电磁感应中的双导轨问题
等间距导轨
一、无外力F作用
1.如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，它们与两金属导轨组成闭合回路．已知两根导体棒的质量均为m，导体棒ab在导轨之间的电阻为2R，导体棒cd在导轨之间的电阻为R，导轨光滑且电阻可忽略不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B．开始时，导体棒cd静止，导体棒ab具有水平向右的初速度v0，此后的运动过程中，两导体始终与金属导轨垂直且接触良好．求：
（1）闭合回路中电流的最大值；
（2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热；
（3）当导体棒ab的速度大小变为v0时，导体棒ab发热的功率及其加速度大小。
【分析】当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，根据闭合电路欧姆定律列式求解即可；随着右边棒速度增加，必然有安培力的产生，右边棒收到的安培力向左做减速运动，左边棒受到的安培
力向右做加速运动，随着速度减少，两棒的加速度也在减少，当二
者速度一样时候，回路的电动势为零，没有电流也就没有安培力，
两个棒稳定运动，
解：（1）当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，
最大电动势为E m＝BLv0
由闭合电路欧姆定律得：
最大电流为：
（2）运动过程中，两导体棒沿水平方向不受外力，动量守恒
设共同速度为v，则：mv0＝2mv
解得：
整个过程中两导体棒组成系统损失的动能全部转化为焦耳热，根据能量守恒定律得：
（3）设ab棒的速度变为时，cd棒的速度为v'，则由动量守恒可得：
解得
注意：由于两个棒都在切割产生感应电动势，方向相冲，所以产生的感应电动势要相减。此时回路中的电动势为
此时回路中的电流为
导体棒的发热功率为：
此时ab棒所受的安培力为
由牛顿第二定律可得，ab棒的加速度为：
答：（1）闭合回路中电流的最大值为；
（2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热为；
（3）当导体棒ab的速度大小变为v0时，导体棒ab发热的功率为，其加速
度大小为
2. 如图所示，平行金属导轨MN 、M ′N ′和平行金属导轨PQR 、P ′Q ′R ′固定在高度差为h(数值未知)的两水平台面上。导轨MN 、M ′N ′左端接有电源，MN 与M ′N ′的间距为L ＝0.10 m ，线框空间存在竖直向上的匀强磁场、磁感应强度B1＝0.20 T ；平行导轨PQR 与P ′Q ′R ′的间距为L ＝0.10 m ，其中PQ 与P ′Q ′是圆心角为60°、半径为r ＝0.50 m 的圆弧形导轨，QR 与Q ′R ′是水平长直导轨，QQ ′右侧有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B2＝0.40 T 。导体棒a 质量m1＝0.02 kg ，接在电路中的电阻R1＝2.0 Ω，放置在导轨MN 、M ′N ′右侧N ′N 边缘处；导体棒b 质量m2＝0.04 kg ，接在电路中的电阻R2＝4.0 Ω，放置在水平导轨某处。闭合开关K 后，导体棒a 从NN ′水平抛出，恰能无碰撞地从PP ′处以速度v1＝2 m/s 滑入平行导轨，且始终没有与棒b 相碰。重力加速度g ＝10 m/s2，不计一切摩擦及空气阻力。求：
(1)导体棒b 的最大加速度；
(2)导体棒a 在QQ ′右侧磁场中产生的焦耳热；
(3)闭合开关K 后，通过电源的电荷量q 。
(1)设a 棒滑到水平导轨上时的速度大小为v2，则从PP ′到QQ ′，由动能定理得
m1g(r －rcos 60°)＝12m1v22－12
m1v21 解得v2＝3 m/s
因为a 棒刚进磁场时，a 、b 棒中的电流最大，b 棒受力最大，加速度最大，所以E ＝B2Lv2＝0.12 V
I ＝E R1＋R2
＝0.02 A
由牛顿第二定律有B2IL ＝m2amax
则导体棒b 的最大加速度amax ＝0.02 m/s2
(2)两个导体棒在运动过程中，动量守恒且能量守恒，当两棒的速度相等时回路中的电流为零，此后两棒做匀速运动，两棒不再产生焦耳热。所以
由动量守恒定律有m1v2＝(m1＋m2)v3
设a 棒在此过程中产生的焦耳热为Qa ，b 棒产生的焦耳热为Qb
由能量守恒定律有12m1v22＝12
(m1＋m2)v23＋Qa ＋Qb 由于a 、b 棒串联在一起，所以有Qa Qb ＝R1R2
Qa ＝0.02 J
(3)设闭合开关后，a 棒以速度v0水平抛出，则有
v0＝v1cos 60°＝1 m/s
对a 棒冲出过程由动量定理得
∑B1IL Δt ＝m1v0即B1Lq ＝m1v0
q ＝1 C
二、水平导轨，有外力作用（安培力除外，）
两根足够长的平行金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B ＝0.50T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可不计。导轨间的距离ι＝0.20m 。两根质量均为m ＝0.10kg 的平行杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻均为R ＝0.50Ω，在t ＝0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为0.20N 的力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t ＝5.0s ，金属杆甲的加速度a ＝
1.37m/s 2
，问此时两金属杆的速度各为多少？
【分析】两杆同向运动，回路中的总电动势等于它们产生的感应电动势之差，即与它们速度之差有关，对甲杆由牛顿第二定律列式，对两杆分别运用动量定理列式，即可求解。
解：设时刻t两金属杆甲、乙的速度分别为v1和v2。
回路中的感应电动势E＝BLv1﹣BLv2＝BL（v1﹣v2）
回路中的电流
对杆甲，由牛顿第二定律得：F﹣BLi＝ma
由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量（t＝0时为0）等于外力F的冲量
由动量定理得：Ft＝mv1+mv2
联立以上各式解得t，t
代入数据得v1＝8.15m/s，v2＝1.85m/s。
结论：两个棒，一个做加速度减少的加速运动，一个加速度逐渐增大。直到二者加
速度一样，两个棒的速度差恒定，产生的感应电动势恒定，使得各棒的合外力恒定，这样才能稳定的运动下去。
对应的速度时间图像如下：
三、斜面上
如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻，导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并接触良好，斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直斜面向上的磁场，磁感应强度大小为B0．已知b棒的质量为m，a 棒、b棒和定值电阻的阻值均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g．
（1）断开开关S，a棒、b棒固定在磁场中，恰与导轨构成一个边长为L的正方形，磁场从B0以＝k均匀增加，写出a棒所受安培力F安随时间t变化的表达式．
（2）若接通开关S，同时对a棒施以平行导轨斜向上的拉力F，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒恰好静止，当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力F，a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b棒已滑离导轨，当a棒再次滑回到磁场上边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动，求a棒质量m a及拉力F 的大小．
【分析】（1）由法拉第电磁感应定律求解感应电动势，根据闭合电路的欧姆定律电路的电流，根据安培力计算公式来解答；
