递归算法教案 Prepared on 22 November 2020
递归算法
一、基本说明
1．模块：高中信息技术选修《算法与程序设计》
2．年级：高中二年级
3．所用教材版本：上海科技出版社
4．所属的章节：第3章第4节
5．学时数： 45分钟（机房授课）
二、教学设计
1、教学目标：理解什么是递归算法，学会用递归算法的思想分析问题
能够应用自定义函数方法实现递归算法的编程
2、内容分析：本课是算法与程序设计靠后的教学内容，有一定难度，
需要详细讲解；同时本节内容比较难，教师可根据具体情况增加课时逐步进行授课。
3、学情分析：高二学生，有熟练的计算机操作能力，通过前面的学习，算法与程序设计水平大增，应能很好掌握。
4、设计思路：本节课逻辑思维比较复杂，需循序渐进，通过打比方等方法逐步讲解递归算法的原理。
三、教学过程
四、教学反思
1. 虽然有一定的难度，但大部分学生掌握较好。
2. 增加一个课时效果会更好。
3.该算法理解较难，讲解时语言要精练简洁，不可重复，否则会让学生理解困难。
4.6 反证法 教学目标 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题． 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 教学重难点 本节教学的重点是反证法的含义和运用. 课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 教学过程 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界． 那么什么叫反证法呢？(板书课题) 二、探究新知 (一)整体感知 证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件、公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．你能说出下列结论的反面吗？ 1．a⊥b.
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修 一、课程介绍 1.课程描述： 海商法课程的目的在于帮助学生对海商法基本知识有一个比较系统的了解，要求学生理解和掌握海上货物运输合同、海事侵权、海难救助、共同海损、海事污染损害赔偿、海事赔偿责任限制、海上保险合同、海事诉讼时效、涉外海事关系的法律适用等内容。本教程实行双语教学。作为先修课程，要求学生已修完《物权法学》、《民法》、《合同法》、《国际商法》、《保险法》等与本课程相关的基础课程。 2.设计思路： 本课程内容包括船舶、船员、海上运输、海事侵权、海难救助、共同海损、船舶 油污损害赔偿、海事赔偿责任限制、海上保险、海事诉讼时效、涉外海事关系的法律 适用等内容。每个部分以实际业务为背景，通过相关任务的学习与掌握，实现学生对 海商法基础知识和基本理论的掌握。在学习情境设置上，结合大量的海事海商案例， 引导学生自主学习，独立思考，积极发挥学生的主观能动性。课程考核实施过程考核 与结果考核相结合的课程评价体系。 二、课程目标 - 1 -
通过本教程的学习，使学生掌握海商法的基本知识，并了解有关的国际公约。同时，结合相关案例的讲解和讨论，使学生能理论和实践结合起来，以达到理论性、实践性、针对性和应用性的统一。通过双语授课，使学生在掌握海商法学科知识的同时，海商法专业英语词汇量得以增加，海商法专业英语应用能力得以提高，以培养与国际接轨的高层次、复合型的人才。 三、学习要求 要完成所有的课程任务，学生必须： （1）按时上课,上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习和测试。本课程将包 含较多的随堂练习、讨论、小组作业展示等课堂活动，课堂表现和出勤率是成绩考核 的组成部分。 （2）按时完成常规练习作业。这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交作业，才能掌握课程所要求的内容。延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。 （3）完成教师布置的一定量的阅读文献和背景资料等作业，其中大部分内容要求以 小组合作形式完成。这些作业能加深对课程内容的理解、促进同学间的相互学习、并 能引导对某些问题和理论的更深入探讨。 四、教学进度 - 1 -
4.6反证法教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
4.6 反证法教案 【教学目标】 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题. 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 【教学重点和难点】 本节教学的重点是反证法的含义和步骤. 课本“”合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 【教学准备】 课件 【教学设计】 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的他运用了怎样的推理方法 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维.反证法是数学中常用的一种方法.人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界. 那么什么叫反证法呢（板书课题） 二、探究新知 （一）整体感知
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的.这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定.既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了. 你能说出下列结论的反面吗 1.a⊥b 2. d是正数 3. a≥0 4. a∥b （二）师生互动 例求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角. （引导学生独立解决） 1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 把本题改编成填空题： 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. 证明: 假设____________,即_________. ∵_________（已知）, ∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行, 这与“_______________________ _____________”矛盾. ∴假设不成立,即求证的命题正确. ∴l3与l2相交.
