数学思想与方法
1巴比伦人是最早将数学应用于（???C. 商业）的。在现有的泥板中有复利问题及指数方程。
2《九章算术》成书于（???B. 西汉末年?），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
3金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（??C. 天文测量?）的方法。
4在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（???）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（???）表示。A. 文字，文字
5古埃及数学最辉煌的成就可以说是（??C. 四棱锥台体积公式??）的发现。
6《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（???D. 柏拉图学派?）。
7古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（????），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
C. 100亿年
8根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（??A. 初始原理?）中演绎出的结论。
9欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（??D. 数论及几何学??），成为近代西方数学的主要源泉。
10数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（???C. 六七千年前??）已经形成了一些几何与数目概念。
11欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典着作,它的着名的平行公设是( ?D. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交??)。
12《九章算术》是我国古代的一本数学名着。“算”是指（??），“术”是指（??）。
C. 算筹??解题方法?
13《几何原本》就是用（?D. 逻辑??）的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
14《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容：（?D. 定义、公理、公设、命题?）。
15《几何原本》的理论体系并不是完美无缺的,比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在(??C. 逻辑推理?)中起什么作用。
16《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专着，是“算经十书”中最重要的一种，成书于(?D. 公元一世纪 )左右。
17《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专着，它的内容十分丰富，全书采用（D. 问题形式???）的形式，与生产、生活实践密切相关。
18《九章算术》确定了中国古代数学的框架，不仅以（???）归纳体系、（???）内容、（???）方法为特点影响我国数学成就的建立，而且在培养和造就我国数学家方面起到了促进作用。B. 开放的、逻辑化的、演绎化的
19《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点。《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何（???）数学概念的定义，也没有给出任何（???）。
A.?数学概念, 推导和证明?
20《九章算术》的叙述方式以（???）为主，先给出若干例题，再给出解法；《几何原本》的叙述方以（???）为主，先给出公理，再通过逻辑推出其他命题。D. 归纳,演绎
21算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种（???），并依据问题的条件列出用（???）表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。B. 已知数据，已知数据
22就数学发展的历史进程来看，从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定数学到随机数学等是数学思想方法的几次重要突破。代数形成解决了具有复杂（???）的问题，变量数学创立刻划了(??? )的事物与现象，随机数学出现揭示了(??? )背后所蕴涵的规律。A. 数量关系，运动与变化，随机现象
23代数不但讨论正整数、正分数和零，而且讨论负数、虚数和复数。其特点是用(???)来表示各种数。A. 字母符号
24代数学形成过程经历了漫长过程：(??? )。B. 文字代数，简写代数，符号代数? 25初等数学都是以（???）为其研究对象，运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象，对于运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。A. 不变的数量和固定的图形
26变量数学产生的数学基础应该是（???），标志是(???)。A. 解析几何、微积分27从16世纪开始，自然科学研究的中心问题是运动，科学家们相信对各种运动过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究可以用数学来描述。因此，作为运动着的量的一般性质及各个数量之间存在着相依而变的规律，科学家们引出了数学的一个基本概念( )。A. 函数
28人们在社会实践活动常常遇到两类截然不同的现象，一类是确定性现象；另一类是随机现象。随机现象并不是杂乱无章的现象，当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性。于是，一种专门适用于分析随机现象的数学工具——（）诞生了。C. 概率理论与数理统计
29第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自(??? )的发现起，到公元前370年左右，以(??? )的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派。C. √2，无理数
30第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。而这场争论是指（???）。C. 无穷小量究竟是不是零
31三段论是演绎推理的主要形式，由(???)三部分组成。A. 大前提、小前提、结论32自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究。定性研究揭示研究对象是否具有（???），定量研究揭示研究对象具有某种特征的（???）。B. 某种特征??数量状态
33公理方法就是从（???）出发，按照一定的规定（逻辑规则）定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。D. 初始概念和公理
34公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：（???），用它们建构起来的理论体系典范分别对应的是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。B. 实质公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段
35第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的（???），促使了数理逻辑这门学科诞生，其中，十九世纪七十年代康托尔创立的（???）是产生危机的直接来源。C.?数学化????集合论
36罗素悖论引发了数学的第三次危机，它的一个通俗解释就是理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”现在的问题是：如果理发师的胡子长了，他能给自己刮脸吗？（???）A. 无结果
