实际问题与一元二次方程-(含答案)
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实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：
1. 列一元二次方程解决实际问题。一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.
2. 一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）
的两个根是1x 和2x ，那么a
c x x a b x x =?,=+2121-．
知识链接
点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤
应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：
(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.
(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接). (3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程. (4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.
(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.
(6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.
总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.
针对练习1: 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ）
A ．300(1＋x )=363
B ．300(1＋x )2=363
C ．300(1＋2x )=363
D ．363(1－x )2=300
点击二：一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，那么a
c x x a b x x =?,=+2121-． 针对练习2: 先阅读，再填空解题：
(1)方程：x 2－x －2=0 的根是：x 1=－3, x 2=4，则x 1+x 2=1，x 1·x 2=12； (2)方程2x 2－7x+3=0的根是：x 1=
12, x 2=3，则x 1+x 2=72，x 1·x 2=3
2
； (3)方程x 2－3x+1=0的根是：x 1= , x 2= . 则x 1+x 2= ，x 1·x 2= ； 根据以上（1)(2)(3）你能否猜出：
如果关于x 的一元二次方程mx 2
+nx+p=0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2、x 1、x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.
. 典例精析
类型之一：建立一元二次方程模型解应用题
例1甲、乙两人分别骑车从A 、B 两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C 地到达A 地的途中因故停了20分钟，结果乙由C 地到达A 地时比甲由C 地到达B 地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.
例2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
类型之二：一元二次方程的根的判别式的应用 例3阅读材料：
如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c
x x x x a a
+=-=. 这是
一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如12,x x 是方程
2630x x +-=的两根，求22
12
x x +的值.解法可以这样：126,x x +=-Q 123,x x =-则 222
212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--?-=.
请你根据以上解法解答下题：
已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根， 求：（1）12
11
x x +的值； （2）212()x x -的值.
类型之三：综合应用
例4. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y 与x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x 取何值时，商场获利润不少于2160元？
达标练习：
1.如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍,那么这个数是( )
A.偶数
B.奇数
C.偶数或奇数
D.不一定是整数
2. 在一幅长80 cm,宽50 cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm 2,设金色纸边的宽为x cm,那么x 满足的方程是( )
A.x 2+130x －1 400=0
B.x 2+65x －350=0
C.x 2
－130x －1 400=0 D.x 2
－65x －350=0
3. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．
4. 若αβ，是方程2220050x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值为（ ） A ．2005
B ．2003
C ．－2005
D ．4010
随堂检测：
1. 从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2
，则原来铁片的面积是( )
A.64 cm 2
B.100 cm 2
C.121 cm 2
D.144 cm 2 2. 如图，某工厂直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问AB 为多长时，所围成的矩形面积是450平方米？
3. 某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是100元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率是( )
A.8.5%
B.9%
C.9.5%
D.10%
4. 某厂制造某种商品，原来每件产品的成本是100元，由于不断改进设备，提高生产技术，连续两次降低成本，两次降价后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是( )
A.8.5%
B.9%
C.9.5%
D.10%
5. 已知1x 、2x 是方程,032=--x x 的两个根，那么2
22
1x x +的值是（ ） A.1 B.5 C.7 D. 4
49
6. 某两位数的十位数字是方程x 2－8x=0的解，则其十位数是___________.
7. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
备选题目：
1.某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.
2.已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.
(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.
3. 有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺; 把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺; 把竹竿斜放, 竹竿长正好和门的对角线等长. 问竹竿长几尺?
