普通物理的数学基础
选自赵凯华老师新概念力学
一、微积分初步
物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。
§1．函数及其图形
1．1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量
1．2函数的图象
1．3物理学中函数的实例
§2．导数
2．1极限
如果当自变量x无限趋近某一数值x0（记作x→x0）时，函数f（x）的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做x→x0时函数f（x）的极限值，并记作
（A．17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A．17）式读作“当x趋近x0时，f（x）的极限值等于a”。
极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义。
考虑下面这个函数：
这里除x＝1外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当
但是若问x＝1时函数值f（1）＝？我们就会发现，这时（A．18）式的
说是没有意义的。所以表达式（A．18）没有直接给出f（1），但给出了x无论如何接近1时的函数值来。下表列出了当x的值从小于1和大于1两方面趋于1时f（x）值的变化情况：
表A-1 x与f（x）的变化值
x3x2-x-2x-1
0.9-0.47-0.1 4.7
0.99-0.0497-0.01 4.97
0.999-0.004997-0.001 4.997
0.9999-0.0004997-0.0001 4.9997
1.10.530.1 5.3
1.010.5030.01 5.03
1.0010.0050030.001 5.003
1.00010.000500030.0001 5.0003
从上表可以看出，x值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值——5，这便是x→1时f（x）的极限值。
其实计算f（x）值的极限无需这样麻烦，我们只要将（A．18）式的分子作因式分解：
3x2-x-2＝（3x＋2）（x-1），
并在x≠1的情况下从分子和分母中将因式（x－1）消去：
即可看出，x趋于1时函数f（x）的数值趋于3×1＋2＝5。所以根据函数极限的定义，
求极限公式
（2）
（3）
（4）
等价无穷小量代换
sinx～x; tan～x; arctanx～x; arcsinx～x;
2．2极限的物理意义
（1）瞬时速度
对于匀变速直线运动来说，
这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A．5）。
（2）瞬时加速度
时的极限，这就是物体在t＝t0时刻的瞬时加速度a：
（3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把x坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图A-5），于是各处渠底的高度h便是x的函数：
h=h（x）．
知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。
就愈能精确地反映出x=x0这一点的坡度。所以在x=x0这一点的坡度k应是△
2．3函数的变化率——导数
前面我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是t，第三个例子中自变量是x．这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往还需要有“运动”或“变化”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，亦即，函数的“变化率”概念。
当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量。增量，通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示。例如，当自变量x 的数值由x0变到x1时，其增量就是
△x≡x1-x0．（A．25）
与此对应。因变量y的数值将由y0＝f（x0）变到y1=f（x1），于是它的增量为
△y≡y1-y0=f（x1）－f（x0）＝f（x0+△x）－f（x0）．（A．26）应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少。增量比
可以叫做函数在x＝x0到x＝x0+△x这一区间内的平均变化率，它在△x→0时的极限值叫做函数y＝f（x）对x的导数或微商，记作y′或f′（x），
f（x）等其它形式。导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率。
应当指出，函数f（x）的导数f′（x）本身也是x的一个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫做函数y＝f（x）
据此类推，我们不难定义出高阶的导数来。
有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为：
2．4导数的几何意义
在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的。如图A-6所示，为了确定曲线在P0点的切线，我们先在曲线上P0附近选另一点P1，并设想P1点沿着曲线向P0点靠拢。P0P1的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述。从图上不难看出，P1点愈靠近P0点，α角就愈接近一个确定的值α0，当P1点完全和P0点重合的时候，割线P0P1变成切线P0T，α的极限值α0就是切线与横轴的夹角。
在解析几何中，我们把一条直线与横坐标轴夹角的正切tanα叫做这条直线的斜率。斜率为正时表示α是锐角，从左到右直线是上坡的（见图A-7a）；斜率为负时表示α是钝角，从左到右直线是下坡的（见图A-7b）。现在我们来研究图A-6中割线P0P1和切线P0T的斜率。
设P0和P1的坐标分别为（x0，y0）和（x0+△x，y0+△y），以割线P0P1为斜边作一直角三角形△P0P1M，它的水平边P0M的长度为△x，竖直边MP1的长度为△y，因此这条割线的斜率为
如果图A-6中的曲线代表函数y=f（x），则割线P0P1的斜率就等于函数在
线P0P1斜率的极限值，即
所以导数的几何意义是切线的斜率。
§3．导数的运算
在上节里我们只给出了导数的定义，本节将给出以下一些公式和定理，利用它们可以把常见函数的导数求出来。
3．1基本函数的导数公式（1）y＝f（x）＝C（常量）
（2）y=f（x）＝x
（3）y＝f（x）=x2
（4）y＝f（x）＝x3
上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当y=x n时，
等等。利用（A．33）式我们还可以计算其它幂函数的导数（见表A-2）。
除了幂函数x n外，物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数。我们只给出这些函数的导数公式（见表A-2）而不推导，读者可以直接引用。
3．2有关导数运算的几个定理
定理一
证：
定理二