算法设计的特征：有穷性，确定性，输入和输出，可行性 运行算法的时间：硬件的速度。书写程序的语言。问题的规模，编译生成程序的代码质量算法复杂度: 时间复杂度和空间复杂度 1．迭代法 迭代法又称为辗转法，是用计算机解决问题的一种基本方法，为一种不断用变量的旧值递推新值的过程，与直接法相对应，一次性解决问题。迭代法分为精确迭代和近似迭代，“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。迭代法利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。 利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1.确定迭代变量（在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地 不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。） 2. 建立迭代关系式（所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值 的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以顺推 或倒推的方法来完成。） 3.对迭代过程进行控制（在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑 的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为 两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所 需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实 现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程 的条件。） 2．穷举搜索法 穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并从众找出那些符合要求的候选解作为问题的解。 即本方法使用可以理解为暴力循环方法，穷举所有可能性，一般这种方法的时间效率太低，不易使用。但是方法简单，易理解。 3．递推法 递推是计算机数值计算中的一个重要算法，思路是通过数学推导，将复杂的运算化解为若干重复的简单运算，以充分发挥计算机长于重复处理的特点。递推法: 递推法实际上是一种递推关系，就是为了得到问题的解，把它推到比原问题简单的 问题求解，可分为顺推法和倒推法。 i.顺推法，就是先找到递推关系式，然后从初始条件出发，一步步地按 递推关系式递推，直至求出最终结果。 ii.倒推法，就是在不知道初始条件的情况下，经某种递推关系而获知问题的解，再倒过来，推知它的初始条件。 4．递归法（递推加回归） 一个过程或函数在其定义或说明中又间接或间接调用本身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题类似的规模较小的问题来求解，递 归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了 程序的代码量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。用递归思想 写出的程序往往十分简洁易懂。 一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归前往段。当边界条件不满脚时，递归前进;当边界条件满脚时，递归前往。
递归算法的实现 【基本信息】 【课标要求】 （三）算法与问题解决例举 1. 内容标准 递归法与问题解决 （1）了解使用递归法设计算法的基本过程。 （2）能够根据具体问题的要求，使用递归法设计算法、编写递归函数、编写程序、求解问题。 【教材分析】 “算法的程序实现”是《算法与程序设计》选修模块第三单元的内容，本节课是“递归算法的程序实现”，前面学习了用解析法解决问题、穷举法解决问题、在数组中查找数据、对数进行排序以及本节的前一小节知识点“什么是自定义函数”的学习，在学习自定义函数的基础上，学习递归算法的程序实现是自定义函数的具体应用，培养学生“自顶向下”、“逐步求精”的意识起着重要的作用。 『递归算法在算法的学习过程中是一个难点，在PASCAL和C语言等程序语言的学习过程中，往往是将其放在“函数与过程”这一章节中来讲解的。递归算法的实现也是用函数或是过程的自我调用来实现的。从这一点上来讲，作者对教材的分析与把握是准确的，思路是清晰的，目标是明确的。』 【学情分析】 教学对象是高中二年级学生，前面学习了程序设计的各种结构，在学习程序设计各种结构的应用过程中培养了用计算机编程解决现实中问题的能力，特别是在学习循环语句的过程中，应用了大量的“递推”算法。前一节课学习了如何自定义函数，在此基础上学习深入学习和体会自定义函数的应用。以递推算法的逆向思维进行求解问题，在学习过程中体会递归算法的思想过程。多维度的思考问题和解决问题是提高学生的学习兴趣关键。 『递归算法的本质是递推，而递推的实现正是通过循环语句来完成的。作者准确把握了学生前面的学习情况，对递归算法的本质与特征也分析的很透彻，可以说作者对教学任务的分析是很成功的，接来就要看，在成功分析的基础上作者是如何通过设计教学来解决教学难点的了。』 【教学目标】