课时作业：
A等级
1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为（）
A、10%
B、20%
C、120%
D、180%
2、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均
每月增长率为x,则由题意列方程应为 ( )
A 、200(1+x)2=1000
B 、200+200×2x=1000
C 、200+200×3x=1000
D 、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
3、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的2
1
．则新品种花生亩产量的增长率为 （ ）
A 、20％
B 、30%
C 、50%
D 、120%
4、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( ) A 、±15 B 、15 C 、－15 D 、11
5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是 。
6、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是 。
7、高温煅烧石灰石(CaCO 3)可以制取生石灰(CaO) 和二氧化碳(CO 2).如果不考虑杂质及损耗,生产石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨,那么生产石灰224万吨,需要石灰石 万吨。
8、解方程2
2(1)
1
x
x +++2
6(1)
1
x x ++=7时，利用换元法将原方程化为6y 2—7y+2=0，则应设y=_____。 9、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x ，根据题意列出的方程是___________。
10、一条长64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于160cm 2，则这两个正方形的边长分别为 。
B 等级
11.如果12x x ，是一元二次方程2620x x --=的两个实数根，那么12x x +的值是（ ） A ．6-
B ．2-
C ．6
D ．2
12.已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2 + 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ）
A ．没有实数根
B ．可能有且只有一个实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．有两个不相等的实数根
13.若x ＝1是一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0的一个解，则c 2＝ ． 14.一元二次方程2x 2x 1=0--的根为 。
15.已知x=1是关于x 的一元二次方程2x 2
+kx －1=0的一个根，则实数k 的值是 . 16.关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ． 17.解方程：0132=++x x 18. 解方程：22
2(1)1
60x x x x
+++-=．
19.阅读材料：如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有
1212,b c
x x x x a a
+=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，
例12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求22
12x x +的值.解法可以这样：
126,x x +=-Q 123,x x =-则222
212
112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--?-=. 请你根据以上解法解答下题：
已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求： （1）12
11
x x +的值； （2）212()x x -的值.
20.如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边． 如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方分米．求花边的宽．
C 等级
21.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2
？
22.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O 处．甲沿着喀什路以4m/s 的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s 的速度由南向北走．当乙走到O 点以北50m 处时，甲恰好到点O 处．若两人继续向前行走，求两个人相距
85m 时各自的位置．
23.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？ 24.若x 1、x 2是一元二次方程3x 2+x －1=0的两个根,则
11x +2
1x 的值是( ) A.2 B.1 C.－1 D.3
25.三角形两边长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x2－16x+60=0的一个实数根,则该三角形的面积是( )
A.24
B.24或85
C.48
D.85
26.如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段长为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．
27.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
28.如图，在Rt△ABC中，∠B=900，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米／秒的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，几秒钟后，P，Q间距离等于42厘米．
29、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2。
求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。
30、在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是－9和－1.你能找出正确的原方程吗?若能,请你用配方法求出这个方程的根.
答案：
课时作业：
1.B
2.D
3.A
4.A
5、20%；
6、10%；
7、400；
8、
9、
10、12cm、4cm；
11.【解析】C 本题考察了一元二次方程的根与系数的关系。12x x +=－（6-）=6
【评注】对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，满足b 2－4ac ≥0时， x 1+x 2=－
a b ,x 1x 2=a c . 12.【解析】A 本题考查了一元二次方程的根的情况.()()2
224c a b -+ ()4a b c =++()c a b --，由于a 、b 、c 分别是三角形的三边，根据三边的关系可得
()
()2
2
24c a b -+<0，所以方程没有实数根.
【评注】判断一元二次方程ax 2+bx+c=0是否有根，就是判定b 2－4ac 与0的大小关系.如
果b 2－4ac ＞0，则方程有两个不等的实数根；b 2－4ac=0，则方程有两个相等的实数根；b 2－4ac ＜0，方程无实数根。
13.【解析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义。把x ＝1代入一元二次方程x 2
＋x ＋c ＝0，得到1+1＋c ＝0，所以c ＝－2.
【答案】－2
【评注】能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根.所以将已知的方程的根代入原方程是成立的.
14.【解析】本题主要考查了应用一元二次方程求根公式求出根.根据求根公式
x=242b b ac -±-=2442±+=2222
±=12±.所以112x =+，212x =-.
【答案】112x =+，212x =-
【评注】用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式：ax 2
+bx+c=0(a ≠0);（2）确定a 、b 、c 的值；（3）求b 2
－4ac 的值；（4）当b 2
－4ac ≥0时，则将a 、b 、c 及b 2
－4ac 的值代入求根公式求出方程的根，若b 2
－4ac ＜0，则方程无实数根.
15.【解析】把x=1代入2x 2+kx －1=0的一个根，∴2×12+k －1=0,∴k=－1. 【答案】－1
【评注】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，所以将方程的根代入方程的左右两边就可以使方程成立.如果已知方程的根，求方程中的其它字母，可以直接将这个根代入方程，这样即可求出字母系数.
16.【解析】本题考查一元二次方程根的判别式的运用.如果220x x m -+=有两个实数根，则（－2）2－4m ≥0,所以1m ≤.
