第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵 1.矩阵的概念
①OP →
→的坐标排成一列，并简记为??????2 3 ????
??
2 3
③
概念一：
象??????2 3 80908688??
????
23324m ????-??的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：
①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）
④列矩阵：????
??
a 11 a 21 （仅有一列）
⑤向量a →
＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ??
????
，在本书中规定所有的平面向量
均写成列向量x y ??
????
的形式。
练习1：
1.已知??????-=243x A ,??
?
???-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,
2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++??
=??--??
，若A=B ，求x,y,m,n 的值。
概念二：
由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ??
????称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000??
????
，记为0。
②二阶单位矩阵：1001??
??
??
，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法
— 2 — 3
— ????
??80 90
86 88
231,3242x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-??
定义：规定二阶矩阵A=a b c d ??????，与向量x y α→??
=????
的乘积为ax by A cx dy α→+??=??+??，即A α→＝a b c d ??????x y ????
??＝ax by cx dy +????+?? 练习2：
1.（1）?
?????????
??-131021＝ （2） ????????????-311021＝
2.??????2101??????y x =??????-11，求??
????y x 三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换
问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o
得到P ’
(x ’
,y
’
),称P ’
为P 在此旋转变换作用下的象。其结果为''x x
y y
?=-?=-?，
也可以表示为''00x x y y x y ?=-+??=?-?，即''x y ??????＝1001-????
-??
??
????y x ＝x y -??
??-??怎么算出来的？
问题2. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’
； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.
问题3.把问题2中的旋转30o
改为旋转α角，其结果又如何？
2.反射变换
定义：把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P ’
的线性变换叫做关于直线l 的反射。
研究：P （x,y ）关于x 轴的反射变换下的象P ’(x ’,y ’
)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义：将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，（1k 、2k 均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。
试分别研究以下问题：
①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
②. 将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
定义：将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P ’
（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换。 研究：P （x,y ）在x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
定义：将每一点P （x,y ）沿着与x 轴平行的方向平移ky 个单位，称为平行于x 轴的切变变换。将每一点P （x,y ）沿着与y 轴平行的方向平移kx 个单位，称为平行于y 轴的切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P 10 1.2.3.4
四、简单应用
1.设矩阵A=1001-??
?
?
??
，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的象。
练习：P 13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o
的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线2
y x =的焦点变为直线y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A 先作关于x 轴的反射变换，得到点A 1,在把A 1绕原点逆时针旋转180o
，得到点A 2，若存在一种反射变换同样可以使A 变为A 2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P （1，2）经过平行于y 轴的切变变换后变为点P 1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设1
21x A x y ??=??
-??，2242z x B x ??-=??-??
，且A=B.则x ＝ 8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x 的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵1221A -??
=??
??
对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为 10.已知点A （2，－1），B （－2，3），则向量AB →在矩阵11202??????-??
对应的线性变换下得到的向量坐标为 11.向量a →在矩阵1201A -??
=????的作用下变为与向量11????-??平行的单位向量，则a →＝
12.已知15234A ??-??=??-??
，a →＝12-??????，b →＝34??????，设a b α→→→=+，a b β→→→=-，①求A α→，A β→；
13.已知1012A ??=??
-??，a →＝11????-??，b →＝1x ??????
，若A a →与A b →的夹角为135o
，求x.
14.一种线性变换对应的矩阵为1010??
??-??
。①若点A 在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A 的坐标；②解
释该线性变换的几何意义。
15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01
102????????
。求①点A （1/5,3）在该变换作用下的像；
②圆22
1x y +=上任意一点00(,)P x y 在该变换作用下的像。
答案：1.1001?? ?-??
2. 12122?- ? ?- ?
??
3. 360o
R 4.00a a ?? ??? 5.1001-?? ???6.''
2x x
y x y
?=?=-+? 7.－1 8. 1
1221122??- ? ? ?
- ??? 9.（0，5） 10.（2，8）
11.22?
??
，22?- - ?
?
12.718-?? ?-??、194?? ?-??
13.ｘ＝2/3 14.(5,y) 15. 1532??
? ? ? ???
,2o o
x y ??
? ? ???
第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设x y α→
??
=????
，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→??=????
2.平面向量的加法：设11x y α→??=????，22x y β→??=????
，则1212x x y y αβ→→+??
+=??+??
性质1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→
是平面上的任意两个向量，λ是任意一个实数，则①数乘结合律：
()A A λαλα→
→
=；②分配律：()A A A αβαβ→
→
→
→
+=+
【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。
二、直线在线性变换下的图形
研究y kx b =+分别在以下变换下的像所形成的图形。
①伸缩变换：1002??
?
???
②旋转变换：121
22?-??
???? ③切变变换：1201??
????
④特别地：直线x=a 关于x 轴的投影变换？
性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 . （证明见课本P 19）
三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形
分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。 ① 恒等变换：1001??
????
②旋转变换：cos sin sin cos αααα-??
????
③切变变换：101k ??
????
④反射变换：1001??
??-??
⑤投影变换：1000??
????
【练习：P 27】 【应用】
试研究函数1
y x =
在旋转变换2222-??
?
??
作用下得到的新曲线的方程。
四、复合变换与二阶矩阵的乘法
1.研究任意向量x y α→??
=????
先在旋转变换30o R
：12212?
-??
???
作用，再经过切变变换ρ：1201????
??作用的向量''x y ??????
2.二阶矩阵的乘积
定义：设矩阵A ＝1111a b c d ??????
，B ＝2222a b c d ??
????，则A 与B 的乘积
AB ＝1111a b c d ??????2222a b c d ??????
