莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文
题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形
姓名：廖丹
学号：410401141
莆田学院数学与应用数学系
数学与应用数学专业2004级
2007年6月20日
用矩阵的初等变换化实二次型为标准形
041数本 410401141 廖丹
摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形.
关键词：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形
1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n
i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法
最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P .
定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵.
定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且
1
10d a P A A ??'=
???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ??
'= ???
. 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的第一列元素不变,从而1
10
d P AP A β??
'=
???
,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β=
这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使
()(),,P A E P A P '''=1*,0
0r
d d P ???? ? ? ? ? ?
?'= ?
? ? ? ? ? ? ? ??
??
?
则这个P '的转置阵就是我们要找的非异阵P ,它使P AP '为对角阵.即只要对(),A E 作有限次第三种初等变换
()ij k T ,i j >,则当把A 变换成上三角阵时,(),A E 的E 就同时化为P ',且使
1
0r
d d P AP ?? ? ?
?'=
? ? ? ??
?
. 例1 求非异阵P ,使P AP '为对角阵,其中112110202A -?? ?=-- ? ???
. 解
：
()112100,110010202001A E -??
?=-- ?
???21
112100022110202001r r +-??
????→- ?
???
31
(2)r r +-????→
32
112100112100022110022110022201000111r r +--????
? ?-???→- ? ? ? ?---????
故由定理知111011001P -??
?
= ? ???
.
100020000P AP ?? ?'=- ? ???
例2将实二次型122313262x x x x x x -+化为平方和.
解：此二次型的系数矩阵 011103130A ??
?=- ? ?-??
,A 的主对角元素全是0,故不能立即引用定理,需先对A 作初等行变换及其相应的列.使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数,然后再用定理即可.
()12
011100112110,103010103010130001130001r r A E +-???? ? ?=-???→- ? ? ? ?--????1212
3112212110212110111
103010020222230001022
111r r r r c c -++-??
-??
?-- ? ?
???→-???→- ? ? ?
--?? ?--??
3242121101
11
20222006
311r r --??
?-- ????→- ? ?-?
?
∴ 1132
1
1
12
001P -?
?
?
? ?=- ? ? ? ??
?
,2126P AP ??
?- ?'= ?
???
令X PY =, 则122313262x x x x x x -+22
21
231262
y
y y =-
+. 2． 若要求一正交阵P 使P AP '成对角阵,这等价于经过正交变换X PY =将二次型X AX
'
化为标准形.一般步骤是通过施密特正交化过程来求解,但此方法较为复杂,下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形.
定理2.1设A 为n n ?阶矩阵,秩()A r =,且n n n A E ??? ?
??????→列初等变换(1)(1)*n n
n n n n B Q P ??-?-??
???
其中B 是秩为r 的列满秩矩阵,则矩阵P 所含n r -个列向量就是齐次线性方程组0AX =的一
个基础解系. 证明：秩()A r =
∴存在可逆的n 级矩阵12
S PP P 使
()12
*,0S n r APP P B =，其中*n r B 是秩为r 的列满秩矩阵
同理：()12
*,*()n S n
r n n r E PP P E E -''=，其中*n r E '表示秩为r 的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵，*()n
n r E -'表示秩为n r -的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵 ∴*12
(1)0
n n
n n S n n n n n B A PP P Q P E ???-??
??
=
? ?????
，其中n n n
r Q E ??'=，()n n n n r P E ??-'= 由于0AX =的解向量个数为n r -，而()n n r P ?-为秩为n r -的列满秩矩阵 再由初等变换原理易知：
矩阵P 所含n r -个列向量就是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系.
定理2.2矩阵A 的特征矩阵()A λ经列的初等变换可化为下三角的λ矩阵()B λ,且()B λ的主对角线上元素的乘积的λ多项式的根恰为A 的所有特征根.此定理证明与定理1.2相仿,故省去.
下面探讨计算方法：
设()A E A λλ=- 且()A E λ?? ???????
→列初等变换()()B A λλ??
???
,其中()B λ为下三角矩阵,则()B λ的主对角线上的全部元素的λ多项式的全部根恰为矩阵A 的全部特征根,对于矩阵A 的每一特征根i λ,若矩阵()B λ中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么矩阵()i P λ中和()i B λ中零向量所对应的列向量是属于特征根i λ的全部线性无关的特征向量；否则继续
()()i i B A λλ?? ???????→列初等变换()()**i i B P λλ?? ? ??
