第七章 多元函数微分学
【内容提要】
1.空间解析几何基础知识
三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D
二次曲面方程：
2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K
球面方程：()()()2
2
02
02
0R
z z y y x x =-+-+-
圆柱面方程：2
22R y x =+
椭球面方程：2
222
221,,0x y z a b c a b c ，
椭圆抛物面方程：2
22
2
,(,0)x y z a b a
b
双曲抛物面方程：2
22
2
,(,0)x y z a b a b
单叶双曲面图方程：122
2222=-+c
z b y a x (a ，b ，c ＞0)
双叶双曲面方程：2
222
2
2
1,(,,0)x y z a b c a b c
椭圆锥面方程：2
222
2
2
0,(,,0)x y z a b c a
b c
2.多元函数与极限
多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数，记为
,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为
函数值，函数值的集合称为值域。
多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D
的内点或边界点。如果对于任意给定的正数，总存在正数
，使得对于适合不等式
的一切点(,)
P x y D ，都有
成立，则称常数A 为函数(,)f x y 当00,x
x y y 时的极限，记作
多元函数的连续性：设函数(,)z f x y 在区域D 内有定义，点000(,)P x y 是D 的内点或边界点且0P D 。如果
则称函数(,)z f x y 在点000(,)P x y 处连续。
3.多元函数的偏导数与全微分
偏导数：设函数(,)z
f x y 在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，
当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x 时，相应地函数有增量
如果极限
存在，则称此极限为函数(,)z
f x y 在点00(,)x y 处对x 的偏导数， 记作
0y y x x x z
==??， 00y y x x x f ==??， 0
y y x x x
z ==， 或),(00y x f x
同理，如果极限00000
(,)(,)
lim
y f x y y f x y y
D ?+D -D
存在，则称此极限为函数(,)z
f x y 在点00(,)x y 处对y 的偏导数， 记作 00
x x y y z y
==??，
00
x x y y f y
==??， 00
x x y
y y z ==， 或00(,)y f x y
4.二元函数(,)z
f x y 在点00(,)x y 的偏导数的几何意义
00(,)x f x y 是过曲面(,)z
f x y 上点00000(,,(,))M x y f x y 的曲线
在点0M 处的切线x T 对x 轴的斜率。
5．二阶偏导数
),()(22y x f x z x z x xx
=??=????，),()(2y x f y x z x z y xy =???=????，
),()(2y x f x y z y z x yx
=???=????，),()(22y x f y z y z y yy
=??=????。
如果函数(,)z
f x y 的两个二阶混合偏导数x y z ???2及y
x z ???2在区域D 内连续， 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
6.全微分
如果函数(,)z
f x y 在点(,)f x y 的全增量
可表示为
其中A 、B 不依赖于x 、y 而仅与x 、y 有关，则称函数(,)z f x y 在点(,)
f x y 可微分， 而称A x B y 为函数(,)z
f x y 在点(,)x y 的全微分，记作dz ，即
如果函数(,)z
f x y 的偏导数x z ??、y
z ??在点(,)x y 连续，则函数在该点可微分。
7.复合函数微分法
复合函数的中间变量均为一元函数的情形 如果函数()u
t 及()v
t 都在点t 可导，函数(,)z
f u v 在对应点(,)u v 具
有连续偏导数，则复合函数((),())z f t t 在点t 可导，且有
复合函数的中间变量均为多元函数的情形
如果函数u ??(x ? y )? v ??(x ? y )都在点(x ? y )具有对x 及y 的偏导数? 函数
z ?f (u ? v )在对应点(u ? v )具有连续偏导数? 则复合函数z =f [j (x ? y )， (x ? y )]在点
(x ? y )的两个偏导数存在? 且有
8. 全微分形式不变性
无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数，它的全微分形式是一样的,这
个性质叫做全微分形式不变性。
9. 隐函数微分法
在点00(,)x y 的某邻域内，若函数(,)F x y 有连续的偏导数x F 、y F '，且00(,)0F x y ，则在),(00y x F y '≠0时，方程(,)0F x y 确定唯一的、有连续导数的函数()y f x ，满足00()y f x 及(,())0F x f x 。
这个定理称为隐函数存在定理。隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即
由(,)0F x y ，两边全微分得0d d ='+'y F x F y x ， 由y F '≠0，得到隐函数的导数为
y
x F F x y
''-=d d 。 10. 二元函数的极值
设函数(,)z
