高二数学抛物线方程归纳|抛物线的参数方程
抛物线作为三大圆锥曲线之一，在高二数学教学中占有重要地位、下面小编给大家带来高二数学抛物线方程，希望对你有帮助。
高二数学抛物线方程
高二数学抛物线练习
1.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为()
(A)y2=4x (B)y2=8x
(C)x2=4y (D)x2=8y
2.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=()
(A) (B)1 (C)2 (D) 3
3.抛物线y=-2x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()
(A) (B) (C)- (D)-
4.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个正三角形的边长为()
(A)4 (B)8 (C)8 (D)16
5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()
(A)x=1 (B)x=-1
(C)x=2 (D)x=-2
6.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，=3，则p=()
(A)2 (B) (C) (D)4
7.若双曲线-=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为()
(A) (B) (C) (D)
8.若已知点Q(4,0)和抛物线y=x2+2上一动点P(x,y),则y+|PQ|最小值为()
(A)2+2 (B)11
(C)1+2 (D)6
高二数学学习方法
(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做
到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行整体集装，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
(5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
(6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类
③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
(8)经常在做题后进行一定的反思，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
(9)无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。
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2.2.2双曲线与抛物线的参数方程（教学设计） 教学目标： 知识与技能目标：掌握双曲线与抛物线的参数方程，理解参数的几何意义。会用曲线的参数方程解决一些实际问题。 过程与方法：通过双曲线与抛物线参数方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法。 情感态度价值观：数学问题解法的多样性，思维多样性。 教学重点：双曲线与抛物线参数方程的应用。 教学难点：双曲线与抛物线参数方程的推导。 教学过程： 一、复习回顾： 1、椭圆的参数方程： 椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）； 椭圆2 2221(0)y x a b b a +=>>的参数方程是cos sin x b y a θθ=??=?（θ为参数） 二、师生互动，新课讲解： 1、双曲线的参数方程的推导： 1）双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ? ??==θθtan sec b y a x （θ为参数） 双曲线 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数） 2、判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法． 如果x 对应的参数形式是sec φ，则焦点在x 轴上． 如果y 对应的参数形式是sec φ，则焦点在y 轴上． 例1：如图，设M 为双曲线122 22=-b y a x （a>0,b>0）任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？ 2a 222y x -=1(a>0,b>0)的参数方程为：b
变式训练1：化下列参数方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线?由此你有什么想法？ 小结：参数方程的表示不唯一，如何判断是哪种曲线，必须化为普通方程。 4、抛物线的参数方程的推导： 1）抛物线方程y 2＝2px(p>0)的参数方程为????? x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数). 2）抛物线方程x 2 =2py(p>0)的参数方程为222x pt y pt =??=? （t 为参数） 3）抛物线方程y 2 =-2px (p>0)的参数方程为2 22x pt y pt ?=-?=-?（t 为参数） 4）抛物线方程x 2 = -2py (p>0)的参数方程为222x pt y pt =-??=-? 例2：如图O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线y 2=2px (p>0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，OM ⊥AB 并 于AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程。 变式训练2（探究）在本例中，点A 、B 在什么位置时，?AOB 的面积最小？最小值是多少？ 课堂练习： a 1(2()1()2x t t t b y t t ?=+????=-?? ）为参数,a>0,b>0()2(b )()2t t t t a x e e t b y e e --?=-????=+??为参数,a>0,>02 1212121212121221(),,211x pt t M M t t M M y pt A t t B t t C D t t t t ?=?=?+-+-、若曲线为参数上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是（ ）、，、，、，、20022(1,0)M y x M P M M P =-、设为抛物线上的动点，给定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程。
焦点在y 轴上的椭圆的参数方程： 22 22y 1,b a x += 练习：已知椭圆4 92 2y x +＝1，点M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM ＝60°。(1)求点M 的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？ 错解：由已知可得a ＝3，b ＝2，θ＝600, ∴x ＝acos θ＝3cos60°＝2 3，y ＝bsin θ＝2sin60°＝3。 从而，点M 的坐标为)3,2 3(。 正解：设点M 的坐标为(x,y)，则由已知可得y ＝3x,与4 92 2y x +＝1联立， 解得x ＝31316， y ＝9331 6。 所以点M 的坐标为(31316,9331 6)。 另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M 的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。 代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M 的坐标(略)。 例1 求椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆1b y a x 22 22=+的内接矩形在第一象限的顶点是 A )sin cos (ααb a ，)2 0(π α< <，矩形的面积和周长分别是S 、L 。 ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α?α=?=， 当且仅当4 a π = 时，22max b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，cos y a sin x b ? ? =?? =?
