数学建模常用算法
《数学建模常用算法》
一、算法介绍
1、数学建模攻略：算法攻略是数学建模的基础，有利于快速解决问题，它是建模者最重要的工具之一。
2、搜索算法：搜索算法是从一组可能解决方案中搜索最佳解决方案的算法，用于解决搜索问题、优化问题和最优化问题等。
3、约束满足算法：约束满足问题是指在一定的约束条件下求解最优解的问题。
4、最优化算法：最优化算法是求解最优解的算法，可用于解决最优化问题、组合优化问题等。
5、迭代算法：迭代算法是一种以迭代的方式求解最优解的算法，用于求解非线性函数最优解等。
6、概率算法：概率算法是一种以概率方式求解最优解的算法，用于解决最优搜索问题、优化问题等。
7、随机算法：随机算法是一种以随机方式求解最优解的算法，用于解决优化问题、最优化问题等。
二、算法应用
1、搜索算法：搜索算法在数学建模中最常用于求解搜索问题、优化问题和最优化问题。
2、约束满足算法：约束满足算法可以用于解决求解约束优化问题、分配优化问题等。
3、最优化算法：最优化算法可以用于解决最优化问题、组合优化问题、路径优化问题等。
4、迭代算法：迭代算法主要应用于求解非线性函数的最优解，也可用于求解最优化问题等。
5、概率算法：概率算法可以用于解决优化搜索问题、优化寻路问题、优化调度问题等。
6、随机算法：随机算法可以用于解决优化问题、最优化问题、多目标优化问题等。
在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。 用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。 拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。 在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。 回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。 逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。（主要用SAS来实现，也可以用matlab软件来实现）。 聚类分析：所研究的样本或者变量之间存在程度不同的相似性，要求设法找出一些能够度量它们之间相似程度的统计量作为分类的依据，再利用这些量将样本或者变量进行分类。 系统聚类分析—将n个样本或者n个指标看成n类，一类包括一个样本或者指标，然后将性质最接近的两类合并成为一个新类，依此类推。最终可以按照需要来决定分多少类，每类有多少样本（指标）。 系统聚类方法步骤： 1.计算n个样本两两之间的距离 2.构成n个类，每类只包含一个样品 3.合并距离最近的两类为一个新类 4.计算新类与当前各类的距离（新类与当前类的距离等于当前类与组合类中 包含的类的距离最小值），若类的个数等于1，转5，否则转3 5.画聚类图 6.决定类的个数和类。
数学建模的基本思路与方法数学建模是通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。它不仅是数学和统计学领域的重要研究方向，也在物理、化学、生物、经济和工程等众多学科中得到广泛应用。本文将介绍数学建模的基本思路与方法。 一、问题的理解与分析 在进行数学建模之前，首先需要全面理解和分析问题。这包括对问题的背景、目标及约束条件进行明确，对问题所涉及的各种变量和参数进行分类和整理，了解问题的局限性和可行性等。 二、数学模型的建立 基于对问题的理解与分析，接下来要建立数学模型。数学模型是对实际问题进行抽象和数学化的表示。常用的数学模型包括方程模型、差分模型、微分模型、最优化模型等。 1. 方程模型 方程模型是最常见且基础的模型之一。它将实际问题中的各种关系和规律用数学方程进行表示。常见的方程模型有线性方程模型、非线性方程模型、微分方程模型等。 2. 差分模型
差分模型是离散的数学模型，适用于描述实际问题中的离散数据和变化趋势。差分模型通常用递推关系式进行表示，可以通过差分方程求解。 3. 微分模型 微分模型是连续的数学模型，适用于描述实际问题中的连续变化和关系。微分模型通常用微分方程进行表示，可以通过求解微分方程获得结果。 4. 最优化模型 最优化模型是在一定约束条件下，寻找最优解或最优策略的数学模型。最优化模型可以是线性规划、非线性规划、整数规划等形式。 三、模型的求解与分析 建立数学模型后，需要对模型进行求解和分析。求解模型的方法有很多，包括解析解法、数值解法和优化算法等。 1. 解析解法 对于简单的数学模型，可以通过代数方法得到解析解。解析解法基于数学公式和运算，可以直接得到精确的解。 2. 数值解法 对于复杂的数学模型，常常需要借助计算机通过数值计算来求解。数值解法基于数值逼近和迭代算法，可以得到模型的近似解。 3. 优化算法
数学建模常用的十大算法 一、线性回归算法 线性回归算法（linear regression）是数学建模中最常用的算法之一，用于研究变量之间的线性关系。它可以将变量之间的关系建模为一个线性方程，从而找出其中的关键因素，并预测未来的变化趋势。 二、逻辑回归算法 逻辑回归算法（logistic regression）是一种用于建立分类模型的线性回归算法。它可用于分类任务，如肿瘤疾病的预测和信用评级的决定。逻辑回归利用某个事件的概率来建立分类模型，这个概率是通过一个特定的函数来计算的。 三、决策树算法 决策树算法（decision tree）是一种非参数化的分类算法，可用于解决复杂的分类和预测问题。它使用树状结构来描述不同的决策路径，每个分支表示一个决策，而每个叶子节点表示一个分类结果。决策树算法的可解释性好，易于理解和解释。 四、k-均值聚类算法 k-均值聚类算法（k-means clustering）是无监督学习中最常用的算法之一，可用于将数据集分成若干个簇。此算法通过迭代过程来不断优化簇的质心，从而找到最佳的簇分类。k-均值聚类算法简单易用，但对于高维数据集和离群值敏感。 五、支持向量机算法 支持向量机算法（support vector machine）是一种强