?使得()*
i B λ中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么()*i P λ中和()*i B λ中向量对应的列向量是属于特征根i λ的全部线性无关的特征向量.
设所求出的特征向量1
11111i
s
k
i ik
s sk
αααααα,它是一组线性无关的向量,以ij
α为列向量构成矩阵()ij
B α=
,则B B '是一个n 阶正定矩阵,必与单位矩阵正合同,即存在n
阶可逆矩阵Q ,使得()()1Q B B Q E ''=
即()()()2Q B BQ E
''=
()1式说明：对矩阵B B '施行一系列的列初等变换,（相应的初等矩阵的乘积为Q ）及一系
列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为Q '）,可化为单位矩阵；
(2)式说明：BQ 的列向量组是一个标准正交基,BQ 可以通过对矩阵B 施行与对矩阵B B
'所施行的相同的初等变换求出.
于是得到求正交矩阵的初等变换法B B E B BQ '????
→ ? ?
????
对B B '施行列初等变换,对B 施行行初等变换.实际上将B B '化为E ,
分别乘以11a 所在的行和列使11a 变成1；再施以
列初等变换把11a 所在行其他元素化为0，又施以行初等变换把11a 所在列的其他元素化为0 ,按此法,依次把22
nn a a ，变为 1.其它元素变为0,那么矩阵BQ 即为所求的矩阵P ,且
P AP '为对角阵,其中主对角线上元素1
1
,s
i l
s k k λλλλ
例1 求正交矩阵P 使P AP '为对角阵,其中422242224A ??
?
= ? ???
.
解：()42
22422
241
000100
01A E λλλλ---?? ?--- ?
?---??=
? ??? ? ? ?
??
21
00
1
241
221424*********
20010010100
1011
400122
2λλλλλλ
λλλλ
--???? ? ?----
?
? ?
?---+---
?
? ? ?→→ ?
? ?
? ?
? ?- ?--- ?
?
????
2
10012022582
200101111322λλλλλλ
??
?- ? ?-+-+-+
? ?→ ?
?
? ?---
???
∴ 矩阵A 的特征根为12λ=（二重）,28λ=.
当12λ=时,有()()111001001000010111122B P λλ??
? ? ?
?? ?= ? ???
? ?- ?-- ???
非零向量的列构成满秩矩阵,对应零向量的向量
化二次型为标准形的方法 内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以 线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法 关键词：二次型线性替换矩阵标准形 导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中 的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。 化二次型为标准形的方法 一． 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像 ()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。 定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对 其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。 例1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。
习题2—4 1．求解下列微分方程： （1） 4 252'--+-= y x x y y ； 解 方程组 ? ??--=+-42052y x x y 有解2,1-==y x .令2,1-=+=ηξy x ，代入原方程得 η ξξηξη--=22d d ， 这是齐次方程，令u ξη=，则上述方程化为 u u d du --=212ξξ. 分离变量后积分得 C u u =-+1)1(3 2ξ. 代回原变量，最后得原方程的通积分为 )3()1(3+-=++x y C y x . （2） 1 4212'-+++=y x y x y ； 解 由 22 412==，因此，令y x u 2+=，则原方程化为 1214-+=u u dx du ， 分离变量后积分得 C x u u +=+-214ln 4 3， 代回原变量，得原方程的通积分为 C y x x y =++--184ln 348. （3） xy y x y -=3 3'； 解 这是3=n 的伯努里方程，令2-=y z ，代入原方程，化简得 322x xz dx dz -=-， 这是线性方程，它的通解为
)()2(122222322x x x xdx xdx e e x C e dx e x C e z y ---++=?? ?????-+?==?， 即 11222++=x Ce y x . 显然有特解0=y . 2．利用适当的变换，求解下列方程： （1） 0)()3(22=+++dv uv u du v uv ； 解 将方程改写为 223v uv uv u dv du ++-=. 此方程为齐次方程.令zv u =，则方程化为 1 3242+--=z z z dv dz v . 变量分离积分得 1212C v z z =+. 代回原变量，得原方程的通积分为 C v u v u =+2232 1. （2） )2(2)3(2 2 2y x y x dx dy y x -=++； 解 将方程改写为 )()2(2)()3(222222x d x y y d y x -=++. 令v x u y ==22,，则方程化为 dv v u du v u )2(2)3(-=++， 即 324++-=v u v u dv du . 方程组 ? ??=++=-03024v u v u 有解2,1-=-=v u .令2,1-=-=ξηv u ，代入原方程得 η ξξηξη+-=24d d ，