5 3 arcsin 23-π= α时，距离d 有最大值2。 例4 θ取一切实数时，连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段 例5 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =， 试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+?+α=++ = cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 42 11921 sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ? ?+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 例6 椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原 点，若这个椭圆上存在点P ，使得OP ⊥AP 。求该椭圆的离心率e 的取值范围。 解：设椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+上的点P 的坐标是（ααsin b cos a ，）（α≠0且α≠π），A
双曲线的参数方程抛物线的参数方程 跟踪练习 一、选择题 1．曲线Error!(t为参数)的焦点坐标是( ) A．(1,0) B．(0,1) C．(－1,0) D．(0，－1) 2．圆锥曲线Error!(θ是参数)的焦点坐标是( ) A．(－5,0) B．(5,0) C．(±5,0) D．(0，±5) 3．方程Error!(t为参数)的图形是( ) A．双曲线左支B．双曲线右支 C．双曲线上支D．双曲线下支 4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( ) A．1 B．2 C.D．3 3 二、填空题 5．已知动圆方程x2＋y2－x sin 2θ＋2y·sin＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程 2(θ＋π4) 是________． 6．双曲线Error!(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________． 7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为Error!(t为参数)和Error!(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________． 三、解答题 8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数． 10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程． 双曲线的参数方程抛物线的参数方程 跟踪练习答案 一、选择题
1．曲线Error!(t 为参数)的焦点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(0，－1) 解析：选B 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)， 该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到， 所以焦点为(0,1)． 2．圆锥曲线Error!(θ是参数)的焦点坐标是( ) A ．(－5,0) B ．(5,0) C ．(±5,0) D ．(0，±5) 解析：选C 由Error!(θ为参数)得 －＝1，x 216y 29 ∴它的焦点坐标为(±5,0)． 3．方程Error!(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支 解析：选B ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4. 且x ＝e t ＋e －t ≥2＝2. e t ·e －t ∴表示双曲线的右支． 4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( ) A ．1 B ．2 C. D ．3 3解析：选C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1. ∴双曲线的参数方程为Error!(θ为参数)． 设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)， 则2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2 |Μ0Μ|＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3. 当tan θ＝1时，2取最小值3， |Μ0Μ|此时有＝ . |Μ0Μ|3二、填空题
14. 抛物线的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程： （1）2 23 x t y t t =-?? =+-?（t 为参数），答：2 53x x y --=； （2）224x m y m ?=?=?（m 为参数），答：2 8x y =. 2.将下列普通方程化为参数方程： （1）2 2x y =，其中1x t t =-（t 为参数），答：221224 x t t y t t ?=-???=+-? ； （2）2 34y x =，其中x t =（0t ≥为参数） ，答：x t y =???=?? . 二、新课导学： （一）新知： 抛物线的参数方程的推导过程： 如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22 ππ - 内变化时， 点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程. 根据三角函数的定义得，tan y x α=，即tan y x α=，联立2 2y px =，得 22tan 2tan p x p y α α?=??? ?=?? （α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1 tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞U ，则222x pt y pt ?=?=?（t 为参数 ）， 当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程. 注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2 2x py =的参数方程 .
