导数典型例题
导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.
一、与导数概念有关的问题
【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x
f x f x ?-?+→?)
0()0(lim
=
x
x x x x ?--?-?-??→?0
)100()2)(1(lim 0
=lim 0
→?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.
解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.
点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.
【例2】 已知函数f (x )=n
n n k k n
n n n
x c n
x c k x c x c c 11212210
++++++ ，n ∈N *，则 ，
x
x f x f x ??--?+→?)
2()22(lim 0
= .
解 ∵
x
x f x f x ??--?+→?)
2()22(lim 0
=2x
f x f x ?-?+→?2)
2()22(lim
+
[]x
f x f x ?--?-+→?-)
2()(2lim 0
=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，
又∵f ＇(x )=1
1
2
1
--+++++n n n k k
n n n x c x c x c c ，
∴f ＇(2)=
21（2n
n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 2
1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如
x
m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000
lim ，且其定义形式可以是
x
m x f x m x f x ?--?-→?)
()(000
lim ，也可以是
00
)()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关
知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.
【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .
解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2
'=2πR ·t R '=4πR ，
∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.
…
点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题
易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.
二、与曲线的切线有关的问题
【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是
A.??????4π,
0∪??????π,4π3 B. []π,0 C.??
?
??
?4π
3,4π D. ??????4π,0∪??
?
???4
π
3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[
)π,0，∴α∈??????4π,0∪??
????π,4π3. 故选A.
点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.
【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.
解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ，
:
∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3-am 2+1=0.(*)
设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实
数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.
由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3
a
， ∴a ≠0，f (0)·f (
3a )=0，即a ≠0，-27
1a 3+1=0，∴a =3.
点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.
三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题
【例6】以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是
，
A.①、②
B.①、③
C.③、④
D.①、④
解由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.
点评f＇(x)>0（或<0）只是函数f＇(x)在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f＇(x)在(a，b)上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f＇(x)≥0(或≤0)且f＇(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.
【例7】函数y=f(x)定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f(x)在区间（-3，7）上极小值的个数是个.
:
解如图，A、O、B、C、E这5个点是函数的极值点，
观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O点、C点
是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y=f(x)的极小值个
数是2个.
点评导数f＇(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值点，
如使f＇(x)=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.
【例8】设函数f(x)与数列{a n}满足关系：①a1>α，其中α是方程f(x)=x的实数根；②a n+1=f(a n)，n∈N*；③f(x)的导数f＇(x)∈（0，1）.
（1）证明：a n>α，n∈N*；
（2）判断a n与a n+1的大小，并证明你的结论.
（1）证明：（数学归纳法）
当n=1时，由题意知a1>α，∴原式成立.
假设当n=k时，a k>α，成立.
∵f ＇(x )>0，∴f (x )是单调递增函数.
∴a k+1= f (a k )> f (α)=α，（∵α是方程f (x )= x 的实数根）
!
即当n =k +1时，原式成立.
故对于任意自然数N *，原式均成立.
（2）解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在[
)+∞,α上是单调递增函数.
而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.
点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归
纳法，令人耳目一新.
四、与不等式有关的问题
【例9】 设x ≥0，比较A =xe -x ，B =lg(1+x )，C =
x
x +1的大小.
!
解 令f (x )=C -B=
x
x +1-lg(1+x )，则f ＇(x )=
x
x x ++-+1)1(2)11(2>0，
∴f (x )为[
)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B .
令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x ，则当x ≥0时，g ＇(x )=x
x e x +---1)
1(12
≥0，
∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .
因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.
点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，则只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.
五、与实际应用问题有关的问题
【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2
a
x =
时，y =a 3.并且技术改造投入比率：
)
(2x a x
-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.
（1）求y =f (x )的解析式及定义域；
（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值.
/
解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x )x 2，
∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2
a
·42a ，∴k =8，则f (x )=8-(a -x )x 2.
