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浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用

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目录 (1)

摘要 (2)

关键字 (2)

引子 (3)

以形助数 (3)

[例一]Raney引理的证明 (3)

[题意简述] (3)

[分析] (3)

目标图形化 (3)

小结 (4)

[例二]最大平均值问题(USACO 2003 March Open) (4)

[题意简述] (4)

[分析] (5)

目标图形化 (5)

构造下凸折线 (5)

维护下凸折线 (6)

最后的优化：利用图形的单调性 (7)

小结 (7)

以数助形 (7)

[例三]画室(POI oi V Stage I) (8)

[题意简述] (8)

[分析] (8)

目标数值化 (9)

动态规划解题 (9)

小结 (10)

总结 (10)

附录 (11)

关于2003年上海市选拔赛题Sequence (11)

[题意简述] (11)

[分析] (11)

论文附件 (12)

参考文献 (12)

摘要

数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象，数形结合又是一种重要的数学思想。

本文主要以当今信息学奥赛中几道试题为例，从以形助数和以数助形两个侧重点讨论了数形结合思想在信息学竞赛解题中广阔的应用前景。

最后文章分析指出数形结合思想的两个重要特性并由此提出“数形结合”重在有机的结合，希望对同学们在实际比赛中灵活的运用数形结合思想有一些帮助。

关键字

信息学竞赛数学思想数形结合思想

以数助形以形助数

辩证矛盾多元性个体差异性

思维、编程、时间、空间复杂度

引子

数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象，数形结合又是一种重要的数学思想。

在当今信息学竞赛中，某些纷繁复杂的试题背后，往往蕴含着丰富的几何背景，而计算几何类问题却又需要借助计算机强大的实数运算能力。正如华罗庚先生所说的“数形结合千般好”，在算法和程序设计中，巧妙地运用数形结合思想，可以顺利的破解问题，化难为易，找到问题的解题思路。

数形结合思想常包括以形助数、以数助形两个方面。

以形助数

正如前文所述，一些试题中繁杂的代数关系身后往往隐藏着丰富的几何背景，而借助背景图形的性质，可以使那些原本复杂的数量关系和抽象的概念，显得直观，从而找到设计算法的捷径。

[例一]Raney引理的证明

[题意简述]

设整数序列A = {A i, i=1, 2, …, N}，且部分和S k=A1+…+A k，序列中所有的数字的和S N=1。

证明：在A的N个循环表示1中，有且仅有一个序列B，满足B的任意部分和S i均大于零。

[分析]

先来看一个例子，若有序列A = <1, 4, -5, 3, -2, 0>，其6个循环表示为

1.<1, 4, -5, 3, -2, 0>

2.<4, -5, 3, -2, 0, 1>

3.<-5, 3, -2, 0, 1, 4>

4.<3, -2, 0, 1, 4, -5>

5.<-2, 0, 1, 4, -5, 3>

6.<0, 1, 4, -5, 3, -2>

其中只有第4个序列，部分和为3, 1, 1, 2, 6, 1，满足成为序列B的条件。

若要用一般的代数或是组合方法来证明这个有趣的结论，似乎无从下手，但若要想到了用“形”来帮忙，问题就简单多了。

目标图形化

周期性的推广A序列，得到一个无穷序列，便于观察其循环表示，得到：

1先设一个序列是环状的，则从其任意一个字符处断开以后形成的非环序列即为该序列的一个循环表示。

同时计算这个序列的部分和S i ，因为这个序列是周期性的，因此对于所有的k >0，均有S k +N =S k +1。如果做出这个函数的图像，则可以说函数有一个“平均斜率”为N 1

：每沿横轴正方向走N 个单位，函数值就增加1。于是如下图所示，可以用两条斜率为N 1

的直线“夹住”函数包含的所有点：

图 1 无穷序列的部分和函数图像

图示中N =6，且使用了上文举的例子。注意较低的那条直线，在每连续的N 个单位长度中，它与函数图像有且仅有一个交点，这是因为斜率是N 1

的直线在

每N 个单位长度中最多到达一次整数点。这个交点是在这以后的N 个点中的最低值，因此由此处的后一个位置导出的循环表示的所有部分和均为正数。而同时每连续N 个单位长度仅有一个交点也证明了解的唯一性。

小结

一个简单的几何论证就证明了著名的Raney 引理，其简练是其他方法不能企及的。

Raney 引理有很广泛的应用，Catalan 数以及扩展Catalan 数的组合公式就可以用该引理轻松解决。比如今年上海市选拔赛第二天比赛中的序列(Sequence)以及OIBH 练习赛中的项链，使用Raney 引理都是最简单的方法之一。2

用几何图形辅助思考，不只停留在组合计数这一类中，更渗透在算法设计和优化的每一个分支中，近年来流行的“斜率优化”法是另一个很好的例子。

[例二]最大平均值问题(USACO 2003 March Open)

[题意简述]

读入一列正数，a 1, a 2, …, a N ，以及一个数F 。定义1),(+-++=

i j a a j i ave j

i ，i ≤j 。

2 用Raney 引理解答Sequence 的过程，详见附录。

求Max{ave(a , b ), 1≤a , b ≤N ，且a ≤b -F +1}，即求一段长度大于等于F 且平均值最大的子串。

范围：F ≤N ≤105。

[分析]