历年高考抛物线真题详解理科 1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1， l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上 任意一点，M 是线段PF 上的点，且 =2 ,则直线OM 的斜率的最大值为( ) （A ）（B ）（C ）（D ）1 3.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2 2(p 0)y px =>上 任意一点，M 是线段PF 上的点，且 PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( ) （A （B ）2 3 （C （D ）1 4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、 E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 5.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线 24y x =相交于 A ， B 两点，与圆 () ()2 2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条， 则r 的取值范围是（） （A ） ()13， （B ）()14，（C ）()23，（D ）()24， 6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A ， B ， C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ?与ACF ?的面积之比是（）
双曲线 、抛物线的参数方程 1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是??? ??x ＝a sec φy ＝b tan φ (φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠ π2，φ≠3π 2 ． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是? ?? ??x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)． 2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y 2 ＝2px 的参数方程为? ??? ?x ＝2pt 2 y ＝2pt (t 为参数)． (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 1．参数方程? ????x ＝2t 2 ， y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( ) A ．x 轴上方 B ．x 轴下方 C ．y 轴右方 D ．y 轴左方 解析：选D.原参数方程可化为y 2 ＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2 ＝4x 的参数方程的是( ) A.?????x ＝4t 2 y ＝4t ，(t 为参数) B ．?????x ＝ t 2 4y ＝t ，(t 为参数) C.? ????x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．? ????x ＝2t 2 y ＝2t ，(t 为参数) 解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2 ＝4x . 3．双曲线?? ?x ＝23tan α y ＝6sec α ，(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0) C ．(0，－3)，(0，3) D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝ x 23 ，sec α＝y 6，
抛物线的几个常见结论及其应用 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x =，212y y p =-。 例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证： 11AF BF +为定值。 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦） 最短。 例：已知过抛物线 29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。AB 倾斜角为 3 π或23π。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证： （1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB
结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。反之也成立。 结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为2 22x pt y pt =?? =?， ， 设抛物线22x py =上动点P 坐标为2 (22)pt pt ， ，O 为抛物线的顶点，显然222OP pt k t pt ==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率． 例 直线2y x =与抛物线2 2(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直， 且线段AB 长为P 的值． 解析：设点A B ，分别为2 2(22)(22)A A B B pt pt pt pt ， ，，，则112A OA t k ==，12B OA OB t k k ==-=-． A B ，的坐 标 分 别 为 (84)2p p p p ??- ???，，，．AB =∴==2p =∴．
2.2.3 抛物线的参数方程 ?知识梳理 1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C 的参数方程为?????x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在______________上的抛物线参数方程． ?预习思考:抛物线y 2＝x 的一个参数方程为___________________．, 一层练习 1．圆锥曲线? ????x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________． 2．点P (1，0)到曲线? ????x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( ) A ．0 B ．1 C.2 D ．2 3．若曲线?????x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( ) A ．t 1＋t 2 B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 2 4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：?????x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：?????x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B
两点，则|AB |＝________． 5．连接原点O 和抛物线x 2＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线． 二层练习 6．参数方程? ????x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)表示的曲线为( ) 7．曲线? ????x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且t 1＋t 2＝0，则|AB |为 ( ) A ．|2p (t 1－t 2)| B ．2p (t 1－t 2) C ．2p (t 21＋t 22) D ．2p (t 1－t 2)2
抛物线方程 1 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴轴轴 顶点（0，0） 离心率 焦点 注：①顶点. ②则焦点半径;则焦点半径为. ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④（或）的参数方程为（或）（为参数）.
空间直线知识点总结 1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(可能两条直线平行，也可能是点和直线等) ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线，也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图). (二面角的取值范围) (直线与直线所成角) (斜线与平面成角) (直线与平面所成角) (向量与向量所成角 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交(共面)垂直和异面垂直. 是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. (或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面)
抛物线知识点整理-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