37为避免数学以后再出现类似问题，数学家对集合论的严格性以及数学中的概念构成法和数学论证方法进行逻辑上、哲学上的思考，其目的是力图为整个数学奠定一个坚实的基础。随着对数学基础的深入研究，在数学界产生了数学基础研究的三大学派：（???）。B. 逻辑主义、直觉主义、形式主义
38哥德尔不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。它证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是（???）的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。C.?自洽
39哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们：真与可证是两个概念，（???）。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。C. 可证的一定是真的，但真的不一定可证
40客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。因此，数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构：(??? ), 然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构。可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。C. 代数结构、序结构和拓扑结构
41抽象是对同类事物抽取其(??? )的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。B. 共同
42例如，“菱形→等边四边形→平行四边形→四边形”这是一个（???）过程。A. 强抽象
43人们在思维中，抽象过程是通过一系列的（???）的思维操作实现的。A. 比较、区分、舍弃和收括
44弱抽象又称“概念扩张式抽象”，是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。这时，原型成为新的概念或理论的（???）。
B. 特例
45强抽象就是指通过把—些（???）加入到某一概念中而形成（???）的抽象过程。
C. 新特征???新概念
46概括就是把同类事物的（????）联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。C. 共同属性
47一个概括过程包括等几个主要环节。一个概括过程包括等几个主要环节。
48抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有（???）。D. 种属关系
49概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个（??）。B. 属概念
50例如，“等腰直角三角形→ 等腰三角形→ 直角三角形→ 三角形”这是一个（???）过程。D. 弱抽象
51归纳法是通过对一些（???）情况加以观察、分析，进而导出一个一
般性结论的推理方法。B. 个别的、特殊的
52归纳猜想的思维步骤为：（???）。A. 特例—归纳—猜想?
53所谓不完全归纳法，根据对某类事物中的（）的分析，作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。C. 部分对象
54完全归纳法是根据对某类事物中的（???）的情况分析，进而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。D. 每一对象
55猜想就是根据事物的现象，对其本质属性进行（???），或者是根据一类事物中的个别事物的属性对该类事物的共同属性进行（???），这样的思维方法叫做猜想。
C. 推测???推测
56人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为（???）。C. 归纳猜想法
57人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为（???）。B. 类比猜想58反例反驳的理论依据是形式逻辑的（???）。C. 矛盾律
59反驳反例是用（???）否定（???）的一种思维形式。B. 特殊???一般
60数学猜想具有两个明显的特点：（???）与（???）。D. 科学性???推测性
61演绎推理是以一个（???）一般性判断（或再加上一个特殊的判断）为前提，推出一个作为结论的判断的推理形式。A. 个别的或特殊的
62数学公理发展有三个阶段：欧氏空间、各种几何空间、（???）。D. 一般意义上的空间
63古希腊欧几里得的《几何原本》是人们所建立的第一个公理体系，由于它具有特定的研究对象，其公理以人们的直观经验为基础反映为认为公理是自明的，所以称为（???）的公理体系。B. 具体
64三段论：“偶数能被2整除，是偶数，所以能被2整除”。B. “ α是偶数”是小前提?
65三段论：“因为3258的各位数字之和能被3整除，所以3258能被3整除”。 C. “各位数字之和能被3整除的数都能被3整除” 是省略的大前提?
66演绎推理的根本特点是（???）。A. 前提为真，结论必真
67化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类（???）的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。C. 已经能解决或者比较容易解决
68化归方法包括三个要素：（???）。B. 化归对象、化归目标和化归途径?
69在化归过程中应遵循以下几个原则：（???）。D. 简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则
70化归的途径：（???）。C. 分解、组合、恒等变形
71所谓计算是指根据已知数量通过（???）求得未知数。计算是一种重要的数学方法，任何一门科学所采用的定量分析都离不开计算。A. 数学方法
72算术与代数的解题方法基本思想的区别:算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是（???），而代数方法的关键之处是（???）。B. 列算式??列方程
73算法是由一组（???）组成的一个过程。一个算法实质上就是解决一类问题的一个处方。B. 有限规则
74在计算机时代，（???）已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。
B. 计算方法
75在古代的游戏与赌博活动中就有（???）的雏形，但是作为一门学科则产生于17世纪中期前后，它的起源与一个所谓的点数问题有关。B. 概率思想
76算法大致可以分为（???）和（???）两大类。A. 多项式算法??指数型算法? 77算法具有下列特点：（???）、（???）、（???）。D. 有限性?确定性??有效性
78学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段（????）、（???）、（???）。C. 潜意识阶段??明朗化阶段??深刻理解阶段
79代数解题方法的基本思想是，①首先依据问题的条件组成内含（???）的代数式，并按等量关系列出方程，②然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。C. 已知数和未知数
80计算工具的发展:①经历了（???）；②手摇计算机、对数计算尺等机械式计算工具；电动式计算机；③机电式计算机；。④集成电路计算机、大规模集成电路计算机几个主要阶段。B. 古代的计算工具
81数学建模是指根据具体问题，在一定假设下使（???），建立起适合该问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行检验的全过程。B. 问题化简
82根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻理解阶段等三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成（???）、（???）、（???）三个阶段。B. 多次孕育?初步理解?简单应用
83数学模型可以分为三类：(1)概念型数学模型；(2)（???）；(3)结构型数学模型。C. 方法型数学模型?