简单的枚举算法可以这样描述：每次枚举一对满足条件的(a , b )，即a ≤b -F +1，检查ave(a , b )，并更新当前最大值。

然而这题中N 很大，N 2的枚举算法显然不能使用，但是能不能优化一下这个效率不高的算法呢？答案是肯定的。

目标图形化

首先一定会设序列a i 的部分和：S i =a 1+a 2+…+a i ，，特别的定义S 0=0。这样可以很简洁的表示出目标函数)1(),(1

i j S S j i ave i j ！

如果将S 函数绘在平面直角坐标系内，这就是过点S j 和点S i -1直线的斜率！于是问题转化为：平面上已知N +1个点，P i (i , S i )，0≤i ≤N ，求横向距离大于等于F 的任意两点连线的最大斜率。

构造下凸折线

有序化一下，规定对i

G i = {P j , 0≤j ≤i -F }

特别的，当i

其明确的物理意义为：在平方级算法中，若要检查ave(a , b )，那么一定有P a ∈G b ；因此平方级的算法也可以这样描述，首先依次枚举P b 点，再枚举P a ∈G b ，同时检查k(P a P b )。

若将P i 和G i 同时列出，则不妨称P i 为检查点，G i 中的元素都是P i 的被检查点。

当我们考察一个点P t 时，朴素的平方级算法依次选取G t 中的每一个被检查点p ，考察直线p P t 的斜率。但仔细观察，若集合内存在三个点P i , P j , P k ，且i k(P j , P k )，就很容易可以证明P j 点是多余的。

图 2

若k(P t, P j) > k(P t, P i)，那么可以看出，P t点一定要在直线P i P j的上方，即阴影所示的1号区域。同理若k(P t, P j) > k(P t, P k)，那么P t点一定要在直线P j P k的下方，即阴影所示的2号区域。

综合上述两种情况，若P t P j的斜率同时大于P t P i和P t P k的，P t点一定要落在两阴影的重叠部分，但这部分显然不满足开始时t>j的假设。于是，P t落在任何一个合法的位置时，P t P j的斜率要么小于P t P i，要么小于P t P k，即不可能成为最大值，因此P j点多余，完全可以从检查集合中删去。

这个结论告诉我们，任何一个点P t的检查集合中，不可能存在一个对最优结果有贡献的上凸点，因此我们可以删去每一个上凸点，剩下的则是一个下凸折线。最后需要在这个下凸折线上找一点与P t点构成的直线斜率最大——显然这条直线是在与折线相切时斜率最大，如图所示。

图 3

维护下凸折线

这一小节中，我们的目标是：用尽可能少的时间得到每一个检查点的下凸折

线。

算法首先从P F开始执行：它是检查集合非空的最左边的一个点，集合内仅有一个元素P0，而这显然满足下凸折线的要求，接着向右不停的检查新的点：P F+1, P F+2, …, P N。

检查的过程中，维护这个下凸折线：每检查一个新的点P t，就可以向折线最右端加入一个新的点P t-F，同时新点的加入可能会导致折线右端的一些点变成上凸点，我们用一个类似于构造凸包的过程依次删去这些上凸点，从而保证折线的下凸性。由于每个点仅被加入和删除一次，所以每次维护下凸折线的平摊复杂度为O(1)，即我们用O(N)的时间得到了每个检查集合的下凸折线。

最后的优化：利用图形的单调性

最后一个问题就是如何求过P t点，且与折线相切的直线了。一种直接的方法就是二分，每次查找的复杂度是O(log2N)。但是从图形的性质上很容易得到另一种更简便更迅速的方法：由于折线上过每一个点切线的斜率都是一定的3，而且根据下凸函数斜率的单调性，如果在检查点P t时找到了折线上的已知一个切点A，那么A以前的所有点都可以删除了：过这些点的切线斜率一定小于已知最优解，不会做出更大的贡献了。

于是另外保留一个指针不回溯的向后移动以寻找切线斜率即可，平摊复杂度为为O(1)。

至此，此题算法时空复杂度均为O(N)，得到了圆满的解决。

小结

回顾本题的解题过程，一开始就确立了以平面几何为思考工具的正确路线，很快就发现了检查集合中对最优解有贡献的点构成一个下凸函数这个重要结论，之后借助计算几何中求凸包的方法维护一个下凸折线，最后还利用下凸函数斜率的单调性发现了找切线简单方法。题解围绕平面几何这个中心，以斜率为主线，整个解题过程一气呵成，又避免了令人头晕的代数式变换，堪称以形助数的经典例题。

顺便提一下：这种方法在加速决策过程，很多动态规划算法都可以运用本题“斜率优化”的方法提高算法效率。如IOI 2002的batch和BOI 2003的euro等。至于这类题目的共同特点，还是很值得研究的，但不在本文讨论范围内，因而不再讨论，但欢迎有兴趣的同学以后和我交流。

以数助形

古希腊的毕达哥拉斯认为“万物皆数”，的确，数是反映事物本质特征的最好方法之一。数学发展史上，正是在解析几何创立之后，人们才对各种繁杂的曲线有了更深入的了解。如今信息时代中，计算机处理各类事物，最终无不是归结于二进制数的基本运算，数的重要性可见一斑。

