专题11：几何三大变换问题之平移
一、选择题
1. （2012陕西省3分）在平面直角坐标系中，将抛物线2y x x 6=--向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为【 】
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
【答案】B 。
【考点】二次函数图象与平移变换
【分析】计算出函数与x 轴、y 轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向：
当x=0时，y=－6，故函数与y 轴交于C （0，－6），
当y=0时，x 2
－x －6=0， 解得x=－2或x=3，即A （－2，0），B （3，0）。
由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2。故选B 。
2. （2012江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x 2
- 4x+3先向右平移3个单位长度，再
向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】 A.（－2，3） B.（－1，4） C.（1，4） D.（4，3）
【答案】D 。 【考点】坐标平移。
【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，将抛物线y=2x 2
- 4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，其顶点也同样变换。
∵()2
2y 2x 4x 32x 1+1=-+=-的顶点坐标是（1，1），
∴点（1，1）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得点（4，3），即经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（4，3）。故选D 。
3. （2012四川南充3分）如图，平面直角坐标系中，⊙O 半径长为1.点⊙P（a,0），⊙P 的半径长为2，把⊙P 向左平移，当⊙P 与⊙O 相切时，a 的值为【 】
（A ）3 （B ）1 （C ）1，3 （D ）±1，±3 【答案】D 。
【考点】两圆的位置关系，平移的性质。
【分析】⊙P 与⊙O 相切时，有内切和外切两种情况：
∵⊙O 的圆心在原点，当⊙P 与⊙O 外切时，圆心距为1+2=3， 当⊙P 与⊙O 第内切时，圆心距为2-1=1，
当⊙P 与⊙O 第一次外切和内切时，⊙P 圆心在x 轴的正半轴上， ∴⊙P（3,0）或（1,0）。∴a=3或1。
当⊙P 与⊙O 第二次外切和内切时，⊙P 圆心在x 轴的负半轴上， ∴⊙P（-3,0）或（-1,0）。∴a =-3或-1 。故选D 。
4. （2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点P 在折线C －D －E 上移动，若点C 、D 、E 的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B 的横坐标的最小值为1，则点A 的横坐标的最大值为【 】
【答案】B 。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质。
【分析】∵抛物线的点P 在折线C －D －E 上移动，且点B 的横坐标的最小值为1， ∴观察可知，当点B 的横坐标的最小时，点P 与点C 重合。
∵C （－1，4），∴设当点B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为()2
y=a x+1+4。 ∵B（1，0），∴()2
0=a 1+1+4，解得a=－1。
∴当点B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为()2
y=x+1+4-。 ∵观察可知，当点A 的横坐标的最大时，点P 与点E 重合，E （3，1）， ∴当点A 的横坐标的最大时抛物线的解析式为()2
y=x 3+1--。 令y=0，即()2
x 3+1=0--，解得x=2或x=4。 ∵点A 在点B 的左侧，∴此时点A 横坐标为2。故选B 。 ∴点A 的横坐标的最大值为2。
5. （2012山东枣庄3分）如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】
A 、14
B 、16
C 、20
D 、28 【答案】D 。
【考点】平移的性质，勾股定理。
【分析】由勾股定理，得AB=2222AC BC 1086-=-=，将五个小矩形的所有上边平移至AD ，所有下边平移至BC ，所有左边平移至AB ，所有右边平移至CD ，
∴五个小矩形的周长之和=2（AB+CD ）=2×（6+8）=28。故选D 。
二、填空题
1. （2012海南省3分）如图，∠APB=300
，圆心在边PB 上的⊙O 半径为1cm ，OP=3cm ，若⊙O 沿BP
方向移动，当⊙O 与PA 相切时，圆心O 移动的距离为 ▲ cm.
【答案】1或5。
【考点】直线与圆相切的性质，含300
角直角三角形的性质。 【分析】如图，设⊙O 移动到⊙O 1，⊙O 2位置时与PA 相切。 当⊙O 移动到⊙O 1时，∠O 1DP=900
。 ∵∠APB=300
，O 1D=1，∴PO 1=2。 ∵OP=3，∴OO 1=1。
当⊙O 移动到⊙O 2时，∠O 2EP=900
。
∵∠APB=300
，O 2D=1，∴∠O 2PE=300
，PO 2=2。 ∵OP=3，∴OO 1=5。
综上所述，当⊙O 与PA 相切时，圆心O 移动的距离为1cm 或5 cm 。
2. （2012宁夏区3分）如图，将等边△ABC 沿BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若BC ＝3， 1PB C S 3?=，则BB 1＝ ▲ ．
【答案】1。
【考点】平移的性质，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】由等边△ABC 中BC ＝3可求得高为
33，面积为13393
3=2??。 由平移的性质，得△ABC∽△PB 1C 。∴
12PB C 1ABC
S B C S BC ????