84数学模型具有（抽象性）、（准确性）、（???）、（???）特性。A. 演绎性??预测性
85数学学科的新发展——分形几何，其分形的思想就是将某一对象的细微部分放大后，其（???）。C. 结构与原先一样
86英国的牛顿和德国的莱布尼兹分别以（???）为背景用无穷小量方法建立了微积分。A. 物理学和几何学
87数学建模的基本步骤：弄清实际问题、（???）、建模、求解、检验。C. 化简问题
88在建立数学模型的过程中，（???）这一环节是很重要的。A. 数学抽象
89已知某物体在运动过程中，其路程函数S(t)是二次函数，当时间t=0、1、2时，S(t)的值分别是0、3、8。求路程函数。B. S(t)= t2+2t
90鸽笼原理可叙述为：若n+1只鸽子飞进n个笼子里，则至少有一个笼子里至少飞进(??? )只鸽子。C. 2
91所谓数形结合方法是指在研究数学问题时，（??）、（??）、数形结合考虑问题的一种思想方法。B. 由数思形???见形思数
92数学思想方法，是指现实世界的（???）反映到人们的意识之中，经过（???）而产生的结果。数学思想方法是对数学事实和理论经过概括后产生的本质认识。A. 空间形式和数量关系??思维活动
93一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，进行（??）、（??）的划分。A. 不重复??无遗漏?
94所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的（??）的思想方法。B. 较小集合
95特殊化的作用在于，当研究的对象比较复杂时，通过研究对象的特殊情况，能使我们对研究对象有个初步了，且它的作用还在于，事物的（???）存在于（???）之中。C. 共性??个性
96菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：（???）加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。C. 组邻边相等
97数学分类有现象分类和本质分类的区别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的（???）进行分类。B. 外部特征或外部联系
98所谓本质分类，即根据事物的（???）进行分类。A. 本质特征或内部联系
99匀速直线运动的数学模型是(??? )。D. 一次函数
100数学教育效益，是指通过一定时间的教学后，学生在数学学习方面能获得的发展和进步。数学教育效益既包括学生获取（???）的效益，也包括学生掌握（???）以及提高学习能力的效益。C. 数学知识???数学实验步骤
中学数学中常见的数学思想有 哪些(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
中学数学中常见的数学思想有哪些？ 答题内容： 1、化归的思想方法： 所谓化归思想方法又叫转换思想方法、也叫转换思想方法、也叫转化思想方法，是一种把未解决的问题或特解决的问题，通过某种方式的转化，归化到一类已经能解决或比较容易解决的问题，最终得原问题的解答的思想方法.化归思想方法的三要素：化归谁（化归对象）、化归到哪（化归目标）、怎样化归（化归方法）.常见的化归方式有：已知与未知的化归、特殊与一般的化归、动与静的化归、抽象与具体的化归等. 化归思想方法的特点：是实际问题的规范化、简单化、熟悉化、模式化、直观化、正难侧反思化、以便应用已知的理论、方法和技巧到解决问题的目的.其形式如图所示： 例如方程问题转化为不等式问题：已知关于，的方程组，的解满足 ,求的取值范围. 解析：先解关于，的方程组，再把用表示的，的代数式代入不等式组中，解关于的不等式组. 2、数形结合的思想方法 所谓数形结合的思想方法是指把数学问题用数量关系与图形结合起来解答数学问题. 数形结合的思想方法的特点：数→形→问题的解答；形→数→问题的解答；数形，问题的解答. 例如：如图所示、在数轴上的位置，请化简 + 的结果是: 3、分类讨论的思想方法 所谓分类讨论的思想方法是指根据所研究的问题的某种相同性和差异性将它们分类来进行研究的思想方法. 分类讨论的思想方法的特点：分类不能重复也不能遗漏；同一次分类时，标准须相同；分类须有一定的范围，不能超范围. 例如：三角形按边分类方法：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形又可分为等边三角形、底边和腰不相等的等腰三
几种重要的数学思想方法 韩晓荣 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。 《数学课程标准》在对初中阶段的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。 一、化归思想， 所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。我们也常把它称之为“转化思想”。例如：解分式方程转化为解整式方程，解“二元”方程转化为解“一元”方程，解多边形问题转化为解三角形问题等等。 二、数形结合的思想方法 数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。在教材《有理数》里面用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。 三、分类讨论的思想方法 在渗透分类讨论思想的过程中，我认为首要的是分类。比如在《有理数》研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的：在《平面图形的认识》一章中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类。这种思想方法主要可以避免漏解、错解。 四、方程思想 方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。例如利用一元一次方程,一元二次方程能解决好多实际问题。 五、从特殊到一般的思想方法
数学思想与方法——案例分析 答：分析:1、本课的配题注重从学生亲身经历的活动、学生熟悉的事入手选题，有开放型题、变式题，有数学思想的渗透，从易到难，由浅入深，应该说配题的设置具有一定的挑战性，能够起到激活学生思维的作用。 2、本课的教学容量太大且选题具有一定的难度，对于基础好的学生也很难能够在有限的时间内从容地、完整地完成所有的学习任务;对于基础差的学生来说，由于太多的题不会做，课堂的时间等于空耗。 3、由于时间紧，不能给学生留有充分的思考空间和时间，学生对于习题所传达的知识、方法很难理解透彻。所以常常出现丬题做了很多，但是在遇见题还是有困难，小题的功能没有发挥 修改:1、可以结合学生的实际情况，分层次配题。对于基础差的学生习题的难度再降低些，使他们会用二元一次方程组解决最基本的实际问题。对于基础好的学生，可以删除(二)(四)两组题，使他们能有更多的时间去探究问题、去迎接挑战 2、将学生分成不同的学习小组，能力强、弱搭配。在上述习题中选出部分更容易激起学生对数学的兴趣，更适合学生探究的习题，充分发挥习题的功能，使学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力。对于“实际问题与二元一次方程组”，不等同于一般例题内容的教学，而是应该以探究学习的方式完成。从教材设置的“数学活动”及“拓广探索”栏目下的习题等都设置了带有探究性的问题。对于这些内容的教学，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，适时地追问，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究，而不要替代他们思考，不要过早给出答案。应鼓励探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程活跃起来，在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获。所以教学中不能盲目地扩大习题量，而是要充分发挥习题的功能，给学生留有充分的思考时间与空间，引导学生更多的参与数学活动和相互交流，在主动学习探究学习的过程中获得知识，培养能力，使每一位学生都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上有不同的发展。
小学数学中常见的几种数学思想方法 我们的教学实践表明：小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是基础数学教育现代化的关键。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。以上合称为数学思想方法。一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性小学教学教材是数学教学的显性知识系统，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。虽然数学知识本身是非常重要的，但是它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。二、在小学数学课堂中如何运用数学思想方法 1.符号思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象的过程。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。例1：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。 2.化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求