【答案】1m ≤
【评注】当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b 2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根.本题中方程有两个实数根，可能相等，可能不相等，所以b 2－4ac ≥0.
17.【解析】本题考察了一元二次方程及其解法，本题可使用公式法或配方法两种方法解得结果。
【解答】23341121x -±-??=?35
2
-±=．
所以原方程的解为：135
2
x -+=
，2352x --=．
【评注】用公式法求解时，化成一般形式是前提，确定各项系数是基础，计算ac b 42-的值和代入公式是关键。
18.【解析】本题考查分式方程的解法，本题运用的是换元法，这是一种重要的数学思想方法.
【解答】设
y x x =+1则原方程可化为2y 2+y －6,解得2
3
1=y ，y 2=－2, 即21-=+x x ，231=+x x ，解得12x =，213
x =-．
经检验，12x =，21
3
x =-是原方程的根．
【评注】分式方程往往是通过转化为整式方程来求解的，在解方程之后要注意检验分式方程.
19.【解析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系及乘法公式的变形应用.从方程可得出12124,2x x x x +==Q ,想办法把要求的式子12
11
x x +与212()x x -化成用1212,x x x x +表示形式,再整体代入即可
【解答】12124,2x x x x +==Q （1）
12121211422
x x x x x x ++=== （2）222
121212()()44428x x x x x x -=+-=-?=
【评注】对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，满足b 2－4ac ≥0时，由求根公式知
x 1=a ac b b 242-+-,x 2=a ac b b 242---,∴x 1+x 2=－a b ,x 1x 2=a c ，即两根之和为－a
b ，两根之积为
a
c
.运用此结论解某些有关的题时较为简便. 20.【解析】本题考查的是一元二次方程应用问题。根据矩形面积公式很容易列出方程，解后应注意验根是否符合问题实际。
【解答】设花边的宽为x 分米， 根据题意，得40)32)(62(=++x x ． 解得1211
14
x x ==-，． x=11
4
-
不合题意，舍去． 答：花边的宽为1米．
【评注】本题比较直观的表示出了矩形的面积，在列等量关系的时候要注意四周花边的宽度相同，从而得到了整个图形的长和宽.
21.【解析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题。关键是用设出的未知数表示蔬菜种植区域的长和宽，再根据面积为288，列方程，解出未知数的值，注意要舍去不符合实际的解。
【解答】解法一：设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m ．根据题意，得
(2)(24)288x x --=g ．
解这个方程，得
110x =-（不合题意，舍去），214x =． 所以14x =，221428x =?=．
答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m 2
． 解法二：设矩形温室的长为m x ，则宽为1
m 2x ．根据题意，得12(4)2882x x ??--= ???
g ．
解这个方程，得
120x =-（不合题意，舍去），228x =． 所以28x =，
11
281422
x =?=． 答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m 2
．
【评注】有些实际问题是关于图形面积的问题，解决这些问题的时候，要根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
22.【解析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题。本题既可以直接设也可以间接设，如果间接设，可以设经过x 秒时两人相距85m ，然后求出时间即可求出最后的位置.
【解答】解法1：设经过x 秒时两人相距85m 根据题意得：222(4)(503)85x x ++= 化简得：2121890x x +-=
解得：12921x x ==-，（不符合实际情况，舍去） 当9x =时，43650377x x =+=，
∴当两人相距85m 时，甲在O 点以东36m 处，乙在O 点以北77m 处． 解法2：设甲与O 处的距离为x m 时，两人相距85m 则乙与O 处的距离为350m 4x ??
+
???
2
22350854x x ??
++= ???
解得：123684x x ==-，（不符合实际情况，舍去 ） 当3
3650774
x x =+=，
答：当两人相距85米时，甲在O 点以东36米处，乙在O 点以北77米处．
【评注】动态几何问题是数形结合思想的体现， 其实质是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要理解几何图形的运动意义或规则；第二是恰当设未知数，建立等量关系，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定未知数的取值范围。
23.【解析】本题主要考查一元二次方程的应用.利用“增长量=基数×增长率，增长后的总量=基数×（1+增长率）”计算。.