f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于
00(,)x y 的点(,)x y ，都有
00(,)
(,)f x y f x y （或00(,)
(,)f x y f x y ）
则称函数在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y 。
极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 设函数(,)z
f x y 在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则有
00(,)0x f x y ，00(,)0y f x y
设函数(,)z
f x y 在点00(,)x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又
00(,)0x f x y ，00(,)0y f x y ， 令
则在点00(,)x y 处是否取得极值的条件如下：
(1) AC -B 2
>0时具有极值，且当A <0时有极大值，当A >0时有极小值； (2) AC -B 2<0时没有极值；
(3) AC -B 2
=0时可能有极值， 也可能没有极值。 极值的求法：
第一步 解方程组
(,)0x f x y ，(,)0y f x
y
求得一切实数解， 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点00(,)x y ， 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。
第三步 判断AC -B 2
的符号， 按定理2的结论判定00(,)f x y 是否是极值、是极大
值还是极小值。
11.多元函数的最大值、最小值
如果(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上必定能取得最大值和最小值。 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D 的内部，也可能在D 的边界上。我们假定， 函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D 的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。因此，求最大值和最小值的一般方法是:将函数f (x ，y )在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。
12. 条件极值 拉格朗日乘数法
对自变量有附加条件的极值称为条件极值。
一般地，考虑函数(,)z f x y 在限制条件(,)
0g x y 下的极值问题，称为条件极值问
题．考虑极值的函数(,)z f x y 称为目标函数，考虑的限制条件(,)0g x y 称为约束条件．没有约束条件的极值问题，称为无条件极值问题．若能从约束条件(,)0g x y 解出()y y x ，则条件极值问题可以转化为函数[,()]z f x y x 的无条件极值问题。
拉格朗日乘数法
要找函数(,)z
f x y 在条件(,)0x y 下的可能极值点， 可以先构成辅助函数
(,)
(,)
(,)F x y f x y x y ，
其中?为某一常数。然后解方程组
???
??==+==+=0
),(0),(),(),(0),(),(),(y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ?λ?λ?。 由这方程组解出x ， y 及?， 则其中(,)x y 就是所要求的可能的极值点。
13. 最小二乘法简介
变量x 、y 满足线性方程y ax b =+，其中，a 、b 需要确定．通过试验测得x 、y 的n 组对应值：(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(x n ，y n )，建立计算值与实测值之差的平方和函数，得到
则Q 的意义是很明显的，它等于各点离开直线y ax b =+的偏差平方和，反映了各点关于直线的偏离情况。视Q 为a 、b 的函数，求Q 的最小值，确定出线性方程的系数a 、b ，这就是通常所说的最小离差平方和原则，又称最小二乘法原则。
根据微积分学知识，Q 有极小值的必要条件是 这样就得到关于a 和b 的线性方程组
这个方程组通常称为线性回归的正规方程。解此方程组得
【习题解答】
7-1 确定下列函数的定义域，并画出定义域的图形。
（1）221y x z --=； （2）11),(22-+-=y x y x f ； （3）arcsin
y
z x
=； （4）11z x y x y =++-。 解 1）22
1x y +≤
（2）11
11x y y -≤≤??≥≤-?
或
（3）11y
x
-≤
≤ （4）y x
y x ≠-??
≠?
7-2 计算下列函数的偏导数。
（1）2
sin z x y =； （2）y
z x =；
（3）x z xy y
=+
； （4）2
arctan()z x y =-； （5）42243y y x x z +-=； （6）
()y x x z +=ln 2
； （7）y
x z 2
tan =； （8）ln x z
y ；
（9）设arctan
22(,)ln()y x
f x y e
x y =?+，求(1,0)x f '；
（10）设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x '。
解 （1）
2sin z
x y x
?=? 2cos z x y y ?=?
（2）
1y z
yx x
-?=? ln y z x x y ?=?
（3）
1z y x y ?=+? 2z x
x x y
?=-? （4）
2211()z x x y ?=?+- 2221()z y y x y ?-=?+- （5）
3246z
x xy x
?=-? 2364z x y y y ?=-+?
