ? ?????
，1122()T n n f x a x a x a x a x ==+++ ，则 12n a a df a dx
a ??
? ?== ? ???
三、矩阵对矩阵的导数
定义11 设矩阵n m kl a A ?=][中每一个元素kl a 都是矩阵q p ij b B ?=][中各元素(1,2,...,;1,2,...,)ij b i p j q ==的函数，当A 对B 中各元素都可导时，则称矩阵A
第五章 矩阵分析 本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识. §5.1 向量与矩阵的范数 从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用. 一、向量的范数 定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件： 1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有 x =0； 2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有 y x y x +≤+， 则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为?） 为V 上的一种向量范数. 例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义 2 22212 n x x x x +++= 则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]. 证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足
1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有 22||||||kx k x = =； 3）三角不等式 对任意复向量1212(,, ,),(,, ,)T T n n x x x x y y y y ==，有 222 221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++ ++ 2221122()()()n n x y x y x y ≤++++ ++ 2 21 1 1 ||2||||||n n n i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ 不等式） 222222 2 22||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+ 因此 222||||||||||||x y x y +≤+ 所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义 112||||||||||n x x x x =+++， 1max i i n x x ∞ ≤≤=， 则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数. 证 仅对后者进行证明. 1）非负性 当0x ≠时，max 0i i x x ∞ =>，又显然有00∞=； 2）齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ，
第三章 1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,,,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ? -?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----?? ?? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知
220(1)212020A -????=--????-?? ，11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1 ()() H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1 ()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满 秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =，只要 ()()1 1()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E