【解答】（1）设每年盈利的年增长率为x ， 根据题意得21500(1)2160x +=
解得120.2 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）
1500(1)1500(10.2)1800x ∴+=+=
答：2006年该公司盈利1800万元． （2） 2160(10.2)2592+=
答：预计2008年该公司盈利2592万元．
【评注】随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈．因此，“利润问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷，让同学们真正体会到数学的宝贵价值．
24.【解析】B 本题可以先解方程,然后代入,但此法比较复杂.简捷的方法是通过前面的总结得出x 1+x 2=－
a b ,x 1x 2=a
c
,这样容易得到原式为1. 25.【解析】B 解方程,得x 1=10,x 2=6.根据三角形的三边关系,知x 1=10,x 2=6均合题意,当三角形的三边分别为6、8、10时,构成的是直角三角形,面积为
2
1
×6×8=24；当三边分别为6、6、8时,构成的是等腰三角形,根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理,求得底边上的高为25,所以面积为
2
1
×8×25=85. 26.【解析】根据长方形面积公式，运用长×宽=25列出方程，即可求得答案．在方程中墙壁的长度30m 没有直接用到，但在检验结果的时候，要注意矩形的平行于墙壁的一边长不能超过30m ，否则，这堵墙就没有作为养鸡场的利用价值。
【解答】设矩形与墙平行的一边长为xm ，则矩形的另一条边长为35-x
2m ．根据题意，得
x ·35-x
2=125
整理，得x 2
35x+250=O ． 解这个方程，得x 1=10，x 2=25 当x=10时，35-x
2=12.5
当x=25时，35-x
2
=5．均合题意
答：矩形空地的长和宽分别是12.5m 和10m 或25m 和5m ．17.【解析】设平均每月的增长率为x ，则2月份的产量是()5000500050001x x +=+(吨)，3月份的产量是
()()()2
500015000150001x x x x +++=+????(吨)．
27.【解答】设平均每月的增长率为x ，据题意得:
()2
500017200x +=．
化简得()2
1 1.44x +=， 于是1 1.2x +=±．
解得120.2 2.2x x ==-，(不合题意，舍去)． 所以x =0．2=20％．
答：这两个月平均每月增长的百分率是20%．
28.【解析】设x 秒钟后，P 、Q 两点间的距离等于42cm ．再利用路程=时间×速度的关系，用x 的代数式表示出PB 与BQ 长度，然后在Rt △PBQ 中由勾股定理列出方程．
【解答】设x 秒钟后，P 、Q 间的距离等于42cm ． 则由题意，得：AP=x ，PB=6－x ，BQ=2x ． 在Rt △PBQ 中，PQ 2
=PB 2
+BQ 2
∴ (42)2=(6－x)2+(2x)2． 5x 2－12x+36－32=O 5x 2—12x+4=O (5x －2)(x －2)=O ∴ x 1=0.4，x 2=2． ∴ AP=0.4<6，BQ=0.8<3．
或AP=2<6，BQ=4>3(不符合题意，舍去) 答：0.4秒后，P 、Q 间距离等于42cm ． 29、（1）1000m 2
；（2）20%。 30、x 2
－10x+9=0,x 1=9,x 2=1。 课前预习
解析：由∠CAB=90o可知旋转角是90o，则∠DAD ＇=90o,根据旋转特征可知△ACD ＇≌△ABD ，所以AD ＇=AD ，则△DAD ＇是等腰直角三角形，那么∠ADD ＇=45o.故选D.
解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2
一、教学目标： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 二、教学重点、难点： 教学重点： 1．体会方程与函数之间的联系。 2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教学难点： 1．探索方程与函数之间关系的过程。 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 三、教学方法：启发引导合作交流 四：教具、学具：课件 五、教学媒体：计算机、实物投影。 六、教学过程： [活动1] 检查预习引出课题 预习作业： 1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.