化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ，i 化二次型为标准型的方法 二、二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax 2 +2bxy+ cy 2 = f . 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。，作转轴（反时针方 把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况. （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,???,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n +... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2 J x n ii I i i * in i n 匕 .n 二 n nil n 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y n x 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n （4） /n =C niy2+C n2y2+-C nnyn 称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。如果|cJ #。，那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 , i 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量 进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i 且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方. 注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型 设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是 s P P EP C 21 s T T T s T P P AP P P P AC C 2112. 由此可见, 对n n 2矩阵 E A 施以相应于右乘s P P P 21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘T s T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可 逆矩阵C . 三、用正交变换化二次型为标准形 定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r 注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即 .),,,(2 222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y 化二次型为标准型的方法 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax" + 2bxy+ cy' =f . (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin& ? ? y = X sin0+y cos0 把方程（1）化成标准方程。在二次曲而的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出 现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 向转轴） (2) 设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，?…Xn 的二次齐次多项式 f(XpXx ???,Xn)= a…xf +2apX]X 》+???+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +??? + 2a*nXjXn +??? + annXn2 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 X| =勺』|+匂汙2+???5 人 X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌 称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 那二ivj ?由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，???,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+??? + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, + n n =工工a/iXj i —1 它的系数排成一个n*n 矩阵 高斯消去法与矩阵的初等行变换 刘智永 一、 教学目标： 1） 使学生会用高斯消去法求解线性方程组 2） 使学生熟练矩阵的初等行变换、会化阶梯型矩阵 3） 使学生明白高斯消去法与矩阵初等行变换之间的内在联系 二、 教学方法：板书讲授 三、 教学用时：20分钟 四、 教学过程： 1.高斯消去法 求解下面线性方程组 注：1）求解n X n 阶线性方程组，高斯消去法的工作量是 0 （斤）o 例如求解一个 100万阶的方程组，高斯消去法的工作量为 0 （108）, 在一台每秒进行 1010次浮点运算的计算机上，需要 >3年的时间。 2 ）虽然高斯消去法有很大工作量，但今天仍得到广泛使用，例如它是超 级计算机 性能测评的一个重要基准（benchmark ）。在这个测评基准下中 国的天河2 号超级计算机连续3次排名全球第一，2014年12月的测 评基准已改变为共 轭梯度法。 2.矩阵的初等行变换 在高斯消去法中，加减乘除运算只与系数和右端项有关，与未知数无关。简 单地， 我们可以将线性方程组写成下面增广矩阵 (augme nted matrix)的形式 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 [1 2 2 2]? [0111] ? [0 1 1 1] 1 -13 0 0 -2 2 -1 0 0 4 1 当把线性方程组写成增广矩阵的形式以后，高斯消去法就表现为对增广矩阵 进行的初等行变换：将某一行的非零常数倍加到别的行；给某一行乘上非零常数 倍；交换两行的位置。 注：1） 上面最右端的矩阵被称为阶梯型（echelon form ）矩阵。 这里详细解说阶梯型矩阵的特征（零元在下、行首元非零、下行缩进）！ 2 ）上面的箭头不能写成？'='或者？ 等。（学生书写容易出错处！） 五、教学总结： 1）用高斯消去法求解线性方程组，以及对增广矩阵做初等行变换是两个完 全一致的过程。但后者的出现，大大减少了高斯消去法书写上的困难。 2）这些内容也是后面学习矩阵的秩和逆矩阵的重要基础 x 1 + x 2 + x 3 =1 {x 1 + 2x 2 + 2X 3 = 2 X i - X 2 + 3x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 =1 { x + X 3 = 1 -2x 2 + 2x 3 = -1 x 1 + { X 2 + x 3 = 1 x + X 3 4x 化二次型为标准形的几种方法 摘要 二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方． 