第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性 本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论， 即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵（一般是Hermite 矩阵）特征值的 极小极大原理，其次也涉及到一些特征值 和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵 直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解 方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的 理论研究与实际应用当中都有着相当重要 的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理5.1 设A=(a rs )∈R n×n ,令 M=||2 1 max ,1sr rs n s r a a -≤≤ λ若表示A 任一特征值，则λ的虚部Im(λ) 满足不等式 2 ) 1(|)Im(|-≤n n M λ |Im(λ)|≤||A -A T ||2 / 2 |Im(λ)|≤||A -A T ||1 ?/2. 证明：设x+i ?y 为对应于λ的A 的特征向量， 则 A(x+i ?y)=(α+β?i)(x+i ?y) 其中λ=α+β?i.显然x,y 为实向量，且x,y 为 线性无关的 向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B=??? ? ??-αββα 。 从而(x,y)T A(x,y)=(x,y)T (x,y)B 展开有
???? ??Ay y Ax y Ay x Ax x T T T T =α????? ??y y y x y x x x T T T T + β???? ? ? ?--x y y y x x y x T T T T (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 α(x T x +y T y )=x T Ax +y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： β(x T x +y T y )=x T (A -A T )y 1). 记B=A -A T ,则 |x T By|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 从而 |β|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 利用ab /(a 2+b 2)≤1/2 可得 |β|≤||B||2 /2. 2). 由于|x T By|≤||Bx||1 ?||y||∞≤||B||1?||x||1 ?||y||∞ 从而 |β|≤||B||1 ?||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 易证明 ||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) /2. (显然，不妨假设(||x ||2)2 +(||y ||2)2=1, 设||y ||∞=t =cos(α), 则y 必为t ? e j 的形式（为什么？）， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x ||2)2=1-t 2 这样有均值不等式||x||1 x ||2 = -t 2)1/2, 从而我们需要求解t (1-t 2)1/2的最大值，设t =cos(α) 可得t (1-t 2)1/2的最大值为1/2. 从而得证。) 因此 |β|≤||B||1 3). 由于b ii =0, i =1,2,…,n , b ij = -b ji , 因此 |x T By|2=| 1 1()n ij i j j i i j i b x y x y -=>??-∑∑|2 ≤(2M )2 2 1||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑ (利用(a 1+a 2+…+a n )2≤ n ((a 1)2+(a 2)2+…+(a n )2) ≤(2M )2 (n (n -1)/2) 21||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑
（战略管理）大战略矩阵
大战略矩阵 大战略矩阵(GrandStrategyMatrix) [编辑] 大战略矩阵简介 这是由市场增长率和企业竞争地位俩个坐标所组成壹种模型，在市场增长率和企业竞争地位不同组合情况下，指导企业进行战略选择的壹种指导性模型，它是由小汤普森（A.A.Thompson.Jr.）和斯特里克兰(A.J.Strickland)根据波士顿矩阵修改而成。 大战略矩阵（GrandStrategyMatrix）是壹种常用的制定备选战略工具。它的优点是能够将各种企业的战略地位都置于大战略矩阵的四个战略象限中，且加以分析和选择。X公司的各分部也可按此方式被定位。大战略矩阵基于俩个评价数值：横轴代表竞争地位的强弱,纵轴代表市场增长程度。位于同壹象限的企业能够采取很多战略，下图例举了适用于不同象限的多种战略选择，其中各战略是按其相对吸引力的大小而分列于各象限中的。