（6）()2
12ln z x x y x x x y ?=++?+ 2z x y x y ?=?+ （7）22sec z x x x y y ?=?? 22
2sec ()z x x y y y ?=?-?
（8）ln 1ln x
z y y x x ?=??? ln (ln 1)x z y x y ?=?-? （9）令0y =，(,0)2ln f x x =，则(1,0)2x f '=
（10）令1y =，(,1)f x x =，则(,1)1x f x '=
7-3设y
z x =，验证22z z x y y x
??=????。 解 1
y z yx x -?=? ,
211ln y y z x yx x x y --?=+?? ln y
z x x y
?=? ,
211ln y y z x yx x y x --?=+?? 7-4 求下列函数的二阶偏导数。 （1）ln()z
x xy ； （2）42243y y x x z +-=；
（3）arctan
y z x
= ； （4）(1)y
z xy =+。 解 （1）
ln()ln()1
z
y
xy x
xy x
xy ，2
2
1z
y x xy x
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
第五部分 多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线 ?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0 224: =-+-z y x π， 则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2y x y x y x xy y x f 在点 ) 0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y -
答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的 一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可 导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。 答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件
多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,
122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+
《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一． 填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 二． 选择题 2.D ； 4.D ； 三.解答题 1.解 2 2 222222222211 )221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++= +++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2 22 2111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2 22 2 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''-- =--=-=??z x z x F F x z z x . 5. 解 '22'1f x y yf x z -=??, )1(1)1(''22' '212'22''12''11'12f x xf x y f x f x xf y f y x z +--++=???
=''223 ' '11'22'11f x y xyf f x f -+- . 6. 解 令?????=+-==-+=,063, 09632 '2 'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66' '+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值; 在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V z = ,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令 ??? ????=-==-=,02,022' 2' y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3 33 04 22V V V V z =?=.
第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
第8章 测试题 1、),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值就是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的( )条件. A .充分 B .充分必要 C .必要 D .非充分非必要 2、函数(,)z f x y =的偏导数z x ??及z y ??在点(,)x y 存在且连续就是 (,)f x y 在该点可微分的( )条件. A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 3、 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+,则点(0,0) 就是( ) A 不就是(,)f x y 连续点 B 不就是(,)f x y 的极值点 C 就是(,)f x y 的极大值点 D 就是(,)f x y 的极小值点 4、 函数2 2 2 24422,0 (,)0,0 x y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在(0,0)处( C ) A 连续但不可微 B 连续且偏导数存在 C 偏导数存在但不可微 D 既不连续,偏导数又不存在 5 、二元函数22((,) (0,0),(,)0,(,)(0,0) ? +≠?=??=?x y x y f x y x y 在点(0,0)处( A )、 A.可微,偏导数存在 B.可微,偏导数不存在 C.不可微,偏导数存在 D.不可微,偏导数不存在 6、设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数、 则=??2 2y z ( )、 (A)222y v v f y v y v f ?????+??????; (B)22 y v v f ?????; (C)22222)(y v v f y v v f ?????+????; (D)22 22y v v f y v v f ?????+?????、
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
第九章多元函数微分学自测题 一、 填空题 1．已知22),(y x x y y x f -=+ ，则f(x ,y)= （ ）。 2．) sin(11lim 00xy xy y x -+→→=（ ）. 3．设xy y x z -+=1arctan ，则y x z ???2＝（ ）. 4． 设函数x y z arctan =,则dz ＝（ ）． 5.由方程2222=+++z y x xyz 确定的函数z =z （x ,y ）,在点（1，0，-1）处的全微分dz =（ ）． 6.y xe z 2=在点)0,1(1M 处沿从点)0,1(1M 到点)1,2(2-M 的方向的方向导数（ ）． 7.设z =),(y x f 具有一阶连续偏导数，则梯度grad ),(y x f =（ ）．； z =),(y x f 沿梯度方向的方向导数为（ ）． 。 8． 设函数),(y x z z =由函数y z z x ln =确定，则x z ??＝（ ）． 9. 求球面62 22=++z y x 在点（1，2，1）处的切平面方程（ ）． 10 函数f(x,y)=(6x-x 2)(4y-y 2)的极值点有（ ）． 二、 单项选择题 1. 设2y z x e u -=，则z u ??＝（ ） A. 2y z x e --； B.2y z x xe --； C. 22y z x e y x --； D. 22y z x e y x - ２．二元函数),(),(00y x y x f z 在点=可导（偏导数存在）与可微的关系是（ ）． A. 可导必可微； B. 可导一定不可微 ； C.可微不一定可导； D.可微必可导． 3．函数其它)0,0(),(0),(22≠???=+y x y x f y x xy 在（0，0）处 （ ）
第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ）