大的分类和回归算法，可用于解决复杂的非线性问题。该算法基于最大化数据集之间的间隔，找到一个最佳的超平面来将数据分类。支持向量机算法对于大型数据集的处理效率较高。 六、朴素贝叶斯算法 朴素贝叶斯算法（naive bayes）是一种基于贝叶斯定理 的分类算法，用于确定不同变量之间的概率关系。该算法通过使用先验概率来计算各个变量之间的概率，从而预测未来的变化趋势。朴素贝叶斯算法的处理速度快且适用于高维数据集。 七、随机森林算法 随机森林算法（random forest）是一种基于决策树的分 类算法，它利用多个决策树来生成随机森林，从而提高预测的准确性。该算法通过随机化特征选择和子决策树的训练，防止过度拟合，并产生更稳定的预测结果。 八、神经网络算法 神经网络算法（neural networks）是一种模拟人类神经 系统的算法，可用于解决分类和预测问题。该算法由多个层次的人工神经元组成，每个神经元接收输入，处理信息，并向其他神经元传输到下一层。神经网络算法被广泛应用于图像识别、自然语言处理和语音识别等领域。 九、遗传算法 遗传算法（genetic algorithms）是一种基于自然遗传 规律的搜索算法，可用于解决优化问题。该算法通过随机生成初始种群，采用选择、交叉和变异等方式来改进个体的基因组合，从而进化出更优的解。遗传算法已广泛应用于组合优化、机器学习等领域。 十、贪心算法 贪心算法（greedy algorithms）是一种求解最优策略的
从网上找来的关于十大经典数学模型，看完之后感觉很有帮助，于是编辑了一下发到网上来，供数学建模爱好者们讨论学习，欢迎指导。 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 1、蒙特卡罗方法（MC）（Monte Carlo）： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战进行研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。 可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤： 构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量例： 蒲丰氏问题
数学建模中常见的十大 模型 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
数学建模的十种常用算法 1.蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟进而检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4.图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7.网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8.一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9.数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10.图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）
1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算 法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要 处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题 属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、 Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉 及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计 中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是 用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实 现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛 题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好 使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只 认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非 常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常 用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调 用）
研究生数学建模算法 随着科技的发展，数学建模在研究和实践领域中扮演着越来越重要的角色。特别是在研究生阶段，数学建模成为了一个必备的技能。本文将介绍一些常用的研究生数学建模算法，帮助读者更好地理解和应用数学建模。 一、线性回归算法 线性回归算法是一种常用的建模算法，用于分析自变量和因变量之间的线性关系。其基本思想是通过最小二乘法来拟合一条直线，使得拟合线与实际数据的误差最小。这个算法在很多领域都有广泛的应用，比如经济学、统计学等。 二、逻辑回归算法 逻辑回归算法是一种常用的分类算法，用于预测二元变量的概率。其基本思想是通过将线性回归模型的输出值映射到一个概率范围内，然后根据设定的阈值进行分类。逻辑回归算法广泛应用于医学、金融等领域。 三、支持向量机算法 支持向量机算法是一种常用的分类算法，用于将数据分为两个或多个类别。其基本思想是找到一个超平面来最大化不同类别之间的间隔，并将数据点分类到正确的一侧。支持向量机算法在图像识别、文本分类等领域有着广泛的应用。