二简易逻辑（§1.7.3 四种命题） 教学时间:第三课时 课题: §1.7.3 反证法 教学目标： 1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 教学重点：反证法证题的步骤. 教学难点：理解反证法的推理依据及方法. 教学方法：讲练结合教学. 教具准备：投影片共3张 教学过程： （I）复习回顾 师：初中已学过反证法，什么叫做反证法？ 生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 师：本节将进一步研究反证法证题的方法. （II）讲授新课 §1.7.3 反证法证题的步骤是什么？ 生： (注：学生回答时，教师投影出：反证法证明命题的一般步骤.) 师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。例如：“在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。”显然命题的结论是正确的，但直接证明是较困难的，而用反证法就容易证明之。请一同学证明。生：假设∠B是直角，因∠C是直角，所以∠C+∠B=1800，此时∠A=00，这与ABC 为三角形相矛盾。所以∠B为锐角。 师：请讨论上述证明推理是否正确？为什么？
生：上述证明推理不完整。因∠B 不是锐角有两种情况，即∠B 为直角或钝角， 必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B 一定是锐角。 师：分析正确。由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时， 必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确. 下面看例题：（投影片2） （由学生回答，教师书写） 证明：假设 不大于 ，即 或 。 ∵ a>0,b>0 ∴ (由学生回答上述步骤转化的目的是什么？) (推理利用了不等式的传递性) 又由 但这些都与已知条件a>b>0矛盾. ∴ 成立。 （投影片3） 师分析：假设弦AB 、CD 被P 平分，连结OP ，由平面几何知识可推出： 生：OP ⊥AB 且OP ⊥CD 。又推出：在平面内过一点P 有两条 直线AB 和CD 同时与OP 垂直，这与垂线性质矛盾，则 原命题成立。 证明：（略）（可由投影片给出证明） 师：由上述两例题可看：利用反证法证明时，关键是从假 设结论的反面出发，经过推理论证，得出可能与命题 的条，或者与已学过的定义、公理、定理等相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是不正确的，从而肯定了命题结论的正确性。 例5：若p>0,q>0,p 3+p 3=2.试用反证法证明：p+q ≤2. a b b a ＜b a ＝.b b b a a b b a b a ?
递 归 冯文科 一、递归的基本概念。 一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引 用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。 二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。 在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及n a 与前面临近几项之间的关系。 要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。 比如阶乘数列 1、2、6、24、120、720…… 如果用上面的方式来描述它，应该是： ???>==-1 ,1,11n na n a n n 如果需要写一个函数来求n a 的值，那么可以很容易地写成这样：
这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一 些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。 递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为 特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。 以上面求阶乘数列的函数)(n f 为例。如在求)3(f 时，由于3不是特殊值，因此需要计 算)2(*3f ，但)2(f 是对它自己的调用，于是再计算)2(f ，2也不是特殊值，需要计算 )1(*2f ，需要知道)1(f 的值，再计算)1(f ，1是特殊值，于是直接得出1)1(=f ，返回上 一步，得2)1(*2)2(==f f ，再返回上一步，得62*3)2(*3)3(===f f ，从而得最终解。 用图解来说明，就是 下面再看一个稍复杂点的例子。 【例1】数列}{n a 的前几项为
《海商法》教学大纲 大纲说明 课程代码：5035029/5035030 总学时：48学时（讲课44学时,实践4学时） 总学分：3 课程类别：专业选修课 适用专业：法学专业 预修要求：国际贸易法、国际经济法 一、课程的性质、目的和任务： 海商法是民法的特别法，是具有很强国际性的国内法，与国际贸易、金融等诸多国际经济领域有密切联系，是涉外经贸法律中的必修课程。通过本课程的教学，要求学生掌握我国的海商法律、行政法规、法律规范性解释，有关海事、海商的国际公约、国际惯例、外国法律；熟悉我国和外国的部分典型海事案例，初步掌握海事、海商中的基础英文术语，熟悉提单、保险单等单证的英文文本，提高学生实际分析问题、解决问题的能力。 二、课程教学的基本要求： 本课程的教学采用启发式教学方法，循序渐进，结合典型海事案例分析、讲述关于海商法的专业理论。作到概念清，层次分明，逻辑清晰。使学生能初步掌握有关海上运输和海上保险的基本理论知识，提高自学与更新本专业知识的能力。 三、教学方法和教学手段的建议： 教学中以课堂讲解为主，采用教学与案例相结合、举案说法等方法,运用多媒体等教学手段。 四、大纲的使用说明： 采用多媒体教学手段，主要由教师进行课堂讲解、结合案例、进行课堂讨论等方法进行教学。本大纲为法学本科生设置。 大纲正文 第一章绪论学时：2学时本章要点：了解并掌握海商法的概念、渊源，熟悉国际及我国海商法的历史发展。++``- 重点和难点：理解并掌握海商法的定义、特点和渊源。 第一节海商法的概念 一、海商法的定义 （一）1992年《中华人民共和国海商法》第一条对“海商法”所作出的定义 （二）海商法的调整对象 二、海商法的性质 三、海商法的特点 （一）专业性