在当今信息学竞赛中，一些试题给出的描述中图形极为复杂，容易使选手陷入“迷魂阵”，在这种情况下，以数助形，一举抓住其本质特征，不失为解题的一种好方法。

3由于折线没有连续性，因此更准确的应该说，过每一个点切线斜率的范围都一定的。

[例三]画室(POI oi V Stage I)

[题意简述]

定义尺寸为0的方阵为一个1*1的矩阵，在其唯一的一个方格中有一个小孔。

对于i>0，递归的定义尺寸为i的方阵如下图所示：

图 4

给定方阵的尺寸N，以及另外两个参数X和Y。准备两个尺寸为N的方阵，一个叠放在另一个上面，再将上面的方阵向右移动X列，同时向上移动Y行。

如此操作之后，求两个方阵有多少个公共的孔。

如右上图，尺寸为2的方阵，向右平移2列，向上平移2行。则两个方阵有3个公共小孔。

范围：N≤100。

[分析]

直接分析两个方阵相交后的情况是可行的，我曾经看过一些集训队前辈的解题报告，都是这么分析的，但是方法很繁，思考量很大。

下图是某解题报告中的一个说明附图，报告中先标出两个方阵的相交区域，再分情况讨论。显然可以看出，直接从“形”来分析本题，路子是很坎坷的。

图 5

目标数值化

我们不如换至和“形”相对的另一面“数”来思考，按照下图所示的x, y方向为每行每列从0开始编号，最大至2N-1，于是每一个方格都有唯一的坐标(x, y)。

图 6

下面来研究一下在什么条件下，一个方格P(x, y)内有小孔。由于方阵是二分递归定义的，于是我们很自然联想到将x和y化为二进制。设x和y的二进制表示分别为：

a1a2a3…a N和b1b2b3…b N

来看两个数的第1位，a1和b1，如下图，它们一共有4种取值方法，其分布分别对应着递归定义中的左上、左下、右上、右下四块区域。显然当a1=0且b1=1时无论以后各位取什么数，P点内都不会有小孔：因为其已经落在了左上无孔区。否则可以同理讨论两个数的第2位，第3位……

图7 示意(a1, b1)的取值分布情况

得到的结论是，当且仅当不存在1≤i≤N，满足a i=0且b i=1时，方格P内有小孔。不妨称这个为方格的有孔性质。

动态规划解题

后面的问题就非常简单了，题目要找的无非是这样的有序数对(x, y)的个数：0≤x, y，x+X, y+Y≤2N-1，且(x, y)，(x+X, y+Y)的二进制表示都满足有孔性质称这个为方格的有公共孔性质。

我们可以采用动态规划的方法：首先将X, Y也都转化成二进制形式：

p1p2p3…p N和q1q2q3…q N

以位数为阶段，通过记录进位情况保证无后效性：f(i, k1, k2)表示第i位至第

N位部分满足有公共孔性质的有序对总数，且要满足这一部分有序对的坐标和对应部分的X, Y相加进位分别是k1和k2：显然0≤k1, k2≤1。

动态规划的状态转移是非常简单的，但描述比较复杂：每一次转移需要约(22)2=16次运算，因此不再赘述，有兴趣的读者可以查看附件中的程序。

最后说明一下，题目所要的答案就是f(1, 0, 0)。

算法若不算上高精度，时间复杂度为O(N)，若使用循环数组，空间上仅需要常数个高精度数组4，而且实现程序也极为简单，包括高精度也不过100多行。对比从“形”上得出的算法，“数”的优越性是不言而喻的。

小结

回顾解题过程，当分析发现两方阵相交情况较复杂，不宜讨论时，我们决定避开“形”的正面冲突，而从“数”这方面下手，很快便取得了令人满意的效果：方格的有孔性质和有公共孔性质使题目的要求显得简单了许多。到此就可以套用经典的动态规划算法了。

可以说本题是一个较好的例子，但类似以数助形的例题似乎比较罕见。事实上，正如前文所述，一般的计算机都是以数为基础的，同学们在写各类程序的时候，最终还是要归结到“数”来实现，对数的重要作用多少有些熟视无睹了。

而从上例又可以看出，如果试题加以适当的“误导”，选手们背离“数”的捷径，南辕北辙也不是没有可能的。因此，在遇到如同上例的题目时，面对多元化的复杂图形，化形归数，往往是抓住题目要害的好方法。

总结

数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，是数学的基石，也是信息学竞赛命题涉及的两个主要方面。数形结合是一种古老的数学思想，新兴的信息学奥林匹克竞赛又赋予她新的活力。

上文举了三个实例，大体上来说，都巧妙的运用了数形结合思想。但从细节上分析，它们之间仍略有差异。

其一，三者从两个不同的侧重点阐述了数形结合思想的内涵，即以形助数和以数助形。但在实际问题中，数和形决没有明确的界限，数形结合思想也并不仅仅局限于文中提出的两个方面。更多的情况下，数与形互相促进、互相包含，在一定条件下互相转化，可以用“数形互助”一词来形容。

这，体现了数形的辩证矛盾关系和数形结合思想的多元性。

其二，用“形”来解例题二，似乎是唯一的出路，但在例一和例三中，并不是仅仅能用文中提到的方法解题，其他精彩解法我也略知一二。但相比而言，巧妙的使用数形结合思想会大大降低思考和编程复杂度，为我们在短短的竞赛时间中迅速解题开辟了一条便捷的道路。