关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法 reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文 题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 姓名：廖丹 学号：410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日 用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹 摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形 1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得 21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的 第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使 ()(),,P A E P A P '''=1 *,00r d d P ???? ? ? ? ? ? ?'= ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 则这个P '的转置阵就是我 2015届本科毕业论文 题目：二次型化为标准型方法 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-2班 学生姓名：赵江南 指导教师：艾合买提 答辩日期：2015年5月5日 目录 1 引言.............................................. 错误!未定义书签。 2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。 3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。 正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。 . 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。 . 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。 4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。 求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T.T 用初等行变换化行最简形的技巧 1. 一般是从左到右,一列一列处理 2. 尽量避免分数的运算 具体操作: 1. 看本列中非零行的首非零元 若有数a是其余数的公因子, 则用这个数把第本列其余的数消成零. 2. 否则, 化出一个公因子 给你个例子看看吧. 例: 2 -1 -1 1 2 1 1 - 2 1 4 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9 --a21=1 是第1列中数的公因子, 用它将其余数化为0 (*) r1-2r2, r3-4r2, r4-3r2 得 0 -3 3 -1 -6 1 1 - 2 1 4 0 -10 10 -6 -12 0 3 -3 4 -3 --第1列处理完毕 --第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3 -- 没有公因子, 用r3+3r4w化出一个公因子 -- 但若你不怕分数运算, 哪就可以这样: -- r1*(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1 -- 这样会很辛苦的^_^ r1+r4,r3+3r4 (**) 0 0 0 3 -9 1 1 - 2 1 4 0 -1 1 6 -21 0 3 -3 4 -3 --用a32把第2列中其余数化成0 --顺便把a14(下次要处理第4列)化成1 r2+r3, r4+3r3, r1*(1/3) 0 0 0 1 -3 1 0 -1 7 -17 0 -1 1 6 -21 0 0 0 22 -66 --用a14=1将第4列其余数化为0 r2-7r1, r3-6r1, r4-22r1 0 0 0 1 -3 1 0 -1 0 4 0 -1 1 0 -3 0 0 0 0 0 --首非零元化为1 r3*(-1), 交换一下行即得 1 0 -1 0 4 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -3 0 0 0 0 0 注(*): 也可以用a11=2 化a31=4 为0 关键是要看这样处理有什么好处 若能在化a31为0的前提下, a32化成了1, 那就很美妙了. 注(**): r1+r4 就是利用了1,4行数据的特点,先处理了a12. 总之, 要注意观察元素的特殊性灵活处理. 莆田学院数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文 题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 姓名：廖丹 学号：410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日 用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹 摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初 等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形 1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的 第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使 编号2009011146 毕业论文 （2013 届本科） 论文题目：化二次型为标准形的方法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级： 2009级本科（1）班 作者姓名：王瑜 指导教师：完巧玲职称：副教授 完成日期： 2013 年 05 月 07 日 目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (1) ０引言 (1) 1矩阵及二次型的相关概念 (1) 1．1矩阵的相关概念 (1) 1．2二次型的相关概念 (2) 2化二次型为标准形的方法 (3) 2．1配方法 (3) 2．2初等变换法（合同变换法） (5) 2．3正交变换法 (6) 2．4雅可比法 (8) 2．5MATLAB法 (12) 3 小结 (14) 参考文献 (15) 英文摘要 (15) 致谢 (16) 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二O一年月日 化二次型为标准形的方法 王瑜 完巧玲 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000 ） 摘 要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的． 关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比. ０ 引言 二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形．二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛．将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值． 实数域P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形．对于配方法或初等变换法即用非奇异变换 py x =将其化为2 1i n i i y d ∑=（d i 为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵P ，下 面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出P ，使问题简化．下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法． 1 矩阵及二次型的相关概念 1．1 矩阵的相关概念 定义]1[1.1.1 设V 是数域F 上的一个向量空间，V 中满足下列两个条件的向量组{n ααα,,,21 }叫做V 的一个基． i ) n ααα,,,21 线性无关； ii ) V 的每个向量都可以由n ααα,,,21 线性表示． 定义]1[2.1.1 设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维向量空间V 的两个基．那么向量β j ，n j ,,2,1 =，可以由n ααα,,,21 线性表示．设 §2 化二次型为标准形●用配方法化二次型为标准形 ●用正交变换法化二次型为标准形 6.2.1用配方法化二次型为标准形 定理6.2.1任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形。 定理6.2.2对任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在可逆矩阵C ，使得 C T AC =diag(d 1, d 2, ¨, d n )例6.2.1 用配方法把三元二次型 化为标准形，并求所用的线性变换X=CY 及变换矩阵C 。()2221231 2 3 121323 ,,23448f x x x x x x x x x x x x =+++--解先按及含有x 1的混合项配成完全平方，即 ()()()22 123112323,,22f x x x x x x x x x ?? =+-+-?? 21 x ()222 232323 238x x x x x x --++-()2 221232 3 23 24x x x x x x x =+-+-- ()()2 221231232 3 23 ,,24f x x x x x x x x x x =+-+--在上式中，再按22 234x x x -配成完全平方，于是 ()()()22 2 123123233 ,,225f x x x x x x x x x =+-+--令 11232233 32y x x x y x x y x =+-?? = -??=?代入上式中，得到二次型的标准形 ()2221231 2 3 ,,25f x x x y y y =+- 由 11232233 32y x x x y x x y x =+-?? = -??=?解得 112233*********x y x y x y --???? ?? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?????上式是化二次型为标准形所做的线性变换X=CY ，其中 111012001C --?? ?= ? ??? 矩阵初等变换法解方程组教案 课程：高等代 第1.1.1页 本掌握解纟目的方程组过教学G !使学生消 元法，理解矩阵在解线性方程组等实践中的应用.六 学数学里，同学们已经学习?工+七一兀一次 万程组的加减消兀一法，考虑其 一般化，本节介绍解n兀线性方 程组的（Gauss消兀法. 1 例引例1求 下列线性方程组 的解： 1-2x1 - X2 3x3 =1 4X1 2X2 5X3 = 4 用消元法求解，: C并采用分离百边与出求解过程中所相应的矩形数表（矩阵） 2x1 - x23x3 =1 4x-i 2x25x3 4 A T； 解 法 过二元、二 第一章矩阵 §1消元法 2x1 2x3 =6 课 程 第1.1.2页 2 -1 3 0 4 -1 1 2 .0 1 -1 1 (-2)①?②,(_1)①?③得 2X 1 -X 2 3X 3 =1 X 2 -X 3 二 2 X 2 —X3 =5 2x 1 2 -1 3 1、 0 1 -1 51 ^4-1 2 丿 对换④、 -X 2 X 2 4X 2 3x 2 =1 -X 3 = 5 一 X 3 =2 ⑤的位置得 2 -1 3 X 2 — X 3 =5 0 1 -1 5 4X 2 — X 3 =2 ^0 4-1 2 丿 (—4)X ⑤+④得 3x 2 =1 2x i _ X 2 X 2 2论一x 2 -1 1 0 二 1 =5 — 18 2 0 3 3X 3 -X 3 3x 3 '2 -1 3 1 \ 0 1 -1 5 ? 0 1 最后，将 ? 方程组 的解代入①得 X 3 2x i -x 2 3X 3 X 2 * X 3 一6 代入⑤， 冷 =9 . X 1 =9,X 2 - -1,X 3 - -6 3 -1 3 =1 二 5 二一6 得因2 此,; 1 5 —18 丿 初等行变换 一、基本理论 设A 为m n ?矩阵, 可对A 实施以下三类初等行变换，将A 化为行阶梯矩阵和最简行阶梯矩阵. (1)将A 的第i 行与第j 行交换位置; (2)将A 的第i 行乘以非零常数λ; (3)将A 的第i 行的λ倍加到第j 行. 行阶梯矩阵: 若A 的每个非零行上方没有非零行, 且每个非零行从左到右第一个非零元,j i i a 所在列号满足1 2r i i i <<< . 最简行阶梯矩阵: 若行阶梯矩阵 A 的每个阶梯元为1，且阶梯元所在列的其余元素都为零，则称A 为最简行阶梯矩阵. 二、Matlab 实现 由于需要反复使用三种初等行变换，所以将它们写成函数文件，方便以后调用. 1. 将第i 行和第j 行交换位置 2. 将第i 行乘以常数c 3. 将第i 行的c 倍加到第j 行 将以上三个函数文件保存到某个目录下, 例如 D:\myfunc 下，然后在Matlab 的File 菜单, Set Path, Add Folder ，将D:\myfunc 添加到 Matlab 的搜索路径, Save, Close. 即可在Matlab 中调用这三个函数. 三、例子 例. 将111421931A ?? ?= ? ??? 用初等行变换化为行阶梯矩阵和最简行阶梯矩阵. 解. 