算法递归典型例题 实验一：递归策略运用练习 三、实验项目 1．运用递归策略设计算法实现下述题目的求解过程。 题目列表如下： （1）运动会开了N天，一共发出金牌M枚。第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此办理。到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。编程求N和M。 （2）国王分财产。某国王临终前给儿子们分财产。他把财产分为若干份，然后给第一个儿子一份，再加上剩余财产的1/10；给第二个儿子两份，再加上剩余财产的1/10；……；给第i 个儿子i份，再加上剩余财产的1/10。每个儿子都窃窃自喜。以为得到了父王的偏爱，孰不知国王是“一碗水端平”的。请用程序回答，老国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？ 源程序： （3）出售金鱼问题：第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼；第二次卖出乘余金鱼的三分之一加三分之一条金鱼；第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼；现在还剩下11条金鱼，在出售金鱼时不能把金鱼切开或者有任何破损的。问这鱼缸里原有多少条金鱼？ （4）某路公共汽车，总共有八站，从一号站发轩时车上已有n位乘客，到了第二站先下一半乘客，再上来了六位乘客；到了第三站也先下一半乘客，再上来了五位乘客，以后每到一站都先下车上已有的一半乘客，再上来了乘客比前一站少一个……，到了终点站车上还有乘客六人，问发车时车上的乘客有多少？ （5）猴子吃桃。有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？ （6）小华读书。第一天读了全书的一半加二页，第二天读了剩下的一半加二页，以后天天如此……，第六天读完了最后的三页，问全书有多少页？ （7）日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。分完后父亲说：“老大将分给你的桔子的1/8给老二；老二拿到后连同原先的桔子分1/7给老三；老三拿到后连同原先的桔子分1/6给老四；老四拿到后连同原先的桔子分1/5给老五；老五拿到后连同原先的桔子分1/4给老六；老六拿到后连同原先的桔子分1/3给老大”。结果大家手中的桔子正好一样多。问六兄弟原来手中各有多少桔子？ 四、实验过程 （一）题目一：…… 1.题目分析 由已知可得，运动会最后一天剩余的金牌数gold等于运动会举行的天数由此可倒推每一 天的金牌剩余数，且每天的金牌数应为6的倍数。 2.算法构造 设运动会举行了N天， If(i==N)Gold[i]=N; Else gold[i]=gold[i+1]*7/6+i;
第二十二教时反证法 教材：反证法 目的：要求学生初步学会反证法的步骤，并能用以证明一些命题。 过程： 一、提出问题：初中平几中有一个命题： “过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”。 二、如何证明： 1，（教师给出如下方法） 证：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点， 则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上， 即O 是l 与m 的交点。 但∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾) ∴过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作图。 2．指出这种证明方法是“反证法”。 定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反 证法。 即：欲证p 则q ，证：p 且非q （反证法） 3，反证法的步骤：1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 4，反证法：1）反设（即假设） p 则q （原命题） 反设p 且非q 。 2）可能出现三种情况： ①导出非p 为真——与题设矛盾。 ②导出q 为真——与反设中“非q “矛盾。 ③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。 三、例一（P 32例3） 用反证法证明：如果a >b >0，那么b a >。 证一（直接证法）()()b a b a b a -+=-， ∵a >b >0,∴a b >0即()()0>-+b a b a ,∴ 0>-b a ∴b a > 证二（反证法）假设a 不大于b ，则b a b a =<或 ∵a >0,b >0,∴b a a a b a ?． 例二、（P 32--33例4）用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 证明：反设AB 、CD 被P 平分 ∵P 不是圆心，连结O P 则由垂径定理： O P AB ，O P CD 则过P 有两条直线与O P 垂直（矛盾） ∴弦AB ，CD 不被P 平分 例三、用反证法证明：2不是有理数。 证：假设2是有理数，则不妨设n m = 2（m ,n 为互质正整数） 从而：2)(2 =n m ，222n m =，可见m 是偶数。 设m =2p （p 是正整数），则 22242p m n ==，可见n 是偶数。 这样，m .,n 就不是互质的正整数（矛盾）。∴n m =2不可能 ∴2不是有理数。 四、小结：反证法定义、步骤、注意点 五、作业：P 33练习 P 34习题1．7 5 及《三维设计》P 33例二。 A