数学思想与方法试题A卷 一、填空题（每题5分，共25分） 1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。 3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。 5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。 二、判断题（每题5分，共25分。在括号里填上是或否） 1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。（是） 2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。（否） 3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。（否） 4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。（是） 5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。（否） 三、简答题（每题10分，共50分） 1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？ 1．答：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 ②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。 ③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 评分标准： （1）①答对，得4分； （2）②答对，得4分； （3）③答对，得2分； （4）完整答出①②③，得10分。 2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？ 2．答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。②它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是专门探讨某种数学模型的应用，③例如“勾股”、“方程”等章。这在世界数学史上是最早的。因此，我们说最早使用数学模型方法的是中国人。 评分标准： （1）①②③每答对一个，得3分； （2）完整答出①②③，得10分。 3．什么是类比猜想？并举一个例子说明。 3．答：①人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。 ②例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。 评分标准： （1）①②每答对一个，得5分； （2）完整答出①②，得10分。
中小学数学很重要的20种常见思想方法 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
一、简答题 1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。 答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。 代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2、比较决定性现象和随机现象的特点，简单叙述确定数学的局限。 二、论述题 1．论述社会科学数学化的主要原因。 2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。 答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 三、分析题 1．分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？ 2、分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？ 答：（1）开放的归纳体系 从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。 在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综 合起来，就得到整个《九章算术》。 另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。 （2）算法化的内容 《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。 （3）模型化的方法 《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？ 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化
及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
课题：中职常见的三种数学思想方法 教学目标：1.理解数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想； 2.学会用数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想 等三种思想解答实际数学问题。 教学重点：帮助学生树立数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想。 教学难点：数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想在实际数学问题中的应用。 教学方法：讲练结合及世界大学城空间网络教学 教学设计： Ⅰ.新课讲授 （一）专题一：数形结合思想 1．数形结合的含义 (1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形 的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法． 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数 学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合． (2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大 致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数 形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数
的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规 范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的， 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 角度一：利用数形结合讨论方程的解或图像交点 [例1]函数f(x)＝x 1 2 － ? ? ? ? ?1 2 x 的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 方法规律：讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解. 强化训练：1．方程log3(x+2)=2x解的个数为 角度二：利用数形结合解不等式或求参数问题 [例2]使log2(－x) 初中数学中的主要数学思想方法 初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等． (1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容 易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、 陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题． 