∵0<)(2x a x -≤t ，解得0 22+t at . （2）∵f ＇(x )= -24x 2+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），3 2a x = ， 当0 ∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=3 27 32a ； 当122+t at <32a 时，即0 2 3)12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入 32a 万元，最大增加值是32732a ，当0 22+t at 万元，最大增加值是3 2 3) 12(32+t t a . 点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值. 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 导数典型例题 数作 考 内容的考 力度逐年增大 .考点涉及到了 数的所有内容，如 数的定 ， 数的几何意 、物理意 ，用 数研究函数的 性，求函数的最（极） 等等，考 的 型有客 （ 、填空 ） 、主 （解答 ） 、考 的形式具有 合性和多 性的特 点 .并且， 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点 . 一、与导数概念有关的问题 【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)? (x-100) 在 x=0 的 数 .100 2 C ！ f ( 0 x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 ) 解法一 f ＇ (0)= lim x = lim x x 0 x 0 = lim ( x-1)( x-2)? ( x-100)= （ -1 ）（ -2）?（ -100 ） =100 ！ ∴ D. x 0 解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100 +? + a 1x+a 0， f ＇(0)= a 1，而 a 1 =（ -1）（ -2 ）?（ -100 ） =100 ！ . ∴ D. 点 解法一是 用 数的定 直接求解，函数在某点的 数就是函数在 点平均 化 率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 . 【例 2】 已知函数 f (x)= c n 0 c 1 n x 1 c n 2 x 2 1 c n k x k 1 c n n x n ， n ∈ N * ， 2 k n f ( 2 2 x ) f ( 2x) lim x = . x 0 f (2 2 x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f (2) 解 ∵ lim x =2 lim 2 x + x x 0 f 2 ( x) f ( 2) lim x =2f ＇ (2)+ f ＇(2)=3 f ＇ (2)， x 0 又∵ f ＇(x)= c n 1 c n 2 x c n k x k 1 c n n x n 1 ， ∴ f ＇(2)= 1 （ 2 c n 1 22 c n 2 2k c n k 2 n c n n ） = 1 [(1+2) n -1]= 1 ( 3 n -1). 2 2 2 点 数定 中的“增量 x ”有多种形式，可以 正也可以 ，如 f ( x 0 m x) f ( x 0 ) ， 且 其 定形 式 可 以 是 lim f ( x 0 m x) f ( x 0 ) lim m x m x ， 也 可 以 是 x 0 x 0 f (x) f (x 0 ) （令 x=x-x 得到），本 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关 lim x x x 0 知 的 合 ， 接交 、自然，背景新 . 【例 3】 如 的半径以 2 cm/s 的等速度增加， 半径 R=10 cm ， 面 增加的速 度是 . 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力． 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 经典例题导讲 [例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='. [例2]已知函数???????>+≤+=)1)(1(2 1)1)(1(2 1)(2 x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？ 错解：1)1(,1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim 2 2 ='∴=?+- +?+→?f x x x 。 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： 1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim lim 2 2 =?+- +?+=??- - →?→?x x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导. 注：+→?0x ，指x ?逐渐减小趋近于0；-→?0x ，指x ?逐渐增大趋近于0。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 ，△x →0，包括△x →0＋，与△x →0－ ，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。 错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解：4.4,3212= ' ∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ． 高中导数经典知识点及 例题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函数 y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2－0 ＝2π. 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函 数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2 －0＝2 π . 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. 典例剖析 题型一求函数的平均变化率 例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度． 分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1) －S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔS Δt 就可以得到平均速度． 解(1)由于v＝S t ＝ 3t－t2 t ＝3－t. ∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1 ∴v＝ΔS Δt ＝ 2 1 ＝2. ∴从t＝0到t＝1的平均速度为2. 误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零. 变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点 (－1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx ＝( ) A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx. ∴Δy Δx ＝ －Δx2＋3Δx Δx ＝－Δx＋3 答案D 题型二平均变化率的快慢比较 例2 求正弦函数y＝sin x在0到π 6 之间及 π 3 到 π 2 之间的平均变化率．并比 较大小． 分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小． 解设y＝sin x在0到π 6 之间的变化率为k1，则 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小. 题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律2 23s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1 y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4（1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321 ()53f x x x =-+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标. 培优导数专题 1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）= .cos 2sin x x + （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分） 已知.)2()(,02 x e ax x x f a -=≥函数 （Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围. 3、已知函数2 1()ln (1)(0).2 f x x ax a x a R a =-+-∈≠且 （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点． 如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①12 02 x x x += ；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由． 4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。如果函数 2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2 f -<-。 （1）试求函数()f x 的单调区间； （2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1 ( 4=n n a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-； （3）设1 n n b a =- ，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。 5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2＋bln （x ＋1）, （1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式3331 1 ......31211)1(n k f n k ++++∑ = 都成立； 6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x ∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间； （2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(2 1 *+∈+>?N n e n F F F n n 资料一 ：导数.知识点 1．导数的概念 例1．已知曲线y P (0, 0)，求过点P 的 切线方程· 解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线 PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程· 解析：∵ y =x 2, ∴ ?y =(x 0＋?x )2－x 02＝2x 0?x ＋(?x )2 =4?x ＋(?x )2 ∴ k ＝0 lim lim (4)4x x y x x ?