＝
【应用】
1.计算???21 ???11-???21 ??
?10＝ 2.A ＝cos sin αα??? -s i n c o s αα???，B ＝cos sin ββ??? -s i n c o s β
β???
，求AB
3.求13α→
??=????在经过切变变换σ：A=1021????-??，及切变变换ρ：B=1201??????
两次变换后的像β→。
4.设压缩变换σ：A ＝10210????????，旋转变换90o R ：B ＝0110-??????，将两个变换进行复合σ?90o R ，①求向量23α→??=????在复合变换下的像；②求x y α→??
=????
在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？
5.试研究椭圆22134x y +=①伸缩变换：0.5001??????②旋转变换：
12122?-??????
；③切变变换：1201??????；④反射变换：1001????-??；⑤投影变换：1000??????
五种变换作用下的新曲线方程。
进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。
【练习：P 35】
【第二讲.作业】A.B.C.D.
1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ） A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换
2. 在切变变换ρ：1021??
?
?-??
作用下，直线y=2x-1变为 3. 在A ＝0.5121-??
??
??作用下，直线l 变为y=-2x-3,则直线l 为 4.在1010????-??
对应的线性边变换作用下，椭圆22
124x y +=变为
5.已知平面内矩形区域为12x i x j →
→
+（0≤x 1≤1,0≤x 2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为
6.将椭圆22
134x y +=绕原点顺时针旋转45ｏ后得到新的椭圆方程为 7.在1010????
??
对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1变为 8.计算： ①1324??
???1104-??
???＝ ②2111?? ???1011-?? ?-??＝ ③1011-?? ?-??2111?? ???
＝
9.向量12??
???
经过1101?? ???和1011?? ???两次变换后得到的向量为
10.
向量1??
先逆时针旋转45o ，再顺时针旋转15o
得到的向量为
11.函数sin()3y x π
=-的图像经过2001?? ???的伸缩变换，和1001-?? ???
的反射变换后的函数是
12. 椭圆22
143x y +=先后经过反射变换0110?? ???和伸缩变换1000.5?? ???后得到的曲线方程为 13.已知Ｍ＝2111?? ???，且ＭＮ＝1201??
???
，求矩阵Ｎ。
14.分别求出在1020????-??、0.5001??????、1000??????
对应的线性边变换作用下，椭圆22
14x y +=变换后的方程，并作出图形。
15.函数1
y x
=先后经过怎样的变换可以得到22144x y -=？写出相应的矩阵。 答案：1.Ａ 2.y=-1 3.3x-y+3=0 4.y=-x 5. 01102?? ? ?
??
6.22
772240x y xy ++-= 7.y=x （－2≤x ≤0） 8. 113218-?? ?-??、1101--?? ?-?? 、2101--?? ???9.35?? ?
??
10. 1?? 11.sin()23x y π
=-+ 12.2213x y += 13. 1110?? ?-??
14.y=-2x(－2≤x ≤2)、y=0(－2≤x ≤2)、22
1x y +=
15. 00
??
22? ?＝1111-?? ?-??
第三讲 矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质 1.设Ａ＝0111???
???，Ｂ＝1123-????-??，Ｃ＝0110????
??
由A 、B 、C 研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。 结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性质
【应用】 1.设Ａ＝0111??
?
???
，求Ａ8
2. 【练习：P 41】
二、逆变换与逆矩阵
1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得
σρ＝ρσ＝I ，
（I 是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。 2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩
阵。
符号、记法：1
A -，读作Ａ的逆。 【应用】
1.试寻找Ｒ30o 的逆变换。
【应用】
1.A ＝3142?? ???，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1
A -。 2. A ＝2142?? ???
，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1
A -。
由以上两题，总结一般矩阵A ＝a b c d ??
???
可逆的必要条件。
三、逆矩阵的性质
1.二阶矩阵可逆的唯一性。
2.设二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且111
()AB B A ---=
【练习：P 50】
【第三讲.作业】
1.已知非零二阶矩阵A 、B 、C ，下列结论正确的是 （ ） A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC 则A=B D. 若CA=CB 则A=B
2.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。 B.60o R 变换。 C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。 D.以y 轴为反射变换
3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ）
A. 0110??
???
B. 0.5001??
??? C. 0110-?? ??? D. 1010?? ??? 4.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ） A.1
11()
AB A B ---= B. 111()AB B A ---=
C.11
()
A A --= D. 2112()()A A --=
5.0110N -??= ???
，则Ｎ2
＝
6. 1011?? ???1002?? ???1101?? ???0111?? ???
＝
7.1203?? ???2312?? ???4624-?? ?-??
＝
8.设1021A ??= ???，0210B ??= ???则向量11??
?-??
经过先Ａ再Ｂ的变换后的向量为 经过先Ｂ再A 的变
换后的向量为
9.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是
10.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1
将（1，0）变成点
11.矩阵0111??
???
的逆矩阵为 12.设ρ：''x y ?? ???＝1101-?? ???x y ?? ???
，点（－2，3）在ρ－1
的作用下的点的坐标为
13.A ＝1101-?? ??
?1212?
??
?
?
，则1A -= 14.△ABC 的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果将三角形先后经过1101??
???和1011?? ???
两次变换变成△A ‘B ’C ’
,求△A ‘B ’C ’
的面积。
15.已知A
＝12212??
-
????
?
，B ＝2001?? ?
??
，求圆221x y +=在1()AB -变换作用下的图形。
16.已知2102A ??=
???
，试分别计算：2A ,3A ,4A ,n
A 答案：1.
B 2.A 3.D 4.A 5. 1001-?? ?-?? 6. 1234?? ??? 7. 2406?? ??? 8.21?? ???、23-??
