富县高级中学集体备课教案
在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：
平面到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于
|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面”．
(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜| F1F2 |，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于| F1F2 |”．
(二)椭圆标准方程的推导
1．标准方程的推导
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设| F1F2 |=2c(c ＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．
(3)代数方程
(4)化简方程（学生板演，教师点拨）
2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)
0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；
-c)、
F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．
教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
(三)例题讲解
例、平面两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．
分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．
解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵2a=10，2c=8．
∴a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9．∴b=3
因此，这个椭圆的标准方程是
圆锥曲线与方程单元教 学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
课题名称《圆锥曲线与方程》单元教学设计 设计者姓名郭晓泉 设计者单位华亭县第二中学 联系电话 电子邮箱 《圆锥曲线与方程》单元教学设计 一、教学内容分析 1、实际背景分析 该单元选自人教版数学选修2-1.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活关系密切，早在16、17世纪之交，开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线，……现代航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用。圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于它们的几何特征及其特性。 2、数学视角分析 《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质，是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线性质，为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，先了解曲线与方程的关系，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了必修课程《必修2》中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究他们的简单性质，进而利用坐标法解决一些圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。 3、课程标准视角分析 （1）学生学习方式的转变问题。在本部分内容中，延续了《必修2》中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知，定义、建立方程、研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合法的思想。 （2）学生思维能力培养的问题。“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线这部分
12.1曲线与方程 上海市控江中学张进兴一、教学内容分析 曲线与方程是以直线方程为认识基础的解析几何的基本概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础，是解析几何中承上启下的关键章节.本节在充分讨论曲线方程概念后，介绍了解析几何的思想——通过直角坐标系建立曲线的方程、再用代数方法研究曲线性质.通过本节的学习我们可以了解到解析几何的基本问题：由曲线的已知条件求曲线方程；然后通过方程研究曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.为后面用曲线方程研究曲线性质奠定基础. “曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题. 在本节的学习中可以结合已经学过的直线方程的知识帮助我们领会坐标法和解析几何的思想、学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备. 作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时讲曲线的交点. 12.1(1)（2）曲线与方程 二、教学目标设计 理解曲线和方程的概念，以简单的几何轨迹问题为例，学会求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程.通过积极参与、亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点. 通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，深化对求曲线方程本质的理解，完善认知结构. 三、教学重点及难点 重点是理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，领悟坐标法和解析几何的思想. 难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.
椭圆 【学习目标】 1.能 正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题； 3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、椭圆的定义及其标准方程 椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 椭圆的标准方程： 1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值. 要点二、椭圆的几何性质 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 22 221(0)x y a b a b +=>> 22 221(0)x y a b b a +=>> 椭圆 椭圆的定义与标准 方程方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 椭圆的综合问题 最大（小）值问题 椭圆的弦问题 椭圆离心率及离心率的范围问题
(,0)F c -，(,0)F c (0,)F c -，(0,)F c 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22 221x y a b +=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一 元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0?直线和椭圆相交?直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0?直线和椭圆相切?直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0?直线和椭圆相离?直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线y kx b =+交椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则 12||PP 12|x x - 同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