表A-2基本导数公式函数y=f(x)导数y′=f′(x)
c(任意常量)0
x n(n为任意常量)nx n-1
n=1,x1
n=2,x22x
n=3,x33x2
……………………
sinx cosx
cosx -sinx
lnx
e x e x
定理三
定理四
例题1求y=x2±a2（a为常量）的导数。
例题3求y=ax2（a为常量）的导数。
例题4求y=x2e x的导数。
例题6求y＝tanx的导数。
例题7求y＝cos（ax＋b）（a、b为常量）的导数。解：令v＝ax＋b，y＝u（v）＝cosv，则
例题9求y=x2e－ax2（a为常量）的导数。
解：令u＝e v，v＝－ax2，则
§4．微分和函数的幂级数展开
4．1微分
自变量的微分，就是它的任意一个无限小的增量△x．用dx代表x的微分，则
dx=△x．（A．38）
一个函数y=f（x）的导数f′（x）乘以自变量的微分dx，叫做这个函数的微分，用dy或df（x）表示，即
dy≡df（x）≡f′（x）dx，（A．39）
一个整体引入的。当时它虽然表面上具有分数的形式，但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分。在引入微分的概念之后，我们就可把导数看成微分dy与dx之商（所谓“微商”），即一个真正的分数了。把导数写成分数形式，常常是很方便的，例如，把上节定理四（A．37）
此公式从形式上看就和分数运算法则一致了，很便于记忆。
下面看微分的几何意义。图A-8是任一函数y＝f（x）的图形，P0（x0，y0）和P1（x0+△x，y0+△y）是曲线上两个邻近的点，P0T是通过P0的切线。直角三角形△P0MP1的水平边
的交点为N，则
但tan∠NP0M为切线P0T的斜率，它等于x=x0处的导数f′（x0），因此
所以微分dy在几何图形上相当于线段MN的长度，它和增量
是正比于（△x）2以及△x更高幂次的各项之和[例如对于函数y=f（x）＝x3，△y＝3x2△x＋3x（△x）2＋（△x）3，而dy=f′（x）△x=3x2△x]．当△x很小时，（△x）2、（△x）3、…比△x小得多，
中的线性主部。这就是说，如果函数在x=x0的地方象线性函数那样增长，则它的增量就是dy．
§5.积分
5.1几个物理中的实例
(1)变速直线运动的路程
我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。如果物体的速率是v，则它在t a
到t b一段时间间隔内走过的路程是
s＝v(t b－t a). (A.45)
对于变速直线运动来说，物体的速率v是时间的函数：
v＝v(t)，
函数的图形是一条曲线(见图A-10a)，只有在匀速直线运动的特殊情况下，它才是一条直线(参见图A-4b)。对于变速直线运动，(A.45)式已不适用。但是，我们可以把t＝t a到t＝t b这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的。这样一来，物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小段时间里走过的路程都加起来，就得到t a到t b这段时间里走过的总路程。
设时间间隔(t b－t a)被t＝t1(=t a)、t2、t3、…、t n、t b分割成n小段，每小段时间间隔都是△t，则在t1、t2、t3、…、t n各时刻速率分别是v(t1)、v(t2)、v(t3)、…、v(t n)。如果我们把各小段时间的速率v看成是不变的，则按照匀速直线运动的公式，物体在这些小段时间走过的路程分等于v(t1)△t、v(t2)△t、v(t3)△t、…、v(t n)△t.于是，在整个(t b-t a)这段时间里的总路程是
现在我们来看看上式的几何意义。在函数v＝v(t)的图形中，通过t=t1、t2、t3、…、t n各点垂线的高度分别是v(t1)、v(t2)、v(t3)、…、v(t n)(见图
A-10b)，所以v(t1 )△t、v(t2)△t、v(t3)△t、…、v(t n)△t就分
这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状图形的面积。
在上面的计算中，我们把各小段时间△t里的速率v看做是不变的，实际上在每小段时间里v多少还是有些变化的，所以上面的计算并不精确。要使计算精确，就需要把小段的数目n加大，同时所有小段的△t缩短(见图A-10c)。△t愈短，在各小段里v就改变得愈少，把各小段里的运动看成匀速运动也就愈接近实际情况。所以要严格地计算变速运动的路程s，我们就应对(A.46)式取n→∞、△t→0的极限，即
当n愈来愈大，△t愈来愈小的时候，图A-10中的阶梯状图形的面积
就愈来愈接近v(t)曲线下面的面积(图A-10d)。所以(A.47)式中的极限值等于(t b－t a)区间内v(t)曲线下的面积。
总之，在变速直线运动中，物体在任一段时间间隔(t b－t a)里走过的路程要用(A.47)式来计算，这个极限值的几何意义相当于这区间内v(t)曲线下的面积。
(2)变力的功
当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置s＝s a移到s＝s b的过程中，恒力F对它所作的功为
A＝F(s b－s a) A.48)
如果力F是随位置变化的，即F是s的函数：F＝F(s)，则不能运用(A.48)式来计算力F的功了。这时，我们也需要象计算变速运动的路程那样，把(s b －s a)这段距离分割成n个长度为△s的小段(见图A-11)
并把各小段内力F的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算出每小段路程△s上的功，然后加起来取n→∞、△s→0的极限值。具体地说，设力F在各小段路程内的数值分别为F(s1)、F(s2)、F(s3)、…、F(sn)，则在各小段路程上力F所作的功分别为F(s1)△s、F(s2)△s、F(s3)△s、…、F(s n)
△s.在(s b－s a)整段路程上力F的总功A就
都是变化的，所以严格地计算，还应取n→∞、△s→0的极限值，即
同上例，这极限值应是(s b－s a)区间内F(s)下面的面积(见图A-12)。
5 2定积分
以上两个例子表明，许多物理问题中需要计算象(A.47)和(A.49)式中给出的那类极限值。概括起来说，就是要解决如下的数学问题：给定一个函数f(x)，用x＝x1(=a)、x2、x3、…、x n、b把自变量x在(b－a)区间内的数值分成n小段，设每小段的大小为△x，求n→∞、△x→0时
函数，b和a分别叫做定积分的上限和下限。
用定积分的符号来表示，(A.47)和(A.49)式可分别写为
在变速直线运动的路程公式(A.51)里，自变量是t，被积函数是v(t)，积分的上、下限分别是t b和t a；在变力作功的公式(A.52)里，自变量是s，被积函数是F(s)，积分的上、下限分别是s b和s a.
求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理：
如果被积函数f(x)是某个函数Ф(x)的导数，即
f(x)=Ф′(x)，
则在x＝a到x＝b区间内f(x)对x的定积分等于Ф(x)在这区间内的增量，即
现在我们来证明上述定理。
在a?x?b区间内任选一点x i，首先考虑Ф(x)在x=x i到x=x i+△x≡x i+1
区间的增量△Ф(x i)=Ф(x i+1)-Ф(x i)：
但按照定理的前提，Ф′(x)=f(x)，故
△Ф(x i)≈Ф′(x i)△x=f(x i)△x.