四、决策树算法 决策树算法是一种常用的分类和回归算法，用于根据特征值来做出决策。其基本思想是通过一系列的问题和条件来将数据分成不同的类别或预测结果。决策树算法在数据挖掘、人工智能等领域被广泛应用。 五、神经网络算法 神经网络算法是一种模拟人脑神经网络的建模方法，用于解决复杂的非线性问题。其基本思想是通过一系列的神经元和连接来模拟人脑的学习和决策过程。神经网络算法在图像识别、语音识别等领域有着广泛的应用。 六、遗传算法 遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，用于求解复杂的优化问题。其基本思想是通过模拟自然选择、交叉和变异等过程来搜索最优解。遗传算法在工程设计、路线规划等领域被广泛应用。七、粒子群算法 粒子群算法是一种模拟鸟群寻找食物的优化算法，用于求解连续优化问题。其基本思想是通过模拟粒子在解空间中的移动和搜索来寻找最优解。粒子群算法在函数优化、机器学习等领域有着广泛的应用。 八、模拟退火算法
数学建模常用算法 数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解 的过程。在数学建模中，常用的算法有很多种，下面将介绍一些常见的数 学建模算法。 1.最优化算法: -线性规划算法:如单纯形法、内点法等，用于求解线性规划问题。 -非线性规划算法:如最速下降法、牛顿法等，用于求解非线性规划问题。 -整数规划算法:如分支定界法、割平面法等，用于求解整数规划问题。 2.概率统计算法: -蒙特卡洛模拟:通过模拟随机事件的方式，得出问题的概率分布。 -贝叶斯统计:利用先验概率和条件概率，通过数据更新后验概率。 -马尔可夫链蒙特卡洛:用马尔可夫链的方法求解复杂的概率问题。 3.图论算法: -最短路径算法:如迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等，用于求解两点 之间的最短路径。 -最小生成树算法:如普里姆算法、克鲁斯卡尔算法等，用于求解图中 的最小生成树。 - 最大流最小割算法: 如Edmonds-Karp算法、Dinic算法等，用于 求解网络流问题。
4.插值和拟合算法: -多项式插值:如拉格朗日插值、牛顿插值等，用于通过已知数据点拟合出多项式模型。 -最小二乘法拟合:通过最小化实际数据与拟合模型之间的差异来确定模型参数。 -样条插值:通过使用多段低次多项式逼近实际数据，构造连续的插值函数。 5.遗传算法和模拟退火算法: -遗传算法:通过模拟自然选择、遗传变异和交叉等过程，优化问题的解。 -模拟退火算法:模拟固体退火过程，通过随机策略进行，逐步靠近全局最优解。 6.数据挖掘算法: - 聚类算法: 如K-means算法、DBSCAN算法等，用于将数据分为不同的类别。 -分类算法:如朴素贝叶斯算法、决策树算法等，用于通过已知数据的类别预测新数据的类别。 - 关联分析算法: 如Apriori算法、FP-growth算法等，用于发现数据集中的关联规则。 以上只是数学建模中常用的一些算法，实际上还有很多其他算法也可以应用于数学建模中，具体使用哪种算法取决于问题的性质和要求。为了
数学建模方法详解--三种最常用算法 一、层次分析法 层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用． (一) 层次分析法的基本原理 层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍． 1．递阶层次结构原理 一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次． 2．测度原理 决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理 层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．
(二) 层次分析法的基本步骤 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]． 1． 成对比较矩阵和权向量 为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度． 假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1 对上层一个因素O 的影响，每次取两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比，全 部 比较结果可用成对比较阵 () 1 ,0,ij ij ji n n ij A a a a a ⨯=>= 表示，A 称为正互反矩阵． 一般地，如果一个正互反阵A 满足： ,ij jk ik a a a ⋅= ,,1,2,,i j k n = （1） 则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明n 阶一致阵A 有下列性质： ①A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n ； ②A 的任一列向量都是对应于特征根n 的特征向量． 如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素n C C ,,1 对上层因素O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于A 最大特征根(记作λ)的特征向量（归一化后）作为权向量w ，即w 满足： Aw w λ= （2）
数学建模常用算法模型
数学模型的分类 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2021美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