?
-??
9. 1001?? ?-?? 10.（3，2） 11. 1110-?? ???
12.（1，3）
13. 1122?+ ? 14.1 15.2241x y += 16. 2
4404A ??= ???、381208A ??= ???、41632016A ??= ???、12202n n n n n A -??= ?
??
第四讲 二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组
一.二阶行列式与逆矩阵
【概念】 如果矩阵A ＝a b c d ??
???
是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作a b c d
，即
a b
c d
＝ad bc -，ad bc -也称为行列式
a b c d
的展开式。符号
记为：detA 或|A|
【可逆矩阵的充要条件】 定理：二阶矩阵A ＝a b c d ??
???可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时 1
det det det det d
b A A A c
a A A --?? ?= ?- ? ???
（请同学一起证明此定理）
【应用】
1.计算二阶行列式：
①31
42
②2213λλ--
2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。 ①A ＝0110??
?-??
②B ＝1100??
???
【练习：P 55】
二、二元一次方程组的矩阵形式 1.二元一次方程组的矩阵形式 一般的，方程组ax by e
cx dy f
+=??
+=?可写成矩阵形式为：
2. 二元一次方程组的线性变换意义
设变换ρ：a b c d ??
???，向量x y ?? ???、e f ?? ?
??，则方程组ax by e
cx dy f +=??+=?，意即：ρx y ?? ???＝e f ??
???
三、逆矩阵与二元一次方程组
1.
研究方程组：1
3221122
x y x y -=????+=??的矩阵形式与逆矩阵的关系。
【定理】如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e cx dy f +=??
+=?的系数矩阵A ＝a b c d ??
???
是可逆的，则该方程组有唯一解：
x y ?? ???＝1
a b c d -?? ??
?e f ??
???
【推论】关于x,y 的二元一次方程组0
0ax by cx dy +=??+=?
（a,b,c,d,均不为0），有非零解?a b c d ＝0
【应用】
1.用逆矩阵解二元一次方程组32
420
x y x y +=??+=?
【思考】课本60页思考
ax by e cx dy f +=??+=?的系数矩阵A ＝a b c d ??
???
不可逆，方程组的解如何？
【练习：P 61】 【应用】
1.λ为何值时，二元一次方程组a b c d ?? ???x y ??
???＝λx y ??
???
有非零解？
三、三阶矩阵与三阶行列式 1.三阶矩阵的形式
2.三阶行列式的运算 【第四讲.作业】
1.矩阵A ＝3142??
???，则|A|= 2.矩阵A ＝21510x ??
???
，若A 是不可逆的，则x=
3. 1234??
?-??的逆矩阵为
4. A ＝1031?? ?-??，B ＝1201-?? ???
，则1
()AB -＝
5. A ＝312x ??
?-??
，31α??= ?-??，若A 不可逆，则A α＝
6.若关于x,y 的二元一次方程组30
4110
x my x y +=??-=?有非零解，则m ＝
7.设二元一次方程组224m ?? ?-??x y ?? ???＝x y ??
???
没有非零解，则m 所有值的集合为
8.向量α在旋转变换60o R 的作用下变为13-??
???
，则向量α＝
9. 若1301?? ???x y ?? ???＝12?? ???，则x+y ＝
10. A ＝3110-?? ???，B ＝3201-?? ???，向量α满足1
()AB α-＝31?? ???
，则向量α＝
11.用逆矩阵的方法解方程组： ①71130x y x y -=??
+=? ②30
1240x y x y -=??-=?
12.求下列未知的二阶矩阵X ：
①12323111X -????= ? ?-???? ②123
23
111X -????
= ? ?-???? 13.当λ为何值时，二元一次方程组2
21
3??
???x y ?? ???
＝λx y ??
???
有非零解？
14.设A ＝1211?? ?-??，矩阵B 满足1
ABA -＝3012?? ???
，求矩阵B.
答案：1.2
2. 3. 2
155311010??- ?
? ? ???
4. 7231-?? ?-??
5.155?? ???
6.-33/4
7.32m ≠-
8. 12?? ? ? ? ???
9.－3 10. 30?? ???
11.11,66x y ==- x=k,y=3k 12. 147710577?? ? ? ?-- ???、38774177??- ? ? ?-- ???
13.1或4 14. 5
23321033??- ?
? ? ???
第五讲 变换的不变量与特征向量
一. 特征值与特征向量 【探究】
1. 计算下列结果：
1001?? ?-??0a ?? ???＝ 1001?? ?-??0b ?? ???
＝
以上的计算结果与0a α→
??= ???，0b β→??
= ???
的关系是怎样的？
2. 计算下列结果：
1002?? ???0a ?? ???＝ 1002?? ???0b ?? ???
＝ 以上的计算结果与0a α→
??= ???，0b β→??
= ???
的关系是怎样的？
【定义】
设矩阵A ＝a b c d ??
???
，如果存在实数λ及非零向量ξ，使得A ξλξ=，则称λ是矩阵A 的一个特征值。
ξ是矩阵A 的属于特征值的一个特征向量。
（结合探究1、2说明，特征值与特征向量） 【定理1】
如果ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，k ξ也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。
其几何意义是什么？ 【定理2】
属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。 【应用】
从几何角度解释旋转变换122122?
-??
????
的特征值与特征向量。
二、特征值与特征向量的计算 1. 设A ＝2213??
???
，求A 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。
【总结规律】
一般的，矩阵A ＝a b c d ??
???
的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。
【应用】 求A ＝1214??
?-??