→?→?=+?=?. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0. 例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋?t ]内相应的平均速度． 解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ?S =1+(t +?t )+(t +?t )2－(1+t +t 2)=2t ·?t +?t +(?t )2 , ∴ 21S t t t ?=++??, 即()21v t t t =++?, ∴ (5)11v t =?+, 即在[5，5＋?t ]的一段时间内平均速度为(?t ＋11)米／秒 ∴ v (t )=S ’＝0 lim lim (21)21t t S t t t t ?→?→?=++?=+? 即v (5)＝2×5＋1＝11. ∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y 在x =1处的导数。 解析：?y 1-= , ∴ y x ?? ∴ 0 lim x y x ?→?? =0 1 lim 2 x ?→=- . 例5．已知函数 f (x )=2 1sin 000 x x x x ?≠???=? , 求函数f (x )在点x ＝0处的导数 解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，?y =f (0+?x )－f (0)=2 1()sin x x ??, y x ??=1sin x x ???, 0 lim x y x ?→??=0 1lim sin x x x ?→???=0, 即 f ’(0)＝0. ∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为 0. 导数典型例题 高中数学导数的定义,公式及应用总结 导数的定义: 当自变量的增量Δx＝x－x0，Δx→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率). 函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f（x0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值 求导数的步骤: 求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： ①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ②求平均变化率③取极限，得导数。 导数公式： ① C'=0(C为常数函数)；② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数③ (sinx)' = cosx；(cosx)' = - sinx；(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 ⑤ (e^x)' = e^x；(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）(logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 导数的应用: 1．函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)＞０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)＜０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数．注意：在某个区间内，f'(x)＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。(2)求函数单调区间的步骤（不要按图索骥缘木求鱼这样创新何言？1.定义最基础求法2.复合函数单调性) ①确定f(x)的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值. 3．求函数极值的步骤 三、经典例题导讲 ［例１]已知2) 2 cos 1(x y+ =,则='y． 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了，导致错解为： ) 2 cos 1( 2 sin 2x x y+ - ='. 正解：设2 u y=,x u2 cos 1+ =，则) 2( ) 2 sin ( 2 ) 2 cos 1( 2' ? - ? =' + = ' ' = 'x x u x u u y y x u x ) 2 cos 1( 2 sin 4 2 ) 2 sin ( 2x x x u+ - = ? - ? =∴) 2 cos 1( 2 sin 4x x y+ - ='. [例2]已知函数 ? ? ? ?? ? ? > + ≤ + = )1 )(1 ( 2 1 )1 )(1 ( 2 1 ) ( 2 x x x x x f判断f(x)在ｘ=1处是否可导? 错解:1 )1( ,1 )1 1( 2 1 ]1 ) 1 [( 2 1 lim 2 2 = ' ∴ = ? + - + ? + → ? f x x x 。 分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导． 解:1 )1 1( 2 1 ]1 ) 1 [( 2 1 lim lim 2 2 = ? + - + ? + = ? ? - -→ ? → ?x x x y x x ∴f(x)在ｘ=1处不可导. 注:+ → ?0 x，指x?逐渐减小趋近于0;- → ?0 x,指x?逐渐增大趋近于０。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 x x f x x f x? - ? + → ? ) ( ) ( lim0 ,△x→0,包括△x→０+,与△x→0-，因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数. [例３］求3 22+ =x y在点)5,1(P和)9,2( Q处的切线方程。 错因:直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。 分析:点P在函数的曲线上,因此过点P的切线的斜率就是y'在1 = x处的函数值； 点Q不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:4 . 4 ,3 2 1 2= ' ∴ =' ∴ + ==x y x y x y 即过点P的切线的斜率为４，故切线为:1 4+ =x y． 设过点Q的切线的切点为) , ( y x T，则切线的斜率为0 4x，又 2 9 - - = x y k PQ, 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?)0()0(lim 0= x x x x x ?--?-?-??→?0)100()2)(1(lim 0 =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210++++++ ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?)2()22(lim 0= . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?)2()22(lim 0=2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim 0 + []x f x f x ?--?-+→?-)2()(2lim 0=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000lim ，且其定义形式可以是x m x f x m x f x ?--?-→?)()(000lim ，也可以是 高中数学典型例题大全第三章导数符合函数的导 数 例 求函数?????=≠=0 ,00,1sin )(2x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，因此应当用导数定义求)0(f '，当0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1sin 2，能够按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1sin lim )0()(lim )0(0200===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当0 ≠x 时，x x x x x x x x x x x x x x x f 1cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 讲明：假如一个函数)(x g 在点0x 连续，那么有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但假如我们不能确信)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为)(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出以下函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是差不多函数的结构，解决这类咨询题的关键是正确分析函数的复合层次，一样是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成假设干个常见的差不多函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分不是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 讲明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量差不多上差不多函数的结构 导数典型例题讲解 Prepared on 22 November 2020 资料一 ：导数.知识点 1．导数的概念 例1．已知曲线y =3x 上的一点P (0, 0)，求过点P 的切线方程· 解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程· 解析：∵ y =x 2, ∴ ?y =(x 0＋?x )2－x 02＝2x 0?x ＋(?x )2 =4?x ＋(?x )2 ∴ k ＝00 lim lim(4)4x x y x x ?→?→?=+?=?. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0. 例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋?t ]内相应的平均速度． 解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ?S =1+(t +?t )+(t +?t )2－(1+t +t 2)=2t ·?t +?t +(?t )2, ∴ 21S t t t ?=++??, 即()21v t t t =++?, ∴ (5)11v t =?+, 即在[5，5＋?t ]的一段时间内平均速度为(?t ＋11)米／秒 ∴ v (t )=S ’＝00 lim lim(21)21t t S t t t t ?→?→?=++?=+? 即v (5)＝2×5＋1＝11. ∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y = x 在x =1处的导数。导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
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