③因变量要符合正态分布 4、马尔科夫预测（备用） 类似的名词有，马尔科夫链、马尔科夫模型、，马氏链模型等 一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率。 思考马尔科夫和元胞自动机之间的关系 5、时间序列预测（必掌握） 与马尔科夫链预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等 6、小波分析预测（高大上） 数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；可以做时间序列做不出的数据，应用范围比较广 7、神经网络预测（备用） 大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的办法 8、混沌序列预测（高大上） 比较难掌握，数学功底要求高 9、插值与拟合（必掌握） 拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别在于:拟合是已知点列，从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。 10、灰色关联分析法（必掌握） 与灰色预测模型一样，比赛不能优先使用 11、模糊综合评判（备用） 评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序 12、主成分分析（必掌握） 评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强 13、层次分析法（AHP）（必掌握）
数学建模中的树模型算法 数学建模是一项涵盖多个学科领域的学术研究，大多涉及到实 际问题的数学仿真与计算，需要深度思考和创新能力。在这其中，树模型算法是一个极为重要的分支，它能够更好地模拟实际问题，并为分析提供一个更清晰的框架。 一、树模型算法的基本概念 树模型算法最初用于图论中的搜索问题，经过不断发展，如今 已经被广泛应用于各类数据的处理和挖掘中。树模型算法的核心 思想是通过建立一棵树来表示数据的结构和关系，并在树上进行 搜索和计算。 在树模型算法中，树是由节点和边组成的。每个节点代表一个 数据元素，通常包括一个标识符和数据内容；每条边表示两个节 点之间的关系，比如“父子关系”、“兄弟关系”等。根据不同的算法，树的结构和节点之间的关系也会有所变化。 二、常见的树模型算法
1. 决策树算法 决策树是一种经典的树模型算法，常常被用来做分类问题。它通过树上的节点和不同的分支来描述分类的决策过程。决策树算法的核心思想是通过不断划分数据集，使得每个子集中的数据同类别之间的相似度最大，不同类别之间的差异最大，从而实现数据的分类。 2. 随机森林算法 随机森林是一种基于决策树的集成学习算法，它通过构建多个决策树来改善模型的性能和减少模型的方差。随机森林算法的核心思想是随机选择数据子集和特征子集，建立多个决策树，再通过投票或求平均来决定分类结果。 3. BP神经网络算法 BP神经网络是一种常用的人工神经网络模型，也是一种树模型算法。它通过神经元之间的连接和权重来模拟复杂的非线性关系，实现模型的分类和预测。BP神经网络算法的核心思想是通过
对网络中的权值进行反向传播，不断调整权重和阈值，使得网络对训练集中的数据能够做出正确的分类和预测。 三、树模型算法的应用领域 树模型算法被广泛应用于数据挖掘、生物信息学、金融风险评估、药物发现和基因工程等领域。其中，决策树算法被应用于自然语言处理、医疗诊断、信用评估等领域；随机森林算法被用于图像识别、奇异事件检测、股票预测等领域；BP神经网络算法则被应用于智能机器人、自动驾驶、语音识别等领域，都取得了显著的成果。 总之，树模型算法是一种非常有前途的科学技术，能够为各个领域的数学建模和实际应用提供有力的支持。我们相信，在不断的研究和探索下，树模型算法一定能够发挥更大的作用，带来更多意想不到的惊喜。
数学建模常用算法模型 在数学建模中，常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。下面将对这些算法模型进行详 细介绍。 1.线性规划： 线性规划是一种用于求解最优化问题的数学模型和解法。它的目标是 找到一组线性约束条件下使目标函数取得最大（小）值的变量取值。线性 规划的常用求解方法有单纯形法、内点法和对偶理论等。 2.整数规划： 整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的方法。在实际问题中，有时变量只能取整数值，例如物流路径问题中的仓库位置、设备配置问题 中的设备数量等。整数规划常用的求解方法有分支界定法和割平面法等。3.非线性规划： 非线性规划是一种求解非线性函数优化问题的方法，它在实际问题中 非常常见。与线性规划不同，非线性规划的目标函数和约束函数可以是非 线性的。非线性规划的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化方法等。 4.动态规划： 动态规划是一种用于解决决策过程的优化方法。它的特点是将问题划 分为一系列阶段，然后依次求解每个阶段的最优决策。动态规划常用于具 有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和旅行商问题等。5.图论算法：
图论算法是一类用于解决图相关问题的算法。图论算法包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。最短路径算法主要用于求解两点之间的最短路径，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。最小生成树算法用于求解一张图中连接所有节点的最小代价树，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。网络流算法主要用于流量分配和问题匹配，例如最大流算法和最小费用最大流算法。 6.遗传算法： 遗传算法是一种借鉴生物进化原理的优化算法。它通过模拟生物的遗传、变异和选择过程，不断优化问题的解空间。遗传算法适用于对问题解空间有一定了解但难以确定最优解的情况，常用于求解复杂的组合优化问题。 总结起来，数学建模中常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。这些算法模型在实际问题中具有广泛的应用，能够帮助研究者从数理角度解决各种实际问题。