= ???
，即2
1B C 3393??= ???，得B 1C ＝2。
∴BB 1＝BC －B 1C=1。
3. （2012浙江绍兴5分）如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为，则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 ▲ （用含n 的代数式表示）
【答案】
145n(n 1)+或6
5n(n 1)
+。
【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数解析式为k
y x
=
，则 ①与BC ，AB 平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为和反比例函
数关于y x =对称的性质，得
与AB 平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，），代入k y x =
，得1.42
k
=，解得14
5
k =
。 ∴反比例函数解析式为145y x
=
。 则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差
的绝对值为：
141414
5n 5(n 1)5n(n 1)
-=++。 ②与OC ，AB 平移后的对应边相交时，由0.62k k -=得65
k =。 ∴反比例函数解析式为6
5y x
=
。 则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差
的绝对值为：
6665n 5(n 1)5n(n 1)
-=++。 综上所述，第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵
坐标之差的绝对值为
145n(n 1)+或6
5n(n 1)
+。
4. （2012四川广安3分）如图，把抛物线y=12
x 2
平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （﹣6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=12
x 2
交于点Q ，则图中阴影部分的
面积为 ▲ ．
【答案】
27
2
。 【考点】二次函数图象与平移变换，平移的性质，二次函数的性质。 【分析】根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P 的坐标，过点P 作PM⊥y 轴于点M ，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积，然后求解即可：
过点P 作PM⊥y 轴于点M ，设PQ 交x 轴于点N ，
∵抛物线平移后经过原点O 和点A （﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3。
∴平移后的二次函数解析式为：y=12（x+3）2
+h ，
将（﹣6，0）代入得出：0=12（﹣6+3）2
+h ，解得：h=﹣92
。∴点P 的坐标是（3，﹣
9
2
）。 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积， ∴S=927
3=22
?-
。 三、解答题
1. （2012湖北武汉12分）如图1，点A 为抛物线C 1：21y=x 22
-的顶点，点B 的坐标为(1，
0)，直线AB 交抛物线C 1于另一点C ．
(1)求点C 的坐标；
(2)如图1，平行于y 轴的直线x ＝3交直线AB 于点D ，交抛物线C 1于点E ，平行于y 轴的直线x ＝a
交直线AB 于F ，交抛物线C 1于G ，若FG ：DE ＝4∶3，求a 的值；
(3)如图2，将抛物线C 1向下平移m(m ＞0)个单位得到抛物线C 2，且抛物线C 2的顶点为点P ，交x 轴
于点M ，交射线BC 于点N ，NQ⊥x 轴于点Q ，当NP 平分∠MNQ 时，求m 的值．
图1 图2
【答案】解：（1）∵当x=0时，y ＝－2。∴A（0，－2）。
设直线AB 的解析式为y=kx+b ，则b=2k+b=0-???，解得k=2b=2??-?
。
∴直线AB 的解析式为y=2x 2-。
∵点C 是直线AB 与抛物线C 1的交点，
∴2y=2x 2
1y=x 22
-??
?-??，解得1212x =4x =0y =6y =2????-?? ，（舍去）。
∴C（4，6）。
（2）∵直线x ＝3交直线AB 于点D ，交抛物线C 1于点E ， ∴D E 5y =4y =2，，∴DE=D E 53y y =422
--=。 ∵FG：DE ＝4∶3，∴FG=2。
∵直线x ＝a 交直线AB 于点F ，交抛物线C 1于点G ， ∴2F 1
y =2a 2y =a 22
G --，。
∴FG=2F 1
y y =2a a =22
G --。
解得123a =2a =2+22a =222-，，。
（3）设直线MN 交y 轴于点T ，过点N 作NH⊥y 轴于点H 。
设点M 的坐标为（t,0），抛物线C 2的解析式为21
y=x 2m 2
--。
∴210=t 2m 2--。∴21
2m=t 2---。
∴2211y=x t 22-。∴P（0，21
t 2
-）。
∵点N 是直线AB 与抛物线C 2的交点，
∴22y=2x 2
11y=x t 2
2-??