的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。
【练习：P 70】 【第五讲.作业】
1.设反射变换'':x x
y y
σ?=?=-?对应的矩阵为A ，则下列不是A 的特征向量的是
（ ）
A.01?? ???
B. 10?? ???
C. 01??
?-??
D. 11?? ??? 2.下列说法错误的是 （ ）
A.矩阵A 的一个特征向量只能属于A 的一个特征值
B.每个二阶矩阵均有特征向量
C.属于矩阵A 的不同特征值的特征向量一定不共线
D. 如果ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，k ξ也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。
3.设1λ，2λ分别是恒等变换与零变换的特征值，则1λ－2λ＝
4.投影变换:σ0001??
???
的所有特征值组成的集合为 5.矩阵a b c d ??
???
的特征多项式为 6.已知A 是二阶矩阵，且A 2
＝0，则A 的特征值为
7.若0是矩阵A ＝110x ??
???
的一个特征值，则A 的属于0的特征向量为
8.已知1、2是矩阵A ＝13m n ?? ???
的特征值，则1
A -＝
9.若向量12?? ???
是矩阵122m ??
???的一个特征向量，则m ＝
10.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：①0140??
???
②1011-?? ??? ③3452?? ???
11.已知向量0k ?? ???是矩阵102m ??
???的一个特征向量，求m 的值。
12.设A ＝23a b ?? ???，分别求满足下列条件的所有矩阵A ：①12-?? ???是A 的属于2的一个特征向量。②12-??
???
是A 的
一个特征向量。
13.对任意实数x ，矩阵322x m m +??
?-??
总存在特征向量，求m 的取值范围。
14设A 是可逆的二阶矩阵，求证：①A 的特征值一定不是0；②若λ是A 的特征值，则1/λ是A －1
的特征值。
1.Ｄ
2.Ｂ
3.１
4.｛0，1｝
5.2
()()f a d ad bc λλλ=-++- 6.0 7.k k ??
?-??
8. 103122?? ? ?-??
9.１ 10.①2,02k k k λ??=≠ ??? 或2,02k k k λ??=-≠ ?-??；②01,0k k λ??=≠ ???
或
21,0k k k λ??=-≠ ?-??③7,0k k k λ??=≠ ???或42,05k k k λ??=-≠ ?-??
11.ｍ＝0
12.①02732?? ? ???
②122332λλ?
?- ? ? ?+ ???
13.－3≤ｍ≤2 14.①有特征多项式证明；②A αλα=
11()()A A A αλα--∴=， 11()()A A αλαλα--∴== 11
A ααλ
-∴= ∴得征。
第六讲 特征向量的应用
一. n
A α的简单表示 【探究1】
关于x 轴的反射变换σ的坐标公式为：
相应的二阶矩阵为A ＝
矩阵A 的特征值为：
对应于每个特征值的特征向量为：
试研究对特征向量作了n 次变换后的结果：
【定义】 设矩阵A ＝a b c d ?? ???
， α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则n n A αλα= （*
n N ∈） 【探究2】
设探究1中的两个特征向量为1ξ、2ξ，因为这两个向量不共线，所以平面上任意一个向量α可以用1ξ、2ξ为基底表示为： 试研究n
A α的值。 【性质1】
设1λ、2λ是二阶矩阵A 的两个不同特征值，1ξ、2ξ是矩阵A 的分别属于特征值1λ、2λ的特征向量，对于平面
上任意一个非零向量α，设1122t t αξξ=+，则n
A α＝111222n n
t t λξλξ+
【应用】
1. 【P 76 1、2】
2.人口迁移问题课本P 73
【第五讲.作业】
1.求矩阵A ＝00a a ??
???
的特征值及其对应的所有特征向量。 2.①设λ是矩阵A 的一个特征值，求证：2λ是2A 的一个特征值。②若2
A ＝A 。求证A 的特征值为0或1。
3.设ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，求证：ξ是n
A 的属于特征值n
λ的一个特征向量。
【4－2综合·作业】 一、选择题 1.设矩阵A ＝2
190x -??
???，B ＝259
x a b --??
???，若A ＝B ，则x 的值为（ ） A.3 B.9 C.-3 D.±3
2.矩阵0
110-??
???的逆矩阵为 （ ） A. 011
0?? ?-?? B. 1001-?? ??? C. 1001?? ?-?? D. 0110-?? ??? 3.矩阵A ＝1231?? ???，23v -??
= ???
，则Av ＝ （ ）
4.在矩阵2001?? ?-??
对应的线性变换作用下，椭圆22
14x y +=对应的曲线为 （ ）
A.2
2
1x y += B. 22116x y += C. 22
1x y -= D. 22116
x y -= 5.关于矩阵乘法，下列说法正确的是 （ ）
A.不满足交换律，但满足消去律
B. 不满足交换律和消去律
C.满足交换律，但不满足消去律
D. 满足交换律和消去律
6.下列矩阵对应的变换可以把直线1y x =-变为一个点的是 （ ）
A. 1111-?? ?-??
B. 1010?? ?-??
C. 1010?? ???
D. 1000?? ???
7.Ａ是可逆二阶矩阵，且2A A =，则A 的特征值为 （ ）
A.0
B.1
C.－1
D.0或1 8.矩阵Ａ＝3122-??
?-??
对应的变换把矩形12x i x j +（103x ≤≤，201x ≤≤）变为
（ ）
A.正方形
B.平行四边形
C.三角形
D.一般四边形 二、选择题 9.2
a c
b d
＝
10. 1011?? ???1002?? ???1101?? ???0111?? ???
＝
11.设Ａ＝124m ?? ?-??，若存在非零向量ξ使得A ξ＝00??
???
