2.2函数的单调性与最值[知识梳理]
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)函数单调性的三种等价形式
设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 ①x 1－x 2<0，若f (x 1)－f (x 2)<0?f (x )在[a ，b ]上是增函数；若f (x 1)－f (x 2)>0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 <0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ③(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 注：研究函数单调区间的注意事项 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性． (2)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． (3)函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限 制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的， 但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 2．函数的最值 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标，函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 注：(1)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在． (2)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是函数的最值． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (2)设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么f (x )在[a ，b ]上是增函数?f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 >0?(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.( ) (3)函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则函数y ＝f (x )的增区间为[0，＋∞)．( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．教材衍化 (1)(必修A1P 39B 组T 3)下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝log 12 x C ．y ＝x －1 D ．y ＝x 3 答案 C 解析 函数y ＝2x 在区间(－∞，0)上是增函数； 函数y ＝log 12 x 在区间(－∞，0)上无意义； 函数y ＝x －1在区间(－∞，0)上是减函数； 函数y ＝x 3在区间(－∞，0)上是增函数．故选C. (2)(必修A1P 45B 组T 4)已知函数f (x )＝ ??? －x 2－ax －5(x ≤1)， a x (x >1) 是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ( ) A ．－3≤a <0 B ．－3≤a ≤－2 C ．a ≤－2 D ．a <0 答案 B 解析 ∵函数f (x )＝??? －x 2－ax －5(x ≤1)，a x (x >1)是R 上的增函数， 设g (x )＝－x 2 －ax －5(x ≤1)，h (x )＝a x (x >1)， 由分段函数的性质可知，函数g (x )＝－x 2－ax －5在(－∞，1]单 调递增，函数h (x )＝a x 在(1，＋∞)单调递增，且g (1)≤h (1)，∴ ??? －a 2≥1，a <0，－a －6≤a ，∴????? a ≤－2，a <0，a ≥－3， 解得－3≤a ≤－2.故选B. 3．小题热身 (1)(2014·天津高考)函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为 ( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 答案 D 解析 由x 2－4>0得x <－2或x >2.令u ＝x 2－4，易知u ＝x 2－4在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y ＝log 12 u 为减 函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．故选D. (2)(优质试题·保定期末)直角梯形OABC 中AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ，则函数S ＝f (t )的图象大致为( ) 答案 C 解析 由题意可知：当0 当1 所以f (t )＝????? t 2，0 题型1 函数单调性的判断与证明 典例 已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a >0. (1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值； (2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为单调减函数． 本题用定义法． 解 (1)由2f (1)＝f (－1)， 可得22－2a ＝2＋a ，得a ＝23. (2)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1 f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2 ＝x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1 －a (x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)? ?? ???x 1＋x 2 x 21＋1＋x 22＋1 －a . ∵0≤x 1 ∴0 <1. 又∵a ≥1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递减． 方法技巧 确定函数单调性(区间)的常用方法 1．定义法：本例采用了定义法．一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形．见典例． 2．图象法：如冲关针对训练1. 3．导数法：本例也可采用求导法．利用导数取值的正负确定函数的单调性．见冲关针对训练2. 冲关针对训练 1．已知函数f (x )＝????? x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 C 解析 依题意知f (x )在R 上是增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2 2．讨论函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解∵f(x)＝x＋a x(a>0)， ∴f′(x)＝1－a x2＝x2－a x2＝ (x＋a)(x－a) x2， 令f′(x)＝0，计算得出x＝±a， 当f′(x)>0，即x>a时，f(x)单调递增， 当f′(x)<0，即0 综上所述，x∈(a，＋∞)函数f(x)单调递增，x∈(0，a)函数f(x)单调递减. 题型2求函数的单调区间 典例1(优质试题·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln (x 2－2x－8) 的单调递增区间是() A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 根据复合函数单调性的“同增异减”求解． 答案 D 解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2. 设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数． 要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间． ∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. [条件探究]若将本典例自然对数变为指数函数如何求解呢？ 解 典例2 求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间． 本题用图象法． 解 先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象．如图所示． 由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]， [2,3]． [条件探究] 若将本典例中的绝对值符号挪动位置，那如何求解呢？ 例如：f (x )＝－x 2＋2|x |＋3. 解 ∵f (x )＝????? －x 2＋2x ＋3(x ≥0)，－x 2－2x ＋3(x <0)， 其图象如图所示，所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]；单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)． 典例3 求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间． 本题采用导数法． 解 由题意，得x >0. y ′＝1－1x ＝x －1x .由y ′＝0解得x ＝1. 列表如下： 由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． [条件探究] 若本典例变为f (x )＝ax ＋ln x ．研究单调区间时，应注意什么问题？ 解 由于参数a 范围未定，所以要对a 进行分类讨论． f (x )＝ax ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x ， ①当a ≥0时，f ′(x )>0， 故函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a <0时，x ∈? ?? ??0，－1a 时，f ′(x )>0， x ∈? ?? ??－1a ，＋∞时，f ′(x )<0； 故函数f (x )的单调递增区间为? ?? ??0，－1a ， 单调递减区间为? ?? ??－1a ，＋∞ . 方法技巧 1．研究函数的单调性及求单调区间问题，首先求出函数的定义域(定义域优先原则)． 2．对已知函数解析式的构成进行分析，变形转化，变成几个基本初等函数组成的形式，再根据基本初等函数的性质，研究函数的单调性．例如：典例1函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)是由y ＝ln u ，u ＝x 2－2x －8复合而成的，u 是中间变量．典例2条件探究函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3，带绝对值符号的可去掉绝对值符号，化为分段函数f (x )＝????? －x 2＋2x ＋3(x ≥0)，－x 2－2x ＋3(x <0). 