2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解. 师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。 教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。 设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。 [活动2] 创设情境探究新知 问题 1．课本P16问题. 2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m? （结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。） 师生行为：教师提出问题1，给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范；问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2－4ac 两个交点两个相异的实数根 b2－4ac > 0 一个交点两个相等的实数根 b2－4ac = 0 没有交点没有实数根 b2－4ac < 0 教师重点关注：
2020-2021学年 专训1 一元二次方程的解法归类 名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果． 限定方法解一元二次方程 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为( ) A．x＝B．x＝ C．x＝±D．x＝± 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( ) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0. 5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值． 能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2 7．解下列一元二次方程： (1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( ) A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝ 9．用公式法解下列方程． (1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2. 选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x2－49＝0的解为( ) A．x＝B．x＝
《配方法》解一元二次方程教学案例 教学目标 【知识与技能】 使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。 【过程与方法】 经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，渗透转化思想，掌握一些转化的技能。 【情感、态度与价值观】 通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 教学重点难点 【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程 教学过程设计 （一）创设情境 导入新课 导语一（1）你能解哪些一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ （3）解方程x 2 +12x-15=0的困难在哪里？你能将方程x 2 +12x-15=0转化为上面方程的形式吗？ 导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2、将下列各式配成完全平方式。 （1）a 2 +12a+ 62 =(a+ 6 )2 ； （2）x 2- x +4 1=(x+ 2 1 )2 ； 3、若4x 2 -mx+9是一个完全平方式，那么m 的值是 ±12 。 导语三 为了响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重的状况，2007年某市退耕还林1600亩，计划2009年退耕还林1936亩，则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少？ 你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题？ [设这两年的年平均增长率为x ，则1600(1+x)2 =1936，解得x=10%，x 2=-210%（舍），即平均每年退耕还林的增长率为10%] （二）合作交流 解读探究 1、配方法
[问题]要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2 ，场地的长和宽应各是多少个？（注：这是一个比较简单的几何题，学生经过思考，不难得出答案，请一位同学回答，教师演示答案。） 即：设场地宽xm ，长(x+6)m 。根据矩形面积为16m 2 ，列方程x(x+6)=16，即x 2 +6x-16=0 （注：本题选择以解决问题作为本节课的开端，有益于培养学生的应用意识。） （思考）怎样解方程x 2 +6x-16=0? 对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x+9=2，可以发现方程x 2 +6x+9=2的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方 程x 2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把x 2 +6x-16=0化为具有上述形式的方程吗？（注：教师提出问题，学生思考、讨论发表意见，同 时教师要引导学生发现问题的关键；若要解方程x 2 +6x-16=0，只要将其符号左边转化为一个完全平方式——配方，而配方的关键是常数项的选择，学生找出常数项，教师演示配方的过程，完成方程由不可解到可解的转化，师生完成后续步骤。） 移 项 9（即(2 6)2）使左边配成 2的形式 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方
一元二次方程 专题一：一元二次方程的定义 典例分析： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解 典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 专题三：一元二次方程的求解方法 典例分析： 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 ． 难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.
实际问题与一元二次方程—比赛问题 教学目标 知识技能:能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理. 数学思考:经历将实际问题抽象成为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对其进行描述. 解决问题:通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性发展实践应用意识. 情感态度:通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学重点: 体育比赛场次中的数量关系。 教学难点:发现问题中的等量关系. 教学过程设计 回顾引入：解下列方程 x （x －1）=90 x(10－x)=24 x （x+2）=168 452)1(=-n n 202 )3(=-n n 新课讲授 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？ 分析思考：1、什么是单循环？ 2、什么是双循环？ 解：设邀请x 个球队参加比赛。
拓展变形： 举办一次足球联赛，赛制为双循环形式，一共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ 归纳总结 当个体为x 个，总数为n 时 单循环公式：n x x =-2 )1( 双循环公式：x （x －1）=n 做题时先判断是单循环还是双循环，再套公式 变式练习，巩固强化 1、在一个QQ 群里有n 个网友在线，每个网友都向其他网友发出一条信息，共有20条信息，则n 为 （ ） （思考：这题是 循环） A 、10 B 、6 C 、5 D 、4 2、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送了 72 张，则这个 小组共有多少人？ （思考：这题是 循环） 3、一次开会时，同事们见面后，倍感亲切，相互握手恭贺，这次共握手 28 次，一共有多少人参加开会？（思考：这题是 循环） 小结：1、怎样判断单、双循环。 2、套用公式 作业：各教师自定
