2.2.1等差数列的概念
【学习目标】
体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等差数列的概念.
【重点难点】
学习重点：等差数列的概念的理解与掌握.
学习难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈
问题: 考察下面的问题
第23届到第28届奥运会举行的年份依次为
1984，1988，1992，1996，2000，2004．
某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元,以后每分钟收话费0.1元,那么通话费按从小到大的次序依次为
0.2，0.2+0.1，0.2+0.1?2，0.2+0.1?3，….
如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月，2个月，3个月，……，12个月，所得的本利和依次为
10000+16.5，10000+16.5?2，10000+16.5?3，……,10000+16.5?12.
上面这写数列有什么共同的特点?
二、知识建构与应用
等差数列的概念
如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，公差常用d表示.
等差数列{a n }中， 始终有d a a n n =-+1.
你能举出一些等差数列的例子吗？
例1 判断下列数列是否为等差数列:
(1)1, 1, 1, 1, 1;
(2)4, 7, 10, 13, 16;
(3)-3， -2， -1， 1，2， 3.
(4)n m n m n m m +++2,2,,;
(5)数列{a n }的通项公式是13+=n a n .
例2 求出下列等差数列中的未知项;
(1)3，a ，5;
(2)3，b ，c ，-9.
例3 (1) 在等差数列{a n }中，是否)2(2
11≥+=+-n a a a n n n ? (2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数)2(≥n ,都有211+-+=
n n n a a a ,那么数列{a n }一定是等差数列吗?
四、巩固练习
1．判断下列数列是否为等差数列：
（1）-1，-1，-1，-1，-1； ________________.
（2）4
1,31,21,1； ________________. （3）1，0，1，0，1，0； ________________.
（4）2，4，6，8，10，12； ________________.
（5）7，12，17，22，27. ________________.
2．已知下列数列是等差数列，试在空格内填上适当的数：
（1）__________，5，10；
（2）,2,1__________；
（3）31，__________，__________，10.
3．已知数列{a n }是等差数列.
(1)如果6,231==a a ，求公差d 和2a ；
(2)如果5,232==a a ，求公差d 和1a ；
(3)如果4,221==a a ，求公差d 和6a ；
4．已知数列{a n }的通项公式，判断它是否为等差数列：
(1)n a n 24-=；
(2)2n a n =； (3)0=n a
数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．
3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；
高中数学必修5等差数列基础 一般测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．下列通项公式表示的数列为等差数列的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设a p 、a q 是数列{a n }的任意两项（p ，q ，n ∈N +），且a p =a q +2003（p-q ），那么数列{a n }（ ） A ．不是等差数列 B ．是等差数列 C ．可能是等比数列 D ．是常数列 3．设a n =（n+1）2，b n =n 2-n （n ∈N *），则下列命题中不正确的是（ ） A ．{a n+1-a n }是等差数列 B ．{b n+1-b n }是等差数列 C ．{a n -b n }是等差数列 D ．{a n +b n }是等差数列 4．若数列{a n }是一个以d 为公差的等差数列，b n =2a n +3（n ∈N *），则数列{b n }是（ ） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．公差为2d+3的等差数列 5．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1+a n =2n ，则该数列前25项之和S 25=（ ） A ．309 B ．311 C ．313 D ．315 6．设2a =3，2b =6，2c =12，则数列a ，b ， c 成 （ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．非等差也非等比数列 D ．既等差也等比数列 7．已知数列{a n }的a 1=1，a 2=2且a n+2=2a n+1-a n ，则a 2007=（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008
必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.
(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.