[编辑] 位于不同象限的战略选择 位于大战略矩阵第壹象限的X公司处于极佳的战略地位。对这类X公司，继续集中运营于当前的市场（市场渗透和市场开发）和产品（产品开发）是适当的战略。第壹象限X公司大幅度偏离已建立的竞争优势是不明智的。当第壹象限X公司拥有过剩资源时，后向壹体化、前向壹体化和横向壹体化可能是有效的战略。当第壹象限X公司过分偏重于某单壹产品时，集中化多元运营战略可能会降低过于狭窄的产品线所带来的风险。第壹象限X公司有能力利用众多领域中的外部机会，必要时它们能够冒险进取。 位于第二象限的X公司需要认真地评价其当前的参和市场竞争的方法。尽管其所在产业正在增长，但它们不能有效地进行竞争。这类X公司需要分析企业当前的竞争方法为何无效，企业又应如何变革而提高其竞争能力。由于第二象限X公司处于高速增长产业，加强型战略（和壹体化或多元化运营战略相反）通常是它们的首选战略。然而，如果企业缺乏独特的生产能力或竞争优势，横向壹体化往往是理想的战略选择。为此，可考虑将战略次要地位的业务剥离或结业清算，剥离可为X公司提供收购其他企业或买回股票所需要的资金。 位于第三象限的X公司处于产业增长缓慢和相对竞争能力不足的双重劣势下。在确定产业正处于永久性衰退前沿的前提下,这类X公司必须着手实施收割战略。首先应大幅度地减少成本或投入，另外可将资源从现有业务领域逐渐转向其他业务领域。最后便是以剥离或结业清算战略迅速撤离该产业。 位于第四象限的X公司其产业增长缓慢,但却处于相对有利的竞争地位。这类X公司有能力在有发展前景的领域中进行多元运营。这是因为第四象限X公司具有较大的现金流量，且对资金的需
案例一: 伊藤洋华堂(Ito-Yokado) 在2004年公布的世界500强企业排名中，伊藤洋华堂位于第149位。战略聚类模型也是一个广泛使用的战略工具，在伊藤洋华堂使用的诸多管理工具中，战略聚类模型是最受经理们推崇的。 案例二: 金融危机对深圳市A机械有限公司的影响 深圳市A机械有限公司（简称：“A机械公司”），成立于2002年，总部设在深圳，在国内多个大城市设有办事处，并在多地设有展厅，员工400多人，拥有先进成产设备。公司凭借多年的机械制造经验，形成集技术开发、生产、代理、销售和进出口为一体的经营模式，并与国内外生产科研企业和公司长年保持紧密合作。该公司是深圳市机械行业协会会员，公司已全面通过ISO9001：2000质量体系认证，产品符合GB体验标准。产品行销全国并在多个国家享誉盛名。与时俱进，不断提升自身制造能力，严格把关产品质量，近年来一直坚持成本领先的竞争战略，以最具竞争力的价格向海外客户提供可靠、精准的机床产品。 3.近三年部分财务数据状况 因数据收集有限，本文仅对A机械公司部分财务数据进行研究分析。该公司在2006年、2007年、2008年的销售额如图7：
图：A机械公司近三年产品销售额 依据图所示，A机械公司的销售收入随着深圳机械行业在2006-2007年间快速发展的趋势，实现了较好的增长收入。然而，受金融危机对我国的中小企业的直接影响，产品进出口情况出现较大幅度的下滑，虽然相比较于2007年的销售收入有增长，但增幅呈现回落态势。 图：A机械公司近三年利润趋势 该公司08年的利润率于07年，大幅减少，这对该企业的资金周转造成一定影响，对公司进行固定资产的投资、公司规模扩大都是不利条件，也使得该企业倍感压力。对公司的发展、调整即是挑战又是
第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令 1 , , M= ma彷总a sr| 若表示A任一特征值，则的虚部Im() 满足不等式 |Im( )| M n(n21) |Im( )| ||A A T||2 / 2 |Im( )| ||A A T||1n /2. 证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y) 其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B 展开有
i 1 j i T T X y X X T T y y y X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (x T x+y T y)=x T (A A T )y 1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2) 利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2. 2) . 由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y|| 从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2) n /2. (显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1, 设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从 而极值转化为求解如下最大值问题： max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2 这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2, 从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得 t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。) 