，则ｍ＝
12.坐标平面内某种线性变换将椭圆22
12y x +=的焦点变到直线2y x =上，则该变换对应的矩阵a b c d ?? ???
中的a 、b 、c 、d 应满足关系为
13.已知a 、b 、c 为实数，A 、B 、C 为二阶矩阵，通过类比得出下列结论: ①“若a=b,则ac=bc ”，类比“若A=B,则AC=BC ”；
②“若ac=bc ，且0c ≠，则a=b ”,类比“若AC=BC ，且Ｃ为非零矩阵，则Ａ＝Ｂ”；③“若ab=0,则a=0或b=0”
类比“若AB=0000?? ???,则Ａ＝000
0??
???或Ｂ＝0000?? ???”；④“若20a =，则0a =”类比“若2
A ＝0000?? ???
，则Ａ
＝0000?? ???
”。其中不正确的为
三、解答题
14.①解二元一次方程2312?? ???x y ?? ???＝31??
?-??；②求满足X 2312?? ???＝3211??
?-??
的二阶矩阵X 。
15.设Ａ＝3241??
???
，求Ａ的特征值及所有的特征向量。 16.已知矩阵Ａ＝12532-??
? ???，向量ξ＝416?? ???，求3
A ξ。
17.若ｘ＝cos sin sin cos θθθθ
，求2
()23f x x x =+-的最值。
18.若某种线性变换把向量12α??= ???，32b -??=
?
-??
，分别变为向量'24α-??= ???，'
51b ??= ???，求：①该变换对应的矩阵；②线段21y x =-（－2≤x ≤1）在该变换下所得曲线的方程。
CAABB ABB 9.2ad-2bc 10. 1234??
??? 11.-2 12.d=2b 13.②③④ 14. 95??
?
-??
、4535-?? ?-?? 15. 1,02k k k λ??=-≠ ?-?? 或5,0k k k λ??=≠ ??? 16. 400952?? ??? 17.[]0,4 18. 312451324??-- ?
? ?- ???
、
11717
2()444
y x x =---≤≤
选修4－2矩阵与变换 2.2.4 旋转变换 编写人： 编号：005 学习目标 1、 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。 2、 掌握旋转变换的几何意义及其矩阵表示。 学习过程： 一、预习： （一）阅读教材，解决下列问题： 问题1：P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转 变换作用下的象。其结果为''x x y y ?=-?=-?，也可以表示为''00x x y y x y ?=-+??=?-?，即''x y ??????＝ 1001-????-????????y x ＝x y -????-??怎么算出来的？ 归纳： 问题2：P （x,y ）绕原点逆时针旋转300得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式. 问题3：把问题2中的旋转300改为旋转α角，其结果又如何？ 练习
1、在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是 2、如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 二、课堂训练： 例1．已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图. 例2、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A ′B ′C ′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A ′（0，0）， C ′（-3，1），试求矩阵M 并求B ′的坐标. 练习： 1. 将向量?? ????=12a 绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为=______________. 2. 在某个旋转变换中，顺时针旋转 3 π所对应的变换矩阵为 ＿＿＿＿＿＿． 三、课后巩固： 1. 曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是＿＿＿＿＿，变换对应的矩阵 是＿＿＿＿.
【高中数学】数学《矩阵与变换》高考知识点 一、15 1．已知矩阵2101M ?? =? ??? （1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α??=? ?-?? r ，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α?? =???? u u r （2）91????-?? 【解析】 【分析】 (1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出 方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r 可得333 12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即 可. 【详解】 （1）矩阵M 的特征多项式为2 1 ()0 1 f λλλ--= -(2)(1)λλ=--， 令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2， 当1λ=，时由二元一次方程0 000x y x y --=?? +=? . 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α?-? =? ??? ； 当2λ=时，由二元一次方程00 00 x y x y -=?? +=?. 得0y =，令1x =， 所以特征值2λ=对应的特征向量为210α?? =???? u u r ； （2）1221ααα??==+??-??u u r u u r r Q ， 333 12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210????=+????-????91??=??-?? . 【点睛】 本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.