?-??，解得1212x =2t x =2+t y =22t y =2+2t -????-?? ，（舍去）。
∴N（2t 22t -- ，）
。 ∴NQ=22t -，MQ=22t -。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=450
。 ∴△MOT，△NHT 都是等腰直角三角形。∴MO=TO，HT=HN 。 ∴OT=－t ，()21
NT 2NH=22t PT=t+t 2
=--，。 ∵PN 平分∠MNQ，∴PT=NT。
∴()21
t+t 22t 2
-=-，解得12t =22t =2-，（舍去）。
∴()
2
211
2m=t =22
=422
------。∴m=2。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。
【分析】（1）由点A 在抛物线C 1上求得点A 的坐标，用待定系数法求得直线AB 的解析式；联立直线AB 和抛物线C 1即可求得点C 的坐标。
（2）由FG ：DE ＝4∶3求得FG=2。把点F 和点G 的纵坐标用含a 的代数式
表示，即可得等式
FG=2F 1
y y =2a a =22
G --，解之即可得a 的值。
（3）设点M 的坐标为（t,0）和抛物线C 2的解析式21
y=x 2m 2
--，求得t 和m 的关系。求出点P 和点N 的坐标（用t 的代数式表示），得出△MOT，△NHT 都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT ，列式求解即可求得t ，从而根据t 和m 的关系式求出m 的值。
2. （2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y ＝12x 2
＋bx ＋c 与x
轴相交于点B(－0，0)和C ，O 为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 向上平移7
2个单位长度、再向左平移m(m ＞0)个单位长度，得到
新抛物
线．若新抛物线的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；
(3)设点M 在y 轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM 的长．
【答案】解：（1）将A （0，－4）、B （－2，0）代入抛物线y=12
x 2
+bx+c 中，得：
0c 4 22b c 0+=-??-+=?，解得，b 1 c 4=-??=-?
。 ∴抛物线的解析式：y=12x 2
－x －4。
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：()()217y=
x+m x+m 4+22
--， 即：()221
11
y=x +m 1x+m m 222
---
。它的顶点坐标P （1－m ，－1）。 由（1）的抛物线解析式可得：C （4，0）。 ∴直线AB ：y=－2x-4；直线AC ：y=x －4。
当点P 在直线AB 上时，－2（1－m ）－4=－1，解得：m=
5
2
； 当点P 在直线AC 上时，（1－m ）＋4=－1，解得：m=－2； 又∵m＞0，
∴当点P 在△ABC 内时，0＜m ＜
5
2
。 （3）由A （0，-4）、B （4，0）得：OA=OC=4，且△OAC 是等腰直角三角形。
如图，在OA 上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。 ∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB， 即∠ONB=∠OMB。
如图，在△ABN、△AM 1B 中，
∠BAN=∠M 1AB ，∠ABN=∠AM 1B ， ∴△ABN∽△AM 1B ，得：AB 2
=AN ?AM 1； 由勾股定理，得AB 2
=（－2）2
+42
=20， 又AN=OA －ON=4－2=2，
∴AM 1=20÷2=10，OM 1=AM 1－OA=10－4=6。
而∠BM 1A=∠BM 2A=∠ABN，∴OM 1=OM 2=6，AM 2=OM 2－OA=6－4=2。 综上，AM 的长为6或2。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A 、B 两点坐标代入即可得解。
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m 表示出该函数的顶点坐标，将其
代入直线AB 、AC 的解析式中，即可确定P 在△ABC 内时m 的取值范围。
（3）先在OA 上取点N ，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB 即可，显然在y
轴的正负半轴上都有一个符合条件的M 点；以y 轴正半轴上的点M 为例，先证△ABN、△AMB 相似，然后通过相关比例线段求出AM 的长。
3. （2012四川达州12分）如图1，在直角坐标系中，已知点A （0，2）、点B （－2，0），过点
B 和线
段OA 的中点C 作直线BC ，以线段BC 为边向上作正方形BCDE. （1）填空：点D 的坐标为（ ），点E 的坐标为（ ）.