2.2.2 从容说课 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认 知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果 教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教具准备多媒体及课件 三维目标 一、知识与技能 1.明确等差中项的概念 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题 二、过程与方法
1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想 2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性 三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣 教学过程 导入新课 师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的 数列叫等差数列？ 生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n -a n -1=d (n ≥2，n ∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d ”表示 师 对，我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？ 生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d 生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数 师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a n -1；② 11--= n a a d n ；③m n a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式②11--=n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差 ［合作探究］ 探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？
等差数列测试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2.在-1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a =2，b =5 B. a =-2，b =5 C. a =2，b =-5 D. a =-2，b =-5 3.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 4．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( ) A ．3 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．在等差数列}{n a 中，,0,01110>，则在n S 中最大的负数为 ( ) A ．17S B ．18S C ．19S D ．20S 6.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( ) A.a 11 B.a 10 C.a 9 D.a 8 7.设函数f (x )满足f (n +1)= 2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6S 8 ,则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中,a 3或a 4最大 C ．前三项之和S 3必与前11项之和S 11相等 D ．当n ≥8时，a n <0 二、填空题（每小题6分，共30分） 9．集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________. 10．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ，则13S =_____
【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理 一、1、基础知识 设?ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是?ABC 的外接圆半径。 （1）正弦定理： = = =2R 。 （2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。 ②== B R a A sin ,2sin ，=C sin 。 ③=c b a :: 。 （3）三角形中常见结论： ①A+B+C= 。②a B sin ，则有（ ） A 、a b D 、a ，b 的大小无法确定 （2）在ABC ?中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 （3）已知ABC ?的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ?是 三角形。 二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ?： （1）已知 30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。 例2、在ABC ?中，C B C B A cos cos sin sin sin ++= ，试判断ABC ?的形状。
三、练习 1、在ABC ?中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ?是等腰三角形或直角三角形。 2、在ABC ?中，5:3:1::=c b a ，求 C B A sin sin sin 2-的值。 四、课后练习 1、在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin = D 、A c C a sin sin = 2、在ABC ?中， 120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ） A 、 35 B 、53 C 、73 D 、7 5 3、在ABC ?中，已知 60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ） A 、24 B 、34 C 、64 D 、3 32 4、在ABC ?中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
等差数列复习 知识归纳 1. 等差数列这单元学习了哪些内容？ 2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n ≥2，a n －a n －1＝d (常数) 3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？ a n ＝a 1＋(n －1) d a n ＝An ＋B (d ＝A ∈R ) 4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？ 5. 用什么方法推导等差数列前n 项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点? 2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= S n ＝An 2＋Bn (A ∈R) 注意: d ＝2A ! 6. 你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{a n }中，(m 、 n 、p 、q ∈N+): ①a n ＝a m ＋(n －m )d ； ②若 m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 等差数列定义通项 前n 项和 主要性质n a n d ＜0n a n d ＞0
③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列； ④每n项和S n, S2n－S n , S3n－S2n…组成的数列仍是等差数列. 知识运用 1.下列说法: (1)若{a n}为等差数列,则{a n2}也为等差数列 (2)若{a n} 为等差数列,则{a n＋a n＋1}也为等差数列 (3)若a n＝1－3n,则{a n}为等差数列. (4)若{a n}的前n和S n＝n2＋2n＋1, 则{a n}为等差数列. 其中正确的有( (2)(3) ) 2. 等差数列{a n}前三项分别为a－1,a＋2, 2a＋3, 则a n＝3n－2 . 3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39, a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27 . 4.等差数列{a n}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0 . 5.等差数列{a n}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10, a3＋a15＝20 . 6. 等差数列{a n}, S15＝90, a8＝ 6 . 7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为( A ) A. a11 B. a10 C. a9 D. a8 8.等差数列{a n}, Sn＝3n－2n2, 则( B) A. na1＜S n＜na n B. na n＜S n＜na1 C. na n＜na1＜S n D. S n＜na n＜na1能力提高 1. 等差数列{a n}中, S10＝100, S100＝10, 求S110. 2. 等差数列{a n}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0,S1、S2、…S12哪一个最大？
2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174)