九年级数学（上）一元二次方程教学案例 1、创设情境 我们学校要建一个面积是150平方米一边靠墙的自行车棚，另外的三边用铁篱笆围成，如果铁篱笆周长是35米，请你设计一下车棚的长和宽各是多少？ 2、激发兴趣 教师设计符合学生生活实际的情景，一下子引起学生的兴趣，激发学习的动机，出示问题现在就请我们的各小组就这个问题讨论一下。 3、学生的新旧知识迁移阶段 经过讨论，各个小组使用以前的知识列出统一的方程，由原有的认知结构经过一系列的转化，产生新的知识结构，这时候各个小组都出现了迷惑的状态。从没有见过这样的方程，此时教师引入课题，这就是今天所讲的一元二次方程，然后进入一个阶段，好动的学生具有极强的好奇心，他们热衷于探求事物的本质，此时吊起他们的胃口，使他们在不知不觉中进入状态，确实是一个好的开始，也就意味着取得了成功的一半。 4、学生小组讨论阶段 现在我们来看这个方程有怎样的特点？教师抛出这样一个问题，并把他板书到黑板上，学生分组讨论交往互动，此时教师在小组内指导，宏观上能做到对全体的指导，并把学生的讨论结果即时的有选择的板书到黑板上。 “我们发现这个方程的次数是二次的” “我们还发现只有一个未知数” “我们又发现是按X的降幂排列的”“我们发现等式的右边是0” 这样老师尽力的把学生的各种观点板书，对于学生来说有一种成功感，特别是对于成绩相对比较差的学生，即时的表扬，调动各类学生积极参与教学过程，把课堂教学的主线定义为发展学生的创造性思维。 5、梳理归纳阶段。 通过上一步的讨论我们能否给出一个一元二次方程的定义及标准形式，通过上面的板书，请大家归纳一下，老师抛出第二个问题，根据这个阶段学生争强好胜的特点，他们会尽一切办法把自己的想法加到定义中，已表现出他们高人一筹，老师正是利用他们的这种心理，使他们朝着老师设计的轨道前进。当然，他们完全能够偏离轨道，只要产生思考的火花，就理应即时的表扬，学生归纳出以下的定义： “含有一个未知数并且次数是2的方程” “含有一个未知数并且次数是2的按X的降幂排列的方程”“含有一个未知数并且次数是2的X的降幂排列的等式的右边是0的方程” 老师把学生的讨论总结即时的板书，水到渠成最后得出一个统一的结论，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的次的方程叫一元二次方程，这样就对该概念的外延及内函有了充分的探讨，对于该知识的后续学习是极有协助的。教学反思： 我这次仅仅选了教学过程的一个极小的方面（概念教学）。就这个阶段来说，可能是上课伊始，学生的注意力比较集中的缘故，采用这种方法效果还是比较明显的。也可能是尊重学生的个性的原因，绝大部分的学生能积极地参与到合作讨论中，学生课堂上生动活泼，自由的发言，做到课堂活而不乱，学生说而有章，初步达到了最初设想到的目的，所以只要尊重学生的个性，适时引导，让每一个人
一元二次方程的实际问题 一、传播问题 例：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 归纳总结：按这样的感染速度，n轮后有多少台电脑被感染？ 第1轮：（1+x） 第2轮： 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（） A．5 B．6 C．7 D．8 二、变化率问题 例：2010年某市出口贸易总值为22.52亿美元，至2012年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来该市出口贸易的高速增长． （1）求这两年这个市出口贸易的年平均增长率； （2）按这样的速度增长，请你预测2013年这个市的出口贸易总值．（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563） 2、某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为． 三、数字问题
1、有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，则原来的两位数为． 2、已知有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 3、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数． 四、销售利润问题 1、百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 2、某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间满足一次函数关系y=kx+b．且当x=7时，y=2000；x=5时，y=4000． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实
寒假培训八年级下数学资料 一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________. 典型例题： 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系 数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。 【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根，则m m -2=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0，则k=_______ 二、直接开平方法 若x 2 =25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______ 、 解下列方程：（1）1) 3(2=+x （2）18)54(22=-x 三、配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 化二次项系数为1； ② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；
2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；
22.3实际问题与一元二次方程（第1课时） 启东市合作初级中学：董燕飞
当 堂 反 馈（10分钟） 一、选择题 1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、?三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）． A ．100（1+x ）2=250 B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250 C ．100（1-x ）2=250 D ．100（1+x ）2 2．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，?所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）． A ．（1+25%）（1+70%）a 元 B ．70%（1+25%）a 元 C ．（1+25%）（1-70%）a 元 D ．（1+25%+70%）a 元 3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，?售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）． A ．100p p + B ．p C ．1001000p p - D ．100100p p + 二、填空题 1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，?第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______． 2．某糖厂2002年食糖产量为at ，如果在以后两年平均增长的百分率为x ，?那么预计2004年的产量将是________． 3．?我国政府为了解决老百姓看病难的问题，?决定下调药品价格，?某种药品在1999年涨价30%?后，?2001?年降价70%?至a?元，?则这种药品在1999?年涨价前价格是__________． 三、综合提高题 1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，?从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，?求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量． 3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（?用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金 ×100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解. 一、直接开平方法 解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）把一元二次方程化为（≥0）或（≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; （3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: （1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; （2）对于一元二次方程,当时,方程无解; （3）对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.