需要指出的是，不同的人有不同的知识结构，比赛经验等，他们对某一算法难度系数的感觉也是不同的。因而对同一题而言，不同的人可能会选择不同的数形之路解题。这，体现了数形结合思想的个体差异性。

而本文提出的三个例子，都是选择了大多数人能够接受的算法，却并不能说是每位读者心目中最简单的算法。但醉翁之意不在酒，几个小例子仅作抛砖引玉，重点在于探讨如何在信息学竞赛中运用数形结合思想。

4直接用“形”的方法做出的程序，空间复杂度是O(N)的，而且程序很长，详见附录。

在信息学竞赛中运用数形结合思想，就是在处理问题时，斟酌问题的具体情形，善于抓住问题的主要矛盾，使数量关系的问题借助于几何图形直观而形象化，或者使图形问题借助于数量关系而本质化。

数形结合，重在“结合”二字。灵活的运用数形结合思想，需要重视思想的个体差异性，根据各人的现有知识水平和思维方式，有机的将抽象的数学、计算机语言与直观的图形结合起来，将抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，更快更好更简单的解决实际问题。

附录

关于2003年上海市选拔赛题Sequence

[题意简述]

一个序列{A i , i =0, 1, 2, …, 3N }由3N +1项组成，每一项要么为1，要么为 -2。定义部分和S K =A 0+A 1+…+A K ，求所有满足性质P 的序列A 的数目，性质P 为：S 3N = 1且对于所有的K = 0, 1, 2, …, 3N -1, 3N ，有S K >0。即所有项的和为１，且所有部分和为正。

例如 N =2 的时候，共有3组这样的序列：

1, 1, 1, -2, 1, 1, -2，

1, 1, 1, 1, -2, 1, -2，

1, 1, 1, 1, 1, -2, -2。

范围：N ≤1000。

[分析]

[引理]任一序列A ，它的任何一种循环表示都不与自身相同。

[证明]若相同，根据循环串的性质，其必定可以分成d >1个完全相同部分。设每部分和为s ，显然有s *d =1，而d >1，则s 一定不是整数，这与序列中所有项都是整数矛盾。

因此，A 的任意循环表示都不等于A 。Q.E.D.

[定理]满足性质P 的序列个数为N N C N 13131

++。

[证明]列出所有的A 序列，一共有N N C 13+个。

根据其循环表示分类，由于[引理]的成立，每一类中一定都有3N +1个序列，即一共N N C N 13131

++类。又因为Raney 引理成立，所以每一类中有且只有一个序

列满足性质P 。即满足性质P 的序列总数为N N C N 13131

++。Q.E.D.

同样的方法，可以推出Catalan数的公式，这里不再赘述。

论文附件

POI oi V Stage I Painter’s Studio一题，集训队前辈的解题报告：

画室解题报告.doc

特别感谢湖南长郡中学的金恺提供这份报告。

POI oi V Stage I Painter’s Studio一题，数形结合思想算法的程序：

参考文献

CONCRETE MATHEMATICS by Ronald L. Graham & Donald E. Knuth & Oren Patashnik

USA Computing Olympiad : https://www.doczj.com/doc/b211258870.html,/usacogate

Polish Olympiad in Informatics : https://www.doczj.com/doc/b211258870.html,.pl/

上海市NOI’2003选拔赛（SHTSC 2003）试题

数形结合思想在数学教学中的妙用from 教育教学论文网

关于数形结合思想的教学方式浅谈

关于数形结合思想的教学方式浅谈资料来源：大学生教育资源我有幸参加了由省教科所组织的四川省教育教学共同体举办的关于“小学生数形结合能力的研究”论坛，全省30个共同体研究单位进行了三年级和六年级数形结合能力调查与分析，共同体学校对此项工作非常重视，都给出了分析报告。论坛中来自7所学校的一线教师带来了七堂精彩的数形结合课，有以形来揭示数的《路程速度时间》、《相遇问题》、《合理安排提高效率》、《比赛场次》，有以数来表示形的《点阵中的规律》、《组合图形》、《方向与位置》等，七节课为此次论坛数形结合能力研究提供了很多研究素材，特别是经过小组讨论、专家点评、专家讲座后，给我的教学方法提供了启发。通过本次论坛，通过与专家面对面的评课、议课结合自己的教学实际和本次对三、六年级的数形能力的调查与分析，主要对以下问题提出了质疑： ●数形结合中“数”与“形”谁先谁后? ●教师在数学教学中如何充分渗透数形结合的思想? ●通过直观的图形揭示数，是否影响了学生的抽象思维能力? ●如何在教学中很好地通过数抽象出图形，看图提问题、解决问题? ●数学课堂中能否建立一种数一形一数或形一数一形的数