2020高考矩阵与变换知识点基础与提高（含答案） 主要考查二阶矩阵的基本运算，选修内容考的题目大都不难，同学们注意基本概念。 1求逆矩阵，注意2*2矩阵的乘法。 2利用矩阵求坐标式的方程。 (10上海 4)行列式6πcos 3πsin 6πsin 3π cos 的值是____________． 考点：行列式的运算法则 解析：考查行列式运算法则6πcos 3 πsin 6π sin 3πcos 02πcos 6πsin 3πsin 6πcos 3πcos ==-= 答案：0. (10福建 21)选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝???? ??11b a ，??? ? ??=d c N 02，且???? ??-=0202MN ， (Ⅰ)求实数a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)求直线x y 3=在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程． 考点：矩阵的基本运算和线形变换 解析：(1)?? ????-=??????++=????????????=020*******d b bc ad c d c b a MN ， 对应系数有???????-==-==????????=+-==+=1 212022022a d b c d b bc ad c ； (2)取x y 3=上一点()y x ,，设经过变换后对应点为()','y x ，则??????--=??????1111''y x ?? ????--=??????x y y x y x ，从而''x y =，所以经过变换后的图像方程为x y -=． 注意：本题相对基础，要求同学们对矩阵的基本运算方法，尤其是乘法 (09江苏 21)选修4－2：矩阵与变换 求矩阵?? ????=1223A 的逆矩阵. 考点：逆矩阵的求法，考查运算求解能力
第01课时 矩阵的概念 一、要点讲解 1．矩阵的概念： 2．矩阵的相等： 二、知识梳理 1．在数学中，将形如13?????? ，80908688??????，23324m ????-??这样的__________________称做矩阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ ________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵． 2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵． 3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________． 4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ． 三、例题讲解 例1． 用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)． 例2． 设31,422x y A B z ????==????--???? ，若A = B ，求x ，y ，z ． 例3． 已知n 阶矩阵11221 21247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ????????=???????????? ，其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式． 四、巩固练习 1. 画出矩阵143111-????-?? 所表示的三角形，并求该三角形的面积．
【最新】单元《矩阵与变换》专题解析 一、15 1．已知函数cos 2()sin 2m x f x n x = 的图象过点( 12 π 和点2( ,2)3 π -. （1）求函数()f x 的最大值与最小值； （2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)??π<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数 ()y g x =图象的对称中心. 【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24 k k Z ππ +∈. 【解析】 【分析】 （1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值； （2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在 ()g x 图象上，由此可求得?，结合余弦函数的性质可求得对称中心． 【详解】 （1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =- ，则由条件，得sin cos 66 44sin cos 233m n m n ππππ?-=????-=-?? ， 解得 1.m n = =- 故()2cos22sin(2)6 f x x x x π =+=+ . 故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.- （2）由（1）可知： ()()2sin(22)6 g x f x x π ??=+=++ . 于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件. (0)2sin(2)26g π?∴=+=. 由0?π<<，得.6 π ?= 故()2sin(2)2cos 22 g x x x π =+ =. 由22 x k =+ π π，得().24 k x k Z ππ = +∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24 k k Z ππ +∈. 【点睛】 本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．
矩阵与变换 编写：陈爱兵 审核：黄爱华 1.由曲线22 221x y 变换为曲线221812x y ，变换矩阵为____________； 2.已知矩阵31 cos60 sin 602 2,31sin60 cos60 22A B ，则先A 后B 的变换所对应的矩阵是 ______________； 3.若81 1 10 10 1x ，则12 log x =__________； 4.若点22,A 在矩阵cos sin sin cos αααα 对应的变换作用下得到的点为(1,0)，则α=________； 5.若矩阵 a b A c d 有两个不等的特征值,m n ，则22m n =___________； 6.在密码学中，常用二阶矩阵对信息进行加密。现在我们先将英文字母数字化1,2,,26a b z ，发送方要传递的信息是：come on 。双方约定的矩阵是5 1 7 3， 则发送的密码应该是_______________； 7.已知在矩阵M 的作用下点(1,2)A 变成了点(11,5)A ，点(3,1)B 变成了点(5,1)B ，点(,0)C x 变成了(,2)C y ，求矩阵M 并求,x y 的值。
8.若cos sin (R)sin cos x θθθθθ，试求2()23f x x x 的最值。 9.已知矩阵(), 1,2x A f x B x x C a ，若A BC ，求函数()f x 在1,2上最小值。
10.已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°。 ⑴求矩阵A 及A 的逆矩阵B ； ⑵已知矩阵 3 32 4M ，求M 的特征值和特征向量； ⑶若81α 在矩阵B 的作用下变换为β，求50M β(运算结果用指数式表示)。 11.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵0 10 1N=1 0 1 0M ，-????=? ???????。
第一节 线性变换与二阶矩阵 1．矩阵的相关概念 (1)由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表?????? a b c d 称为二阶矩阵，数a ，b ，c ，d 称为矩 阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A ，B ，C ，…表示． (2)二阶矩阵?? ?? ?? 00 0称为零矩阵，简记为0，矩阵?? ?? ??1 00 1称为二阶单位矩阵，记作E 2. 2．矩阵的乘法 (1)行矩阵[]a 11a 12与列矩阵?? ?? ?? b 11b 21的乘法规则：为[]a 11a 12?? ? ? ?? b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21. (2)二阶矩阵??????a 11 a 12a 21 a 22与列向量??????x 0y 0和乘法规则：??????a 11 a 12a 21 a 22??????x 0y 0＝??????a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
??????a 11 a 12a 21 a 22??????b 11 b 12b 21 b 22＝???? ??a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB )C ＝A (BC )， AB ≠BA ， 由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C . 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 3．线性变换的相关概念 (1)我们把形如???? ? x ′＝ax ＋by y ′＝cx ＋dy (*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐 标变换公式，P ′(x ′，y ′)是P (x ，y )在这个线性变换作用下的像． (2)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P ，都有σ(P )＝ρ(P )，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A ，B ，则A ＝B . 4．几种常见的线性变换 (1)由矩阵M ＝?? ?? ??1 00 1确定的变换T M 称为恒等变换， 这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E .平面是任何一点(向量)或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己． (2)由矩阵M ＝???? ?? a 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换，这时称矩 阵M ＝?? ?? ?? k 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k 伸压变换矩阵． 当M ＝?? ?? ??k 00 1时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩，当k >1时伸长，当 0 矩阵与变换练习二 一．填空题 1．用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组???-=-=+1y 2x 2y 3x 2是_______?? ????-=????????????-122132y x 2. 将变换??????-+=??????''→??????y x y x y x y x 252写成矩阵的乘法形式是_______.?? ??????????-=??????''y x y x 2152 3.