解:（1） ∴; （2） ∴. 例2. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:（1） ∴或 ∴; （2） ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A）（B） （C）（D） 习题2. 若,则_________.
- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2 =b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x 2 +6x+m 2 是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2 -5x=2． （2）x 2 +8x=9 （3）x 2 +12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值
《一元二次方程》教学案例 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求
根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导． 课时划分
实际问题与一元二次方程的几种常见模型 繁殖问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：1设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得 1+x+（1+x）x=81 整理得： X2 +2x-80=0 解得 X1=8 x2=-10(舍去) 三轮后被感染的电脑总数为： 1+ x+ x（x +1）+x（x +1）2=739(台) 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑为739台，超过700台 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出x小分支，依题意得 1+x（x +1）=91 解得：X1=9 x2=-10(舍去) 答：每个支干长出9小分支
单（双）循环问题 1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？ 解：设共有x队参加依题意列方程得 x（x -1）=90 解得：X1=10 x2=-9(舍去) 答：共有10队参加 2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会? 解：设共有x人参加聚会，依题意列方程得 2)1 (- x x=66 解得：X1=12 x2=-11(舍去) 答：共有12人参加聚会 3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：设应邀x个球队参加，依题意列方程得 2)1 (- x x=28 解得：X1=8 x2=-7(舍去) 答：应邀8个球队参加 4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人? 解：有x人，依题意列方程得
数学《一元二次方程》教案案例 只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。下面就是笔者给大家带来的数学《一元二次方程》教案设计，希望能帮助到大家！ 数学《一元二次方程》教案一 一、教材分析 1、教材的地位和作用 一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习(?指数方式，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容)的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。 2、教学目标及确立目标的依据 九年义务教育大纲对这部分的要求是:“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学
目标。 知识目标:使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。 能力目标:通过一元二次方程概念的教学，培养学生善于观察，发现，探索，归纳问题的能力，培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。 德育目标:培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。 3、重点，难点及确定重难点的依据 “一元二次方程”有着承上启下的作用，在今后的学习中有广泛的应用，因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念，一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。 二、教材处理 在教学中，我发现有的学生对概念背得很熟，但在准确和熟练应用方面较差，缺乏应变能力，针对学生中存在的这些问题，本节课突出对教学概念形成过程的教学，采用探索发现的方法研究概念，并引导学生进行创造性学习。 三、教学方法和学法
一元二次方程的应用题 （一）传播与球赛问题 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 第一轮后共有人患流感；第二轮后共有人患流感。 等量关系： 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 分析：设每个支干长出x个小分支。 主干长出支干的数量个，支干总共长出小分支的数量个。 等量关系： 解：设每个支干长出x个小分支。 3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 第一轮后被感染的电脑共有台，第二轮后被感染的电脑共有台。 等量关系： 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？ 分析：此比赛是循环比赛。 设共有x个队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。A队与B队的比赛和B队与A队是同一场，所以全部的比赛是场。 等量关系： 解：设共有x个队参加比赛
5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？ 分析：此比赛是循环比赛。 设共有x队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。 等量关系： 解：设共有x队参加比赛 6.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会? 分析：设有x个人参加聚会，每人要与其他个人握手一次 等量关系： 解：设有x个人参加聚会 7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72，这个小组共有多少人？ 分析：设这个小组共有x个人，每人要与其他个人互送贺卡 等量关系： 解：这个小组共有x个人 （二）面积问题 1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，求两条直角边的长。 2.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用