学教学模式? ●在高段教学中，数形怎样结合才能促进学生主动发展? 在这次论坛中，通过专家对课例的点评和对数形结合的理解，结合课例对一线教师提出的质疑作出了解答，使一线教师对数形结合在实际教学中要注意的问题有了更深入的理解和认识，使我由最初的迷茫发展至现在的茅塞顿开，达到了参与这次论坛的目的。一、数形结合是一种数学思考方法数形结合是数学思考、数学研究、数学应用、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。 1．就教材内容而言，对于较新、较难的教学内容、对于学习较困难的学生可先形后数，用形来表示数，学生通过形来表示数量之间的关系；对于后继教材和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形。 2．就学生的年龄特征而言。中低段学生是以具体形象思维为主，实施先形后数，让学生从形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，对于逻辑思维能力较强的中高段学生，应该逐步过渡到先数后形，如在教学分数的乘、除法意义，教学长方体、正方体、圆柱体的拼、截引起的面积变化时，让学生通过画出直观图形，能让学生很快找出面的变化，

数形结合思想在高中数学解题中的应用

第5讲数形结合思想在解题中的应用一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202

数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用

数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用数形结合思想是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想。利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形,可以使许多数学问题变得简易化。小学数学中虽然不像初中数学那样,将数形结合的思想系统化, 但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数、空间与图形两方面的知识服务，同时也在培养抽象思维，解决实际问题方面起了较大的作用。数形的结合是双向的，一方面，抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方面，复杂的形体可以用简单的数量关系表示。如我在教学“求一个数的几倍是多少”时，学生最难理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有自己的理解，并内化成自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。于是我就利用书上的主题图。在第一行排出用4根小棒围出的一个正方形，再在第二行排出同样的两个正方形，第三行摆出同样的四个正方形。结合演示，让学生观察比较第一行和第二行小棒的数量特征，通过教师启发，学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：第一行与第二行比较，第一行是1个4根，第二行是2个4根；把一个4根当作一份，则第一行小棒是1份，而第二行就有两份。用数学语言：把4根小棒当作1倍，第二行小棒的根数就是第一行小棒的2倍。这样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。接着我请学生说出第三行小棒根数与第一行的关系，学生能准确的从三个4根说出了第三行是第一行的3倍。再如六年级有这样一题：一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？此题若把五次所喝的牛奶加起来，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就为所求，但这不是最好的解题策略。我们先画一个正方形，并假设它的面积为单位“1”，由图可知，1－1／32就为所求，这里不但向学生渗透了数形结合思 5分米，或宽增加12分米，面积都增加60平方分米，原来长方形的面积是多少平方分米？”的教学中，我引导学生根据题意画出面积图：

浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透

浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透摘要:“数”与“形”之间密不可分,它们相互转化,相辅相成。在教学中渗透数形结合的思想,可把抽象的数学概念直观化,帮助学生形成概念;可使计算中的算式形象化,帮助学生在理解算理的基础上把握算法；可将复杂问题简朴化,在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。关键词：数形结合；小学数学;数学思想美国教育心理家布鲁纳也指出：掌握基本的数学思想方法,能使数学更易于理解和更利于记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是解决数学问题所采用的方法。它是数学概念的建立、数学规律的归纳、数学知识的掌握和数学问题解决的基础。在人的数学研究中,最有用的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法。小学数学中常用的数学思想方法中“数形结合”思想尤为重要。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”,在探讨“形”的性质时,又往往离不开“数”。“数形结合“的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。本文先解读“数形结合”思想,浅谈其历史性及重要意义,后结合实践重点探讨“数形结合”在小学数学教学中的实际应用和实施途径。一.了解小学数学教材中蕴涵的主要数学思想方法数学思想:符号思想，集合思想,对应思想，化归思想。数学方法: （1)思维方法:分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎 (2) 一般方法：观察、实验、比较、分类、联想、类比、化归、猜想（３)数学特点较强的方法：函数法、数学模型法、数形结合法、统计法、变换法、分析法、综合法 (4)数学技能：换元法、代入法、系数比较法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、代入消元法、待定系数法、恒等变形法、公式法、构造法、通分母、去括号在小学数学教学中渗透的数学思想和方法,是以数学方法为主,一般称为数学思想方法，包括思维方法与数学技能。、二、“数形结合”，由来已久?早在数学被抽象、分离为一门学科之前,人们在生活中度量长度、面积和体积时,就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特

小学生数形结合思想的培养

包头师范学院本科毕业论文题目：小学数学教学中学生数形结合思想的培养学生姓名：刘广鑫学号：0807840068 学院：教育科学学院专业：小学教育班级：08级小教2班指导教师：王志东教授二〇一二年五月

摘要通过研究数形结合思想及其形成途径，从而深刻的理解数形结合的内容及其它的形成途径，在结合个案分析来深刻体会数形结合在小学教学中的应用，在实际的数学学习过程中，培养学生的直觉思维能力、发散思维能力和学生的创造思维能力，并使学生通过数形结合思想转变自己的学习观念，并养成良好的思维意识和树立辩证的唯物主义世界观。关键词：思想方法；数形结合；渗透

Abstract By research number shaped combination thought and formed way,to deep of understanding number shaped combination of content and the other of formed way,in combination case analysis to deep experience number shaped combination in primary school teaching in the of application,in actual of mathematics learning process in the, training students of intuition thinking ability,and divergent thinking ability and students of created thinking ability,and makes students by number shaped combination thought change themselves of learning concept,and habit good of thinking consciousness and set dialectical of materialism world. Key word：Method of thinking number shape union penetration

数形结合思想

数形结合思想 1. 数形结合思想的概念。数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。 2. 数形结合思想的重要意义。数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3. 数形结合思想的具体应用。数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形