因此 11 ||B||1 . n /2. 3) . 由于 b ii =0, i =1,2,…,n, b ij = b ji , n 1 因此 x T By|2=| b ij (X y j X j y i )|2 i 1 j i 2 n (2M)2 |xy j X j Y i | i 1 j i (利用(a 1+a 2+…+a n )2 n((a 1)2+(a 2)2+ …+(a n )2) n (2M)2(n(n 1)/2) | X y j X j yj 2 X T A X y T Ax X T Ay y T Ay T T X X X y T T X y y y
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2 22212 n x x x x +++= 则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]. 证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足 1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有 22||||||kx k x = =； 3）三角不等式 对任意复向量 1212(,, ,),(,, ,)T T n n x x x x y y y y ==，有 222 221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++ ++ 2221122()()()n n x y x y x y ≤++++ ++ 2 2 1 1 1 ||2||||||n n n i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不 等式） 22 2222 2 22||||2||||||||||||(||||||||), x x y y x y ≤++=+ 因此 222||||||||||||x y x y +≤+ 所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义 112||||||||||n x x x x =+++， 1max i i n x x ∞ ≤≤=， 则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数.
定量战略计划矩阵（QSPM矩阵）是战略决策阶段的重要分析工具。该分析工具能够客观地指出哪一种战略是最佳的。QSPM利用第一阶段和第二阶段的分析结果来进行战略评价。QSPM的分析原理是这样的：将第二阶段制定的各种战略分别评分，评分是根据各战略是否能使企业更充分利用外部机会和内部优势，尽量避免外部威胁和减少内部弱点四个方面，通过专家小组讨论的形式得出。得分的高低反映战略的最优程度。也就是说，QSPM的输入信息正是第一阶段的因素评价结果（由EFE矩阵、IFE矩阵、竞争态势矩阵分析得出）和第二阶段的备选战略（由SWOT矩阵、SPACE分析、BCG矩阵、IE矩阵和大战略矩阵分析得出），QSPM的结果反映战略的最优程度。 虽然QSPM是基于事先确认的外部及内部因素来客观评价备选战略的工具，然而，良好的直觉判断对QSPM仍然是必要且极为重要的。 QSPM矩阵的格式如下表所示。QSPM顶部一行包括了从SWOT矩阵、SPACE 矩阵、BCG矩阵、IE矩阵和大战略矩阵中得出的备选战略。这些匹配工具通常会产生类似的可行战略。需注意的是，并不是说匹配技术所建议的每种战略都要在QSPM中予以评价，战略分析者必须运用良好的直觉对行业的丰富经验剔除一些明显不可行的战略选择，只将最具吸引力的战略列入QSPM矩阵。QSPM 的左边一列为关键的外部和内部因素（来自第一阶段），顶部一行为可行的备选战略（来自第二阶段）。具体地说，QSPM的左栏包括了从EFE矩阵和IFE矩阵直接得到的信息。在紧靠关键因素的一列中，将标出各因素在EFE矩阵和IFE 矩阵中所得到的权数。在QSPM矩阵中一个重要的概念是战略的最优程度。它是根据各战略对外部和内部因素的利用和改进程度而确定的。QSPM中包括的备选战略的数量和战略组合的数量均不限，分析的结果并不是非此即彼的战略取舍，而是一张按重要性和最优程度排序的战略清单