（2）弄清楚电路连接情况，根据欧姆定律得干路电流，b棒保持静止时根据共点力平衡条件列方程，分析a棒的运动情况，根据机械能守恒定律得到a棒返回磁场时速度，a棒匀速下滑时，根据共点力的平衡条件求解a棒的质量；a棒向上运动时受力平衡，由此求解拉力大小．
【解答】解：（1）由法拉第电磁感应定律可得：E＝，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I＝，
t时刻磁感应强度为：B＝B0+kt，
此时棒所受的安培力为：F安＝BIL，
解得：F安＝
（2）根据题意可知，a棒沿斜面上运动时，a棒为电源，b棒和电阻R并联，通过a棒的电流为I1，
由并联电路关系可得：I1＝I b+I R
b棒和电阻R阻值相等，则通过b棒的电流为：I b＝，
电路的总电阻为：R 总＝，
由欧姆定律得干路电流为：I 1＝
，
感应电动势为：E ＝BLv ， b 棒保持静止，则有：mgsin θ＝BI b L ，
a 棒离开磁场后撤去拉力F ，在a 棒进入磁场前机械能守恒，返回磁场时速度还是v ，此时a 棒和电阻R 串联，则电路中的电流为：
a 棒匀速下滑，则有：m a gsin θ＝BI 2L ，
联立以上各式，解得：m a ＝，
a 棒向上运动时受力平衡，则有：F ＝m a gsin θ+BI a L ，
解得：F ＝．
答：（1）a 棒所受安培力F 安随时间t 变化的表达式为F 安＝；
（2）a 棒质量为
，拉力F 的大小为．
四、 竖直方向
如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直于导轨向里的匀强磁场中，两根质量相同的金属棒A 和B 与导轨紧密接触且可自由滑动．先固定A ，释放B ，当B 的速度达到10m/s 时，再释放A ，经1s 时间A 棒速度达到12m/s ，（g 取10m/s 2
）则：（ ）
A ．当v A ＝12m/s 时，v
B ＝18m/s
B ．当v A ＝12m/s 时，v B ＝22m/s
C ．若导轨很长，它们最终速度必相同
D ．它们最终速度不相同，但速度差恒定
【解答】解：AB、由于释放A，经1s时间A棒速度达到12m/s，根据动量定理可得mgt+F
t＝mv A﹣0，对B根据动量定理可得：mgt﹣F安t＝mv B﹣mv B0，联立解得：v B＝18m/s，安
故A正确、B错误；
CD、开始一段时间内，A棒的加速度大于B棒的加速度，二者的速度之差逐渐减小，安培力逐渐减小；若导轨很长，最终通过二者的感应电流必将为零，它们最终速度必相同，
如图所示：
故C正确、D错误；
故选：AC。
不等间距导轨
如图所示，间距不等的光滑导轨水平放置，上面垂直放置两根质量相等、电阻相等的金属导体棒，导轨的宽度L MN＞L PQ，且都处在磁感应强度竖直向上的匀强磁场中，导轨足够长，金属棒MN以某一初速度向右运动，则两根金属棒运动的v﹣t图象大致是（）
A．B．
C．D．
分析金属棒MN以某一初速度向右运动，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，该感应电流通过PQ，PQ受到向右的安培力而向右加速，也产生感应电动势，回路中总的感应电动势减小，感应电流减小，两棒所受的安培力减小，当回路中感应电流为零时，两棒做匀速运动．根据它们的受力情况分析其运动情况．
解答】解：金属棒MN向右运动时，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，该感应电流通过PQ，PQ受到向右的安培力而向右加速，也产生感应电动势，回路中总的感应电动势减小，感应电流减小，两棒所受的安培力减小，所以MN做加速度减小的减速运动，PQ做加速度减小的加速运动，当回路中感应电流为零时，两棒做匀速运动，此时两棒产生的感应电动势大小相等，方向相反
则有：BL MN v MN＝BL PQ v PQ，由于L MN＞L PQ，所以匀速运动时，v MN＜v PQ，故A正确，BCD错误。
如图所示，水平面上固定着不等间距的两段平行直导轨，处于磁感应强度大小为B的竖直向下的匀强磁场中，粗糙导轨PQ、P'Q'的宽度为L，光滑导轨MN、M'N'无限长，其宽度为2L，导轨电阻均不计金属棒ab、cd垂直放置于两段导轨上与导轨接触良好，均可自由滑动，其质量分别为m和2m，二者接入电路的电阻分别为R和2R，一根轻质细线绕过定滑轮（定滑轮用绝缘材料固定在轨道平面内，滑轮质量和摩擦不计），一端系在金属棒ab的中点上，另一端悬挂一物块W，W的质量着M，此时金属棒ab恰好不滑动。现用水平向右的恒定拉F使金属棒cd由静止开始向右运动，当cd达到最大速度时金属棒ab即将滑动，已知重力加速度g求：
（1）金属棒cd的最大速度v m
（2）恒定拉力F的大小
（3）若在金属棒cd达到最大速度时立即撤去拉力F，试计算出金属棒cd继续运动的位移S
（4）若金属棒cd从静止开始运动到达到最大速度所用时间为t，则金属棒ab从棒cd开始运动到静止共产生了多少焦耳热？
【分析】（1）当cd棒达到最大速度v m时，ab棒恰好未发生相对滑动，对ab棒根据平衡条件求解；
（2）当cd棒达到最大速度v m时，此时cd受力平衡，根据平衡条件求解；
（3）金属棒cd达到最大速度时立即撤去拉力F，直到停止，对cd棒根据动量定理结合电荷量的计算公式求解；
（4）导体棒cd加速过程中，对cd棒根据动量定理结合电荷量的计算公式求解位移，对cd棒全过程根据动能定理求解产生的焦耳热。
【解答】解：（1）当cd棒达到最大速度v m时，ab棒恰好未发生相对滑动，对ab棒受力分析可得：
BIL＝Mg+f m
cd受拉力F作用前，根据平衡条件可得：Mg＝f m
解得：I＝
对cd棒：E m＝2BLv m，I＝
解得：v m＝；
（2）当cd棒达到最大速度v m时，此时cd受力平衡，则外力F＝2BIL
又BIL＝2Mg
故F＝4Mg；
（3）金属棒cd达到最大速度时立即撤去拉力F，直到停止，对cd棒根据动量定理可得：﹣2B Lt1＝﹣2mv m
又q1＝t1＝＝
联立解得cd棒继续运动的位移S＝
（4）导体棒cd加速过程中，对cd棒根据动量定理可得：Ft﹣2B Lt＝2mv m
q2＝t＝
联立解得cd棒加速过程的位移S1＝
设cd棒克服安培力做的功为W A，对cd棒全过程根据动能定理可得：FS1﹣W A＝0
设系统产生的焦耳热为Q，根据能量守恒定律可得：Q＝W A
解得：Q＝
cd棒上产生的焦耳热Q cd＝Q＝。
答：（1）金属棒cd的最大速度为；
（2）恒定拉力F的大小为4Mg；
（3）若在金属棒cd达到最大速度时立即撤去拉力F，试计算出金属棒cd继续运动的位移为；
（4）若金属棒cd从静止开始运动到达到最大速度所用时间为t，则金属棒ab从棒cd开始运动到静止共产生了焦耳热
总结：1.双导轨问题的平衡状态一定是整个回路中电流为零，就要求两个导轨上切割产生的电动势为零。
2.求解回路产生的电荷有两种办法：（1）q＝I×Δt＝E
2R×Δt＝
ΔΦ
2RΔt·Δt＝
BLx
2R，每
个棒都有电阻R，这个办法要求明确知道位移。（2）需要知道初末状态的速度，利用冲量定理配合微元法求解∑B1ILΔt＝m1v0即B1Lq＝m1v0
电磁感应中“单杆、双杆、线圈”问题归类例析 余姚八中陈新生 导体杆在磁场中运动切割磁感线产生电磁感应现象，是历年高考的一个热点问题。因此在高三复习阶段有必要对此类问题进行归类总结，使学生更好的掌握、理解它的内涵。通过研究各种题目，可以分类为“单杆、双杆、线圈”三类电磁感应的问题，最后要探讨的问题不外乎以下几种： 1、运动状态分析：稳定运动状态的性质（可能为静止、匀速运动、匀加速运动）、求出稳定状态下的速度或加速度、感应电流或安培力。 2、运动过程分析：分析运动过程中发生的位移或相对位移，运动时间、某状态的速度等 3、能量转化分析：分析运动过程中各力做功和能量转化的问题：如产生的电热、摩擦力做功等 4、求通过回路的电量 解题的方法、思路通常是首先进行受力分析和运动过程分析。然后运用动量守恒或动量定理以及能量守恒建立方程。按照不同的情景模型，现举例分析。 一、“单杆”切割磁感线型 1、杆与电阻连接组成回路 例1、如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感强 度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一 阻值为R的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R／2的金属导线ab 垂直导轨放置 （1）若在外力作用下以速度v向右匀速滑动，试求ab两点间的电势 差。 （2）若无外力作用，以初速度v向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab电量以及ab发生的位移x。 例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m， 上、下两端各有一个电阻R0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框 架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B ＝2T.ab为金属杆，其长度为L＝0.4 m，质量m＝0.8 kg，电阻r＝ 0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度 达到最大的过程中，上端电阻R0产生的热量Q0＝0.375J(已知 sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／s2)求： (1)杆ab的最大速度； (2)从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab的电荷量. 2、杆与电容器连接组成回路 例3、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个 电容器, 电容为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m的金 属棒ab可紧贴导轨自由滑动.现让ab由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考 虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度 为多大？ 例4、光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初 速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒
电磁感应中的双杆运动问题 江苏省特级教师 戴儒京 有关“电磁感应”问题，是物理的综合题，是高考的重点、热点和难点，往往为物理卷的压轴题。电磁感应中的“轨道”问题，较多见诸杂志，而电磁感应中的“双杆运动”问题的专门研究文章，在物理教学研究类杂志还很咸见，兹举例说明如下。 例1.2006年高考重庆卷第21题 21.两根相距为L 的足够长的金属直角导轨如题21图所示放 置，它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。质 量均为m 的金属细杆ab 、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路， 杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总 电阻为2R 。整个装置处于磁感应强度大小为B ,方向竖直向 上的匀强磁场中。当ab 杆在平行于水平导轨的拉力F 作用 下以速度V 1沿导轨匀速运动时，cd 杆也正好以速度V 2向下 匀速运动。重力加速度为g 。以下说法正确的是 A.ab 杆所受拉力F 的大小为μmg +R V L B 2122 B.cd 杆所受摩擦力为零 C.回路中的电流强度为R V V BL 2)(21+ D.μ与V 1大小的关系为μ= 1222V L B Rmg 【解析】因4个选项提出的问题皆不同，要逐一选项判断 A ． 因为ab 杆做匀速运动，所以受力平衡，有安F f F +=，其中mg f μ=, BIL F =安,R E I 2=, 1BLV E =, 所以R BLV I 21=, 所以F=μmg +R V L B 2122,A 正确； B ． 因为cd 杆在竖直方向做匀速运动，受力平衡，所以cd 杆受摩擦力大小为mg f =， 或者，因为cd 杆所受安培力作为对轨道的压力，所以cd 杆受摩擦力大小为 R V L B f 2122μ=,总之，B 错误； C ． 因为只有ab 杆产生动生电动势（cd 杆运动不切割磁感线），所以回路中的电流强度为 R BLV I 21=，C 错误； D ． 根据B 中mg f =和R V L B f 2122μ=，得μ=1 222V L B Rmg ，所以D 正确。
辅导23：电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)解题技巧 电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下： 类型一：单杆+电阻+导轨模型类 【初建模型】 【例题1】(2017·模拟)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求： (1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。 【思路点拨】： 【答案】：(1)g sin θ，方向沿导轨平面向下；2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下；(2)12 mgx sin θ －m 3g 2R 2sin 2θ B 4L 4 【解析】：(1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ，则杆产生的感应电动势E ＝BLv 回路中的感应电流I ＝ E R ＋R 杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有mg sin θ－B 2L 2v 2R ＝ma 当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝ 2mgR sin θ B 2L 2 ，方向沿导轨平面向下。 (2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋1 2 mv m 2
电磁感应中的“双杆问题”（10-12-29） 命题人：杨立山 审题人：刘海宝 学生姓名： 学号： 习题评价 （难、较难、适中、简单） 教学目标： 综合应用电磁感应等电学知识解决力、电综合问题； 学习重点：力、电综合的“双杆问题”问题解法 学习难点：电磁感应等电学知识和力学知识的综合应用，主要有 1．利用能的转化和守恒定律及功能关系研究电磁感应过程中的能量转化问题 2．应用动量定理、动量守恒定律解决导体切割磁感线的运动问题。 重点知识及方法点拨： 1．“双杆”向相反方向做匀速运动 当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。 2．“双杆”中两杆都做同方向上的加速运动。 “双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。 3．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。 “双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。 4感应电流通过直导线时，直导线在磁场中要受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的大小为F=BLI 。在时间△t 内安培力的冲量R BL BLq t BLI t F ?Φ ==?=?，式中q 是通过导体截面的电量。利用该公式解答问题十分简便。 电磁感应中“双杆问题”是学科内部综合的问题，涉及到电磁感应、安培力、牛顿运动定律和动量定理、动量守恒定律及能量守恒定律等。