递归算法详解标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]
递归 冯文科一、递归的基本概念。 一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。 二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。 在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简 a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及 n 系。 要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。 比如阶乘数列 1、2、6、24、120、720…… 如果用上面的方式来描述它，应该是： a的值，那么可以很容易地写成这样： 如果需要写一个函数来求 n
这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。 递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。 以上面求阶乘数列的函数) f为例。如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需 (n 要计算)2( 3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计 * 算)1( f，返回 )1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1 * 上一步，得2 3 * )2( )3(= = f，从而得最终 =f )1( 3 2 * * )2(= =f 2 f，再返回上一步，得6 解。 用图解来说明，就是
1 2. 2.2反证法 课前预习学案 一、预习目标： 使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题. 二、预习内容： 提出问题： 问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？ 学生尝试用直接证明的方法解释。 采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上． 问题2：A 、B 、C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎。则C 必定是在撒谎，为什么？ 分析:假设C 没有撒谎, 则C 真.那么A 假且B 假;由A 假, 知B 真. 这与B 假矛盾.那么假设C 没有撒谎不成立;则C 必定是在撒谎. 推进新课 在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、 学习目标 （1）使学生了解反证法的基本原理； （2）掌握运用反证法的一般步骤； （3）学会用反证法证明一些典型问题. 二、学习过程： 例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα??，且||a b ，求证||a α。
Make By Mr.Cai 思路介绍： 首先，可证明，当盘子的个数为n 时，移动的次数应等于2^n - 1。 然后，把三根桩子按一定顺序排成品字型（如：C ..B .A ），再把所有的圆盘按至上而下是从小到大的顺序放在桩子A 上。 接着，根据圆盘的数量确定桩子的排放顺序： 若n 为偶数，按顺时针方向依次摆放C ..B .A ； 若n 为奇数，按顺时针方向依次摆放B ..C .A 。 最后，进行以下步骤即可： （1）首先，按顺时针方向把圆盘1从现在的桩子移动到下一根桩子，即当n 为偶数时，若圆盘1在桩子A ，则把它移动到B ；若圆盘1在桩子B ，则把它移动到C ；若圆盘1在桩子C ，则把它移动到A 。 （2）接着，把另外两根桩子上可以移动的圆盘移动到新的桩子上。 即把非空桩子上的圆盘移动到空桩子上，当两根桩子都非空时，移动较小的圆盘。 （3）重复（1）、（2）操作直至移动次数为2^n - 1。 #include
} void Push(int top)//进栈 { s[++this->top]=top; } void setNext(Stake *p) { next=p; } Stake *getNext()//获取下一个对象的地址 { return next; } int getName()//获取当前桩子的编号 { return name; } private: int s[Cap+1];//表示每根桩子放盘子的最大容量 int top,name; Stake *next; }; void main() { int n; void hanoi(int,int,int,int); cout<<"请输入盘子的数量："; cin>>n; if(n<1) cout<<"输入的盘子数量错误!!!"< 海商法教学系统案例 第一章船舶 一、船舶所有权 案例一： 【案情简介】 甲船务公司与乙公司于2000年1月20日签订《“风帆”轮转让协议书》。