第一章 线性空间与线性变换 （以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传） （此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别） 1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。 1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数） 1.13.提示：设),)(- ?==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0(K K ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0(K K K ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行） ，代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故 A A T -=，即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ， 0=+ji ij a a ， 再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0(K K K ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于 0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A 1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)( 1.15.存在性：令2 ,2H H A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==, 唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由
章 节名 称 第五章 芳酸及其酯类药物的分析 授 课安 排 授 课 时 数 2 授 课时 间 第五周 授 课 方 法 讲授 授 课 教 具 多媒体 教 学目 的 1、 明确芳酸及其酯类药物的质量分析方法和原理； 2、 学会阿司匹林肠溶片的含量测定操作技术。 教 学 重 点 掌握芳酸及其酯类药物的质量分析方法和原理； 教 学 难 点 阿司匹林肠溶片的含量测定操作技术； 项目7 苯甲酸类药物、水杨酸类药物及其它芳酸类药物的分析 一、苯甲酸类药物分析 （一）结构与性质 （1）结构 （2）性质 物理性质： 1、大多数是结晶性固体 2、溶解性：游离芳酸类药物，几乎不溶于水，易溶于有机溶剂，芳酸碱金属盐易溶于水 化学性质 装 订 线
1、酸性：本类药物分子中具有－COOH，具有酸性，可以与碱成盐。 2、三氯化铁反应：本类大多数药物可与三氯化铁作用，生成铁盐。 3、分解性：某些药物因含有特殊的结构，在一定的条件下可以发生分解，其分解产物可发生特殊的反应，可以用于鉴别和含量测定。 4、紫外吸收：具有苯环，所以具有紫外吸收。 （二）鉴别试验 （1）三氯化铁反应 1.苯甲酸、苯甲酸钠 苯甲酸钠盐水溶液、苯甲酸钠中性溶液，与三氯化铁作用，生成碱式苯甲酸铁盐的赭色沉淀。 2.丙磺舒 丙磺舒的钠盐水溶液与三氯化铁试液作用，生成米黄色的沉淀。 （2）分解产物的反应 1.苯甲酸钠遇酸分解生成具有升华性的苯甲酸，并凝结成白色升华物。 2.丙磺舒与氢氧化钠共热熔融，分解生成亚硫酸，经硝酸氧化成硫酸，显硫酸的鉴别反应。 3.泛影酸 加热分解产生紫色碘蒸气。 （三）杂质检查 （1）羟苯乙酯的杂质检查
大战略矩阵 大战略矩阵(Grand Strategy Matrix) 目录 [隐藏] ? 1 大战略矩阵简介 ? 2 位于不同象限的战略选择 ? 3 适用范围 ? 4 大战略矩阵案例分析 o 4.1 案例一:伊藤洋华堂(Ito-Yokado) o 4.2 案例二:金融危机对深圳市A机械有限公司的影响 [1] ? 5 参考文献 [编辑] 大战略矩阵简介 这是由市场增长率和企业竞争地位两个坐标所组成一种模型，在市场增长率和企业竞争地位不同组合情况下，指导企业进行战略选择的一种指导性模型，它是由小汤普森（A. A. Thompson. Jr.）与斯特里克兰(A. J. Strickland)根据波士顿矩阵修改而成。 大战略矩阵（Grand Strategy Matrix）是一种常用的制定备选战略工具。它的优点是可以将各种企业的战略地位都置于大战略矩阵的四个战略象限中，并加以分析和选择。公司的各分部也可按此方式被定位。大战略矩阵基于两个评价数值：横轴代表竞争地位的强弱,纵轴代表市场增长程度。位于同一象限的企业可以采取很多战略，下图例举了适用于不同象限的多种战略选择，其中各战略是按其相对吸引力的大小而分列于各象限中的。
战略管理工具 A 安索夫矩阵 ADL矩阵 B 贝恩利润池分析工具波特竞争战略轮盘模型波特竞争对手分析模型辩证式探询法 变革五因素 C 策略资讯系统 策略方格模型 产品剔除策略 创新动力模型 D 定量战略计划矩阵 大战略矩阵 多点竞争战略 定向政策矩阵 E