式中≈表示“近似等于”，若取△x→0的极限，上式就是严格的等式。
把a?x?b区间分成n－1小段，每段长△x.上式适用于每小段。根据积分的定义和上式，我们有
因x1＝a，xn＝b，于是得(A.53)式，至此定理证讫。
下面看看函数Ф(x)在f-x图(见图A-13)中所表现的几何意义。如前所述，△Ф(x i)=Ф(x i+1)-Ф(x i)=f(x i)△x，正是宽为△x、高为
积。它和曲线段P i P i+1下面的梯形x i x i+1P i+1P i的面积只是相差一小三角形P i NP i ＋1的面积。当△x→0时，可认为△Ф(x i)就是梯形x i x i+1P i+1P i的面积。
既然当x由x i变到x i+1时，Ф(x)的增量的几何意义是相应区间f-x曲线下的面积，则Ф(x)本身的几何意义就是从原点O到x区间f-x曲线下面的面积加上一个常量C＝Ф(0).例如Ф(x i)的几何意义是图形Ox i P i P0的面积加C，Ф(x i＋1)的几何意义是图形Ox i+1P i+1P0的面积加C，等等。这样，△Ф(x i)=Ф(x i+1)-Ф(x i)就是：
(Ox i+1P i+1P0的面积+C)
-(Ox i P i P0的面积+C)
=x i x i+1P i+1P i的面积，
而Ф(b)-Ф(a)的几何意义是：
(ObP b P0的面积+C)
－(OaP a P0的面积+C)
＝abP b P a的面积。
5.3不定积分及其运算
在证明了上述定积分的基本定理之后，我们就可以着手解决积分的运算问题了。根据上述定理，只要我们求得函数Ф(x)的表达式，利用(A.53)式立即可以算出定积分
去求Ф(x)的表达式呢？上述定理告诉我们，Ф′(x)=f(x)，所以这就相当于问f(x)是什么函数的导数。由此可见，积分运算是求导的逆运算。如果f(x)是Ф(x)的导数，我们可以称Ф(x)是f(x)的逆导数或原函数。求f(x)的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数。
在上节里我们讲了一些求导数的公式和定理，常见的函数我们都可以按照一定的法则把它们的导数求出来。然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易，而需要靠判断和试探。例如，我们知道了Ф(x)＝x3的导数Ф′(x)＝3x2，也就知道了F(x)＝3x2的逆导数是Ф(x)＝x3.这时，如果要问函数f(x)＝x2的逆导数是什么，那么我们就不难想到，它的逆导数应该是x3/3.这里要指出一点，即对于一个给定的函数f(x)来说，它的逆导数并不是唯一的。Ф1(x)＝x3/3是f(x)＝x2的逆导数，Ф2(x)＝x3/3＋1和Ф3(x)=x3/3－5也都是它的逆导数，因为Ф1′(x)、Ф2′(x)、Ф3′(x)都等于x2.一般说来，在函数f(x)的某个逆导数Ф(x)上加一任意常量C，仍旧是f(x)的逆导数。通常把一个函数f(x)的逆导数的通式Ф(x)＋C叫做它的不定积分，并记作∫f(x)dx，于是
因在不定积分中包含任意常量，它代表的不是个别函数，而是一组函数。
表A-4基本不定积分公式
函数f(x
x n(n≠-1)
n=1时，x1=x
n=2时，x2
n=3时，x3
……………………
sinx -cosx+C
cosx sinx+C
ln|x|+C
e x e x+C
上面所给的例子太简单了，我们一眼就能猜到逆导数是什么。在一般的情况下求逆导数，首先要求我们对各种函数的导数掌握得很熟练，才能确定选用那一种形式的函数去试探。此外，掌握表A-4中给出的基本不定积分公式和其后的几个有关积分运算的定理，也是很重要的。(表中的公式可以通过求导运算倒过来验证，望读者自己去完成)
下面是几个有关积分运算的定理。
定理一如果f(x)＝au(x)(a是常量)，则
定理二如果f(x)=u(x)±v(x)，则
这两个定理的证明是显而易见的，下面我们利用这两个定理和表A－4中的公式计算两个例题。
定理三如果f(x)=u(v)v′(x)，则
此定理表明，当f(x)具有这种形式时，我们就可以用v来代替x作自变量，这叫做换元法。经过换元往往可以把比较复杂的积分化成表A-4中给出的现成结果。下面看几个例题。
解：令u(v)＝sinv，v(x)＝ax＋b， dv＝v′(x)dx＝adx，经换元得
解：令v(x)=sinx，则dv＝v′(x)dx＝cosx dx，于是
于是
5.4通过不定积分计算定积分
当我们求得不定积分
《全国中学生物理竞赛大纲2020版》 (2020年4月修订，2020年开始实行) 2011年对《全国中学生物理竞赛内容提要》进行了修订，修订稿经全国中学生物理竞赛委员会第30次全体会议通过，并决定从2020年开始实行。修订后的“内容提要”中，凡用※号标出的内容，仅限于复赛和决赛。 力学 1.运动学 参考系 坐标系直角坐标系 ※平面极坐标※自然坐标系 矢量和标量 质点运动的位移和路程速度加速度 匀速及匀变速直线运动及其图像 运动的合成与分解抛体运动圆周运动 圆周运动中的切向加速度和法向加速度 曲率半径角速度和※角加速度 相对运动伽里略速度变换 2．动力学 重力弹性力摩擦力惯性参考系 牛顿第一、二、三运动定律胡克定律万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(不要求导出) ※非惯性参考系※平动加速参考系中的惯性力 ※匀速转动参考系惯性离心力、视重 ☆科里奥利力 3．物体的平衡 共点力作用下物体的平衡 力矩刚体的平衡条件 ☆虚功原理 4．动量 冲量动量质点与质点组的动量定理动量守恒定律※质心 ※质心运动定理 ※质心参考系 反冲运动 ※变质量体系的运动 5．机械能 功和功率
动能和动能定理※质心动能定理 重力势能引力势能 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式(不要求导出)弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律 碰撞 弹性碰撞与非弹性碰撞恢复系数 6．※角动量 冲量矩角动量 质点和质点组的角动量定理和转动定理 角动量守恒定律 7．有心运动 在万有引力和库仑力作用下物体的运动 开普勒定律 行星和人造天体的圆轨道和椭圆轨道运动 8．※刚体 刚体的平动刚体的定轴转动 绕轴的转动惯量 平行轴定理正交轴定理 刚体定轴转动的角动量定理刚体的平面平行运动9．流体力学 静止流体中的压强 浮力 ☆连续性方程☆伯努利方程 10．振动 简谐振动振幅频率和周期相位 振动的图像 参考圆简谐振动的速度 （线性）恢复力由动力学方程确定简谐振动的频率简谐振动的能量同方向同频率简谐振动的合成 阻尼振动受迫振动和共振(定性了解) 11．波动 横波和纵波 波长频率和波速的关系 波的图像 ※平面简谐波的表示式 波的干涉※驻波波的衍射(定性) 声波 声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声
物理知识整理 知识点睛 一．惯性力 先思考一个问题:设有一质量为m 的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？ 地面上的观察者认为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律； 车上的观察者觉得：小球以－a s 相对于小车作加速运动； 我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有 -a s 的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力的大小为 - ma s ；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用, 物理上把这个力命名为惯性力。 惯性力的理解 ： (1) 惯性力不是物体间的相互作用。因此，没有反作用。 (2)惯性力的大小等于研究对象的质量m 与非惯性系的加速度a s 的乘积，而方向与 a s 相反，即 s a m f -=* （3）我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空间加速度为a s ，物体受相对此参考系 加速度为a',牛顿定律可以写成：a m f F '=+* 其中F 为物理受的“真实的力”，f*为惯性力，是个“假力”。 （4）如果研究对象是刚体，则惯性力等效作用点在质心处， 说明：关于真假力，绝对空间之类的概念很诡异，这样说牛顿力学在逻辑上都是显得很不严密。所以质疑和争论的人比较多。不过笔者建议初学的时候不必较真，要能比较深刻的认识这个问题，既需要很广的物理知识面，也需要很强的物理思维能力。在这个问题的思考中培养出爱因斯坦2.0版本的概率很低（因为现有的迷惑都被1.0版本解决了），在以后的学习中我们的同学会逐渐对力的概念，空间的概念清晰起来，脑子里就不会有那么多低营养的疑问了。 极其不建议想不明白这问题的同学Baidu 这个问题，网上的讨论文章倒是极其多，不过基本都是民哲们的梦呓，很容易对不懂的人产生误导。 二．惯性力的具体表现（选讲） 1.作直线加速运动的非惯性系中的惯性力 这时惯性力仅与牵连运动有关，即仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。惯性力将具有与恒定重力相类似的特性，即与惯性质量正比。记为： s a m f -=* 2.做圆周运动的非惯性系中的惯性力 这时候的惯性力可分为离心力以及科里奥利力： 1）离心力为背向圆心的一个力： r m f 2ω=*