多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。 （2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论 （1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？ （2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。
多元函数微分学练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1(,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ．
12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 17. 曲线2226,2 x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ． 二、选择题 1. 设0x 是n R ?E 的孤立点，则0x 是E 的 （ ） (A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ?E 的内点，则0x 是E 的 （ ） (A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点． 3. 设22 2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??=? ，则(0,0)y f =( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-
第8章 测试题 1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（ ）条件． A ．充分 B ．充分必要 C ．必要 D ．非充分非必要 2.函数(,)z f x y =的偏导数z x ??及z y ??在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（ ）条件． A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0） 是（ ） A 不是(,)f x y 连续点 B 不是(,)f x y 的极值点 C 是(,)f x y 的极大值点 D 是(,)f x y 的极小值点 4. 函数22 224422,0 (,)0,0 x y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在（0，0）处（ C ） A 连续但不可 连续且偏导数存在 C 偏导数存在但不可 既不连续，偏导数又不存在 5. 二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0) ? +≠?=??=?x y x y f x y x y 在点(0,0)处( A ). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在 C ．不可微,偏导数存在 D ．不可微,偏导数不存在 6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数.
则=??2 2y z ( ). (A)22 2y v v f y v y v f ?????+??????； (B)22y v v f ?????； (C)22222)(y v v f y v v f ?????+????； (D)2222y v v f y v v f ?????+?????. 7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ). (A) (1,2)； (B) ； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0) (,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（ ）. A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点 C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ??? 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ??= ??? ，求 z z x y x y ??-?? 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ?? 11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ???.
第八章 多元函数微分法及其应用 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-1 4 （B ） 14 （C ）-12 （D ）12 7、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）
第5章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或 12 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22
暑期培训（多元函数微分学） 一、多元函数的偏导数 1. f(x,y)可微，f(0,0)=0, m f x =)0,0(/ ，n f y = )0,0(/，)),(,()(t t f t f t =?，求 )0(/?。 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构 答案：2 m mn n ++ 难度：易 2. z=z(x,y)由f(y-x, yz)=0所确定，f 对各变量的二阶偏导函数连续，求x z ??，2 2x z ??。 知识点：抽象的复合函数、隐函数求偏导 关键：理清函数结构 答案：/////11122/2 ,(,),(,);f z f f y x yz f f y x yz x yf ?==-=-? ()() () 22//////////2 1 22 2 111212 32/2 2.f f f f f f f z x y f --+?=? 难度：易 3. (,)z f x y z xyz =++，求 ,,.z x y x y z ?????? 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：3个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2元函数，该2元函数的因变量可 以是z ，也可以是x 或者.y 答案：//////121212////// 121212 1;;.1f yzf f xzf f xyf z x y x f xyf y f yzf z f xzf ++--???==-=?--?+?+ 难度：易 4. z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微，且 22),(321)1,(y x O y x y x f += +++=+ρρ，一元函数y(x)由f(x,y)=1 所确定，求)0(/ y 知识点：多元函数全微分的定义 关键：找到两个已知条件：“z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微”与
《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一．填空题 1.3ln 3xy y ； 2.50 3-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 6. 3 ； 7.22； 8.k j i 345++. 二．选择题 1.B ； 2.D ； 3. C ； 4.D ； 5.A ； 6.B ； 7. B ； 8.A . 三.解答题 1. 解 22222222222211)221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 2 2222222221y x x y x y y x y y x x y z +++=+++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2222111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2222 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(2 22-++=,有 2422''--=--=-=??z x z x F F x z z x . 4. 证明 r x z y x x x r =++=??22222, 3222211r x r x r r x r x r -=??-=??, 同理 32 2 21r y r y r -==??, 32221r z r z r -=??, 所以 r r r r r z y x r z r y r x r 233323222222222=-=++-=??+??+??.