[编辑] 位于不同象限的战略选择 位于大战略矩阵第一象限的公司处于极佳的战略地位。对这类公司，继续集中经营于当前的市场（市场渗透和市场开发）和产品（产品开发）是适当的战略。第一象限公司大幅度偏离已建立的竞争优势是不明智的。当第一象限公司拥有过剩资源时，后向一体化、前向一体化和横向一体化可能是有效的战略。当第一象限公司过分偏重于某单一产品时，集中化多元经营战略可能会降低过于狭窄的产品线所带来的风险。第一象限公司有能力利用众多领域中的外部机会，必要时它们可以冒险进取。 位于第二象限的公司需要认真地评价其当前的参与市场竞争的方法。尽管其所在产业正在增长，但它们不能有效地进行竞争。这类公司需要分析企业当前的竞争方法为何无效，企业又应如何变革而提高其竞争能力。由于第二象限公司处于高速增长产业，加强型战略（与一体化或多元化经营战略相反）通常是它们的首选战略。然而，如果企业缺乏独特的生产能力或竞争优势，横向一体化往往是理想的战略选择。为此，可考虑将战略次要地位的业务剥离或结业清算，剥离可为公司提供收购其他企业或买回股票所需要的资金。 位于第三象限的公司处于产业增长缓慢和相对竞争能力不足的双重劣势下。在确定产业正处于永久性衰退前沿的前提下,这类公司必须着手实施收割战略。首先应大幅度地减少成本或投入，另外可将资源从现有业务领域逐渐转向其他业务领域。最后便是以剥离或结业清算战略迅速撤离该产业。 位于第四象限的公司其产业增长缓慢,但却处于相对有利的竞争地位。这类公司有能力在有发展前景的领域中进行多元经营。这是因为第四象限公司具有较大的现金流量，并对资金的需求有限，有足够的能力和资源实施集中多元化或混合式多元化战略。同时，这类公司应在原产业中求得与竞争对手合作与妥协，横向合并或进行合资经营都是较好的选择。 [编辑]
《矩阵分析》作业布置 第三章 章末习题：3-1，3-30，3-25，3-12，3-13，3-14，3-27，3-20，3-19，3-28（1）（2） 3-26，3-22，3-9，3-3（1），3-16，3-23 注：题3-261λ2 应改为1 λ 2 补充题： #3*1 试证：向量长度的齐次性，即,,.n k k k C C ααα=?∈∈ #3*2 试证：在任意酉空间V 中成立广义商高定理： 2 2 2 ,&(,)0V αβαβαβ αβ∈=?+=+ #3*3令()()()1231,1,1,1,3,3,1,1,2,0,6,8T T T ααα==--=-。求12,3{,}Span ααα的一个标准正交基。 #3*4 试证下列矩阵是酉矩阵：（i ）0000 1?????? ? ?? ? （ii ）0i 000i i 00?? ? ? ?-??， #3*5 用归纳法证明下列结论：（i ） 对任意正整数n 成立1+3+5+……+（2n-1）=2 n .(ii)对任意正整数k 成立： 2 22 11k 1&(,)0,k i j k V i j αααααααα∈=?≠?+=+……………… #3*6 试证：A=001 0001i i i ?? ? - ? ?+?? ，(i =为正规矩阵。试问：A 是否为H 矩阵，反H 矩阵，或酉矩阵？为什么？ #3*7 试证：对正定矩阵A 存在正定矩阵S 使得k S A =，其中k 为任意正整数。 第四章 章末习题：4-1（1）（2）；4-2 （其中矩阵A 代之以101001?? ? ? ??? ） 补充题： #4*1 ***,,,,,m n m m n n A B C A UBV U U V U ∈=∈∈若则称 B 与A 酉等价。 试证：B 与A 酉等价当且仅当B 与A 有相同奇异值集。 #4*2 设***A ,,m n m m n n r C U U V U ∈∈∈使得* 1r 0,(,00U AV diag b Λ?? =Λ= ??? ……，b），
大战略矩阵 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
大战略矩阵 大战略矩阵(Grand Strategy Matrix) 目录 [] ? ? ? ? o o ? [] 大战略矩阵简介 这是由和两个坐标所组成一种模型，在市场增长率和企业竞争地位不同组合情况下，指导进行的一种指导性模型，它是由（A. A. Thompson. Jr.）与(A. J. Strickland)根据修改而成。 大战略矩阵（Grand Strategy Matrix）是一种常用的制定备选工具。它的优点是可以将各种的战略地位都置于大战略矩阵的四个战略象限中，并加以分析和选择。的各分部也可按此方式被。大战略矩阵基于两个评价数值：横轴代表竞争地位的强弱,纵轴代表增长程度。位于同一象限的企业可以采取很多战略，下图例举了适用于不同象限的多种战略选择，其中各战略是按其相对吸引力的大小而分列于各象限中的。