全国第31届中学生物理竞赛预赛试题 一、选择题．本题共5小题，每小题6分，在每小题给出的4个选 项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于 A．αB．α1/3 C．α3D．3α 2．按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为lcm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度．当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平衡，如图所示，当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度．下列说法中错误的是 A．密度秤的零点刻度在Q点 B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边 C．密度秤的刻度都在Q点的右侧 D．密度秤的刻度都在Q点的左侧 3．一列简谐横波在均匀的介质中沿z轴正向传播，两质点P1和P2的平衡位置在x轴上，它们相距60cm，当P1质点在平衡位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，若波的传播速度为24 m/s，则该波的频率可能为 A．50Hz B．60Hz C．400Hz D．410Hz 4．电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式，电磁驱动的原理如图所示，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用钢、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环；当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和F3．若环的重力可忽略，下列说法正确的是 A．F1>F2>F3B．F2>F3 >F1 C．F3 >F2> F1D．F1=F2=F3 5．质量为m A的A球，以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰．假设B球的质量m B可选取为不同的值，则 A．当m B=m A时，碰后B球的速度最大 B．当m B=m A时，碰后B球的动能最大
四、（20分）某些非电磁量的测量是可以通过一些相应的装 置转化为电磁量来测量的。一平板电容器的两个极扳竖直放 置在光滑的水平平台上，极板的面积为S ，极板间的距离为 d 。极板1固定不动，与周围绝缘；极板2接地，且可在水 平平台上滑动并始终与极板1保持平行。极板2的两个侧边 与劲度系数为k 、自然长度为L 的两个完全相同的弹簧相连， 两弹簧的另一端固定．图预17-4-1是这一装置的俯视图．先将电容器充电至电压U 后即与电源断开，再在极板2的右侧的整个表面上施以均匀的向左的待测压强p ；使两极板之间的距离发生微小的变化，如图预17-4-2所示。测得此时电容器的电压改变量为U ?。设作用在电容器极板2上的静电作用力不致引起弹簧的可测量到的形变，试求待测压强p 。 五、（20分）如图预17-5-1所示，在正方形导线回路所围的区域 1234A A A A 内分布有方向垂直于回路平面向里的匀强磁场，磁感应强 度B 随时间以恒定的变化率增大，回路中的感应电流为 1.0mA I =．已知12A A 、34A A 两边的电阻皆为零；41A A 边的电阻 1 3.0k R =Ω，23A A 边的电阻27.0k R =Ω。 1．试求12A A 两点间的电压12U 、23A A 两点间的电压23U 、34 A A 两点间的电压34U 、41A A 两点间的电压41U 。 2．若一内阻可视为无限大的电压表V 位于正方形导线回路所在的平面内，其正负端与连线 位置分别如图预17-5-2、图预17-5-3和图预17-5-4所示，求三种情况下电压表的读数1U 、 2U 、3U 。 六、（20分）绝热容器A 经一阀门与另一容积比A 的容积大得很多的绝热容器B 相连。开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30℃，B 中气体的压强为A 中的2倍。现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭。问此时容器A 中气体的温度为多少？假设在打开到关闭
第二讲运动学 §2.1质点运动学的基本概念 2．1．1、参照物和参照系 要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参照，这个被选的物体叫做参照物。为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标系。 通常选用直角坐标系O–xyz，有时也采用极坐标系。平面直角坐标系一般有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这种坐标称为自然坐标）。 2．1．2、位矢位移和路程 在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x，y，z表示，当质点运动时，它的坐标是时间的函数 x=X（t）y=Y（t）z=Z（t） 这就是质点的运动方程。 质点的位置也可用从坐标原点O指向质点P（x、y、z）的有向线段来表示。如图2-1-1所示, 也是描述质点在空间中位置的物理量。的长度为质点到原点之间的距离，的方向由余弦、、决定,它们之间满足 当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间而变,可表示为=(t)。在直角坐标系中,设 分别为、、沿方向、、和单位矢量，则可表示为 位矢与坐标原点的选择有关。 研究质点的运动，不仅要知道它的位置，还必须知道它的位置的变化情况，如果质点从空间一点运动到另一点，相应的位矢由1变到2，其改变量为 称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段。它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。它与坐标原点的选择无关。 2．1．3、速度 平均速度质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速度 平均速度是矢量，其方向为与的方向相同。平均速度的大小，与所取的时间间隔有关，因此须指明是哪一段时间（或哪一段位移）的平均速度。 瞬时速度当为无限小量，即趋于零时，成为t时刻的瞬时速度，简称速度 瞬时速度是矢量，其方向在轨迹的切线方向。 瞬时速度的大小称为速率。速率是标量。 2．1．4、加速度 平均加速度质点在时间内，速度变化量为，则与的比值为这段时间内的平均加速度