第2章 圆锥曲线与方程 1 利用椭圆的定义解题 椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值 例1 线段AB ＝4，PA ＋PB ＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________． 解析 由于PA ＋PB ＝6>4＝AB ，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A ，B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2 －c 2 ＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案 5 2．求动点坐标 例2 椭圆x 29＋y 2 25＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________． 解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 PF 1＋PF 2＝2a ＝10， 所以PF 1·PF 2≤? ????PF 1＋PF 222＝? ?? ? ?1022＝25， 当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． 由? ?? ?? PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝PF 2，解得PF 1＝PF 2＝5＝a ， 此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(±3,0)． 答案 (±3,0) 点评 由椭圆的定义可得“PF 1＋PF 2＝10”，即两个正数PF 1，PF 2的和为定值，结合基本不等式可求PF 1，PF 2乘积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标． 3．求焦点三角形面积 例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 2 3 ＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求
曲线与方程的教学设计 上海曹杨二中桂思铭 一、内容和内容解析 曲线与方程为选修2-1的内容，它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数算式）间的一一对应关系;同时，介绍了求解曲线方程的一般方法，并要求学生能通过方程来处理一些简单的几何问题，如根据已知条件确定方程中的参数，求动点的轨迹方程等问题. 学生在这本节内容学习之前，已经有了直线方程及圆方程的相关知识，在这里进一步研究曲线与方程的关系有着承上启下的作用，学生可以根据已经验通过教师的引导进行一般的归纳总结，用已有经验来加深对定义的认识，廓清曲线与方程之间的关系，进而能更深入理解解析几何的本质，同时也为后继圆锥曲线的学习奠定一个基础. 二．目标和目标解析 教学目标：理解曲线的方程、方程的曲线的概念；能根据给出的条件求曲线的方程；经历对曲线方程定义的归纳理解过程，体会数学思维的严谨，借助于技术强化数形结合的思想 方法. 上述教学目标具体体现在: （1）能辨析给出的方程是否是某个曲线的方程; （2）给出一些熟悉的曲线的部分图像后能确定变量的取值范围; （3）掌握求曲线方程的基本流程; （4）能利用曲线方程的定义求解轨迹方程; （5）能对照求曲线方程的步骤来反思自己的求解过程. 教学的重点和难点在于学生对曲线与方程的概念的理解和掌握. 三．教学问题诊断 新课标教材将这部分内容作为选修内容，之前的学习为学生提供了曲线与方程的具体事例(直线及圆),学生知道直线和圆的问题可以通过方程来研究处理,如判断两条直线的位置关系;求直线的交点;直线和圆的位置关系等,但可能经过了一个阶段学生记忆中留下的只是一些具体的解题的方法和知识,并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建新的知识，这需要教师通过一些事例去激活学生的思维. 另外,在前面学习的直线和圆的过程中,学生遇到的问题往往是求得的直线或圆就是一条完整的直线或一个完整的圆,不需要去深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题,而进入到一般的曲线的研究过程,学生自然会在这方面出现这样或那样的问题,所以我们
甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2．2．5双曲线及其标准方程教案 新人教A 版选修1-1 （1）预习与引入过程 预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P 56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm 长，另一条约6cm 每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm ，另一条约12cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程． （2）新课讲授过程 （i ）由上述探究过程容易得到双曲线的定义． 〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={} 122M MF MF a -=． （ii ）双曲线标准方程的推导过程 提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系． 无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程． 类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()22 2210,0y x a b b a -=>>． （iii ）例题讲解、引申与补充 例1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆2 2 2 r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二）、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）,参 数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数）
参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 （t 为参数）,t 为以抛物 线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。 （1）、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。 （3）、参数方程求法：（A ）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（B ）选取适当的参数；（C ）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（D ）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为
2．4.2 抛物线的几何性质 [学习目标] 1.掌握抛物线的几何性质.2.会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题． [知识链接] 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y 2＝2px (p >0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？ 答：(1)范围：x ≥0，y ∈R ； (2)对称性：抛物线y 2＝2px (p >0)关于x 轴对称； (3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点； (4)离心率：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率．用e 表示，由定义可知e ＝1. [预习导引] 1．抛物线的几何性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) 图形 性质 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0 x ∈R ，y ≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) 离心率 e ＝1 直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，AF ＝x 1＋p 2，BF ＝x 2＋p 2，故AB ＝x 1＋x 2＋p . 3．直线与抛物线的位置关系 直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对