生成矩阵A A=sym('[1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]') A = [ 1, 1, 1] [ 4, 2, 1] [ 9, 3, 1] 将A 的第1行的(-4)倍加到第2行，结果保存到矩阵B : B=rowcomb(A, 1, 2, -4) B = [ 1, 1, 1] [ 0, -2, -3] [ 9, 3, 1] 将B 的第1行的(-9)倍加到第3行，结果仍保存到矩阵B B=rowcomb(B, 1, 3, -9) B = [ 1, 1, 1] [ 0, -2, -3] [ 0, -6, -8] 将B 的第2行的(-3)倍加到第3行 B=rowcomb(B, 2, 3, -3) B = [ 1, 1, 1] [ 0, -2, -3] [ 0, 0, 1] B 已经为行阶梯矩阵. 即A 可通过初等行变换化成行阶梯矩阵 111023001?? ?-- ? ??? 继续将B 化成最简行阶梯矩阵. 将第3行的3倍加到第2行 B=rowcomb(B,3,2,3) B = [ 1, 1, 1] [ 0, -2, 0] [ 0, 0, 1] 密级： JINING UNIVERSITY 学士学位论文 THESIS OF BACHELOR 题目化二次型为标准型的方法 系别：数学系 专业年级：数学与应用数学专业 2012级(3+2) 学生姓名：邢桃桃学号： 2012063331 指导教师：唐庆晨职称：副教授 起讫日期： 2014年3月7日至2014年5月27日 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 配方法 (2) 1.1解题步骤 (2) 1.2 典型例题 (3) 2 初等变换法 (4) 2.1 解题步骤 (5) 2.2 典型例题 (5) 3正交变换法 (6) 3.1解题步骤 (6) 3.2 典型例题 (7) 4 雅克比法 (8) 4.1解题思路 (8) 4.2典型例题 (8) 5偏导数法 (9) 5.1 解题思路 (9) 5.2典型例题 (10) 6 总结 (12) 参考文献 (13) 致谢 (13) 化二次型为标准形的方法 数学与应用数学专业学生邢桃桃 指导教师唐庆晨 摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点．本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法和偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。 关键词：配方法初等变换法正交变换法雅可比方法偏导数法 Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Student majoring in mathematics and applied mathematics xingtaotao Tutor Tang Qingchen Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 引言二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会 山东财经大学学士学位论文 山东财经大学 本科毕业论文(设计) 题目：初等变换的应用 The application of elementary transformation 学院XXXXXXXXXX 专业XXXXXXXXXXXXXXX 班级XXXXXXX 学号 XXXXXXXX 姓名XXXX 指导教师XXXXXX 山东财经大学教务处制 二Ｏ一三年五月 山东财经大学学士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 山东财经大学关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 指导教师签名：论文作者签名： 年月日年月日 初等变换的应用 摘要 初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法,而通常计算中使用最多的就是矩阵的初等行变换.本论文主要研究的是初等行变换在高等代数各方面的应用,讨论了初等变换在高等代数许多理论中的应用,如在多项式理论、矩阵理论、线性方程组理论、向量空间、线性变换、二次型理论等方面的应用.本课题将对矩阵的初等变换在高等代数中的应用进行系统地探讨,首先写出矩阵的初等变换的定义,然后对其相关的各方面的应用进行探讨. 关键词：多项式；矩阵；线性方程组；向量空间；线性变换；二次型 The application of elementary transformation ABSTRACT Elementary transformation is a very important thinking method in Higher Algebra, and usually the most used is the elementary row transformation of matrix in the calculations.This paper mainly studies the application of elementary row transformation in all aspects of Higher algebra, discusses the applications of elementary transformation in many theories of Higher algebra,such as in the polynomial theory,matrix theory, theory of linear equations, vector spaces, linear of transformation, the theory of quadratic form etc.This issue will make a systematic discussion of the application of elementary transformation of matrix in Higher Algebra, firstly write the definition of the application of elementary transformation of matrix, then explore the application of all aspects related to it. Keywords：polynomial；matrix；linear equations；vector spaces；linear of transformation；quadratic化二次型为标准型的方法
02 第二节 化二次型为标准型
化二次型为标准型的方法
高斯消去法与矩阵的初等变换
化二次型为实用标准形地几种方法
用初等变换化二次型为标准型
二次型化为标准形的几种方法
求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T
用初等变换化二次型为标准规定型
化二次型为标准形的方法
6.2化二次型为标准形(全)
矩阵初等变换法解方程组教案
初等行变换
_化二次型为标准形的方法
初等变换的应用
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