24届 二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度 转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角， a的大小和方向已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度 c （用与CD杆之间的夹角表示） 27复 28复 二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的 静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触， 杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均 为m，长度均为l。 1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆 与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的 方程式表示）。 2、若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°。求系统平衡时 α的取值范围（用数值计算求出）。
26复 二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、B 、C 、D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O 至角A 的连线 OA 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令c OA OP =，求桌面 对桌腿1的压力F 1。 25复 三、（22分）足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数0.70μ=，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角θ（小于 90 ）来表示。不计空气及重力的影响。 27复 24届 一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹 A
高中物理竞赛模拟试卷（一） 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对的得 4 分，选不全的得 2 分，有错选或不答的得 0 分. 1.置于水平面的支架上吊着一只装满细砂的漏斗，让漏斗左、右摆动，于是桌面上漏下许多砂子，经过一段时间形成一砂堆，砂堆的纵剖面最接近下图Ⅰ-1中的哪一种形状 2.如图Ⅰ-2所示，甲乙两物体在同一光滑水平轨道上相向运动，乙上连有一段轻弹簧，甲乙相互作用过程中无机械能损失，下列说法正确的有 A.若甲的初速度比乙大，则甲的速度后减到 0 B.若甲的初动量比乙大，则甲的速度后减到0 C.若甲的初动能比乙大，则甲的速度后减到0 D.若甲的质量比乙大，则甲的速度后减到0 3.特技演员从高处跳下，要求落地时必须脚先着地，为尽量保证安全，他落地时最好是采用哪种方法 A.让脚尖先着地，且着地瞬间同时下蹲 B.让整个脚板着地，且着地瞬间同时下蹲 C.让整个脚板着地，且着地瞬间不下蹲 D.让脚跟先着地，且着地瞬间同时下蹲 4.动物园的水平地面上放着一只质量为M 的笼子，笼内有一只质量为 m 的猴子.当猴以某一加速度沿竖直柱子加速向上爬时，笼子对地面的压力为F 1；当猴以同样大小的加速度沿竖直柱子加速下滑时，笼子对地面的压力为 F 2（如图Ⅰ-3），关于 F 1 和 F 2 的大小，下列判断中正确的是 A.F 1 = F 2＞(M + m )g B.F 1＞(M + m )g ,F 2＜(M + m )g C.F 1＞F 2＞(M + m )g D.F 1＜(M + m )g ，F 2＞(M + m )g 5.下列说法中正确的是 A.布朗运动与分子的运动无关 B.分子力做正功时，分子间距离一定减小 C.在环绕地球运行的空间实验室里不能观察热传递的对流现象 D.通过热传递可以使热转变为功 6.如图Ⅰ-4所示，虚线a 、b 、c 代表电场中的三个等势面，相邻等势面之 图Ⅰ -3 图Ⅰ -4 图Ⅰ-2
高中物理竞赛——运动的合成与分解、相对运动 （一）知识点点拨 (1)力的独立性原理：各分力作用互不影响，单独起作用。 (2)运动的独立性原理：分运动之间互不影响，彼此之间满足自己的运动规律 (3)力的合成分解：遵循平行四边形定则，方法有正交分解，解直角三角形等 (4)运动的合成分解：矢量合成分解的规律方法适用 A．位移的合成分解 B.速度的合成分解 C.加速度的合成分解 参考系的转换：动参考系，静参考系 相对运动：动点相对于动参考系的运动 绝对运动：动点相对于静参考系统（通常指固定于地面的参 考系）的运动 牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动 （5）位移合成定理：S A对地=S A对B +S B对地 速度合成定理：V 绝对=V 相对 +V 牵连 加速度合成定理：a 绝对=a 相对 +a 牵连 （二）典型例题 （1）火车在雨中以30m/s的速度向南行驶，雨滴被风吹向南方，在地球上静止的观察者测得雨滴的径迹与竖直方向成21。角，而坐在火车里乘客看到雨滴的径迹恰好竖直方向。求解雨滴相对于地的运动。 提示：矢量关系入图 答案：83.7m/s （2）某人手拿一只停表，上了一次固定楼梯，又以不同方式上了两趟自动扶梯，为什么他可以根据测得的数据来计算自动扶梯的台阶数？ 提示：V人对梯=n1/t1 V梯对地=n/t2 V人对地=n/t3 V人对地= V人对梯+ V梯对地 答案：n=t 2t 3 n 1 /（t 2 -t 3 ）t 1 (3)某人驾船从河岸A处出发横渡，如果使船头保持跟河 岸垂直的方向航行，则经10min后到达正对岸下游120m的C 处，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成а角的方向航行， 则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。 提示：120=V水*600 D=V船*600 答案：200m （4）一船在河的正中航行，河宽l=100m，流速u=5m/s，并在距船s=150m 的下游形成瀑布，为了使小船靠岸时，不至于被冲进瀑布中，船对水的最小速度为多少？ 提示：如图船航行 答案：1.58m/s
最近十年初中应用物理知识竞赛题分类解析专题12--简单机械 一、选择题 1. （2013全国初中应用物理知识竞赛预赛题）某次刮大风时把一棵大树吹倒了，需要两个工人把它扶起，工人们想到了如图l2所示的四种方案，每个人所需拉力最小的方案是 ( ) 1.答案：B 解析：根据滑轮知识，AB图绳中拉力为二人拉力之和，且拉树的力为两根绳中的拉力。根据杠杆知识，B图在动力臂大，所以每个人所需拉力最小的方案是B。 2.(2010全国初中应用物理知识竞赛题).图5是环卫工人用的一种垃圾夹的结构示意图。拉绳的一端固定在手把上，另一端穿过空心管杆与两夹爪的一端相连。当用力捏手把时，夹爪在拉绳的作用下可夹持物体，同时弹簧被压缩；当松开手把时， 夹爪在弹簧的作用下恢复原状。在使用过程中，手 把和夹爪分别是 ( ) A.省力杠杆，费力杠杆 B.费力杠杆，省力杠杆 C省力杠杆，省力杠杆 D.费力杠杆，费力杠杆 . 答案：A解析：手把动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，夹爪动力臂小于阻力臂，是费力杠杆。 3.(2010全国初中应用物理知识竞赛题).体操、投掷、攀岩等体育运动都不能缺少的“镁粉”，它的学名是碳酸镁。体操运动员在上杠前都要在手上涂擦“镁粉”，其目的是 ( ) A.仅仅是为了利用“镁粉”，吸汗的作用，增加手和器械表面的摩擦而防止打滑 B.仅仅是为了利用手握着器械并急剧转动时“镁粉”，能起到衬垫作用，相当于在中间添加了一层“小球”做“滚动摩擦” C仅仅是为了利用“镁粉”，填平手掌的褶皱和纹路，使手掌与器械的接触面增大，将握力变得更加实在和均匀 D.上述各种功能都具有