数学建模评价类算法 数学建模评价类算法有许多种，下面列举几种常见的算法： 1. 主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）：PCA是一种常用的多变量数据降维算法，它可以将高维数据映射到低维子空间，从而提取数据中的主要成分。在数学建模中，可以利用PCA算法对数据的维度进行降维，从而减少问题的复杂度。 2. 回归分析（Regression Analysis）：回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法，它可以通过拟合一个数学函数来预测和解释因变量的变化。在数学建模中，可以利用回归分析来建立数学模型，从而预测和解释问题的特征和关系。 3. 时间序列分析（Time Series Analysis）：时间序列分析是一种用来研究时间序列数据的统计方法，它可以用来预测未来的数据趋势和周期性。在数学建模中，可以利用时间序列分析来建立时间序列模型，从而预测和解释问题的时间变化规律。 4. 神经网络（Neural Network）：神经网络是一种模仿人脑神经元网络结构的数学模型，它可以通过训练和学习来提取和表示数据中的模式和关系。在数学建模中，可以利用神经网络来建立复杂的映射关系，从而解决复杂的问题。 5. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种通过模拟生物进化过程来解决优化问题的算法，它通过选择、交叉和变异等操作来搜索问题的最优解。在数学建模中，可以利用遗传
算法来优化问题的目标函数，从而找到最优解。 这些算法在数学建模中都有广泛的应用，具体选择哪种算法取决于问题的特点和要求。同时，也可以根据不同的问题将多个算法进行组合和集成，以达到更好的建模效果。
数学建模c题常用算法 在数学建模中，常用的算法有： 1. 线性规划算法（Linear Programming）：通过优化目标函数，同时满足一系列线性约束条件，找到最优解。 2. 非线性规划算法（Nonlinear Programming）：通过优化目标 函数，同时满足一系列非线性约束条件，找到最优解。 3. 整数规划算法（Integer Programming）：在线性规划问题中，将变量限定为整数，并找到最优解。 4. 动态规划算法（Dynamic Programming）：通过划分问题为 子问题，并通过保存子问题的解来构建整个问题的解。 5. 贪心算法（Greedy Algorithm）：通过每一步都选择当前状 态下最优的解，最终得到全局最优解。 6. 遗传算法（Genetic Algorithm）：通过模拟生物进化过程， 通过选择、交叉和变异等操作，优化目标函数，找到最优解。 7. 模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）：通过模拟退火的过程，在每次迭代中接受概率性的向下移动，避免陷入局部最优解。 8. 粒子群算法（Particle Swarm Optimization）：通过模拟鸟群 或鱼群等生物群体的行为，通过个体之间的合作与竞争，优化
目标函数，找到最优解。 9. 蚁群算法（Ant Colony Optimization）：通过模拟蚂蚁找食的行为，通过蚁群中蚂蚁之间的信息交流，优化目标函数，找到最优解。 10. 模型拟合算法（Model Fitting）：通过拟合一个合适的数学模型，找到描述观测数据的最佳参数。 这些算法在不同的数学建模问题中都有广泛的应用，根据具体的问题特点和约束条件选择适当的算法进行求解。
数模常用算法
一、线性规划 指派问题->匈牙利算法 详例：投资的收益与风险 二、整数规划 （1）分支界定法 （2）割平面法 （3）隐枚举法->0-1整数规划问题 （4）匈牙利法->指派问题（0-1整数规划中的特殊情况） （5）蒙特卡洛法 详例：销售与生产计划问题 三、非线性规划->迭代法 （1）无约束问题 ●一维搜索方法：Fibonacci法，0.618法 ●二次插值法 ●无约束极值问题：梯度法，Newton法，边 尺度法，直接法 （2）约束极值问题 ●二次规划 ●罚函数法 详例：飞行管理问题
四、动态规划：最短路径问题、生产计划问题、 资源分配问题 五、图与网络 （最短路问题、公路连接问题、指派问题、中国邮递员问题、旅行商问题、运输问题）（1）两个指定顶点之间的最短路径->Dijkstra法，Floyd算法 （2）连线问题->构造最小生成树：prim算法，Kruskal算法 （3）匹配问题->匈牙利算法，Kuhn-Munkres 算法 （4）哈密顿图->Fleury算法 （5）最大流问题（特殊的线性规划问题）->标号法（Ford-Fulkerson算法） （6）最小费用流->迭代法 （7）计划评审方法和关键路线法 详例：中国邮递员问题、旅行商问题、最大 流问题、最小费用流问题、计划评审（定时 任务作业）问题、钢管订购和运输 六、排队论->计算机随机模拟法 七、对策论（博弈论） （1）零和对策->线性规划解法
（4）一阶微分方程组和高阶微分方程组解法十六、差分方程模型 （1）代数解法、Z变换解法 （2）蛛网模型：商品供销关系 （3）商品的销售预测 （4）遗传模型（染色体、遗传病相关） 十七、马氏链模型：系统未来情况只与现在有关，与过去无关->状态转移概率 详例：服务网点的设置 十八、动态优化（变分法模型） （1）最速降线问题 （2）生产设备的最大经济效益（设备的磨损、保养与收益） 十九、神经网络 详例：蠓虫分类问题 二十、偏微分方程的数值解 （1）差分解法 （2）Matlab图形界面解法 详例：触媒反应装置的温度及转换率分布、扩散系统的浓度分布 二十一、目标规划（多目标决策） （1）求解思路：加权系数法->优先等级法->