练习题 1．如图所示，光滑平行导轨仅其水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，金属杆b 静止在导轨的水平部分上，金属杆a 沿导轨的弧形部分从离地h 处由静止开始下滑，运动中两杆始终与轨道垂直并接触良好且它们之间未发生碰撞，已知a 杆的质量m a =m 0，b 杆的质量m b = 3 4 m 0，且水平导轨足够长，求： (1)a 和b 的最终速度分别是多大？ (2)整个过程中回路释放的电能是多少？ (3)若已知a 、b 杆的电阻之比R a :R b =3:4，其余电阻不计，则整个过程中a 、b 上产生的热量分别是多少？ 2．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L 。导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0．若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少． （2）当ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的加速度是多少？ 3．如图所示，光滑导轨EF 、GH 等高平行放置，EG 间宽度为FH 间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab 、cd 是质量均为m 的金属棒，现让ab 从离水平轨
电磁感应双导轨问题 1、两根足够长的平行金属导轨，固定在同一水平面上，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离L=0.2m 。磁感强度B=0.50T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直。两根质量均为m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两根金属杆并排靠在一起，且都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为0.20N 的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s ，金属杆甲的加速度为1.37m/s 2，问此时甲、乙两金属杆速度v 1、v 2及它们之间的距离是多少？ R v v l B F 2)(2122-=安 ① ma F F =-安 ② 21mv mv Ft += ③ 由①②③三式解得：s m v s m v /85.1,/15.821== 对乙：2mv t HB =? ④ 得C Q mv QIB 85.12 == 又R BlS R Q 22相对=?=φ ⑤ 得m S 5.18=相对 2、如图，水平平面内固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间的距离为2L ，右边两导轨间的距离为L ，左右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场。ab 、cd 两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab 棒的质量为2m ，电阻为2r ，cd 棒的质量为m ，电阻为r ，其它部分电阻不计。原来两棒均处于静止状态，cd 棒在沿导轨向右的水平恒力F 作用下开始运动，设两导轨足够长，两棒都不会滑出各自的轨道。 ⑴试分析两棒最终达到何种稳定状态？此状态下两棒的加速度各多大？ ⑵在达到稳定状态时ab 棒产生的热功率多大？ 解：⑴cd 棒由静止开始向右运动，产生如图所示的感应电流，设感应电流大小为I ，cd 和ab 棒分别受到的安培力为F 1、F 2，速度分别为v 1、v 2,加速度分别为a 1、a 2,则
电磁感应双杆问题（排除动量畴） 1.导轨间距相等 例3. （04）如图所示，在水平面上有两条平行导电导轨MN 、PQ ，导轨间距离为l 。匀强磁场垂直于导轨所在平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B 。两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为1m 、2m 和1R 、2R ，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ。已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度0υ沿导轨运动，达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略。求此时杆2克服摩擦力做功的功率。 解法1：设杆2的运动速度为v ，由于两杆运动时，两 杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感 应电动势 )(0v v Bl E -= ① 感应电流 2 1R R E I += ② 杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，g m BlI 2μ= ③ 导体杆2克服摩擦力做功的功率 gv m P 2μ= ④ 解得 )]([212 2202R R l B g m v g m P +- =μμ ⑤ 解法2：以F 表示拖动杆1的外力，以I 表示由杆1、杆2和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，对杆1有 01=--BIl g m F μ ① 对杆2有 02=-g m BIl μ ② 外力F 的功率 0Fv P F = ③ 以P 表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有01212)(gv m R R I P P F μ-+-= ④ 由以上各式得 )]([212 202R R l B g m v g m P g +- =μμ ⑤ 2. 导轨间距不等 例4. （04全国）如图所示中1111d c b a 和2222d c b a 为在同一竖直平面的金属导轨，处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里。导轨的11b a 段与22b a 段是竖直的，距离为1l ；11d c 段与22d c 段也是竖直的，距离为2l 。11y x 和22y x 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为1m 和2m ，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R 。F 为作用于金属杆11y x 上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路上的热功率。 解：设金属杆向上运动的速度为υ，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小υ)(21l l B E -= 回路中的电流R E I = 方向沿着顺时针方向 两金属杆都要受到安培力的作用，作用于杆11y x 的安培力为11BIL f =，方向向上；作用于杆22y x 的安培力为22BIL f =，方向向下。当金属杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有 0f f g m g m F 2121=-+-- 2 1 0v
动态分析 导体棒与导轨问题1、一根导体棒在导轨上滑动（单导体问题） 棒ab长为L，质量为m,电阻为R, 棒ab 长为L，质量为m，电阻为R， 导轨光滑，电阻不计。导轨光滑，电阻不计。 开关闭合后，棒ab受安培力F=BLE/R，此时，a=BLE/mR,棒ab的速度增加一感应电动势BLv增加一安培力F=BIL减小一加速度a减小，当安培力F=0（a=0）时，v最大棒ab释放后下滑，此时a=gsin a 棒ab的速度v增加一一感应电动势E=BLv增加 ――感应电流增加一一安培力F增加一一加速度a减小，当安培力F=mgsin a时，v 最大。 2、两根导体棒在导轨上滑动（双导体问题） 初速度不为零, 不受其他水平外力作用 N Q N t / Q 1 尸V0 / 示M / /M M / P P 意 图质量=m i=m2 电阻=门=「2 质量=m i=m2 电阻=r i=r2 长度=L i=L2 长度=L i=L2 分杆MN做边减速运动，杆PQ做变稳疋时，两杆的加速度为零，两杆的速度 析加速运动，稳定时，两杆的加速度之比为i: 2 为零，以相等的速度匀速运动。 初速度为零，受其他水平外力的作用 \ 1;1 * 1N 电一动一电”型动一电一动”型