.答案：D解析：体操运动员在上杠前在手上涂擦“镁粉”的目的是为了利用“镁粉”吸汗的作用，增加手和器械表面的摩擦而防止打滑；利用手握着器械并急剧转动时“镁粉”能起到衬垫作用，相当于在中间添加了一层“小球”做“滚动摩擦”；利用“镁粉”填平手掌的褶皱和纹路，使手掌与器械的接触面增大，将握力变得更加实在和均匀，所以选项D正确。 4. (2011上海初中物理知识竞赛题)某人在车后用80牛的水平力推车，使车在平直公路上匀速前进，突然发现车辆前方出现情况，他马上改用120的水平拉力使车减速，在减速的过程中，车受到的合力大小为( ) A．40牛 B．80牛 C．120牛 D．200牛 3. 答案：D解析：用80牛的水平力推车，使车在平直公路上匀速前进，说明车运动受到的阻力为80N。改用120的水平拉力使车减速，在减速的过程中，车受到人向后拉力120N，阻力80N，所以车受到的合力大小为120N+80N=200N. ，选项D正确。 5. （2011上海初中物理知识竞赛题）分别用铁和铝做成两个外部直径和高度 相等，但内径不等的圆柱形容器，铁杯装满质量为m1的水后总重为G1；铝杯装 满质量为m2的水后总重为G2。下列关系不可能正确的是（） A．G1
高中物理竞赛辅导讲义 第2篇 运动学 【知识梳理】 一、匀变速直线运动 二、运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v 绝对 = v 相对 + v 牵连 或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三、物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。 四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。 五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2 n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a t τ?→?=?，方向指向切线方向。 六、一般的曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆 周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可 以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ =，ρ为点所在曲线处的曲率半径。 七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任
2014第31届全国中学生物理竞赛预赛试题及参考答案与评分标准 一、选择题．本题共5小题，每小题6分，在每小题给出的4个选 项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于 A．αB．α1/3 C．α3D．3α 2．按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为lcm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度．当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平衡，如图所示，当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度．下列说法中错误的是 A．密度秤的零点刻度在Q点 B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边 C．密度秤的刻度都在Q点的右侧 D．密度秤的刻度都在Q点的左侧 3．一列简谐横波在均匀的介质中沿z轴正向传播，两质点P1和P2的平衡位置在x轴上，它们相距60cm，当P1质点在平衡位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，若波的传播速度为24 m/s，则该波的频率可能为 A．50Hz B．60Hz C．400Hz D．410Hz 4．电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式，电磁驱动的原理如图所示，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用钢、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环；当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和F3．若环的重力可忽略，下列说法正确的是 A．F1>F2>F3B．F2>F3 >F1 C．F3 >F2> F1D．F1=F2=F3 5．质量为m A的A球，以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰．假设B球的质量m B可选取为不同的值，则 A．当m B=m A时，碰后B球的速度最大 B．当m B=m A时，碰后B球的动能最大 C．在保持m B>m A的条件下，m B越小，碰后B球的速度越大
第24届全国中学生物理竞赛决赛试题 ★ 理论部分 一、 A ， B ， C 三个刚性小球静止在光滑的水平面上．它们的质量皆为m ，用不可伸长的长度皆为l 的柔软轻线相连，AB 的延长线与BC 的夹角α = π / 3 ，如图所示．在此平面内取正交坐标系Oxy ，原点O 与B 球所在处重合，x 轴正方向和y 轴正方向如图．另一质量也是m 的刚性小球 D 位于y 轴 上，沿y 轴负方向以速度v 0（如图）与B 球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后，连接A ，B ，C 的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D 球距A ，B ，C 三球组成的系统的质心最近． 二、 为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU （AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 ×1011 m ），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u 0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径R e = 6.37 ×106 m ，地面处的重力加速度g = 9.80 m / s 2 ，不考虑空气的阻力． 三、 如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H 、内壁横截面积为S 的绝热气缸内，有一质量为m 的绝热活塞A 把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸内顶部与A 之间串联着两个劲度系数分别为k 1和k 2（k 1≠k 2）的轻质弹簧．A 的上方为真空；A 的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡状态，A 所在处的高度（其下表面与 y C
第3讲运动的关联 温馨寄语 前面我们讨论了物理量以及物理量之间的关系，尤其是变化率变化量的关系。我们还学习了非常牛的几个方法：相对运动法，微元法，图像法。 然而，物理抽象思想除了物理量之外，还有一大块就是模型，而各种模型都有自己的一些特点，根据这些特点，决定了这些模型的运动学性质。探究这些性质就成了我们今天的主要任务。 知识点睛 一、分速度和合速度 首先速度作为矢量是可以合成和分解的。但是同样的作为矢量，速度的合成和分解，和力这个矢量有一点不同。这个不同在于，两个作用在同一个物体上的力，可以直接合成。但是同一个物体，已经知道在两个方向上的速度，最后的总速度，并不一定是这两个速度的矢量和。 （CPhO选讲）例如： （这里面速度是通过两个速度各自从矢量末端做垂线相交得到的） 第二个原则就是：合速度=真实的这个物体的运动速度矢量。