对任意的二阶非零矩阵A 、B 、C ，下列命题中:（1）AB=BA ; （2）AB ≠0; （3）若AB=AC ，则B=C;（4）A （BC ）=（AB ）C; （5）A 2≠0; （6）A A AA 11--=，其中真命题的序号 为 （4）（6） 4.已知3π βα=+，M=??????-αα αα cos sin sin cos N=??????-ββββcos sin sin cos ,则 NM=_________?? ??????????-212 3 2321 5.设,,a b R ∈若M=?? ????b a 01把直线l ：2x+y+7=0变换为自身，则a = ，b = 1 ；-1 6. 若??????-=1001A ，则5A =_________?? ????-1001 7.若01010101A B ????=????????，则矩阵A=_________，B=_________。1120,0101A B ????==???????? 二、解答题 8.求关于直线y=3x 的反射变换对应的矩阵A ． 解：在平面上任取一点P （x ，y ），点P 关于y=3x 的对称点P （x ′，y ′） 则有：?????'+?='+-=?'-'-23213x x y y x x y y 解得：?? ???+='+-='y x y y x x 54535354 ????????????????-=??????''y x y x 54535354 A=???? ??????-54535354 9.已知矩阵?? ????-=??????=0110,0110N M .在平面直角坐标系中，设直线210x y -+=在矩 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩 矩阵与变换 主要考查二阶矩阵的基本运算，选修内容考的题目大都不难，同学们注意基本概念。 1求逆矩阵，注意2*2矩阵的乘法。 2利用矩阵求坐标式的方程。 (10上海 4)行列式6πcos 3πsin 6πsin 3π cos 的值是____________． 考点：行列式的运算法则 解析：考查行列式运算法则6πcos 3 πsin 6π sin 3πcos 02πcos 6πsin 3πsin 6πcos 3πcos ==-= 答案：0. (10福建 21)选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝???? ??11b a ，??? ? ??=d c N 02，且???? ??-=0202MN ， (Ⅰ)求实数a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)求直线x y 3=在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程． 考点：矩阵的基本运算和线形变换 解析：(1)?? ????-=??????++=????????????=020*******d b bc ad c d c b a MN ， 对应系数有???????-==-==????????=+-==+=1 2 12022022a d b c d b bc ad c ； (2)取x y 3=上一点()y x ,，设经过变换后对应点为()','y x ，则??????--=??????1111''y x ?? ????--=??????x y y x y x ，从而''x y =，所以经过变换后的图像方程为x y -=． 注意：本题相对基础，要求同学们对矩阵的基本运算方法，尤其是乘法 (09江苏 21)选修4－2：矩阵与变换 求矩阵?? ????=1223A 的逆矩阵. 考点：逆矩阵的求法，考查运算求解能力 解析：设矩阵A 的逆矩阵为??????w z y x 则?? ????=????????????10011223w z y x ， 【高考会这样考】 1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质． 2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题． 【复习指导】 1．认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算． 2．掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去理解和把握矩阵的几种变换． 3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组． 基础梳理 1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵????b 11b 21 的乘法规则： [a 11 a 12]????b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵????a 11a 21 a 12a 22与列向量??? ?x 0y 0的乘法规则： ????a 11a 21 a 12a 22 ????x 0y 0＝??? ?a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ????a 11a 21 a 12a 22 ??? ?b 11b 21 b 12b 22＝ ????a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB )C ＝ 《选修4 - 2：矩阵与变换》高考题（2014-2008） 1、（2014年江苏）已知矩阵1211,121A B x -????==????-????，向量2a y ??=???? v ，,x y 是实数，若Aa Ba =v v ，求,x y 的值。 2、（2013年江苏）已知矩阵1012,0206A B -????==???????? ，求矩阵B A 1-。 3、（2012年江苏）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-??-??=????-???? A ，求矩阵A 的特征值． 4、（2011年江苏）已知矩阵1121A ??=????，向量12β??=???? ，求向量α，使得2A αβ=． 5、（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-2,0),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ， M=??????100k ,N=??????0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点1A 、1B 、1C ，111C B A ?的面积是ABC ?面积的2倍，求实数k 的值 6、（2009年江苏）求矩阵3221A ??=???? 的逆矩阵. 7、（2008年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵????2 00 1对应的变 换作用下得到曲线F ，求F 的方程． 《选修4 - 2：矩阵与变换》高考题（2014-2008）解答 （2013年江苏）已知矩阵1012,0206A B -????==? ???????，求矩阵B A 1-。 解：设矩阵A 的逆矩阵为??????d c b a K K ,则?? ????-2001K K ??????d c b a K K =??????1001K K ，即??????--d c b a 22K K =??????1001K K ， 故a=-1，b=0，c=0，d=21∴矩阵A 的逆矩阵为??????? ??-=-210011ΛK A , ∴B A 1-=???? ?????-21001ΛK ??????6021K K =????? ???--3021ΛK （2012年江苏）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-??-??=????-???? A ，求矩阵A 的特征值． 解析： （2011年江苏）已知矩阵1121A ??=????，向量12β??=???? ，求向量α，使得2A αβ=． 解析： 设x y α??=??，由2 A αβ=得： 321432x y ??????=????????????，32111,43222x y x x y y α+==--????∴∴∴=????+==???? （2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ， 矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ??? ? x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称 为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表???? ? ?a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ， d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]???? ??b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵??????a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝??????ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ? ?1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝???? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ??k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1 倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝??????1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ? ?1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ??1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ??x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λMα，②M (α＋β)＝Mα＋Mβ. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)． 2.1.1 矩阵的概念 1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵; 2.矩阵的表示； 3.相等的矩阵; 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法. 2.1 2.1 二阶矩阵与平面向量 二阶矩阵与平面向量 1,3形如??????8090,6085??????23324m ???????的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体的拉丁字母A 、B 、C …表示，或者用(a ij )表示，其中i,j i,j 分别表示元素a ij ij 所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。 13?????? 80906085??????23324m ???????21矩阵×22×矩阵23矩阵×0所有元素均为的矩阵叫做0矩阵. ,. 