约定如下：由甲方将其所属的“风帆”轮以人民币1500万转让给乙方；乙方应于2000年9月25日至29日对该轮进行外观勘验并接受该船；该轮应严格依乙方验船时之现状交船，属于该船的所有技术证书、设备、备件、物料和技术资料等，无论在船上还是在岸上，均应随船交给乙方。签约后，甲、乙公司于2001年1月25日13：00时在黄埔港交船完毕。事后乙公司得知，甲公司曾在交船前通过其原经营人丁公司代购“风帆”轮的辅机备件及主机备件，并分别于2000年4月4日由丁公司将辅机备件以及于10月22日将主机备件先后在香港交付运输，运抵广州后就一直存放于广州一物资供应站仓库内。乙公司遂向甲公司主张这两批备件的权利，未果，便诉至法院，诉称：本案双方在船舶买卖合同中早已对该船的备件等做了明确的约定，即不论是船上还是岸上的备件均随船交付，并且根据习惯，该轮的备件也只能用于该轮之上，因此，甲公司应将存放于仓库中的主机 备件与辅机备件一并交付。 【思考方向】 1．本案双方所签订的船舶转让协议是否有效? 2．双方对标的的交付范围是否明确? 3．若双方合同未曾涉及船员私人物品及粮、油、烟、酒等用品之归属，乙公司可否对此也主张权利? 4．甲公司是否已完全履行了交付义务? 5．如何认定2000年4月4日发运的“风帆”轮的辅机备件及同年10月22日发运的主机备件的权利归属? 【学理分析】 在本案中，首先应认定甲乙双方所签之船舶转让协议是在双方协商一致的基础上达成的，内容合法，当为有效合同。其次，双方在协议中明确约定，乙方应于2000年9月25日至29日对该轮进行外观勘验并接受该船，因此本案之交易是确定的。据此应认定双方对船舶及 2.2.2反证法 一、 教学目标 （1）了解反证法的基本原理； （2）掌握运用反证法的一般步骤； （3）学会用反证法证明一些典型问题. 二、教学重点和难点 教学重点和难点：用反证法证明一些典型问题. 三、教学过程： 例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα??，且||a b ，求证||a α。 解析：让学生理解反证法的严密性和合理性； 证明：因为||a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。 因为a α?，而a β?， 所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α?，且b β?， 所以b αβ= . 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈= ，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α. 点评：用反证法的基本步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利 变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分. 例2、求证：2不是有理数 解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n （,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n ， 使得m n = ，从而有m =, 因此，222m n =， 所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有 2242k n =，即 222n k = 所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数． 点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 变式训练2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ） 例3、设二次函数q px x x f ++=2)(， 求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2 1. 解析：直接证明)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于 21.比较困难，我们应采用反证法 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于2 1，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 2)39()24(2)1() 3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 递归算法详解 C通过运行时堆栈支持递归函数的实现。递归函数就是直接或间接调用自身的函数。 许多教科书都把计算机阶乘和菲波那契数列用来说明递归，非常不幸我们可爱的著名的老潭老师的《C语言程序设计》一书中就是从阶乘的计算开始的函数递归。导致读过这本经书的同学们，看到阶乘计算第一个想法就是递归。但是在阶乘的计算里，递归并没有提供任何优越之处。在菲波那契数列中，它的效率更是低的非常恐怖。 这里有一个简单的程序，可用于说明递归。程序的目的是把一个整数从二进制形式转换为可打印的字符形式。例如：给出一个值4267，我们需要依次产生字符‘4’，‘2’，‘6’，和‘7’。就如在printf函数中使用了%d格式码，它就会执行类似处理。 我们采用的策略是把这个值反复除以10，并打印各个余数。例如，4267除10的余数是7，但是我们不能直接打印这个余数。我们需要打印的是机器字符集中表示数字‘7’的值。在ASCII码中，字符‘7’的值是55，所以我们需要在余数上加上48来获得正确的字符，但是，使用字符常量而不是整型常量可以提高程序的可移植性。