[] 位于不同象限的战略选择 位于大战略矩阵第一象限的处于极佳的战略地位。对这类公司，继续集中于当前的（和）和（）是适当的战略。第一象限公司大幅度偏离已建立的是不明智的。当第一象限公司拥有过剩资源时，、和可能是有效的战略。当第一象限公司过分偏重于某单一时，集中化多元经营战略可能会降低过于狭窄的所带来的风险。第一象限公司有利用众多领域中的外部机会，必要时它们可以冒险进取。 位于第二象限的公司需要认真地评价其当前的参与的方法。尽管其所在正在增长，但它们不能有效地进行竞争。这类公司需要分析企业当前的竞争方法为何无效，企业又应如何变革而提高其。由于第二象限公司处于高速增长，（与一体化或相反）通常是它们的首选战略。然而，如果企业缺乏独特的或，往往是理想的战略选择。为此，可考虑将战略次要地位的业务剥离或结业，可为公司提供其他企业或所需要的。 位于第三象限的公司处于产业增长缓慢和相对不足的双重劣势下。在确定产业正处于永久性衰退前沿的前提下,这类公司必须着手实施。首先应大幅度地减少或投入，另外可将资源从现有业务领域逐渐转向其他业务领域。最后便是以剥离或结业迅速撤离该产业。 位于第四象限的公司其产业增长缓慢,但却处于相对有利的竞争地位。这类公司有在有发展前景的领域中进行多元经营。这是因为第四象限公司具有较大的，并对资金的有限，有足够的能力和资源实施或。同时，这类公司应在原产业中求得与合作与妥协，或进行合资经营都是较好的选择。 [] 适用范围 该矩阵主要应用于下列两种情形： (1)在时； (2)当企业面临着业务的重大调整，在考虑是收缩还是扩张时。
奇瑞企业的大战略矩阵分析 大战略矩阵（GS）是一种战略匹配的重要工具，它以竞争地位和市场增长作为两个评价的数值，把整个矩阵分为四个象限，各类企业均可按照评价的数值来确定企业所处的象限，从而选择适合企业发展的战略。多元化企业可按照其主业在行业中的竞争优势和行业增长率来进行分析，如下图： 市场增长迅速 象限II 象限I 1.市场开发 1.市场开发 2.市场渗透 2.市场渗透 3.产品开发 3.产品开发 4.横向一体化 4.前向一体化 5.剥离 5.后向一体化 6.结业清算 6.横向一体化 7.集中化多元经营 弱竞争地位强竞争地位 象限III 象限IV 1.收缩 1.集中化多元经营 2.集中化多元经营 2.横向多元经营 3.横向多元经营 3.混合式多元经营 4.混合式多元经营 4.合资经营 5.剥离 6.结业清算 市场增长缓慢 运用大战略矩阵对企业的分析： 1.企业处于第I象限时，行业的市场增长非常迅速，竞争力也很强。此时企业更适合采用加强型的战略，如市场开发、市场渗透和产品开发等战略；如果企业的资源没有被充分利用，则可考虑进行后向、前向和横向一体化；如果企业的产品过于单一，也可以考虑进行集中多元化战略。 2.企业处于第II象限时，表明目前的市场增长迅速，但企业处于比较劣势的竞争地位，如果企业选择继续加强此业务的经营，则可以采取加强型的战略，如开发市场、市场渗透和产品开发；如果企业选择放弃此项业务，则可采取剥离和结业清算的战略。 3．企业处于第III象限，则表明企业在增长缓慢的产业竞争中处于不利的竞争地位，企业必须脱离此项业务以避免损失的进一步恶化，可考虑的战略有收缩战略、集中多元化战略、横向多元化战略、剥离和结业清算战略。 4.企业处于第IV象限，则表明企业处于强势竞争地位，但主业所处的行业增长缓慢，企业可考虑采取集中多元化战略、横向多元化战略、混合式多元化战略和合资战略等。 下面我们先对汽车企业的发展前景进行分析：
定量战略计划矩阵 定量战略计划矩阵(Quantitative Strategic Planning Matrix,QSPM矩阵) [编辑] 定量战略计划矩阵简介 定量战略计划矩阵（QSPM矩阵）是战略决策阶段的重要分析工具。该分析工具能够客观地指出哪一种战略是最佳的。QSPM利用第一阶段和第二阶段的分析结果来进行战略评价。 QSPM的分析原理是这样的：将第二阶段制定的各种战略分别评分，评分是根据各战略是否能使企业更充分利用外部机会和内部优势，尽量避免外部威胁和减少内部弱点四个方面，通过专家小组讨论的形式得出。得分的高低反映战略的最优程度。也就是说，QSPM的输入信息正是第一阶段的因素评价结果（由EFE矩阵、IFE矩阵、竞争态势矩阵分析得出）和第二阶段的备选战略（由SWOT矩阵、SPACE矩阵、BCG矩阵、IE矩阵和大战略矩阵分析得出），QSPM的结果反映战略的最优程度。 虽然QSPM是基于事先确认的外部及内部因素来客观评价备选战略的工具，然而，良好的直觉判断对QSPM仍然是必要且极为重要的。 QSPM矩阵的格式如下表所示。QSPM顶部一行包括了从SWOT矩阵、SPACE矩阵、BCG矩阵、IE矩阵和大战略矩阵中得出的备选战略。这些匹配工具通常会产生类似的可行战略。需注意的是，并不是说匹配技术所建议的每种战略都要在QSPM中予以评价，战略分析者必须运用良好的直觉对行业的丰富经验剔除一些明显不可行的战略选择，只将最具吸引力的战略列入QSPM矩阵。QSPM的左边一列为关键的外部和内部因素（来自第一阶段），顶部一行为可行
的备选战略（来自第二阶段）。具体地说，QSPM的左栏包括了从EFE矩阵和IFE矩阵直接得到的信息。在紧靠关键因素的一列中，将标出各因素在EFE矩阵和IFE矩阵中所得到的权数。在QSPM矩阵中一个重要的概念是战略的最优程度。它是根据各战略对外部和内部因素的利用和改进程度而确定的。QSPM中包括的备选战略的数量和战略组合的数量均不限，分析的结果并不是非此即彼的战略取舍，而是一张按重要性和最优程度排序的战略清单 [编辑] 实例分析 如下图表所示的QSPM矩阵中，两种备选战略：在欧洲建立合资企业和在亚洲建立合资企业——正在被一家商品公司所考虑