动一电一动”型 1 . （2007山东济南）如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为 m 的 金属棒ab.导轨地一端连接电阻 R ，其他电阻均不计，磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直 I 齐 科匕科 于导轨平面向下，金属棒 ab 在一水平恒力F 作用下由静止起向右运动.贝则（卑*弓焉宦T A .随着ab 运动速度的增大，其加速度也增大 B .外力F 对ab 做的功等于电路中产生的电能 C .当ab 做匀速运动时，外力 F 做功的功率等于电路中的电功率 D ?无论ab 做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能 2、如图所示，有两根和水平方向成 角的光滑平行的金属轨道，上端 接有可变电阻 R ,下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场， 磁感强 度为B , —根质量为 m 的金属杆从轨道上由静止滑下?经过足够长的时间 后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度 V m ,则（） A .如果B 增大，v m 将变大 B .如果 变大，V m 将变大 C .如果R 变大，v m 将变大 D .如果m 变小，v m 将变大 3. 如图所示，一光滑平行金属轨道平面与 水平面成 角，两导轨上端用一电阻 R 相连，该装置处于匀强磁场中， 磁场方向垂直轨道平面向上。 质量为m 的金属杆ab ,以初 速度V 0从轨道底端向上滑行，滑行到某一高度 h 后又返回 到底端。若运动过程中，金属杆保持与导轨垂直且接触良 好，并不计 质量=m i =m 2 电阻=r i =r 2 长度=L I =L 2 摩擦力f i =f 2, 电阻=r i =r 2 质量=m i =m 2 长度=L I =L 2 开始时，两杆做变加速运动；稳定时, 两杆以相同的加速度做匀变速直线运 动。 稳定时，若FW 2,则PQ 先变加速后匀 速运动；若F>2f ,则PQ 先变加速，之 后两杆匀加速运动。 F M P * Q r Q F P
电磁感应双杆模型 学生姓名：年级：老师： 上课日期：时间：课次： 电磁感应动力学分析 1．受力情况、运动情况的动态分析及思考路线 导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力→合力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→…周而复始地循环，直至最终达到稳定状态，此时加速度为零，而导体通过加速达到最大速度做匀速直线运动或通过减速达到稳定速度做匀速直线运动． 2．解决此类问题的基本思路 解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”． (1)“源”的分析——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r； (2)“路”的分析——分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相关部分的电流大小，以便求解安培力； (3)“力”的分析——分析研究对象(常是金属杆、导体线圈等)的受力情况，尤其注意其所受的安培力； (4)“运动”状态的分析——根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型． 3．两种状态处理 (1)导体处于平衡态——静止状态或匀速直线运动状态． 处理方法：根据平衡条件(合外力等于零)，列式分析． (2)导体处于非平衡态——加速度不为零． 处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析． 4．电磁感应中的动力学临界问题 (1)解决这类问题的关键是通过运动状态的分析寻找过程中的临界状态，如由速度、加速度求最大值或最小值的条件． (2)基本思路 注意当导体切割磁感线运动存在临界条件时： (1)若导体初速度等于临界速度，导体匀速切割磁感线； (2)若导体初速度大于临界速度，导体先减速，后匀速运动； (3)若导体初速度小于临界速度，导体先加速，后匀速运动． 1、【平行等间距无水平外力】如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为
电磁感应中“滑轨”问题归类例析 一、“单杆”滑切割磁感线型 1、杆与电阻连接组成回路 例1、如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值 为R的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R／2的金属 导线ab垂直导轨放置 （1）若在外力作用下以速度v向右匀速滑动，试求ab两点间的电势差。 （2）若无外力作用，以初速度v向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab电量以及ab发生的位移x。 例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L= m，上、下两端各有一个电阻R0＝1 Ω，框架的其他部分 电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的 匀强磁场，磁感应强度B＝为金属杆，其长度为L＝ m，质量m＝ kg，电阻r＝Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R0产生的热量Q0＝(已知sin37°＝，cos37°=；g取10m／s2)求： (1)杆ab的最大速度； (2)从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab的电荷量.关键：在于能量观，通过做功求位移。
2、杆与电容器连接组成回路 例3、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距L , 导轨一 端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应 强度为B, 质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动. 现让ab 从高h处由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用.求金属棒下落的时间问金属棒的做什么运动棒落地时的速度为多大 例4、光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初 速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。 3、杆与电源连接组成回路 例5、如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距5.0 l m，处在同一水平面中， 磁感应强度B=的匀强磁场竖直向下穿过导轨 面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m =、电阻 R=Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动 势E =、内电阻r =Ω的电池接在M、P两端，试计算分析： （1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大随后ab的加速度、速
电磁感应中导体棒类问题归类剖析 电磁感应中的导轨上的导体棒问题是历年高考的热点。其频考的原因，是因为该类问题是力学和电学的综合问题，通过它可以考查考生综合运用知识的能力。解滑轨上导体棒的运动问题，首先要挖掘出导体棒的稳定条件及它最后能达到的稳定状态，然后才能利用相关知识和稳定条件列方程求解。下文是常见导轨上的导体棒问题的分类及结合典型例题的剖析。想必你阅过全文，你会对滑轨上的导体棒运动问题，有一个全面的细致的了解，能迅速分析出稳定状态，挖掘出稳定条件，能准确的判断求解所运用的方法。 一、滑轨上只有一个导体棒的问题 滑轨上只有一个导体棒的问题，分两类情况：一种是含电源闭合电路的导体棒问题，另一种是闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题。 （一）含电源闭合电路的导体棒问题 例1 如图1所示，水平放置的光滑导轨MN、PQ上放有长为L、电阻为R、 质量为m的金属棒ab，导轨左端接有内阻不计、电动势为E的电源组成回路， 整个装置放在竖直向上的匀强磁场B中，导轨电阻不计且足够长，并与电键S 串联。当闭合电键后，求金属棒可达到的最大速度。 图1 解析闭合电键后，金属棒在安培力的作用下向右运动。当金属棒的速度为 v时，产生的感应电动势，它与电源电动势为反接，从而导致电路中电流减小，安培力减小，金属棒的加速度减小，即金属棒做的是一个加速度越来越小的加速运动。但当加速度为零时，导体棒的速度达到最大值，金属棒产生的电动势与电源电动势大小相等，回路中电流为零，此后导体棒将以这个最大的速度做匀速运动。 金属板速度最大时，有 解得