课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节) 成都石室中学王远彬 一、内容和内容解析 1．教学内容 《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线地方程、方程地曲线地概念；第二小节内容是如何求曲线地方程．本课时为第一小节内容． 2．地位与作用 本小节内容揭示了几何中地“形”与代数中地“数”相统一地关系，体现了解析几何这门课地基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性地意义．其中，对曲线地方程和方程地曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化地理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》地第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线地方程和圆地方程地基础上对曲线与方程关系认识地一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型地基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后地关键作用． 二、目标和目标解析 本课时地教学目标是结合已学曲线及其方程地实例，了解曲线与方程地对应关系，进一步理解数形结合地基本思想．具体目标如下： 1．通过探究“以方程地解为坐标地点”汇集地图形，感知并归纳概括曲线与方程地对应关系； 2．初步理解方程地曲线与曲线地方程地含义； 3．通过经历曲线与方程地对应关系地探究过程，发展抽象概括地能力； 4．能使用曲线地方程（方程地曲线）地概念判断曲线与方程地对应关系，继续理解数形结合思想． 三、教学问题诊断分析 1．问题诊断 学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性地认知基础，能够根据直线地方程、圆地方程作对应地图形，并对数形结合思想有初步地了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程地对应关系是一次从感性认识到理性认识地“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他地曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线地方程（方程地曲线）这一组概念有着较高地抽象性，所以预计在本课地学习中，学生可能出现以下困难： （1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线地方程（方程地曲线）地概念时不规范，不全面；
高中数学圆锥曲线与方 程教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二章圆锥曲线与方程 一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。 二、学习目标： （1）、圆锥曲线： ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图： 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课） 一、教学目标
知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。 过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。 情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义观。 二、教学重点与难点 重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 (一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是： 1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
2.1.2求曲线的方程（2）（教学设计） 教学目标： 知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程. 2.求曲线的交点. 3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标: 1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力. 2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标： 1.渗透数形结合思想. 2.培养学生的辨证思维. 教学重点 1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0. 2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题. 教学难点 1. 寻找“几何关系”. 2. 转化为“动点坐标”关系. 教学方法 启发诱导式教学法. 启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径. 教学过程 一、复习回顾： 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ; 2.写出适合条件P 的几何点集:{} ()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式; 5.证明(查漏除杂). 说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解： （一）、直接法： 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1：(1)求和定圆x 2+y 2=R 2的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程； (2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2(a ＞R ＞o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．
2．3 双曲线 2．3.1 双曲线的标准方程 [学习目标] 1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题． [知识链接] 1．与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点M 到两定点F 1、F 2距离之差的绝对值为定值2a ”中，“绝对值”三个字去掉． 答：不能．否则所得轨迹仅是双曲线一支． 2．如何判断双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦点位置？ 答：x 2系数是正的焦点在x 轴上，否则焦点在y 轴上． [预习导引] 1．双曲线的定义 把平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 焦距 F 1F 2＝2c ，c 2＝a 2＋b 2 要点一 求双曲线的标准方程 例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (3，154)，Q (－16 3，5)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．
解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)， ∴点P (3，154)和Q (－16 3 ，5)在双曲线上， ∴??? 9a 2－22516b 2 ＝1，2569a 2 －25 b 2 ＝1， 解得? ???? a 2＝－16， b 2＝－9. (舍去) 若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2 b 2 ＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得??? 22516a 2－9 b 2 ＝1，25a 2 －256 9b 2 ＝1， 解之得? ???? a 2＝9， b 2＝16， ∴双曲线的标准方程为y 29－x 2 16 ＝1. 方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2 n ＝1(mn <0)． ∵P 、Q 两点在双曲线上， ∴??? 9m ＋225 16n ＝1，2569m ＋25 n ＝1， 解得? ???? m ＝－16，n ＝9. ∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 2 16 ＝1. (2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)． 依题设有????? a 2＋ b 2＝6，25a 2－4b 2 ＝1，解得????? a 2＝5， b 2＝1， ∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2 ＝1. 方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6， ∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 2 6－λ ＝1(其中0<λ<6)．
§2.3.1双曲线及其标准方程 海南华侨中学王芳文 1．教学背景 1.1 学生特征分析 我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。 知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。 1.3 学习内容分析 1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 2、例题分析： 温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。 探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；
2.2.2双曲线的几何性质（一） ☆要点强化☆ 1.双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线； 2.双曲线的渐近线的概念。 ☆当堂检测☆ 1. 07宁夏理 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ． 2. 求双曲线的标准方程： ⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； ⑵焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上； ⑶离心率e =()5,3M -； ⑷两条渐近线的方程是23y x =±，经过点9,12M ??- ??? 。 (选作题) 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点12,F F 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 (4,， （1）求双曲线方程； （2）若点(3,)M m 在双曲线上，求证：12MF MF ⊥； （3）求12F MF ?的面积。 ●教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. ●教学重点 双曲线的几何性质 ●教学难点 双曲线的渐近线 ●教学方法
学导式 ●教具准备 幻灯片、三角板 ●教学过程 I.复习回顾： 师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几何性质.同学们可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然后与课文对照，所以，我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略） II.讲授新课： 1.范围： 双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内. 2.对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲 线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双 曲线中心. 3.顶点： 双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)，它们叫做双曲线的顶点. 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ,a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b , b 叫做双曲线的虚半轴长. 4.渐近线 ①我们把两条直线y=±x a b 叫做双曲线的渐近线； ②从图8—16可以看出，双曲线122 22=-b y a x 的各支向外延伸时，与直线y =±x a b 逐渐接近. ③“渐近”的证明： 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为 y =x a x a b (22->a ). 设M (x ,y )是它上面的点，N (x ,y )是直线y=x a b 上与M 有相同横坐标的点，则Y =x a b .
《课堂教学设计》 课题：曲线和方程（1） 一：教学目标 ?知识与技能目标 （1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； （2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； （3）学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。 ?过程与方法目标 （1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识； （2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点； （3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。 ?情感与态度目标 （1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律； （2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具； （3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。 二：教材分析 1、教学分析：因为学生已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。所以本节课采用了复习引入课题，从特殊到一般的方法让学生易于接受。在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概念的内涵。在概念的应用即例题的设计方面，着重巩固对概念的两个条件的认识。 2、教学重点 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。
教学准备 1. 教学目标 [1]掌握如何建立坐标系。 [2]依据已知罗列方程。 [3]理解方程验证的意义及方法。 [4]通过学习研究概括曲线的性质。 2. 教学重点/难点 教学重点：建立坐标系、依据已知列方程。 教学难点：平面几何到方程式的转换。 3. 教学用具 多媒体设备 4. 标签 教学过程 教学过程设计 1 复习引入 【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答，我们上节课学 了什么内容？ 【板书】 轨迹方程：一条曲线可以看成动点依据某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程 又常称为满足某种条件的点的轨迹方程。 曲线方程：在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F（x，y）=0之间具有如下关系： （1）曲线C上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解；
（2）以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上。 那么，曲线C叫做方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0叫做曲线C的方程。 2 新知介绍 [1]依据曲线求方程 【师】今天，我们就是要以一个具体实例来说明，如何根据曲线来构建方程。 那么第一个问题是“曲线”以何种形式出现？ 【生】讨论回答 【师】“曲线”一般都是描述性的，具有某种或某些几何意义。 【板书】 “曲线的由来”：语言描述，具有一定的几何意义。 [2]构建坐标系、列方程 【师】方程离不开坐标系，那么建立坐标系就是必须且必要的了，怎么建立坐 标系呢？建立坐标系后如何依据题意列方程？ 【生】讨论回答 【师】依据题意，见招拆招。 [3]例题研究 见书36页，并结合ppt，研究标准例题。 [4]小结 【师】刚才我们讨论了如何根据曲线建立方程的一般过程现在总结如下： ◎分析题目，对曲线首先有个直观的了解 ◎建立坐标系 ◎依据题意列方程 ◎化简并检验
曲线和方程 教学目标 1.使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念. 2.使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤. 3.通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力. 教学重点与难点 对“曲线的方程”、“方程的曲线”定个中两个关系的理解. 教学过程 师：解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题.即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.为此，在第二章“圆锥曲线”的第一节，先建立曲线和方程的关系. 这里，先看上堂课后留的两个思考题.(板书) 例1 (1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程. (2)画出函数y=2x2(-1≤x≤2)的图象C. (选择二位学生自制的计算机软盘或投影片，请二位学生各自操作，展示在投影仪上.取较好的解答定格，如图2-1.)