数学必修5等差数列练习题 一、选择题：(每题5分，共40分) 1．记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ） A 、2 B 、3 C 、6 D 、7 2．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 3．若等差数列的前5项和，且，则（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 4．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 5．已知数列{}n a 对任意的* p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 6．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ） （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 7．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 8．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A.5 B.4 C. 3 D.2 二、填空题：(每题5分，共20分) 1．已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ___________ 2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16=. 3．在△ABC 中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为_____. 4．在数列}{n a 中，31=a 0,(2,)n n N =≥∈，则n a = 三、解答题(每题10分，共40分) 1．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，求 S 6 S 12的值。 2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390， 求这个数列的项数n 。 3．已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足.66,21661==S a a 求数列}{n a 的通项公式n a . 4．数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-+2，求数列{}n a 的通项公式。 {}n a 525S =23a =7a =
高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最
小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]
2.1 等差数列（一） 教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导， 归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 会用公式解决一些简单的问题。 教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 教学过程： 创设情境导入新课 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 先看下面的问题： 为了使孩子上大学有足够的费用，一对夫妇从小孩上初一的时候开始存钱，第一次存了5000元，并计划每年比前一年多存2000元。若小孩正常考上大学，请问该家长后5年每年应存多少钱？ 引导学生行先写出这个数列的前几项：7000，9000，11000，13000，15000 观察这个数列项的变化规律，提出生活中这样样问题很多，要解决类似的问题，我们有必要研究具有这样牲的数列——等差数列 师生互动新课探究 像这样的数列你能举出几个例子吗？ 0，5，10，15，20，……① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 48，53，58，63 ② 3，3，3，3，3，……④
看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析） 引导学生观察相邻两项间的关系，得到： 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0 ； 由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。 归纳总结 形成概念 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，0。 注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．． 。 1．名称：等差数列，首项 )(1a ， 公差 )(d 2．若0=d 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式： d a d d a d a a d a d d a d a a d a a 3)2(2)(1134112312+=++=+=+=++=+=+= 由此归纳为 d n a a n )1(1-+= 当1=n 时 11a a = （成立） 选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： （迭加法）： }{n a 是等差数列，所以 ,1d a a n n =-- ,21d a a n n =--- ,32d a a n n =--- …… ,12d a a =- 两边分别相加得 ,)1(1d n a a n -=- 所以 d n a a n )1(1-+=
必修五数列导学案 §2.1 数列的概念及简单表示（一） 【学习要求】 1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 【学法指导】 1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法． 3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】 1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ． 3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列． 4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式． 【问题探究】 探究点一 数列的概念 问题 先看下面的几组例子： （1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； （2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，1 5 ； （3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； （4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…； （5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义． 探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法 问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？ 探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． （1）数列：1,3,5,7,9，… ①用公式法表示：a n ＝ ； ②用列表法表示： （2）数列：1，12，13，14，1 5，… ①用公式法表示：a n ＝ . ②用列表法表示： ③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式 问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？ 探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要 数列 通项公式 －1,1，－1,1，… a n ＝ 1,2,3,4，… a n ＝ 1,3,5,7，… a n ＝ 2,4,6,8，… a n ＝ 1,2,4,8，… a n ＝ 1,4,9,16，… a n ＝ 1，12，13，1 4 ，… a n ＝ 【典型例题】 例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． （1）a n ＝cos n π2 ； （2）b n ＝11×2＋12×3＋1 3×4＋…＋ 1 n n ＋1 . 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考 虑运算化简后再求值． 跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项． （1）a n ＝2n ＋1；（2）b n ＝2 ) 1(1n -+ 例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）1，－3,5，－7,9，…； （2）12，2，92，8，25 2 ，…； （3）9,99,999,9 999，…； （4）0,1,0,1，…. 小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： （1）212，414，618，81 16，…； （2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； （3）－12，16，－112，1 20，….
1.2 余弦定理(一) 课时目标 1.熟记余弦定理及其推论； 2.能够初步运用余弦定理解斜三角形． 1．余弦定理 三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a 2＝________________，b 2＝________________，c 2＝____. 2．余弦定理的推论 cos A ＝________________；cos B ＝______________；cos C ＝________________. 3．在△ABC 中： (1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝________； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝________； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝________. 一、选择题 1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A . 3 B ．3 C . 5 D ．5 2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A .π3 B .π6 C .π4 D .π12 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B . 2 C ．2 D ．4 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A .14 B .34 C .24 D .23 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 6．在△ABC 中，已知面积S ＝14 (a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B ．45° C ．60° D ．120° 二、填空题 7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a>0，b>0)，则最大角为________． 10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3 ，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.