浅谈小学数学数形结合思想

浅谈小学数学数形结合思想发表时间：2014-08-01T08:44:54.437Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2014年7月供稿作者：陈月英[导读] 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。陈月英/广西陆川县温泉镇泗里小学〔摘要〕数与形是数学教学研究对象的两个侧面,把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题,就是数形结合思想。〔关键词〕小学数学数学方法运用一、数形结合的思想方法数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。二、集合的思想方法把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。三、函数的思想方法恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。四、极限的思想方法极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333……是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。五、化归的思想方法化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，都是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想。在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。六、归纳的思想方法在研究一般性性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想，既可认由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。七、符号化的思想方法数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学?数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。总之，小学数学除渗透运用了上述各数学思想方法外，还渗透运用了转化的思想方法、假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。在教学中，教师要既重视数学知识、技能的教学，又注重数学思想、方法的渗透和运用，这样无疑有助于学生数学素养的全面提升，无疑有助于学生的终身学习和发展。

浅谈数形结合思想的应用

浅谈数形结合思想的应用 ——蒋海朋摘要：数学是在客观上研究数量关系和空间形式的一门科学，用通俗易懂的话来概括就是数学是研究“数”和“形”的一门科学。数相对于形来说更为抽象，形相对于数来说较为直观，在研究学习中，数与形是相辅相成、息息相关的。对于这个问题，本人在结合自己学习的总结以及前人所提供的经验，并且查阅相关资料，对于这个话题做一个简单的分析。文中的例子都是本人在学习中总结的历年高考、中考的试题以及模拟题，有很强的代表性。关键词：数形结合数学思想应用 1 引言 1.1问题提出的背景纵观数学发展的历史进程，数学家们早已把“数”和“形”联系在一起。早在公元300年之前，欧几里得的著作《几何原本》，他从几何的角度出发去研究和处理等价的代数问题；笛卡尔利用坐标为根基，通过代数为途径来研究几何问题，进而创立了解析几何学；化圆为方、三等分角、立方倍积这些几何难题都通过代数的方法得以完美解决。数学往往被分为两大类：代数、几何。虽然他们被分为两类，但他们绝不是相互独立的，反而是密切相关的。很多代数上的问题计算量很大，看似非常复杂，甚至无从下手，但是利用了图形之后就会发现问题迎刃而解，直观的图形很容易反映图形的性质；很多几何问题因为辅助线相对复杂想不到，导致无法进一步研究，但是往往我们利用坐标系能够把几何问题转化成代数问题，同样也做到了化繁为简。这就是数学上常用的数形结合思想。 1.2问题研究的意义伟大的数学家华罗庚就曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这两句诗充分直观得反映了“数”与“形”这两者密不可分的联系。应用数形结合思想来思考问题就是要求我们结合代数的准确论证和图形的直观描述来发现问题的解决途径的一种思想方法。由此可见，数形结合思想对于数学解题方面的应用来说是十分重要的，但老师往往仅仅把它当做一种思想一谈而过，照着课本讲课，没有引导学生进一步思考，导致很多学生都不能具体有序地应用这种思想。 2 数形结合思想的重要地位 2.1使用数形结合思想的意义数形结合思想无疑是连接“数”和“形”的桥梁，几何的直观形象和数量关系的严谨他们各有优点，在应用过程中有目的有计划地将“数”与“形”结合在一起，根据题目的已知条件，整合“数”和“形”的相关信息，巧妙结合，从而建起它们中间的桥梁，兼取两者之优，能让我们的解题更为轻松。

浅谈小学数形结合思想

浅谈数形结合思想在小学数学中的应用

浅谈数形结合思想在小学数学中的应用摘要数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题, 利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形, 可以使抽象问题具体化,可以使复杂问题简单化。关键词数形结合、思想、应用一、小学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学从人类发展的历史来看，具体形象的事物是出现在抽象的符号、文字之前的，人类一开始用小石子，贝壳记下所发生的事情，慢慢的发展成为用形象的符号记事，后来出现了数字。这个过程和小学生学习数学过程有着很大的相似之处。低年级的小学生学习数学，也是从具体的物体开始识数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。这方面的例子有有很多，如低年级开始学习识数、学习找规律、学习乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出来。此外，他们往往能在图形的操作或观察中学会收集与选择重要的信息内容；发现图形与数学知识之间的联系，并乐于用图形来表达数学关系。现在的小学课本中很多习题，已知条件不是用文字的形式给出，而是蕴藏在图形中，既是学生喜欢接受的形象，也培养了他们的观察能力和逻辑思维能力。要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并且学生会解题了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，这是一种片面的观点。平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种图像特点，理解和把握各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体实际情况，多角度多方面的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观了解“数”的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来协调知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的逻辑思维能力，并提高学生的理解能力和运用水平。二、利用图形的直观，帮助学生理解数量之间的关系，提高学习效率用数形结合策略表示题中量与量之间的关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。 “数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显其最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。例如：1、小学高年级中所学的，运用分数乘法、除法解决问题。引用人教版小学六年级上册数学书，第二章分数乘法，第二节解决问题，第20页，第二题。