点评本题的稳定状态是金属棒最后的匀速运动；稳定条件是金属棒的加速度为零（安培力为零，棒产生的感应电动势与电源电动势大小相等） （二）闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题 1. 导体棒在外力作用下从静止运动问题 例2（全国高考题）如图2，光滑导体棒bc固定在竖直放置的足够长的平行金属导轨上，构成框架abcd，其中bc棒电阻为R，其余电阻不计。一质量为m 且不计电阻的导体棒ef水平放置在框架上，且始终保持良好接触，能无摩擦地滑动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直框面。若用恒力F向上拉ef，则当ef匀速上升时，速度多大？ 图2 解析本题有两种解法。方法一：力的观点。当棒向上运动时，棒ef受力如图3所示。当ef棒向上运动的速度变大时，ef棒产生的感应电动势变大，感应 =BIL变大，因拉力F和重力mg都电流I=E/R变大，它受到的向下的安培力F 安 不变，故加速度变小。因此，棒ef做加速度越来越小的变加速运动。当a=0时（稳定条件），棒达到最大速度，此后棒做匀速运动（达到稳定状态）。当棒匀速运动时（设速度为），由物体的平衡条件有 图3
第九章冲刺985深化内容 电磁感应失分点之(三)——电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型) 电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下： 模型一 单杆＋电阻＋导轨模型 [初建模型] [母题] (2017·淮安模拟)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求： (1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。 [思路点拨] [解析] (1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ， 则杆产生的感应电动势E ＝BLv ， 回路中的感应电流I ＝E R ＋R 杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有 mg sin θ－B 2L 2v 2R ＝ma 当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝ 2mgR sin θ B 2L 2 ，方向沿导轨平面向下。
(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中， 根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋1 2mv m 2 又Q 杆＝12Q 总，所以Q 杆＝12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2 θ B 4L 4。 [答案] (1)g sin θ，方向沿导轨平面向下 2mgR sin θB 2L 2 ，方向沿导轨平面向下 (2)1 2 mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ B 4L 4 [内化模型] 单杆＋电阻＋导轨四种题型剖析 杆以速度v 切割
电磁感应中的双杆运动问题 有关“电磁感应”问题，是物理的综合题，是高考的重点、热点和难点，往往为物理卷的压轴题。电磁感应中的“轨道”问题，较多见诸杂志，而电磁感应中的“双杆运动”问题的专门研究文章，在物理教学研究类杂志还很咸见，兹举例说明如下。 例1.2006年高考重庆卷第21题 两根相距为L 的足够长的金属直角导轨如题21图所示放置， 它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。质量均 为m 的金属细杆ab 、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆 与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电 阻为2R 。整个装置处于磁感应强度大小为B ,方向竖直向上 的匀强磁场中。当ab 杆在平行于水平导轨的拉力F 作用下 以速度V 1沿导轨匀速运动时，cd 杆也正好以速度V 2向下匀 速运动。重力加速度为g 。以下说法正确的是 A.ab 杆所受拉力F 的大小为μmg +R V L B 2122 B.cd 杆所受摩擦力为零 C.回路中的电流强度为R V V BL 2)(21+ D.μ与V 1大小的关系为μ=1 222V L B Rmg 【解析】因4个选项提出的问题皆不同，要逐一选项判断 1、因为ab 杆做匀速运动，所以受力平衡，有安F f F +=，其中mg f μ=, BIL F =安,R E I 2=, 1BLV E =, 所以R BLV I 21=, 所以F=μmg+R V L B 2122,A 正确； 2、因为cd 杆在竖直方向做匀速运动，受力平衡，所以cd 杆受摩擦力大小为mg f =，或者，因为cd 杆所受安培力作为对轨道的压力，所以cd 杆受摩擦力大小为R V L B f 2122μ=,总之，B 错误； 3、因为只有ab 杆产生动生电动势（cd 杆运动不切割磁感线），所以回路中的电流强度为R BLV I 21=，C 错误； 4、根据B 中mg f =和R V L B f 2122μ=，得μ=1 222V L B Rmg ，所以D 正确。 本题答案为AD 。 【点评】ab 杆和cd 杆两杆在同一个金属直角导轨上都做匀速运动，因为ab 杆切割磁感线而cd 杆不切割磁感线，所以感应电动势是其中一个杆产生的电动势，即1BLV E =，而不是)(21V V BL E +=, 电流是R BLV I 21=，而不是R V V BL I 2)(21+=。
电磁感应中“滑轨”问题归类例析1 一、“单杆”滑切割磁感线型 例1、杆与电阻连接组成回路 例1、如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P 间接有一阻值为R的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R／2的金属导线ab垂直导轨放置 （1）若在外力作用下以速度v向右匀速滑动，试求ab两点间的电势差。 （2）若无外力作用，以初速度v向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab电量以 及ab发生的位移x。 例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m，上、下两端各有一个 电阻R0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的 匀强磁场，磁感应强度B＝2T.ab为金属杆，其长度为L＝0.4 m，质量m＝0.8 kg，电阻 r＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程 中，上端电阻R0产生的热量Q0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／ s2)求： (1)杆ab的最大速度； (2)从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab的电荷量.