这里力和速度的区别是：我们看到的多个力，不见得是“合力”在各个方向上的投影；但是我们看到的多个速度，就是“合速度”在各个方向上的分速度。所以，当且仅当两个分速度相互垂直的时候，合速度等于两个分速度的矢量和。 这个东西大家可以这样想。遛狗的时候，每个狗的力是作用在一起的，所以遛狗越多，需要的力越大。但是每个狗都有个速度，最后遛狗人的速度和狗的速度大小还是差不多的，不会因为遛狗个数越多就速度越快…… 二、体现关联关系的模型 1．绳（杆）两端运动的关联：实际运动时合运动，由伸缩运动与旋转运动合成。 实际运动=旋转运动+伸缩运动 【例】吊苹果逗小孩儿有两种逗法，一种是伸缩，一种是摆动。 不难总结： 一段不可伸长的细绳伸缩运动速度相等——沿绳（杆）速度相等，转速无论多大不可改变绳子长度。 2．叠加运动的关联 先举个例子：如图的定滑轮，两边重物都在竖直运动，并且滑轮也在竖直运动，设两边重物位移分别沃为x 1x 2，轮中心的位移为x 。 不难由绳子长度不变得位移关系： 12 2x x x += 对应的必然有速度关系： 12 2v v v += 加速度关系： 12 2 a a a += 我们用运动关联的目的是为了使未知量变少。 物理学中非常重要的思想就是把现实中的物体抽象成为理想的模型，然后用物理原理以及模型对应的牵连关系来解决问题．常见的模型有杆，绳，斜面，等等． 3.轻杆 杆两端，沿着杆方向的速度相同\ 4.轻绳 绳子的两端也是沿着绳子的方向速度相同\．绳子中的力是可以突变的，突变的条件是剪断或者是突然绷紧等等． 5.斜面
全国高中物理竞赛历年试题与详解答案汇编 ———广东省鹤山市纪元中学 2014年5月
全国中学生物理竞赛提要 编者按：按照中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会第九次全体会议的建议，由中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会常务委员会根据《全国中学生物理竞赛章程》中关于命题原则的规定，结合我国目前中学生的实际情况，制定了《全国中学生物理竞赛内容提要》，作为今后物理竞赛预赛和决赛命题的依据，它包括理论基础、实验基础、其他方面等部分。其中理论基础的绝大部分内容和国家教委制订的（全日制中学物理教学大纲》中的附录，即 1983年教育部发布的《高中物理教学纲要（草案）》的内容相同。主要差别有两点：一是少数地方做了几点增补，二是去掉了教学纲要中的说明部分。此外，在编排的次序上做了一些变动，内容表述上做了一些简化。1991年2月20日经全国中学生物理竞赛委员会常务委员会扩大会议讨论通过并开始试行。1991年9月11日在南宁由全国中学生物理竞赛委员会第10次全体会议正式通过，开始实施。 一、理论基础 力学 1、运动学 参照系。质点运动的位移和路程，速度，加速度。相对速度。 矢量和标量。矢量的合成和分解。 匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。 刚体的平动和绕定轴的转动。 2、牛顿运动定律 力学中常见的几种力 牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。 摩擦力。 弹性力。胡克定律。 万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。 3、物体的平衡 共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。 物体平衡的种类。 4、动量 冲量。动量。动量定理。 动量守恒定律。 反冲运动及火箭。 5、机械能 功和功率。动能和动能定理。 重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）。弹簧的弹性势能。 功能原理。机械能守恒定律。 碰撞。 6、流体静力学 静止流体中的压强。 浮力。 7、振动 简揩振动。振幅。频率和周期。位相。
高中物理竞赛相对运动知识点讲解 任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。 通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。 绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝对速度等于相对速度和牵连速度 的矢量和。牵连 相对绝对v v v 这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。 当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系： 牵连 相对绝对a a a 位移合成定理：S A 对地=S A 对B +S B 对地 如果有一辆平板火车正在行驶，速度为 火地 v （脚标“火地”表示火车相对地面，下 同）。有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为汽火 v ，那么很明显，汽车相对地面的速度为： 火地 汽火汽地v v v （注意： 汽火 v 和 火地 v 不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车 为狗汽v 的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是 火地 汽火狗汽狗地v v v v 从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则： ①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。 ②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。 ③所有分速度都用矢量合成法相加。 ④速度的前后脚标对调，改变符号。 以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。
全国中学生物理竞赛真题汇编---光学 1.（19Y5）五、（20分）图预19-5中，三棱镜的顶角α为60?，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cm f = 的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上 距主光轴下方14.3cm y =处放一单色点光源S ，已知 其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱 镜的折射率． 2.（21Y6）六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O 下方玻璃中的C 点，球面的半径R ＝1.50cm ，O 到杯口平面的距离为8.0cm 。在杯脚底中心处P 点紧贴一张画片，P 点距O 点6.3cm 。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n 1＝1.56，酒的折射率n 2＝1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。 3．（22Y3）三、(18分)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为尺的黑球，距球心为2R 处有一点光源S ，球心p 和光源s.皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r 最大为多少? 4．（16F2）（25分）两个焦距分别是1f 和2f 的薄透镜1L 和2L ，相距为d ，被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。 5．（17F2） 如图1所示，在真空中有一个折射率为ｎ（ｎ＞ｎ0，ｎ0为真空的折射率），半径为ｒ的质地均匀的小球，频率为ν的细激光束在真空中沿直线ＢＣ传播，直线BC 与小球球心O 的距离为ｌ（ｌ＜ｒ），光束于小球体表面的点Ｃ经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D 又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小． 图1
全国中学生物理竞赛公式 全国中学生物理竞赛力学公式 一、运动学 1.椭圆的曲率半径 22 12,b a a b ρρ== 2.牵连加速度 '2'()''a a r v r a a v βωωωωβ=+?+?+??其中为绝对加速度为相对加速度 为转动系的角速度,为转动系的角加速度 为物体相对于转动系的速度 3.等距螺旋线运动的加速度 22 v v a R ρ ==⊥ 二、牛顿运动定律 1.科里奥利力 2'F ma m v ω=-=-?科里奥利 三、动量 1.密舍尔斯基方程（变质量物体的动力学方程） ()dv dm m F u v dt dt =+-（其中v 为主体的速度，u 为即将成为主体的一部分的物体的速度） 四、能量 1.重力势能 GMm W r =- （一定有负号，而在电势能中，如果为同种电荷之间的相互作用的电势能，则应该为正号，但在万有引力的势能中不存在这个问题，一定是负号！！！！） 2.柯尼希定理