《药物分析》供药学(医药营销)专业用课程教学大纲一、基本信息 课程编号：10201100630 课程名称：药物分析 英文名称：Pharmaceutical analysis 课程性质：必修课 总学时：56 学分：3.5 理论学时：48 实验学时： 8 实践学时：0 指导自学学时：4 适用专业：药学(医药营销)专业适用层次：本科 先修课程：基础化学 承担院部：药学院学科组：药物分析教研室
二、课程介绍 （一）课程目标及地位 课程概述包括如下内容： 1．该课程设置的主要目的（依据就业岗位需要阐述）； 根据药学（医药营销）专业人才培养方案的要求，本专业学生在从事医药营销的工作中应该掌握的药学及相关专业、医学及相关专业、市场营销的基本理论、基本知识和基本业务技能。熟悉党和国家有关医药市场营销及医药生产和流通过程中的方针、政策和法规； 掌握药学基本知识、医学基本知识、医药市场营销学基础知识和医药商品推销学、广告学等方面的专业知识。学习本门课程就是使学生具备在今后工作中分析和处理药品生产、药品经营中涉及质量保证（控制）相关问题的基本理论、基本知识、基本业务实践操作能力和具备与药品监管机构相互沟通的专业知识。 2．该课程在整个专业课程体系中的地位； 药学（医药营销）专业的主干学科由药学、化学和工商管理所组成。其中《药物分析》课程为药学学科的核心课程。是分析化学中的一个重要分支，也是整个药学科学领域中一个重要的组成部分。 3．该课程在专业学习目标中的作用以及该课程与前后课程的联系。 《药物分析》课程基于药学（医药营销）专业学生已掌握的《基础化学（有机、无机、分析）》、《实验化学》、《生物化学》的知识，通过系统讲授药典中常见分析方法及典型药物的分析过程，使学生熟悉药物分析学中所包含的药品生物检测技术如何实际应用于制剂分析、中药分析以及体内药物分析之中，以及药物分析学中质量控制理念如何应用于GMP、GSP、GAP、GCP、GLP管理中的质量保证过程。使学生具备强烈的药品质量观念。 在经过了本门课程的学习之后，本专业学生在进行《医药市场营销学》、《医药商品推销学》、《医药商品学》、《医药供应链管理》、《市场调研与预测》等课程的学习过程中具备不同于一般营销专业学生的药品质量意识。这是培养本专业学生医药市场营销思维能力、医药市场分析能力等医药营销核心能力的基础。 （二）教学基本要求 课程教学所需达到的要求以及学生通过本门课程的学习，所要达到的知识和能力水平。通过该课程的学习，学生应达到的知识水平和应具备的能力，从课程的角度进行总括性描述，分思想道德与职业素质目标、知识目标与技能目标撰写。 撰写说明： 1.思想道德与职业素质目标 本专业奉行“双惟”培养理念，弘扬“惟学、惟人、求强、求精”校训精神。培养德、智、体、美、劳全面发展的，适应社会进步和医药事业发展需要，为地方经济发展和社会全面进步服务，具有良好的人文、科学和职业素养，具备创新能力、实践能力、独立分析问题解决问题的能力、开拓能力，高尚的职业道德，能在医药生产企业、医药工商企业、医药政府等部门从事药学、医药市场生产、经营与管理等方面工作，是具有市场竞争力的高级医药市场营销人才。 2.知识目标
大战略矩阵(Grand Strategy Matrix) 大战略矩阵（Grand Strategy Matrix）是一种常用的制定备选战略工具。它的优点是可以将各种企业的战略地位都置于大战略矩阵的四个战略象限中，并加以分析和选择。公司的各分部也可按此方式被定位。大战略矩阵基于两个评价数值：横轴代表竞争地位的强弱,纵轴代表市场增长程度。位于同一象限的企业可以采取很多战略，下图例举了适用于不同象限的多种战略选择，其中各战略是按其相对吸引力的大小而分列于各象限中的。 位于不同象限的战略选择 位于大战略矩阵第一象限的公司处于极佳的战略地位。对这类公司，继续集中经营于当前的市场（市场渗透和市场开发）和产品（产品开发）是适当的战略。第一象限公司大幅度偏离已建立的竞争优势是不明智的。当第一象限公司拥有过剩资源时，后向、前向和横向一体化可能是有效的战略。当第一象限公司过分偏重于某单一产品时，集中化多元经营战略可能会降低过于狭窄的产品线所带来的风险。第一象限公司有能力利用众多领域中的外部机会，必要时它们可以冒险进取。 位于第二象限的公司需要认真地评价其当前的参与市场竞争的方法。尽管其所在产业正在增长，但它们不能有效地进行竞争。这类公司需要分析企业当前的竞争方法为何无效，企业又应如何变革而提高其竞争能力。由于第二象限公司处于高速增长产业，加强型战略（与一体化或多元化经营战略相反）通常是它们的首选战略。然而，如果企业缺乏独特的生产能力或竞争优势，横向一体化往往是理想的战略选择。为此，
可考虑将战略次要地位的业务剥离或结业清算，剥离可为公司提供收购其他企业或买回股票所需要的资金。 位于第三象限的公司处于产业增长缓慢和相对竞争能力不足的双重劣势下。在确定产业正处于永久性衰退前沿的前提下,这类公司必须着手实施收割战略。首先应大幅度地减少成本或投入，另外可将资源从现有业务领域逐渐转向其他业务领域。最后便是以剥离或结业清算战略迅速撤离该产业。 位于第四象限的公司其产业增长缓慢,但却处于相对有利的竞争地位。这类公司有能力在有发展前景的领域中进行多元经营。这是因为第四象限公司具有较大的现金流量，并对资金的需求有限，有足够的能力和资源实施集中多元化或混合式多元化战略。同时，这类公司应在原产业中求得与竞争对手合作与妥协，横向合并或进行合资经营都是较好的选择。