抛物线方程 1 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴轴轴 顶点（0，0） 离心率 焦点 注：①顶点. ②则焦点半径;则焦点半径为. ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④（或）的参数方程为（或）（为参数）. 空间直线知识点总结
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(可能两条直线平行，也可能是点和直线等) ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线，也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图). (二面角的取值范围) (直线与直线所成角) (斜线与平面成角) (直线与平面所成角) (向量与向量所成角 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交(共面)垂直和异面垂直. 是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. (或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面)
223抛物线的参数方程 班级：姓名：小组： 学习目标1.了解抛物线的参数方程及参数的意义 2对参数方程的知识提升到一定的理论高度 学习重 点难点重点：抛物线的参数方程的定义和方法难点：巧用抛物线的参数方程解题学法 指导 通过课前自主预习，掌握抛物线的参数方程；小组合作探究得岀结论 课刖预习 2 2 2 1. 圆x + y =r的参数方程为 2 2 2 2. 圆（x—a） +（y—b） =r的参数方程为 2 2 3. 椭圆x2+工^ = 1 （aibnO ）的参数方程 a2b2------------------- 4. 抛物线方程y2 =2px的参数方程 预习评 价 （学生独立完成，教师通过批改了解掌握情况）x = 4t2 1. 若点P（3, m）在以点F为交点的抛物线丿（t为参数）上，则PF等于（） ly =4t A.2 B.3 C.4 D.5 f x = 3t _ 2 2. 曲线彳“与x轴交点的坐标是 丄2 彳---------------- iy=t -1 课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题） 新课探究： x =100t 前面曾经得到以时刻t作参数的抛物线的参数方程」 1 +2 （t为参数，且 y = 500_一gt 1 2 1000 0兰t兰」——）.对于一般的抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？ V g 2 1.如图1，设抛物线的普通方程为y -2px 其中p表示焦点到准线的距离. 设M （x, y ）为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线0M为终边的角记作。. 由于点M在口的终边上，根据三角函数定义可1 = x X = 由解出X, y得到」--- （a为参数）这就是抛物线的参数方 y = I ________ _ 程. 1 X = 如果令t ，［0 . 0,=，则有?--- （t为参数） tana \y = _ 注：当t = 0时，由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0,0）.因此，当tw 时, 参数方程表示整条抛物线? 2. （1）抛物线方程x2= 2py的参数方程 （2）抛物线方程y2二_2 px的参数方程 （3）抛物线方程X2 - _ 2 py的参数方 程 例1：如图2，O是直角坐标原点，A, B是抛物线y2 = 2px （p . 0 ）异于顶点的两动点，且 OA_ OB, OM _ AB并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程. 斜率为1的直线L经过抛物线 L x 二4t2 y = 4t （t为参数）的焦点F且与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长. 当 堂 检 测
高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习 新人教A 版选修4-4 ?预习梳理 1．抛物线y ＝2x 2 的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x 2 ＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C 的参数方程为? ????x ＝2pt 2 ， y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中 p 为正的常数．这是焦点在 ______________上的抛物线参数方程． ?预习思考 抛物线y 2 ＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理 1．F ? ????0，18 y ＝－18 F ? ????0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴 预习思考 ? ????x ＝t 2 ， y ＝t (t 为参数) 一层练习 1．圆锥曲线? ????x ＝t 2 ，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________． 1．(1，0) 2．点P (1，0)到曲线? ????x ＝t 2 ， y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 2.B 3．若曲线? ????x ＝2pt ， y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、
t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( ) A ．t 1＋t 2 B ．t 1－t 2 C. 1t 1＋t 2 D.1 t 1－t 2 3.A 4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：? ????x ＝1＋s ， y ＝1－s (s 为 参数)和C ：? ????x ＝t ＋2， y ＝t 2 (t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________． 4. 2 5．连接原点O 和抛物线x 2 ＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线． 5．解析：设抛物线x 2 ＝2y 的参数方程为?????x ＝2t ，y ＝2t 2 (t 为参数)． ∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2 )． 设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点， ∴??? ? ?x 0＝4t ，y 0＝4t 2 . 消去参数t ，得 y 0＝1 4 x 20，即点P 的轨迹方程是x 2 ＝4y ，表示的曲线为抛物线． 二层练习 6．参数方程???? ?x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ (θ为参数)表示的曲线为( )
参数方程 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ?? ?==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程： 特殊：圆心是（0,0），半径为r 的圆： θ θ sin cos r y r x == 一般：圆心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数，θ的几何意义为圆心角）， Eg1：已知点P （x ，y ）是圆x 2 +y 2 -6x-4y+12=0上的动点，求： （1）x 2 +y 2 的最值；（2）x+y 的最值；（3）点P 到直线x+y-1=0的距离d 的最值。 Eg2：将下列参数方程化为普通方程 （1） x=2+3cos θ （2） x=sin θ （3） x=t+t 1 y=3sin θ y=cos θ y=t 2 + 21t 总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程： 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θ sin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角） 注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0）椭圆的参数方程： θ θsin cos 00b y y a x x +=+=