对于两个矩阵、的行数与列数分别相等，且对应位置上的元素也分别相和时，记等才相等作A B B A A B = [][][]111112211111121111122121,规定： 行矩阵与列矩阵的乘法法则为 ＝b a a b b a a a b a b b ?????? ??×+×???? 01112212200110120111221220210220.x a a b b y x a x a y a a b b y b x b y ???????????? ×+×????????????×+×?????? 二阶矩阵与列向量的乘法规则为＝ 第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ①OP → = →的坐标排成一列，并简记为??????2 3 ???? ?? 2 3 ③ 概念一： 象??????2 3 80908688?? ???? 23324m ????-?? 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行） ④列矩阵：???? ?? a 11 a 21 （仅有一列） ⑤向量a → ＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ?? ???? ，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ?????? 的形式。 练习1： 1.已知??????-=243x A ,?? ? ???-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++?? =??--?? ，若A=B ，求x,y,m,n 的值。 概念二： 由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ?? ? ???称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000?? ???? ，记为0。 — 2 — 3 — ???? ??80 90 86 88 231,3242x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-?? 【高中数学】高中数学《矩阵与变换》期末考知识点 一、15 1．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ?=? ? ??? ，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11??????，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A . 【答案】2314A ?? =???? 【解析】 【分析】 根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】 由题意可知，1155115a b c d ????????==? ???????????????，且2112a b c d --?????? =???? ???????? ， 所以552122a b c d a b c d +=??+=??-+=-??-+=?，解得2 314 a b c d =??=??=??=?， 即矩阵2314A ??=????. 【点睛】 此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解. 2．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4424ax y z x by z x by z ++=?? ++=??++=? 有唯一解. 【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】 计算对应行列式为()11 1 110121 a D b b a b ==-≠，计算得到答案. 【详解】 4 424ax y z x by z x by z ++=?? ++=??++=? 有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠ 所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】 本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力. 3．解方程组32 321 x my m mx y m +=+?? +=-?. 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】 求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】 由题意可得()()2 933D m m m =-=--+， ()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---. ①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()213 13x y m D x D m D m y D m ?+==??+?-?==?+? ； ②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=??+=? +=? ，令()x t t R =∈，得533t y -=， 此时，该方程组的解有无数多个，为, ()533x t t R t y =?? ∈-?=?? ； ③当3m =-时，该方程组为331 337x y x y -=-??-+=-? 17?-=，所以该方程组无解. 【点睛】 本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题. 4．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360 260x y kx k y +=??++=? 的解满足0x y >>，求实数k 的取值范围. 【答案】5,42?? ??? 【解析】 §3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ?? ? ?? ? ?+++=+++=+++=. , , 22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ??? ??? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ?? ?+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是 几何变换课堂练习题 1. 试写出二维图形几何变换矩阵，并从变换功能上将其分块。 答：二维图形几何变换矩阵可用下式表示： T2D= 从变换功能上可把T分为四个子矩阵，其中是对图形进行缩放、旋转、对 称、错切等变换；[c f ]是对图形进行平移变换；对图形作投影变换；[ i ]是对整体图形作伸缩变换。 2.试写出三维图形几何变换矩阵，并从变换功能上将其分块。 答：三维图形的几何变换矩阵可用T3D表示，其表示式如下： 从变换功能上T3D可分为4个子矩阵，其中：产生比例、旋转、 错切等几何变换；产生平移变换；产生投影变换；[a44] 产生整体比例变换。 1. 已知三角形ABC 各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线Y=4做对称变换后到达A ’、B ’、C ’。 试计算A ’、B ’、C ’的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵） 解： （1）将坐标系平移至P 1 (0，4)点 ???? ??????-=140010001A T （2） 以Y 轴对称 ???? ??????-=100010001B T （3）将坐标系平移回原处 ???? ??????=140010001C T （4） 变换矩阵：T=T A*T B*T C= ??????????-180010001 （5） 求变换后的三角形ABC 各顶点的坐标A ’、B ’、C ’ A ’: [][][][]1611800100011211211''=???? ??????-?=?=T Y X A A X A '=1， Y A '=6 B ’: [][][][]165180010001125125 1'=??????????-?=?=T Y X B B X B '=5， Y B '=6 C ’: [][][][]1331800100011531531''=???? ??????-?=?=T Y X C C X A '=3， Y A '=3 矩阵与变换教学指导 在全省高中数学选修模块教学研讨会上对选修系列4教学指导研讨的发言 吴公强 按照我省及宁夏回族自治区高中数学选修４专题系列选课方案，及０７年高考说明的要求，我省统一选学４－１几何证明选讲 ４－２矩阵与变换 ４－４坐标系与参数方程 ４－５不等式选讲 四门课程，以下我代表中心组就这四门课程的定位、教学目标、教学法及复习迎考建议，借这个机会分专题同同志们一起进行研讨． 关于选修4-２专题：矩阵与变换的教学研究 一、课标内容与要求 矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。 本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。 1. 引入二阶矩阵 2. 二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换 （1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。 （2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即证明 ()A A A λαλβλαλβ 1212+=+ （3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。 3. 变换的复合——二阶方阵的乘法 （1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。 （2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。 （3）验证二阶方阵乘法满足结合律。 （4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。 4. 逆矩阵与二阶行列式 （1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。 （2）会证明逆矩阵的唯一性和() AB B A ---=1 1 1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。 （3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。 5. 二阶矩阵与二元一次方程组 （1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。 （2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。 （3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。 6. 变换的不变量 （1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。 （2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。 7. 矩阵的应用 （1）利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α简单的表示，并能用它来解决问题。矩阵与变换练习二(含答案)
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