例3、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距L , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动. 现让ab从高h处由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用.求金属棒下落的时间？问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？ 解析：I=0,安培力为0 ，自由下落 2 1 ,, 2 a g h gt t v === 请问解答是否正确？ 例4、光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。
电磁感应中的杆+导轨问题 “杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是各种考试的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景富于变化，是我们学习中的重点和难点。导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；轨道可能光滑，也可能粗糙；杆可能有电阻也可能没有电阻；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，多种情景组合复杂，题目形式多变。 下面是几种最基本的模型及分析，有兴趣（无兴趣可以无视）的同学可以学习、体会、研究。 需要注意的是：模型中的结论是基于表中所述的基本模型而言，不一定有普遍性，物理情景有变化，结论可能不同，但分析的方法是相同的、有普遍性的。 1．单杆水平式 物理模型 匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，棒ab长为L，质量为m， 初速度为零，拉力恒为F，水平导轨光滑，除电阻R外，其他电 阻不计 动态分析设运动过程中某时测得的速度为v，由牛顿第二定律知棒ab的加速度为a＝ F m－= B2L2v mR，a、v同向，随速度的增加，棒的加速度a 减小，当a＝0时，v最大，电流I＝ BLv m R不再变化 收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征受力平衡，a＝0 电学特征I不再变化 物理模型匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，导轨间距为L，导体棒质量为m，电阻为R，导轨光滑，电阻不计 动态分析棒ab刚释放时a＝g sin α，棒ab的速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝ E R↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F ＝mg sin α时，a＝0，速度达到最大v m＝ mgR sin α B2L2 收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征受力平衡，a＝0 电学特征I不再变化 3、有初速度的单杆 物理模型杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，质量为m，电阻
电磁感应中“杆+导轨”模型问题 例1、相距L=的足够长金属导轨竖直放置，质量m1=1kg 的金属棒ab 和质量m2=的金属棒cd ，均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图1所示，虚线上方磁场的方向垂直纸面向里，虚线下方磁场的方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。ab 棒光滑，cd 棒与导轨间动摩擦因数μ=，两棒总电阻为Ω，导轨电阻不计。ab 棒在方向竖直向上、大小按图2所示规律变化的外力F 作用下，从静止开始沿导轨匀加速运动，同时cd 棒也由静止释放。（g=10m/s2） （1）求ab 棒加速度的大小和磁感应强度B 的大小； （2）已知在2s 内外力F 做了的功，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热； （3）求出cd 棒达到最大速度所需的时间t0，并在图3中定性画出cd 棒所受摩擦力fcd 随时间变化的图线。 解： （1）， 所 以 ， （2分） 由图2的截距可知， ，， （2分） 由图2的斜率可知， ，， （2 分） （2）
， （2分） ， （2分） （3） ，，所以有， ，，（2分） 2分） （ 例2、如图所示，两条光滑的金属导轨相距L =1m，其中MN段平行于PQ段，位于同一水平面内，NN0段与QQ0段平行，位于与水平面成倾角37°的斜面内，且MNN0与PQQ0均在竖直平面内。在水平导轨区域和倾斜导轨区域内分别有垂直于水平面和斜面的匀强磁场B1和B2，且B1=B2=。ab和cd是质量均为m=、电阻均为R=4Ω的两根金属棒，ab置于水平导轨上，cd置于倾斜导轨上，均与导轨垂直且接触良好。从t=0时刻起，ab棒在外力作用下由静止开始沿水平方向向右运动（ab棒始终在水平导轨上运动，且垂直于水平导轨），cd棒受到F＝（N）沿斜面向上的力的作用，始终处于静止状态。不计导轨的电阻。（sin37°=）（1）求流过cd棒的电流强度Icd随时间t变化的函数关系； （2）求ab棒在水平导轨上运动的速度vab随时间t变化的函数关系； （3）求从t=0时刻起，内通过ab棒的电荷量q； （4）若t=0时刻起，内作用在ab棒上的外力做功为W=16J，求这段时间内cd棒产生的焦耳热Qcd。
电磁感应中的双杆问题分类例析 “双杆”类问题是电磁感应中常见的题型，也是电磁感应中的一个难道，下面对“双杆”类问题进行分类例析 1、“双杆” 在等宽导轨上向相反方向做匀速运动 当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。 2.“双杆” 在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另一杆减速 当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。 3. “双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速运动。 “双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。 4．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。 “双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。 【例5】如图所示，间距为l 、电阻不计的两根平行金属导轨MN 、PQ （足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m 、电阻均为R 的两根相同导体棒a 、b 垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a 棒连接，其下端悬挂一个质量为M 的物体C ，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。开始时使a 、b 、C 都处于静止状态，现释放C ，经过时间t ，C 的速度为1υ、b 的速度为2υ。不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g ，求： （1）t 时刻C 的加速度值； （2）t 时刻a 、b 与导轨所组成的闭合回路消耗的 总电功率。 解析：（1）根据法拉第电磁感应定律，t 时刻回路的感应电动势12()E Bl t φυυ?= =-? ① 回路中感应电流 2E I R = ② 以a 为研究对象，根据牛顿第二定律 T BIl ma -= ③ 以C 为研究对象，根据牛顿第二定律 Mg T Ma -= ④ 联立以上各式解得 22122()2() MgR B l a R M m υυ--=+ （2）解法一：单位时间内，通过a 棒克服安培力做功，把C 物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b 棒的动能，所以，t 时刻闭合回路的电功率等于a 棒克服安培力做功的功率，即 221211()2B l P BIl R υυυυ-?== 解法二：a 棒可等效为发电机，b 棒可等效为电动机 a 棒的感应电动势为 1a E Blv = ⑤ 闭合回路消耗的总电功率为 a P IE = ⑥ 联立①②⑤⑥解得 221211()2B l P BIl R υυυυ-?==