3．若函数解析式是由y ＝ln x ，y ＝e x 与其他基本函数构成的复杂函数，需要考虑求导法．如典例3. 冲关针对训练 1．(优质试题·洛阳二模)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0 A.??? ?0，2 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪???? ??12，＋∞ D ．[a ，a ＋1] 答案 B 解析 由图象可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和 ? ????12，＋∞，单调递增区间为? ?????0，12. ∵0 0≤log a x ≤12，解得a ≤x ≤1，即所求递减区间为[a ，1]．故选B. 2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为 ( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[1，＋∞) 答案 B 解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增． 所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B. 题型3 函数单调性的应用 角度1 利用函数的单调性比较大小 典例 (优质试题·福州模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立， 设a ＝f ? ? ?－2，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 本题利用对称性转化到同一单调区间， 再用单调性比较大小． 答案 D 解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1， ＋∞)上是减函数，所以a ＝f ? ????－12＝f ? ?? ??52，故b >a >c .故选D. 角度2 利用函数的单调性解不等式 典例 f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A ．(8，＋∞) B ．(8,9] C ．[8,9] D ．(0,8) 本题用转化法，利用函数单调性把不等 式从抽象转化到具体． 答案 B 解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有????? x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8 角度3 利用函数的单调性求最值 典例 (优质试题·福州一模)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－ 2,0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．－ 1 本题采用数形结合思想． 答案 C 解析 根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对 称．又函数f (x )在??????12，＋∞上单调递增，故f (x )在? ?? ??－∞，12上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4.故选C. 角度4 利用函数的单调性求参数的取值或范围 典例 已知f (x )＝????? (3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.? ????0，13 C.??????17，13 D.???? ??17，1 本题用定义法． 答案 C 解析 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a － 1)x ＋4a >0在x <1时恒成立， 令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有????? 3a －1<0，g (1)≥0， 即 ????? 3a －1<0，3a －1＋4a ≥0，且0 方法技巧 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 1．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内， 然后利用函数的单调性解决．如角度1典例． 2．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．如角度2典例． 3．利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解．如角度3典例． 4．利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．如角度4典例． 提醒：若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 冲关针对训练 1．(优质试题·江西三校第一次联考)定义在R 上的偶函数f (x )满 足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 <0.则下列结论正确的是( ) A ．f (0.32) B ．f (log 25) C ．f (log 25) D ．f (0.32) 答案 A 解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 <0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数， 又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∵0<0.32<20.3 2．(优质试题·湖南益阳箴言中学三模)已知a >0且a ≠1，若函数 f (x )＝lo g a []ax 2－(2－a )x ＋3在???? ??13，2上是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 ? ????16，25∪???? ??65，＋∞ 解析 由复合函数单调性可知 ①当a >1时，??? 2－a 2a ≤13，19a －2－a 3＋3>0，解得a ≥65； ②当00，解得16 ∴a 的取值范围是? ????16，25∪??????65，＋∞. 1．(优质试题·山东高考)若函数e x f (x )(e ＝2.71828…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( ) A ．f (x )＝2－x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝3－x D ．f (x )＝cos x 答案 A 解析 若f (x )具有性质M ，则[e x f (x )]′＝e x [f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立． 对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x －2－x ln 2＝2－x (1－ln 2)>0，符合题意．经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意．故选A. 2．(优质试题·三门峡模拟)设函数f (x )＝????? 2x ，x <2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞) 答案 B 解析 函数f (x )＝????? 2x ，x <2，x 2，x ≥2是在定义域为R 上的增函数． ∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]．故选B. 3．(优质试题·合肥模拟)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0 答案 B 解析 设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，又f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )， ∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0.故选B. 4．(优质试题·辽宁三校联考)已知函数f (x )＝ ????? log 2(1－x )＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1， 3 ] C ．[1,2] D ．[3，2] 答案 B 解析 先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象． 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0，得0 ∴当x ＝1时，f (x )在0≤x ≤a 上有最小值f (1)＝0.又f (3)＝2.∴1≤a ≤ 3.故选B. [基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1．(优质试题·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ．f (1) ??72 B ．f ? ????72 ??72 答案 B 解析 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，所以 函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ? ?? ??72 ??52.故选B. 2．(优质试题·武汉调研)若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的增区间是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4) 答案 B 解析 ∵f (x )＝ax ＋1在R 上递减，∴a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a . ∵a <0，∴在(－∞，2)上g (x )递增．故选B. 3．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1，＋∞) 答案 A 解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2×2－3)＝log a 5， ∴y ＝log a 5>0，∴a >1.由复合函数单调性知，单调递减区间需满足????? x 2＋2x －3>0，x <－1，解之得x <－3.故选A. 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则 函数g (x )＝f (x )x 在区间(0，＋∞)上一定( ) A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数 答案 A 解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a >0.∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋ ∞)上单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．故选A. 5．(优质试题·太原模拟)已知f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )