内容
基本要求
略高要求 较高要求
相似
了解比例的基本性质吧，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段
的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性
质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系
会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判
定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题
相似多边形
知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似
会用相似多边形的性质解决简单问题
1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化
模块一 平行线类相似
平行线类相似的基本模型有
例题精讲
中考要求
重难点
平行线及角平分线类相似
【例1】 如图，在ABCD 中，点E 在线段DC 上，若12DE EC =∶∶，则BF BE =∶ ．
E
A
D B
C
F
【巩固】如图，在ABC △中，,,DE BC DG AC CF AB ∥∥∥，则图中与ABC △相似的三角形（ABC △除
外）有哪些？
G
F
A B
C
D
E
【拓展】如图，点1234,,,A A A A 在射线OA 上，点123,,B B B 射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，21A B ∥32A B
43A B ∥．若212323,A B B A B B △△的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
4
3
2
1
【例2】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =?，求证：AD BC ∥．
D
O
E
C
B A
【巩固】在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF CF ∶=（ ）
F
E
D C
B
A
【巩固】如图，在ABC ?的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相
交于P ，求证：BP BD
CP CE
=
． P
E
D
C
B
A
【拓展】如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1
4
AE AB =
，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=____ ___． M
E
C
B
A
【拓展】如图，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点．
（1）如果E 是AD 的中点，求证：
1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=?
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由．
A
B C
D
E
F
模块二 角平分线类相似问题
角平分线类的相似模型如下：
方法点播：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决．
【例1】 如图，AD 是ABC △的角平分线，求证：
AB BD
AC CD
=
D C
B A
【巩固】 已知ABC △中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：
AB BD
AC CD
=
D
C
B
A
【巩固】在Rt ABC △中，线段CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，交斜边上的高AD 于点O ，过O 引BC 的平
行线交于F ．求证：AE BF =．
3
21
O
F E D
C
B
A
【拓展】在ABC ?中，120BAC ∠=?，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，求证：
111
AD AB AC
=+
． D C
B A
【拓展】如图，已知A 是XOY ∠的平分线上的定点，过点A 任作一条直线分别交OX 、OY 于P 、Q .
⑴ 证明：11
OP OQ
+是定值；⑵求2
211OP OQ +的最小值
Q
P
Y
X
O
A
1． 如图，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ． （1）当1A 2AE C =时，求
AO
AD 的值； （2）当
11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； （3）试猜想
1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值，并证明你的猜想． E D
B
A
C
O
3. 已知ABC ?中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：AC BD AB DC ?=?．
D
C
B
A
课堂检测
1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
1．如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若2AD DE =，
求证：3AP AB =．
P
E
D
C
B
A
2. 如图，在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1
4
AE AB =
，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
的长为（ ）． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
M
E
D
C
B
A
课后作业
总结复习
（3）如图2，延长AI 交EC 延长线于F ．当ABC △形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与AIB △相似？写出这些三角形，并选其中之一证明．
图2
图1
F
A
B C
D
E I
I
E D
C
B A
4. 如图，在直角ABC △中（90C ∠=），放置边长分别3,4,x 的三个正方形，则x 的值为 ．
4
3
x C B
A
5. 如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以,AC BC 为斜边并且在AB 的同一侧作等腰 直角ACD △和BCE △，连接AE 交CD 于点M ，连接BD 交CE 于点N ，给出以下三个结论： ①MN AB ∥；②
111MN AC BC =+
；③1
4
MN AB ≤，其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
相似三角形添加辅助线的方法举例 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数； （2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值 例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值． 例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长． 例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ． 相似三角形添加辅助线的方法举例答案 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同． 证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究 -----李春蕊北京市育英学校 一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据. 学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。 二、教学目标： （1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律； （2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系. （3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心. 教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题. 教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题. 突出重点方法:观察，思考，证明. 突出难点方法:自主探究 教学方法：启发与探究相结合 教学准备：PPT，课本，作图工具 三、教学设计： （一）复习等腰三角形相关知识 1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾： （由学生先进行回顾，教师补充） （二）探究过程 问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？ 解：是；EB=ED
思维特训(十一)相似三角形中的辅助线作法归类 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系． 作辅助线的方法主要有以下几种： (1)作平行线构造“A”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似． 图11－S－1 类型一作平行线构造“A”型或“X”型相似 1．如图11－S－2，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB 延长线上一点，OE交BC于点F，若AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长． 图11－S－2 2．如图11－S－3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD 于点E，交AB于点F. 求证：AE DE＝ 2AF BF.
图11－S －3 3．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝1 2 ，连接DF 交AC 于点E . (1)如图①，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD AB 的值； (2)如图②，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD AB 的值(用含a 的代数式表示)． 思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法： 甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题； 丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”． 请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD AB 的值． 图11－S －4
相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 （6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题： 例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2 ＝EG· EF，故EB 2 =EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1） 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2） 由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。 【解题技巧点拨】 本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD BD ”过渡，使问题得证，证法 二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证．
北京市西城区普通中学2019届初三数学中考复习 相似三角形的角平分线、中线及高线 专项复习练习题 1．△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 与A ′D ′分别是∠BAC 与∠B ′A ′C ′的角平分线，AD ∶A ′D ′＝1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4 D ．4∶1 2. 已知△ABC 在正方形网格中的位置如图所示，则点P 叫做△ABC 的( ) A ．中心 B ．重心 C ．外心 D ．以上都不对 3．如图，点G 是△ABC 的重心，则△GEC 与△BGC 的面积之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．2∶1 D ．3∶1 4. 给出以下判断：①线段的中点是线段的重心；②三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；③平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；④三角形的重心是它的中线的一个三等分点．那么以上判断中正确的有( ) A ．一个 B ．两个 C ．三个 D ．四个 5. 如图，△ABC 的面积为60，点G 是重心，连结BG 并延长交AC 于D ，连结GA ，则△GAB 的面积为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．10 6. 已知点G 是△ABC 的重心，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，那么AG ＝____． 7．如图，G 为△ABC 的重心，若EF 过点G ，且EF∥BC，交AB ，AC 于E ，F ，则EF BC ＝____． 8. 如图，G 是△ABC 的重心，直线l 过A 点与BC 平行．若直线CG 分别与AB ，直线l 交于点D ，E 两点，直线BG 与AC 交于F 点，则△AED 的面积∶四边形ADGF 的面积＝ ． 9. 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D′. 求证： AD A′D′＝AB A′B′ .
相似三角形之常用辅助线 在与相似有关得几何证明、计算得过程中 ,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。 专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型 定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。 定理得基本图形: 例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ 变式练习: 已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想) 例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、 变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。 例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF 变式1、如图,△ABＣ中,AB 平行线及角平分线类相似 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345 ∶∶． 数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘． 例题精讲 模块一 平行线类相似问题 平行线类相似的基本模型有 ?模型一、二类综合题 【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1 4 AE AB = ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =____ ___． M E C B A 【难度】3星 【解析】先介绍常规的解法： B C F E D M A B C F E D M A 如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB = ∴2BF EF = ∵//CF DE ∴ 2BC BF CD EF == 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出． 初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a = 2018中考数学相似三角形的角平分线、中线及高线专项复习 1．△ABC∽△A′B′C′，AD与A′D′分别是∠BAC与∠B′A′C′的角平分线，AD∶A′D′＝1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比是( ) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 2. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的( ) A．中心 B．重心 C．外心 D．以上都不对 3．如图，点G是△ABC的重心，则△GEC与△BGC的面积之比是( ) A．1∶2 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶1 4. 给出以下判断：①线段的中点是线段的重心；②三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；③平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；④三角形的重心是它的中线的一个三等分点．那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 5. 如图，△ABC的面积为60，点G是重心，连结BG并延长交AC于D，连结GA，则△GAB的面积为( ) A．40 B．30 C．20 D．10 6. 已知点G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝____． 7．如图，G 为△ABC 的重心，若EF 过点G ，且EF ∥BC ，交AB ，AC 于E ，F ，则EF BC ＝____． 8. 如图，G 是△ABC 的重心，直线l 过A 点与BC 平行．若直线CG 分别与AB ，直线l 交于点D ，E 两点，直线BG 与AC 交于F 点，则△AED 的面积∶四边形ADGF 的面积＝ ． 9. 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D ′. 求证：AD A ′D ′＝AB A ′B ′. 10. 求证：两个相似三角形对应中线比等于相似比． 解：已知：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 与A ′D ′分别是中线， 求证：AD A ′D ′＝AB A ′B ′. 相似三角形中几种常见的辅助线作法 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A ”“X ”型 例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延 长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5= 例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证： （证明：过点C作CG//FD交AB于G） 例3：如图，△ABC中，AB 角与角平分线 典题探究 例1 把15°30′化成度的形式，则15°30′＝____度． 例2 命题“相等的角是对顶角”是______命题.（填“真”或“假”） 例3 已知∠A =67°，则∠A 的余角等于 度. 例4 如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE =4㎝，则点P 到边 BC 的距离为 ㎝. E P D C B A 课后练习 A 组 1．如图，表示下列各角： （1） （2） （3） 2．下列各图中有多少个小于180度的角？并把它们表示出来。 （1） （2） 3.下列四个图中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个的是（ ） 4. 计算：① 57.3°=______°=______′； ②18°15′= ° ； ③ 33°52′+21°54′=__________； ④28°23′×2 － 6°2′= __________； ⑤ 90°—43°18′= __ ； ⑥360°÷7≈ ___ （精确到分） 5.按图填空： 6.下列四个图形中2∠大于1∠的是（ ） 7.如图，OC 平分∠AOB ，如果∠COB=42°,那么∠AOB=_________° B 组 8.尺规作图：求作一个角，使它等于已知角∠AOB ，不写作法，保留作图痕迹。 结论： 9.尺规作图：已知∠AOB ，求作∠AOB 的角平分线。不写作法，保留作图痕迹。 结论： 10. Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝， 则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C 双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC = 1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a 、b 两种情形： a 、 如图甲：一直线与角的一边平行 b 、 如图乙：一直线与角的平分线平行 2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a 、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行 b 、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行 3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线 a 、如图甲：与一腰平行 b 、如图乙：与底边平行 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。 角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例： 例1、如图1：已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。求证：DE=BD+CE 。 证明： 例2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。求证： △DIE 的周长等于BC 。 证明： 31∠=∠?? ??∠=∠∠=∠?2123//OA CD DC DO =?() DOC 等腰三角形()ODE 等腰三角形?? ? ?? ∠=∠?? ?∠=∠∠=∠?214231//OC DE OE OD =?∠=∠?43???∠=∠∠=∠?=2131DC CO OA CD //32?∠=∠????∠+∠=∠∠=∠?=4343AOB OE OD ??? ???? ∠=∠∠=∠?AOB AOB 21 1213DE OC //31?∠=∠?? ?? ∠=∠?=∠=∠?1323//DC CO DC OA 21∠=∠?214231//43∠=∠?? ? ?? ? ???∠=∠∠=∠?∠=∠?=OC DE OE OD ??? ∠=∠∠=∠?1232//BC DE 31∠ =∠????==?EI CE DI BD 同理：CE BD IE DI DE +=+=?? ?? ∠=∠∠=∠?2131//AB DI BD DI =?∠=∠?23图甲 1 3 A B C D E I 图（2） 2 3 2 1 I E D A B C 4 3 2 O D E C B A 1 图乙 相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习： 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想） 例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比 值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB 相似三角形知识点 一、☆内容提要 1、比例的有关性质： ()b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++===ΛΛΛΛ等比性质：0 的比例中项是c a b c a b c b b a ,2??=?= 应用变形: 已知 d c c b a a d c b a +=+=:,求证，d kd c b kb a ±= ±。 证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c c b a a += + （2）d c b a =Θ k d c k b a ±=±∴ d kd c b kb a ±= ±∴ 2、黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 AC BC AB AC = （整段大线段 大线段 小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中 2 1 5-＝AB AC ≈0.618. A B C 推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以 x x x -= 11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。 2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。黄金比没有单位。 例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。 3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±= ± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理） 一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP. AAA EPCEC DFEP OBBCOFB 图1图2图3 例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF， PE=PF. 例2 如图4，BD是∠ABC的平分线， AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于 在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E AP / BC DB /BC 图5图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点. 求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 2 1F E D C B A N P E D C B A A B D C E F 图 北京市西城区普通中学2018届初三数学中考复习 相似三角形的角平分线、中线及高线 专项复习练习题 1．△ABC∽△A′B′C′，AD与A′D′分别是∠BAC与∠B′A′C′的角平分线，AD∶A′D′＝1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比是( ) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 2. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的( ) A．中心 B．重心 C．外心 D．以上都不对 3．如图，点G是△ABC的重心，则△GEC与△BGC的面积之比是( ) A．1∶2 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶1 4. 给出以下判断：①线段的中点是线段的重心；②三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；③平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；④三角形的重心是它的中线的一个三等分点．那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 5. 如图，△ABC的面积为60，点G是重心，连结BG并延长交AC于D，连结GA，则△GAB的面积为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．10 6. 已知点G 是△ABC 的重心，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，那么AG ＝____． 7．如图，G 为△ABC 的重心，若EF 过点G ，且EF ∥BC ，交AB ，AC 于E ，F ，则EF BC ＝____． 8. 如图，G 是△ABC 的重心，直线l 过A 点与BC 平行．若直线CG 分别与AB ，直线 l 交于点D ，E 两点，直线BG 与AC 交于F 点，则△AED 的面积∶四边形ADGF 的面积 ＝ ． 9. 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D ′. 求证：AD A ′D ′＝AB A ′ B ′. 10. 求证：两个相似三角形对应中线比等于相似比． 解：已知：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 与A ′D ′分别是中线， 求证：AD A ′D ′＝AB A ′ B ′. 教育教学讲义 学员姓名：年级：学科教师：上课时间：辅导科目：数学课时数：2 课题相似三角形 教学目标 1 通过本章的学习，要熟悉数学中的转化思想，数形结合，分类讨论思想特殊值法。 2转化思想：利用相似性质解决问题时，经常用到转化思想，如在有关面积的问题中，往往要借助于线段的比，周长的比等进行转化，进而解决问题。 3数形结合思想：对于很多几何图形，我们都要善于观察，找出其中的隐含条件，做到数形结合，从而解决问题。 4分类讨论思想：在运用相似三角形的对应边成比例的性质时，如果题目的条件中，不能确定如何对应，则应给予讨论。 教学内容 课前检测全等三角形的概念? 知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是： BC DE // ， ADE ?∴∽ABC ?． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． (2)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． (3)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若 角平分线模型 模型 4 角平分线+平行线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。 结论：△POQ 是等腰三角形。 模型证明 ∵PQ∥ON ∴∠PON=∠OPQ 又∵OP 是∠MON 的平分线 ∴∠POQ=∠PON ∴∠POQ=∠OPQ ∴△POQ是等腰三角形 模型分析 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 模型实例 解答下列问题： （1）如图①所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系； （2）如图②所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。 （3）如图③所示，BD、CD 分别为外角∠CBM、∠BCN 的平分线，，DE∥BC 交 AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什 么数量关系？ 解析：（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF ∴EF=ED+DF=BE+CF （2）∵DE∥BC ∴∠EDB=∠DBC 又BD 平分∠ABC ∴∠DBE=∠DBC ∴∠EDB=∠DBE ∴△EBD为等腰三角形 ∴BE=ED 同理可证：FD=CF ∴EF=ED-FD=BE-CF ∴EF=BE-CF （3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明） 模型练习 1．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为。 解析：由模型可得，ME=BM,EN=CN ∴MN=ME+EN=BM+CN=9 2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC 求证：EF∥AB。平行线及角平分线类相似
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