数形结合在小学数学中的应用

数形结合在小学数学中的应用【内容提要】数形结合思想是一个重要的思想方法，在小学和中学，无论是在教师的课堂教学，对数学概念的理解，还是学生思维和解题能力的培养等方面，数形结合都为其奠定了坚实的基础。本课题主要通过分析自己亲身体会的中小学数学问题，发现数形结合思想在初等数学中的应用，加深对数形结合的理解。【关键词】数形结合思想，数学应用【正文】数与形一直以来都是数学的主题,即使如今的数学有着庞大的分支，仍不可磨灭它的影响力。华罗庚先生的打油诗：“数无形，少直观；形无数，少入微”向我们展现了数与形密不可分的关系。简单的说，数与形就是抽象与形象的表现，数形结合更加有利于学生对知识的理解，单纯的数使知识缺乏直观性，同样的如果只有形就少了几分严密性。然而，数形结合思想就是将本是相互独立的两方面结合起来，做到我中有你，你中有我。数形结合思想在小学和中学数学中有着许多巧妙的应用，比如在最初学习计数时，为了加深小朋友们对数字的记忆，教师常常会用形象的图形或者实物与数字对应；计数是学习数学的基础，教师往往会利用生活中的物品，例如铅笔、糖果、苹果等辅助数数、运算；每个班级都会对学生进行标号，也就是学号，久而久之，当某人说一个数时，你会联想到这个人；复杂的数学题考验你强大的逻辑思维，代数和几何是中学的两大基础，代数中加入具体形象的图像，帮助理清题意，拓展思路，几何中渗透代数，发散思维，解决问题等等。数形结合思想在小学数学的应用，我们学习数形结合并不单单为了解题，更应该将它上升为一种思想，学习数学的转向灯。数形结合思想已经贯穿数学学习的全部，小学是数学萌芽的阶段，在这个阶段，小学生的大脑并没有完全发育，他们对数的理解往往要依靠生活中他自己比较熟悉的事物，也就是“形”。如今“怎样开发小学生的数学思维能力”已经是近几年小学数学教育者一直思考的问题。我们可以发现近几年在小学数学课本中的每一个概念教学，教师都通过各种实物、事例或者图形逐步引导学生观察、分析、比较从中揭示其本质，

浅谈数形结合思想在教学中的应用

本科生毕业论文（设计）题目：浅谈数形结合思想在教学中的应用学号： 0707140154 姓名：汪洋专业：数学与应用数学年级：07级一班系别：数学系完成日期：2010年10月指导教师：

浅谈数形结合思想在教学中的应用汪洋（合肥师范学院数学系）摘要数形结合就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形相互取长补短”。数形结合作为一种常见的数学方法, 沟通了代数、三角与几何的内在联系。一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论。因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种十分重要的数学思想方法, 它可以拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，将它作为知识转化为能力的“桥”。关键词:数形结合思想；直观；数学教学；应用 Discusses the number shape union thought shallowly in the teaching

application Wang yang （Department of Mathematics, Hefei Normal University） ABSTRACT Counts the shape union is unifying the question stoichiometric relation and the space form to inspect, according to solving the question need, we can transform the stoichiometric relation question for the graph nature question discusses, or transform the graph nature question for the stoichiometric relation question studies, “the number shape makes up for one's deficiency by learning from others strong points mutually in short”. Counts the shape union as one common mathematical method, has communicated the algebra, the triangle and the geometry inner link. On one hand, with the aid in the graph nature may make many abstract mathematics concepts and the stoichiometric relation visualization and simplification, for the human by the intuition enlightenment. On the other hand, transforming the graph question as the algebra question, obtains the precise conclusion. Therefore, counts the shape union not to take one problem solving method merely, but should take one very important mathematics thinking method, it may expand students' problem solving mentality, sharpens their problem solving ability, takes the knowledge it to transform as ability “the bridge”. Key words: Counts the shape union thought，Intuitively, Mathematics teaching, Application 目录一、前言 (3) 二、正文 (3)

浅谈数形结合思想方法的渗透

浅谈数形结合思想方法的渗透数形结合思想是数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法，数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想，是解决许多数学问题的有效思想，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微”。那么如何在教学中渗透数形结合的思想。下面谈谈自己的看法：一、教师要深入研究教材，有效渗透数形结合小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法①？在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、对比、分析、抽象、概括的过程中看到数学知识蕴涵的思想。如一年级下册“两位数加减一位数和整十数“35-2和35-20内容时，教师可提出问题，这两题怎么计算？让学生说出算法，再根据学生的回答分别写出支形图，并写出想的过程，然后进一步追问：“有没有不同的算法？”激发学生思考，开拓学生的学习思维。最后进一步问：计算35-2，能不能先用十位上的3减2等于1，结果35-2等于15对吗？让学生思考讨论，产生思维的碰撞，让学生的思维碰撞出智慧的火花。接下来让学生用摆小棒验证，教师可充分利摆小棒，使学生明白：因为35中的3表示3个十，5表示5个1，计数单位不同，所以不能用十位上的3减2，可以用5个1减2个1等于3个1，它们的计数单位都是1，再和3个十合并起来等33。通过摆小棒有效地渗透数形结合，使问题简明直观。教师要深入研究教材，弄清编排的意图，吃透教材，才能用好教材，有效渗透数形结合思想，彰显了数学学习的价值，通过摆小棒这个活动让学生感受到简单推理的过程，获得一些简单推理的经验就可以了。在教师的引导下，让学生明白这两题是把相同数位相加减的算理，这是教材编排的意图，也是本节课的重点。学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时，应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”。渗透数学思想，路漫漫兮，任重而道远，作为孩子们的导师，我们应该充分根据孩子们的发展规律，适当地利用教材，在教学过程中巧妙地渗透思想，培