数学建模常用模型及算法 数学建模主要是通过现实世界的数据，利用一定的数学方法和算法， 借助计算机，使用一定的软件工具，结合相应的算法去建立一定的数 学模型，从而对实际问题进行研究和解决，称之为数学建模。常用的 数学建模模型有基于概率的模型、基于最优性的模型、非线性规划模型、组合优化模型、灰色系统模型、网络流模型、层次分析模型、模 糊系统模型等等，而常用的数学建模算法可以分为局部搜索算法、精 确算法、启发式算法等三大类。 一、基于概率的模型 1. 最大熵模型：是一种最大化熵的统计学方法，应用熵来描述不确定度，并在要求最大熵原则的条件下确定参数，从而最大程度的推广模 型中的统计分布，从而达到优化的目的。 2. 贝叶斯模型：贝叶斯模型是基于概率的统计模型，用于描述各种随 机现象，主要是通过贝叶斯公式结合先验概率以及似然度来推测结果，求出客观事件发生的概率。 二、基于最优性的模型 1. 模糊优化方法：模糊优化方法是以模糊集，而不是确定性集，对优 化问题加以解决，是一种基于最优性的模型。它将目标函数和约束条 件分解成模糊函数，然后形成模糊优化模型，用模糊图的方法求得最 优解，使问题的解决变得更加容易和有效率。
2. 模拟退火算法：模拟退火算法通过数值模拟来求解最优性模型，是一种模拟对象的能量计算的算法，其本质为元胞自动机和目标函数的计算，基于物理反应速率理论实现，利用“热量”的概念，从而模拟从温度较高到低温过程，求解最终最优解。 三、非线性规划模型 1. 单约束模型：单约束模型旨在求解目标函数，给定一个约束条件，求解一个最优解。 2. 线性规划模型：线性规划模型利用线性函数来描述算法模型，尝试求得最大或最小的解。 四、组合优化模型 1. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种组合优化模型，它能够模拟热力学反应，并利用物理反应速率理论来求解组合优化问题，从而使问题更加容易解决。 2. 遗传算法：遗传算法是一种基于自然进化规律的算法，通过模拟种群的变异和进化过程，来搜索出最优的解。 五、网络流模型 1. 最大流最小割：最大流最小割是网络流模型的经典算法，利用最大流最小割定理求解网络的最大流量。它的核心思想是在给定的流网络中，从源点到汇点
数学建模竞赛中的数学模型求解方法 数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。 一、线性规划 线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。二、整数规划 整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。 三、非线性规划 非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。 四、动态规划
动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。 五、模拟与优化 模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。这些方法通过随机采样、进化搜索等方式，寻找最优解。 综上所述，数学建模竞赛中的数学模型求解方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、模拟与优化等。参赛者可以根据问题的特点选择合适的求解方法，并灵活运用数学知识和技巧，解决实际问题。通过不断学习和实践，参赛者的数学建模能力将得到进一步提升，取得更好的竞赛成绩。
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。 这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。 2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外， 同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。 毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。 且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。 3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。 若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。 谢谢。 一、蒙特卡罗算法 1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis 共同发明了，蒙特卡罗方法。 此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文： https://www.doczj.com/doc/b219144797.html,/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx 蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导 的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方 法。 由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真 实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法 ，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作 为问题的解。 有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法： 假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程 度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然