消元一二元一次方程组的解法（四）教案 一、教学目标 1、知识与技能:熟练掌握代入消元法和加减消元法。 2、过程与方法：能根据方程组的特点选择合适的消元方法解方程组。 3、情感态度价值观：通过分析实际问题中的数量关系，建立方程组解决问题，进一步认识方程模型的重要性。 二、教学重难点 重点：能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。 难点：实际问题中的数量关系较复杂是本节课难点。 三、教学过程 （一）复习、引入课题 复习：解二元一次方程有多少种解法？共同点是什么？目的是什么？ 引入：接下来继续深入探讨二元一次方程组的解法。 （二）探索新知 （1）解方程组 引导学生通过消y 与消x ，尝试不同的解法，培养学生发散思维，然后让学生归纳这样类型的二元一次方程组的解法。 小结1：当方程中同一个未知数的系数相等或相反时，用加减消元法较简便。 （2）请选择适当的方法解下列方程组： ① ② ③ 2x-2y=60 (2) 2x+2y=100 (1) 3.2x+2.4y=5.2 2x+y=1.5 4x+8y=12 3x-2y=5 5x-4y=2 2x+3y=10
通过这三个方程组的讨论，归纳出方程系数具有什么特征时选择什么消元法。 小结2：当方程组中有一个未知数的系数是1或-1时，用代入消元法较简便。 小结3：当两个方程中同一个未知数的系数成整倍数时，用加减消元法较简便。 小结4：当方程组中任何未知数的系数不是1或-1，是不成整倍数时，一般经过变形后利用加减消元法较简便。 老师小结：解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择恰当的方法可以减少走弯路，加快解题速度，使解题过程简洁，提高正确率。 （三）实际应用 例（教材104页）：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？ 通过分步提问，引导学生分析 问题1：列方程组解应用题的关键是什么？ 问题2：你能找出本题的等量关系吗？ 问题3：怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢 设：如果1台大收割机1小时收割小麦X公顷，1台小收割机1小时收割小麦Y公顷。 那么2台大收割机2小时收割小麦（）公顷，5台小收割机2小时收割小麦（）公顷。 根据“2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量=3.6公顷”可列方程： 4x+10y=3.6
学习好资料欢迎下载 一元二次方程教学案例 、教学目标： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解抛物线交x 轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 二、教学重点、难点： 教学重点： 1．体会方程与函数之间的联系。 2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教学难点： 1．探索方程与函数之间关系的过程。 2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 三、教学方法：启发引导合作交流 四：教具、学具：课件 五、教学媒体：计算机、实物投影。 六、教学过程： [ 活动1] 检查预习引出课题 预习作业： 1．解方程：（1） x2 +x－ 2=0; (2) x 2 －6x+9=0; (3) x 2 －x+1=0; (4) x 2－2x－2=0. 2.回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0 的解 . 师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。 教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来， 2 题的格式要规范。 设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1 题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程
的相关知识； 2 题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类 比探究本课新知识。 [ 活动 2] 创设情境 探究新知 问题 1．课本 P 16 问题 . 2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是 15m 或 0m ？为什么只在一个时间球的高度是 20m? （结合预习题 1，完成课本 P 16 观察中的题目。） 师生行为：教师提出问题 1，给学生独立思考的时间 , 教师可适当引导 , 对学生的解题思路和格式进行梳理 和规范；问题 2 学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题 3 是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的根有什么关系 ? 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和 x 2 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 根的判别式 轴交点 一元二次方程 ax +bx+c=0 的根 2－ 4ac =b 两个交点 两个相异的实数根 b 2－ 4ac > 0 一个交点 两个相等的实数根 b 2－ 4ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2－ 4ac < 0 教师重点关注： 1．学生能否把实际问题准确地转化为数学问题； 2．学生在思考问题时能否注重数形结合思想的应用； 3．学生在探究问题的过程中，能否经历独立思考、认真倾听、获得信息、梳理归纳的过程，使解决问题的 方法更准确。 设计意图： 由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境， 促使学生能积极地参与到数学活动中去， 体会二次函数与实际问题的关系；学生通过小组合作分析、交流，探求二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的合作精神，积累学习经验。 [ 活动 3] 例题学习 巩固提高 问题： 例 利用函数图象求方程 x 2 －2x －2=0 的实数根（精确到 0.1 ） . 师生行为：教师提出问题，引导学生根据预习题 2 独立完成，师生互相订正。 教师关注：（ 1）学生在解题过程中格式是否规范；（ 2）学生所画图象是否准确，估算方法是否得当。