一、 引言 介绍高斯型求积公式，并使用其求积分? = 1 sin I xdx 。 要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。 我们知道,求积公式 ? ∑=≈ b a n i i i x f A dx x f 0 ) ()( （1.1） 含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程 m k dx x x A b a k n i k i i ,,2,1,0, == ? ∑ = (1.2) 精确成立。作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令 ) ())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式) ()(2 1x x f n +=ω而言， (7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(2 1x n +ω不准确成立。但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出 22+n 个独立条件,所以m 最大取12+n 。因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确 度最小是n ,最大是12+n ． 由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。 为解决上述问题，首先要先给出三个定理： 定理一： 以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式 ) ())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω 与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即 ?=+b a n dx x x P 0 )()(1ω (1.3)
2011年1月19日 摘要 在实际中，求非代数函数的积分往往要求精度很高，因为高斯型求积公式据有最高代数精度且高斯型求积公式是收敛和稳定的，同时它可以使更多的函数准确成立，所以研究高斯型求积公式及其程序开发是很必要的.目的是总结分析高斯型求积公式，在掌握其基本思想的基础上，深入学习几种常见的高斯型求积公式. 本文共包含两章，第一章主要介绍高斯型求积公式的概述，包括理论知识以及分类性质，还有算法分析及流程图.第二章主要介绍几种常用的高斯型求积公式，内容包括其定义及余项，还有部分C程序和流程图以及应用举例等. 关键词高斯型求积公式; 正交多项式;流程图;C程序
目录 引言 (1) 第一章高斯型求积公式 (2) §1.1 高斯型求积公式的概述 (2) §1.1.1 高斯型求积公式的定义及理论 (2) §1.1.2 高斯型求积公式的分类及性质 (3) §1.2 高斯型求积公式的方法及其流程图 (4) §1.2.1 高斯型求积公式的方法 (4) §1.2.2 高斯型求积公式的方法流程图 (5) 第二章常用的高斯型求积公式 (5) §2.1 高斯-勒让德求积公式 (5) §2.1.1高斯-勒让德求积公式的概述 (6) §2.1.2高斯-勒让德求积公式的算法及引例 (7) §2.1.3 C程序：用递归法求5阶勒让德值 (9) §2.2 高斯-切比雪夫求积公式 (10) §2.2.1高斯-切比雪夫求积公式的概述 (10) §2.2.2 高斯-切比雪夫求积公式应用举例及算法流程图 (11) §2.3 高斯-埃尔米特求积公式 (11) §2.3.1高斯-埃尔米特求积公式的概述 (12) §2.3.2高斯-埃尔米特求积公式应用举例 (13) 参考文献 (15)
一、实验目的及题目 实验目的：掌握利用复化辛普森公式和高斯求积公式方法计算积分，熟悉matlab 的操作。 题目：1.利用复化辛普森公式计算积分： 1、xdx x ln 10? 2.利用高斯求积公式计算积分： 1、xdx x ln 1 0? 2、 sinx (1+x 2) 10dx 实验步骤： 1.利用复化辛普森公式计算积分： 1.1.建立M 文件 function y=f(x) y=sqrt(x)*log(x); 1.2.建立M 文件 function T_n=F_H_T(a,b,n) h=(b-a)/n; for k=0:n x(k+1)=a+k*h; if x(k+1)==0 x(k+1)=10^(-10); end end T_1=h/2*(f(x(1))+f(x(n+1))); for i=2:n F(i)=h*f(x(i)); end T_2=sum(F); T_n=T_1+T_2; 1.3.在命令窗口输入 T_n=F_H_T(0,1,20) 输出结果：
2.利用高斯求积公式计算积分： 2.1.建立M文件 function s=guassl(a,b,n) h=(b-a)/n; s=0.0; for m=0:(1*n/2-1) s=s+h*(guassf(a+h*((1-1/sqrt(3))+2*m))+guassf(a+h*((1+1/sqrt( 3))+2*m))); end s; I=int('sin(x)',0,1); c=(I-s)/I; d=vpa(c,10); 2.2.1.建立M文件 function y=guassf(x) y=sqrt(x)*log(x); 2.2.2.建立M文件 function y=guassf(x) y=sinx/(1+x*x); 2.3.运行结果 2.3.1.在命令窗口输入s=guassl(0,1,20) 2.3.2.在命令窗口输入s=guassl(0,1,20)