21 ''2 k k c k kc E E M v E E =+=+（E k ’为其在质心系中的动能） 3.约化质量 12 12 m m m m μ= + 4.资用能（即可以用于碰撞产生其他能量的动能（质心的动能不能损失（由动量守 恒决定））） 资用能常用于阈能的计算 22 1212 1122kr m m E u u m m μ= =+（u 为两个物体的相对速度） 5.完全弹性碰撞及恢复系数 （1）公式 12122 11221211 212 ()2()2m m u m u v m m m m u m u v m m -+=+-+= + （2）恢复系数来表示完全弹性碰撞 112211222112 m v m v m u m u u u v v +=+-=-（用这个方程解比用机械能守恒简单得多） 五、角动量 1.定义 L p r mv r =?=? 2.角动量定理 dL M I dt β= =（I 为转动惯量） 3.转动惯量 2i i i I m r =∑ 4.常见物体的转动惯量
话题4：曲率半径问题 一、曲率半径的引入 在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。因为在0t ?→ 的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。 对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。也就是说，我们在处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代曲”。可以通过曲线上一点A 与无限接近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，这个圆就是A 点的曲率圆。 二、曲线上某点曲率半径的定义 在向心加速度公式2 n v a ρ = 中ρ为曲线上该点的曲率半径。 圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。我们应该注意到，这也造成了对ρ意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。 曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。曲率k 是用来描述曲线弯曲程度的概念。曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径ρ越小，且1 k ρ=。这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。 二、曲线上某点曲率半径的确定方法 1、 从向心加速度n a 的定义式2 n v a ρ = 出发。 将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v 和法向加速度n a ，再利用2 n v a ρ =求出该点的曲率半径ρ。
全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编 力学 第16届预赛题. 1.（15分）一质量为M 的平顶小车，以速度0v 沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为m 的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为μ。 1. 若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？ 2. 若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？ 参考解答 1.物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。令v 表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即 0()Mv m M v =+（1） 从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即 2112 mv mg s μ=（2） 其中1s 为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即 22021122 Mv mv mgs μ-=-（3） 其中2s 为小车移动的距离。用l 表示车顶的最小长度，则 21l s s =-（4） 由以上四式，可解得 202() Mv l g m M μ=+（5） 即车顶的长度至少应为202() Mv l g m M μ=+。 2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即 22011()22 W m M v Mv =+-（6） 由（1）、（6）式可得 202() mMv W m M =-+（7） 2.（20分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为1ρ和2ρ（12ρρ<）。现让一长为L 、密度为121()2 ρρ+的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两
全国中学生物理竞赛预赛试卷 本卷共16题，满分200分． 一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．下列说法中正确的是 A．水在0℃时密度最大． B．一个绝热容器中盛有气体，假设把气体中分子速率很大的如大于v A的分子全部 取走，则气体的温度会下降，此后气体中不再存在速率大于v A的分子． C．杜瓦瓶的器壁是由两层玻璃制成的，两层玻璃之间抽成真空，抽成真空的主要 作用是既可降低热传导，又可降低热辐射． D．图示为一绝热容器，中间有一隔板，隔板左边盛有温度为T的理想气体，右边为真空．现抽掉隔板，则气体的最终温度仍为T． 2．如图，一半径为R电荷量为Q的带电金属球，球心位置O固定，P为球外一点．几位同学在讨论P点的场强时，有下列一些说法，其中哪些说法是正确的？ A．若P点无限靠近球表面，因为球表面带电，根据库仑定律可推知，P点的场强趋 于无穷大． B．因为在球内场强处处为0，若P点无限靠近球表面，则P点的场强趋于0 C．若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变． D．若保持Q不变，而令R变大，同时始终保持P点极靠近球表面处，则P点的场强不变． 3．图中L为一薄凸透镜，ab为一发光圆面，二者共轴，S为与L平行放置的屏，已知这时ab可在屏上成清晰的像．现将透镜切除一半，只保留主轴以上的一半透镜，这时ab在S上的像 A．尺寸不变，亮度不变． B．尺寸不变，亮度降低． C．只剩半个圆，亮度不变． D．只剩半个圆，亮度降低． 4．一轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端连一小物块，小物块放在摩擦系数为μ的水平面上，弹簧处在 自然状态，小物块位于O处．现用手将小物块向右移到a处，然 后从静止释放小物块，发现小物块开始向左移动． A．小物块可能停在O点． B．小物块停止以后所受的摩擦力必不为0 C．小物块无论停在O点的左边还是右边，停前所受的摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可能相同，也可能相反． D．小物块在通过O点后向右运动直到最远处的过程中，速度的大小总是减小；小物块在由右边最远处回 到O点的过程中，速度的大小总是增大． 5．如图所示，一内壁光滑的圆锥面，轴线OO’是竖直的，顶点O在下方，锥角为2 α，若有两个相同的小珠（均视为质点）在圆锥的内壁上沿不同的圆轨道运动，则有： A．它们的动能相同． B．它们运动的周期相同． C．锥壁对它们的支撑力相同． D．它们的动能与势能之比相同，设o点为势能零点．