初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形 的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用 的最为广泛． (2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究 是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”， 以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形” 两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用． 譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的 应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度． (3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的 种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、 一、简答题 1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。 解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。 代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。 解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。 在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。 二、论述题 1. 论述社会科学数学化的主要原因。 解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。 第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。 第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。 第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。 2. 论述数学的三次危机对数学发展的作用。 解答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。 由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 三、分析题 2. 分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？ 解答：（1）开放的归纳体系 从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。 （2）算法化的内容 《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一 数学思想与方法作业参考解答（2） 教学中常用的几种数学思想方法 数形结合思想：数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。华罗庚先生说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。 初中代数教材列方程解应用题所选例题多数采用数形结合中的图示法，教学过程中利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。 再如在讲“圆与圆的位置关系”时，可自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透；这样不仅可提高学生的迁移思维能力，还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。 方程思想：众所周知，方程思想是初等代数思想方法的主体，应用十分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众多的数学思想中显得十分重要。 所谓方程思想，主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。 在教学中有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把他们看成三个“未知量”，告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然。与此同时，还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想，诸如换元，消元，降次，函数，化归，整体，分类等思想，这样可起到拨亮一盏灯，照亮一大片的作用。 辩证思想：辩证思想是科学世界观在数学中的体现，是最重要的数学思想之一。自然界中的一切现象和过程都存在着对立统一规律，数学中的有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和变量、整体和局部等同样蕴涵着这一辩证思想。 教学时，应有意识地渗透。如初三《分式方程》一节，就体现了分式方程与整式方程的对立统一思想，教学时，不能只简单介绍分式方程的概念和解法，而要渗透上述思想，我们可以从复习整式和分式的概念出发，然后依据辩证思想自然引出分式方程，接着带领学生领会两个概念的对立性(非此即彼)和统一性(统称有理方程)，再利用未知与已知的转化思想启发学生说出分式方程的解题基本思想，从而发现两种方程在解法上虽有不同，但却存在内在的必然联系。 数学思想方法 河南省虞城县李老家乡第二初级中学；高华增数学思想方法一般是指人们在数学的发生、形成、发展过程中总结概括出来的数学规律的本质认识，是利用数学知识去解决问题的思维策略和指导思想，它为数学知识的学习和运用提供了方向，是解决数学问题的“向导”，数学思想的产生并作用于数学学习的整个过程中，尤其是在解决复杂的综合题时，数学思想的合理运用起着关键性的决定作用，数学思想方法是数学思想的具体体现，不仅是学习和运用数学知识的解决数学问题应具备的、最基本的思想方法．而且是新课标改革的方向和中考试题解题特征 常见的数学思想方法有：化归思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、数学建模思想方法、方程思想方法、函数思想方法、整体思想方法，对此类问题的突破，方法具体如下： 类型一：化归思想方法:重难点突破：解决问题的基本思想就是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把实际问题数学化，不同的数学问题相互转化，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想 【例1】 如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径 的扇形，并且所有多边形的每条边都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是______．(结果保留π) 分析：本题考察了扇形面积和n 边形内角和公式，解题关键是：是求第n 个图形中(n ＋2)个半径为1的扇形的面积之和 解析：[]ππ2n 1802-2)(n 3601S 2 =?+?=，答案；π2 n 类型二：数形结合: 重难点突破： 根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙结合，充分利用这种结合探究解题思路，使问题得以解决； 【例2】(09重庆)如图，在矩形ABCD 中，A B ＝2，BC ＝1,动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是 ( ) 分析：本题考查点是运动变化为前提，根据几何图形的面积变化特征，通过分段讨论，确立相应函数关系，进而确定函数图象，这是一道典型的数形结合与分类讨论的综合题，是这几年中招试题常见题型，解题关键是能否充分利用分类的讨论思想，难点是能否把所有情况分别讨论，很多同学因考虑不全而丢分． 解析：当点P 在BC 上时，即0＜x ≤1时 x x 2PB AB S 2121PAB =??=?=? 当点P 在CD 上时，即1＜x ≤3时 不怕难题不得分，就怕每题扣点分！ 常用的数学思想和方法 一．数学思想：1．数形结合的思想；2．分类与整合的思想；3．函数与方程的思想；4．转化与化归的思想； 5．特殊与一般的思想；6．有限与无限的思想；7．或然与必然的思想；8．正难则反的思想．二．数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之．【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快．】 三．数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．【也称数学思维方法．】 四．选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！ ①求解对照法(直接法)；②逆推代入法(淘汰法)；③数形结合法(不要得意忘形)；④特值检验法(定值问题)； ⑤特征分析法(针对选项)；⑥合理存在性法(针对选项)；⑦逻辑分析法(充要条件)；⑧近似估算法(可能性)．五．填空题的方法：①直接法；②特例法(定值问题)；③数形结合法；④等价转化法． 六．熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化． 七．计算与化简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！八．学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！ 怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】．学会总结归类：①从数学思想上归类；②从知识应用上归类；③从解题方法上归类；④从题型类型上归类． 【特别提醒】 1．一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性，并能加以灵活运用！（灵机一动）【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用．】2．解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】，不能纯粹以图象代替推理、证明．3．转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“”．特别是求取值范围时，端点一定要准确处理．4．平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁．否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间．这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！ 5．在解答题中，某些局部问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写．如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明． 6．在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论．有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题． 7．平常要多积累解题经验和解题技巧．熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的． 8．数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高．而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察．因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要．建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度．【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件．】 9．可以在专门的笔记本上，收集作业、考试中的错题，学习中遇到的经典题，便于日后考前复习巩固． ⒑作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！ 一、填空题（每题5分，共25分） 1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解 3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。 5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。 7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合 ）的趋势。 9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。 1．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的（《几何原本》）。 2．随机现象的特点是（在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果 ）。 3．演绎法与（归纳法 ）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。 4．在化归过程中应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）。 5．（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。 6．三段论是演绎推理的主要形式，它由（大前提、小前提、结论）三部分组成。 7．传统数学教学只注重（形式化数学知识，）的传授， 而忽略对知识发生过程中（数学思想方法）的挖掘。 8．特殊化方法是指在研究问题中，（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。 9．分类方法的原则是（不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分）。 10．数学模型可以分为三类：（概念型、方法型、结构型）。 二、判断题（每题5分，共25分。在括号里填上是或否） 1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。 （是 2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。 （否 3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。 （否 4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。 （是） 5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。 （否 1．数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。 （否 2．在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。 （是 ） 3．如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。（ 否） 4．分类可使知识条理化、系统化。 （ 是 ） 5．在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。 （否） 三、简答题（每题10分，共50分） 1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？ ①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？ ①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。②它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是专门探讨某种数学模型的应用，③例如“勾股”、“方程”等章。这在世界数学史上是最早的。因此，我们说最早使用数学模型方法的是中国人。 3．什么是类比猜想？并举一个例子说明。 ①人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。②例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。 4．简述表层类比，并用举例说明。 ①表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似所进行的类比。这种类比可靠性较差，结论具有很大的或然性。 ②例如，从ac ab c b a +=+)(类比出βαβαsin sin )sin(+=+是错误的，而类比出 n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→+=+lim lim )(lim 在数列极限存在的条件下是正确的。③又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结构上的类比。 5．数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明。 ①数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。②学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。③例如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；在学习数轴时，要求学生会借助 目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。初中数学中的主要数学思想方法
数学思想与方法形成性考核册答案
教学中常用的几种数学思想方法
论文：数学思想方法
常用的数学思想和方法
数学思想与方法模拟考试卷1
高中数学解题思想方法大全
相关主题
文本预览