数形结合思想在小学数学中的应用

德宏师范高等专科学校毕业论文系部：数学系姓名：李宏学号：20130732103 班级：2013级初等教育理科1班

目录【摘要】 0 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 0 引言 0 1数学结合思想的简要概述 0 1.1数形结合思想的涵义 (1) 1.2数形结合在数学中的应用范围 (1) 2数形结合在小学数学中的意义和价值 (1) 2.1数形结合是开启数学大门的金钥匙 (1) 2.1.1数形结合是形成概念的好帮手 (1) 2.1.2数形结合深化课堂知识目标化解难点 (2) 2.2数形结合有助于知识的理解和记忆 (3) 2.3数学结合有利于培养小学生的数学能力 (4) 2.3.1“数形结合形”发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力 (4) 2.3．2数形结合提高了小学生学习数学的趣味性 (4) 2.3.3能够增强学生学习数学的自信心 (6) 3数形结合在小学数学中的应用 (6) 3.1巧用数形结合，形成概念教学 (6) 3.2巧用数形结合，突破几何难点 (8) 3.3巧用数形结合，解决实际问题 (8) 4在运用数形结合教学中，应注意的问题 (9) 4.1教师应更新教学观念 (9) 4.2要培养学生运用数形结合思想的学习习惯 (10) 4.3充分发挥多媒体技术的作用 (10) 【参考文献】 (11)

数形结合思想在小学数学教学中的应用【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题：一是数学结合思想的简要概述；二是数形结合在小学数学中的意义和价值；三是数形结合在小学数学中的应用；四是在运用数形结合教学中，应注意的问题。【关键词】数形结合；小学数学；教学应用引言：小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入，小学数学的教学模式更加多样化，传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下，小学数学中的抽象概念变得形象，生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显著提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法，可以直现感知抽象的理论及概念，避免机械记忆，使枯燥的名词真正地活起来，看得见，更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后,将“双基”改为了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验[1]，说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然，而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法：对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。 1数学结合思想的简要概述我国数学家张广厚曾说过：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想[2]。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用设疑激趣直观演示，实际操作等教学方法，引导学生动手操作、观察辨析、自主探究，让学生全面、全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、合

《数形结合思想》在解题中的应用

浅谈数形结合思想在解题中的应用一、数形结合思想的提出在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常见有代数法和几何法。代数法是从 “数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。现举例如下：若直线 y = x ? k 与曲线x - - y 2恰有一个公共点，求 k 的取值范围. 解：(代数法)曲线方程可化为x 2 ? y 2 =1(x _ 0)，把y = x ? k 代入x 2 ? y 2二1(x _ 0) 可得：Zx 2 +2kx+k 2 -1 = 0( xZ0)，由题意可知方程仅有一个非负根 ①当方程有等根时，即厶=(2k)2 -8(k 2 -1)=0,可得k =「丿2，当k =衣2时，方程可化为2x 2 ^2x ^0，得x = 不合题意；当k - - 2时，方程为2x 2 - 2、、2x ? 1 = 0 得x -符合题意，可知k = -羔2 ； 2 ②当方程根为x = 0时，得k 2 -1 =0，k = 一1，当k 二-1时，方程为2x 2 -2x = 0，得方程两个根为& = 0，X 2 = 1不合题意应舍去；当k = 1时，方程为2x 2 2^ 0，得方程两个根为捲=0， X 2 = -1适合题意，可知k= 1 ；综上所述：所求 k 的取值范围为k =或-1 ：：： k 乞1。 (几何法)曲线x = ..1 - y 2是单位圆x 2 y 2 =1的右半圆(x - 0), k 是直线 ^x k 在y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时， k 「2，由图形：可得k = —V2或一1 ： k 乞1。上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。二、数形结合思想的概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合” ，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为 ③当方程根为一正一负时，只需 NX 2 k 2 -1 2 :::0，可得-V k 1。

浅谈数形结合的思想

浅谈数形结合的思想摘要"数形结合百般好,隔离分家万事非"——这是我国著名数学家华罗庚在谈到数形结合时的精辟论断.数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位.从《九章算术》的“析理以辞，解体用图”，到现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力. 数形结合是推动数学向前发展的一种比较重要手段,数学一大部分知识都是围绕其演变、发展而展开的. 关键词数形结合数学思想以形助数以数辅形一、引言数形结合思想占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 我从以下几方面学习研究一下应用数形结合来提高学生的解题能力.1.数形结合的概念.2.数形结合的原则3.数形结合思想及其内涵.3.数形结合在数学中的应用由来已久.4、数形结合的途径5.数形结合在数学中的应用. “数”与“形”是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线,是数学教学的两个基本概念,两块基石.可以说大多数数学知识基本上都是围绕这两个基本概念提炼、演变.采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点.如果能将数与形巧妙地结合起来,有效地相互转化,一些看似无法入手的问题就会迎刃而解,产生事半功倍的效果. 二、数形结合的概念数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通径的目的.一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题素的、优化解题过程的一种重要方法数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.