师：这二位同学解答很好.请大家对照直线l及方程，对照抛物线的一倍分C及方程，谈谈符合某种条件的点的集合L和C分别与其方程是怎样地联系起来的？(鼓励学生观察、联想，进行数学交流.学生讨论后选其两个回答，再口述一遍.) 生甲：如果M(x0,y0)是l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一定相等，因此x0=y0，那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解；反过来，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0,y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线l上.为此把直线l与方程x-y=0密切地联系了起来. 生乙：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2的解，那么以它为坐标的点一定在C上. 师：学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示方程x-y=0，而方程x-y=0完整地表示了直线l.但学生乙的回答是否完满，请同学们思考，发表见解，并用最短的语言写在投影片上.(老师巡视后选一张投影展示定格.) 学生乙的回答忽略了-1≤x≤2，从而点集C与方程y=2x2的解的集合G无法建立一一对应关系. 师：请这位同学进一步阐明自己的见解. 生：就本题而言，如(3，18)∈G，但P(3，18)∈C.方程漏掉了制约条件-1≤x≤2.为此正确的理解是：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1≤x≤2)的解，那么以它的坐标为点一定在C上. 师：这样的见解才确切地反映了点集C与方程y=2x2(-1≤x≤2)的解集G是一一对应的.从而，抛物线的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1≤x≤2)，而方程 y=2x2(-1≤x≤2)完整地表示了C.现在我们来考虑以下这个问题：点集C还是抛物线
基础巩固强化 一、选择题 1．椭圆2x 2＋3y 2＝12的两焦点之间的距离是( ) A ．210 B.10 C. 2 D ．2 2 [答案] D [解析] 椭圆方程2x 2 ＋3y 2 ＝12可化为：x 26＋y 2 4＝1， a 2＝6， b 2＝4， c 2＝6－4＝2，∴2c ＝2 2. 2．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5 [答案] B [解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y 25k ＝1， 又∵焦点是(0,2)，∴a 2 ＝5k ，b 2＝1，c 2 ＝5k －1＝4， ∴k ＝1. 3．已知方程x 225－m ＋y 2 m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．－9
[解析] 由题意得???? ? m ＋9>025－m >0 m ＋9>25－m ，解得8 求曲线的方程 四川省成都石室中学蒋富扬 一、教材分析 1.教材背景 作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时侧重对所求方程的检验. 主要内容有：解析几何与坐标法；求曲线方程的方法（直译法）、步骤及例题探求. 2.本课地位和作用 承前启后，数形结合 曲线和方程，既是直线与方程的自然延伸，又是圆锥曲线学习的必备，是后面平面曲线学习的理论基础，是解几中承上启下的关键章节. “曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题，是数形结合的典范. 后继性、可探究性 求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系，但曲线轨迹常无法事先预知类型，通过多媒体演示可以生动展现运动变化特点，但如何获得曲线的方程呢？通过创设情景，激发学生兴趣，充分发挥其主体地位的作用，学习过程具有较强的探究性. 同时，本课内容又为后面的轨迹探求提供方法的准备，并且以后还会继续完善轨迹方程的求解方法. 数学建模与示范性作用 曲线的方程是解析几何的核心.求曲线方程的过程类似于数学建模的过程，它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，掌握方法，为后面圆锥曲线等的轨迹探求提供示范. 数学的文化价值 解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一，是较为完整和典型的重大数学创新史例.解析几何创始人特别是笛卡儿的事迹和精神——对科学真理和方法的追求、质疑的科学精神等都是富有启发性和激励性的教育材料.可以根据学生实际情况，条件允许时指导学生课后收集相关资料，通过分析、整理，写出研究报告. 3.学情分析 我所授课班级的学生数学基础比较好，思维活跃，在刚刚学习了“曲线的方程和方程的曲线”后，学生对这种必须同时具备纯粹性和完备性的概念有了初步的认识，对用代数方法研究几何问题的科学性、准确性和优越性等已有了初步了《求曲线的方程》教学设计
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