‘0’的ASCII码是48，所以我们用余数加上‘0’，所以有下面的关系： ‘0’+ 0 =‘0’ ‘0’+ 1 =‘1’ ‘0’+ 2 =‘2’ ... 从这些关系中，我们很容易看出在余数上加上‘0’就可以产生对应字符的代码。接着就打印出余数。下一步再取商的值，4267/10等于426。然后用这个值重复上述步骤。 这种处理方法存在的唯一问题是它产生的数字次序正好相反，它们是逆向打印的。所以在我们的程序中使用递归来修正这个问题。 我们这个程序中的函数是递归性质的,因为它包含了一个对自身的调用。乍一看，函数似乎永远不会终止。当函数调用时，它将调用自身，第2次调用还将调用自身，以此类推，似乎永远调用下去。这也是我们在刚接触递归时最想不明白的事情。但是，事实上并不会出现这种情况。 这个程序的递归实现了某种类型的螺旋状while循环。while循环在循环体每次执行时必须取得某种进展，逐步迫近循环终止条件。递归函数也是如此，它在每次递归调用后必须越来越接近某种限制条件。当递归函数符合这个限制条件时，它便不在调用自身。 在程序中，递归函数的限制条件就是变量quotient为零。在每次递归调用之前，我们都把quotient除以10，所以每递归调用一次，它的值就越来越接近零。当它最终变成零时，递归便告终止。 /*接受一个整型值（无符号0，把它转换为字符并打印它，前导零被删除*/ 建设银行诉万进集装箱航运公司、元通造船厂、康达造船厂在座船舶抵押纠纷案 被告万进集装箱航运公司(以下简称“万进航运”)为扩充业务，决定向被告舟山元通造船厂(以下前称“元通造船厂”)、被告宁波康达造船厂(以下简称“康达造船厂”)订造10艘集装箱船舶。双方依据中船总公司公布的《造船合同》范本订立了《船舶建造合同》(以下简称《造船合同》)。万进航运在支付第一笔购船款后，因资金不足，需要向银行贷款融资。在多次业务沟通之后，万进航运决定向原告小国建设银行(以下简称“建设银行”)申请贷款。2009年10月9日，建设银行与万进航运、元通造船厂、康达造船厂签订7一份《关于10搜集装路船舶买卖的贷款合同》(以下简称《贷款合同》)。10月24日，双方又签订了补充协议，作为《贷款合同》的附件。此两份文件共同构成“贷款协议”。该“贷款协议”约定，建设银行为万进航运订造的在建船舶(均已安放龙骨)提供贷款，元通造船厂、康达造船厂将其建造的船舶抵押给建设银行作为万进航运按时偿还贷款的担保。同年10月25日，建设银行与元通造船厂、康达造船厂正式签订抵押合同，办理7相关手续，并于之后办理了建造中船舶抵押登记。同日，建设银行依协议约定向万进航运发放贷款3，000万美元。N月13日，万进航运依“贷款协议”的约定，偿还7部分贷款，由此万进航运应偿还的贷款木金减为2057万美元。到20l0年5月14日，即双方约定的第二期还款日，万进航运未能履行其还款义务。6月1日，建设银行按《贷款合同》的约定，向万进航运发出传真，宣 布其违约．要求其偿还贷款本息共计2，877万美金。建设银行在多次要求万进航运偿还款项未果后，于10月向宁波海事法院起诉，要求法院拍卖在建船舶，实现在建船舶抵押权。 [事实提炼】 被告向造船厂订造船舶，因资金不足而向原告贷款，井由造船厂以建造中的船舶为标的物担保被告按时还款。后被告未能如期还款，原告遂向法院起诉，要求实现其享有的建造中船舶抵押权。 [争议问题提炼】 1．建设银行是否享合建造中船舶抵押权? 2．建设银行能否实现其享有的建造中船舶抵押枚? 一、建设银行享有理造中船舶抵押权 我国《物权法》第23条规定：“动产物权的设立和转让，自交付时发生效力，但法律另有规定的除外。因此，建造中船舶交付前的所有权归属于造船企业，即元通造船厂、康达造船厂拥有这10艘建造中船舶的所有权。 依据我国《物权法》第39条和第180条的规定，债务人或第三人有权处分的正在建造的建筑物、船舶、航空器可以进行抵押。因此，元通造船厂、康达造船厂作为建造中船舶的所有权人，能够将其享有所有权的建造中船舶进行抵押。 由于建造中船舶不属于我国《海商法》第3条所规定的船舶，因此抵押不能依据我国《船舶登记条例》进行登记，只能依据相关的行政法规进行登记。我国海事局1994年12月17日发布的《(中华人民 ○1优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。 ○2缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素 应用分治法的两个前提是问题的可分性和解的可归并性 以比较为基础的排序算法的最坏倩况时间复杂性下界为0(n·log2n)。 回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树T。 舍伍德算法设计的基本思想: 设A是一个确定性算法，当它的输入实例为x时所需的计算时间记为tA(x)。设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体，则当问题的输入规模为n时，算法A所需的平均时间为 这显然不能排除存在x∈Xn使得的可能性。希望获得一个随机化算法B，使得对问题的输入规模为n的每一个实例均有 拉斯维加斯( Las Vegas )算法的基本思想: 设p(x)是对输入x调用拉斯维加斯算法获得问题的一个解的概率。一个正确的拉斯维加斯算法应该对所有输入x均有p(x)>0。 设t(x)是算法obstinate找到具体实例x的一个解所需的平均时间 ,s(x)和e(x)分别是算法对于具体实例x求解成功或求解失败所需的平均时间，则有： 解此方程可得： 蒙特卡罗(Monte Carlo)算法的基本思想: 设p是一个实数，且1/2海商法教学系统案例
选修2-2反证法教案
递归算法详解
船舶抵押案例(1)教案资料
递归算法的优缺点
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