电磁感应中的“双杆问题” 电磁感应中“双杆问题”是学科内部综合的问题，涉及到电磁感应、安培力、牛顿运动定律和动量定理、动量守恒定律及能量守恒定律等。要求学生综合上述知识，认识题目所给的物理情景，找出物理量之间的关系，因此是较难的一类问题，也是近几年高考考察的热点。 下面对“双杆”类问题进行分类例析 1.“双杆”向相反方向做匀速运动 当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。 [例5] 两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示，不计导轨上的摩擦。 （1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小。 （2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。 解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为：E1=E2=Bdv 由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为： 因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd。 由以上各式并代入数据得N （2）设两金属杆之间增加的距离为△L，则两金属杆共产生的热量为，代入数据得Q=1.28× 10-2J。 2.“双杆”同向运动，但一杆加速另一杆减速 当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。 [例6] 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少。 （2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？ 解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流。ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动。在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速。两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动。 （1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有根据能量守恒，整个过程中产生
问题3：电磁感应中的“双杆问题” 电磁感应中“双杆问题”是学科内部综合的问题，涉及到电磁感应、安培力、牛顿运动定律和动量定理、动量守恒定律及能量守恒定律等。要求学生综合上述知识，认识题目所给的物理情景，找出物理量之间的关系，因此是较难的一类问题，也是近几年高考考察的热点。下面对“双杆”类问题进行分类例析 1.“双杆”向相反方向做匀速运动 当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。 [例5] 两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示，不计导轨上的摩擦。 （1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小。 （2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。 解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为：E1=E2=Bdv 由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为： 因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd。 由以上各式并代入数据得N （2）设两金属杆之间增加的距离为△L，则两金属杆共产生的热量为，代 入数据得Q=1.28×10-2J。 2.“双杆”同向运动，但一杆加速另一杆减速 当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。 [例6] 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd 的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少。 （2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？
电磁感应中的双动式导轨问题 一、等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外，下同） 例1两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为。导轨上面横放着两根导体棒和，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为，电阻皆为，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒静止，棒有指向棒的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？ （2）当棒的速度变为初速度的时，棒的加速度是多少？ 解析棒向棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，于是产生感应电流。棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，棒则在安培力的作用下向右做加速运动。只要棒的速度大 于棒的速度，回路总有感应电流，棒继续减速，棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动。 （1）从开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒的总动量守恒，有，根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热。 （2）设棒的速度变为时，棒的速度为，则由动量守恒可知得，此时棒所受的安培力。 由牛顿第二定律可得：棒的加速度。 二、不等间距水平导轨，无水平外力作用 例2如图所示，光滑导轨、等高平行放置，间宽度为间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于
竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。、是质量均为的金属棒，现让从离水平轨道高处由静止下滑，设导轨足够长。试求：(1)、棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。 解析下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，、各受不同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，、不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。 (1)自由下滑，机械能守恒：① 由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度，故它们的磁场力为：② 在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当时，电路中感应电流为零()，安培力为零，、运动趋于稳定，此时有： 所以③ 、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得： ④ ⑤ 联立以上各式解得：， (2)根据系统的总能量守恒可得： 三、等间距水平导轨，受水平外力作用