14. 抛物线的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程： （1）2 23 x t y t t =-?? =+-?（t 为参数），答：2 53x x y --=； （2）224x m y m ?=?=?（m 为参数），答：2 8x y =. 2.将下列普通方程化为参数方程： （1）2 2x y =，其中1x t t =-（t 为参数），答：221224 x t t y t t ?=-???=+-? ； （2）2 34y x =，其中x t =（0t ≥为参数），答：23x t t y =???=?? . 二、新课导学： （一）新知： 抛物线的参数方程的推导过程： 如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22 ππ - 内变化时， 点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程. 根据三角函数的定义得，tan y x α=，即tan y x α=，联立2 2y px =，得 22tan 2tan p x p y α α?=??? ?=?? （α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1 tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞，则222x pt y pt ?=?=?（t 为参数 ）， 当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程. 注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2 2x py =的参数方程. α y x O M(x,y)
1 / 3 抛物线的几个常见结论及其应用 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）， 且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2 124 p x x =，212y y p =-。 例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ， 求证： 11AF BF +为定值。 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α， 则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线 对称轴的弦）最短。 例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。AB 倾斜角为3 π 或 。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线， 垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆 与直线AB 相切。
2 / 3 205054481.doc 结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。反之也成立。 结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为2 22x pt y pt =?? =?， ， 设抛物线22x py =上动 点P 坐标为2 (22)pt pt ， ，O 为抛物线的顶点，显然2 22OP pt k t pt ==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率． 例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB 长为，求P 的值． 解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ， ，，， 则11 2 A OA t k = =，1 2B OA OB t k k = =-=-． A B ，的坐标分别为 2p p ? ?， 2p =． 1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点， 若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q += 故114a p q +=】 2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线 于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴． 证明直线AC 经过原点O ． 【证明：抛物线焦点为02 p F ?? ??? ， ．设直线AB 的方程为2 p x my =+， 代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，， 则212y y p =-． B C x ∵∥ 轴，且点C 在准线1 2CO p k y = ； 又由2112y px =，得11 1 2AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】
高二数学抛物线方程归纳|抛物线的参数方程 抛物线作为三大圆锥曲线之一，在高二数学教学中占有重要地位、下面小编给大家带来高二数学抛物线方程，希望对你有帮助。 高二数学抛物线方程 高二数学抛物线练习 1.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为() (A)y2=4x (B)y2=8x (C)x2=4y (D)x2=8y 2.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=() (A) (B)1 (C)2 (D) 3 3.抛物线y=-2x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是() (A) (B) (C)- (D)- 4.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个正三角形的边长为() (A)4 (B)8 (C)8 (D)16
5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() (A)x=1 (B)x=-1 (C)x=2 (D)x=-2 6.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，=3，则p=() (A)2 (B) (C) (D)4 7.若双曲线-=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为() (A) (B) (C) (D) 8.若已知点Q(4,0)和抛物线y=x2+2上一动点P(x,y),则y+|PQ|最小值为() (A)2+2 (B)11 (C)1+2 (D)6 高二数学学习方法 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做
《抛物线的参数方程》教学案2 教学目标： 1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 教学过程： 一、复习 1.圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为);为参数 (. sin ,cos θθθ???==r y r x 2.圆 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为).为参数 (.sin , cos θθθ?? ?+=+=r b y r a x 3.椭圆)(0122 22>>=+b a b y a x 的参数方程为)为参数 (. sin ,cos ????????==b y a x 4.双曲线),(00122 22>>=-b a b y a x 的参数方程为)为参数 (. tan ,sec ??????==b y a x .，且),[0,2 232π?π?π?≠≠∈ 二、新课 例1. 如图，O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线y 2＝2x 上异于顶点的两动点，且OA ⊥O B ， OM ⊥AB 并与AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程. 探 究 点A ，B 在什么位置时，△AOB 的面积最小？最小值是多少？ 课堂练习 1. 已知A ，B ，C 是抛物线y 2＝2x 上的三个点，且BC 与x 轴垂直，直线AB ，AC 分别与抛物线的轴交于D ， E 两点.求证：抛物线的顶点平分线段DE .
2. 经过抛物线y2＝2x的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程. 课后作业(根据《学案》P.21第8、9题改编) 1. 设M是抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1，0)，点P分M0M的比为2：1，求P 点的轨迹方程. 2. 抛物线y2＝4x上有一点A，A在x轴上的射影是M，N是AM的中点，NQ与x轴平行且交抛物线于Q，直线MQ交y轴于T.求|OT|： |AM|的值. 教后反思
第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 （二）、讲解新课： 1.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程_____________________ （θ 参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22=参数方程________________________（t 为参数） ,t 为以抛物线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。 （1）、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围
（三）、巩固训练 1、曲线) (1 1 为参数t t t y t t x ?????-=+=的普通方程为 2. 双曲线6sec ({x y α αα==为参数） 的两焦点坐标是 。 3.、直线) (sin cos 为参数θθθ???==t y t x 与圆) (sin 2cos 24为参数??????=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（ ） A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π -或6 5π - 4、求直线为参数）t t y t x (11???-=+=与圆422=+y x 的交点坐标。