（2）若抛物线2y ax bx c(a 0)=++≠经过A 、D 、E 三点，求该抛物线的解析式. （3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线B C 同时向上平移，直至正方形的顶点E
落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式，
并写出相应自变量t 的取值范围.
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.
【答案】解：（1）D （－1，3），E （－3，2）。
（2）抛物线经过（0，2）、（－1，3）、（－3，2），则
c 2a b c 39a 3b c 2
=??
-+=??-+=?，解得 1a 21b 3c 2
?
=-??
?=-??=???
。
∴抛物线的解析式为213
y x x 222
=--+
（3）①求出端点的时间：
当点D 运动到y 轴上时，如图1，DD 1=
12DC=12BC =52，t=1
2
。
当点B 运动到y 轴上时，如图2，BB 1=BC=5，t=
5
15
=。 当点E 运动到y 轴上时，如图2，EE 1=ED ＋DE 1=535+
522=，t=32
。
当0＜t≤1
2
时，如图4，正方形落在y 轴右侧部分的面积为△CC′F 的面积，设D′C′交y 轴于点F 。
∵tan∠BCO=
OB
OC
=2，∠BCO=∠FCC′， ∴tan∠FCC′=2, 即FC CC '
'
=2。
∵CC′=5t ，∴FC′=25t 。 ∴S △CC′F =12CC′·FC′=152
t×25t=5 t 2
。 当
1
2
＜t≤1时，如图5，正方形落在y 轴右侧部分的面积为直角梯形CC ′D ′G 的面积，设D′E′交y 轴于点G ，过G 作GH⊥B′C′于H 。 ∵GH=BC=5，∴CH=
12
GH=52。
∵CC′=5t ，∴HC′= GD′=5t －
5
2
。 ∴CC D G 155
S 5t +5t 5=5t 224''????=
-?-?? ? ???????
梯形 当1＜t≤
3
2
时，如图6，正方形落在y 轴右侧部分的面积为五边形B ′C ′D ′MN 的面积，设D′E′、E′B′分别交y 轴于点M 、N 。 ∵CC′=5t ，B′C′=5,
∴CB′=5t －5。∴B′N=2CB′=25t －25。
∵B′E′=5，∴E′N=B′E′－B′N=35－25t 。 ∴E′M=
12E′N=1
2 (35－25t)。 ∴()()
2MNE 1145
S 3525t 3525t =5t 15t+224
?'=-?--。
∴
()
2
22MNE B C D E B C D MN 4525S S S =
55t 15t+=5t +15t 44?''''''''?
?=----- ??
?正方形五形边。
综上所述，S 与x 的函数关系式为：
2215t 0t 251s=5t t 1422535t +15t 1t 42<
≤≤ ????????
-≤? ?
??????--≤? ?
???
。 ②当点E 运动到点E′时，运动停止，如图7所示。
∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠B CO=∠B′CE′，
∴△BOC∽△E′B′C。∴OB BC
B E E C
=
'''。 ∵OB=2，B′E′=BC=5，∴
25E C 5
='。 ∴CE′=
52
。 ∴OE′=OC+CE′=1+
5722=。∴E′（0，7
2
）
。 由点E （－3，2）运动到点E′（0，7
2
）,可知整条抛物线向右平移了3个单
位，向上平移了3
2
个单位。
∵22131325y x x 2(x )22228=--+=-++，∴原抛物线顶点坐标为（325
28
- ，）
∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（337
28
，）。 【考点】二次函数综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D 、点E 的坐标：
由题意可知：OB=2，OC=1。
如图8所示，过D 点作DH⊥y 轴于H ，过E 点作EG⊥x 轴于G 。 易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（－1，3）。 同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（－3，2）。 ∴D（－1，3）、E （－3，2）。 （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（3）①为求s 的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，
从开始到结束，总共历时
32秒，期间可以划分成三个阶段： 0＜t≤12， 12＜t≤1，1＜t≤3
2
，对照图形，对每个阶段的表达式求解即可。
②当运动停止时，点E 到达y 轴，点E （－3，2）运动到点E′（0，72
），
可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了3
2
个单位．由此由平移前的抛物线顶点坐标推出平移后的抛物线顶点坐标。
4. （2012浙江湖州12分）如图1，已知菱形ABCD 的边长为23，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为（- 3，3），抛物线y=ax 2
+b （a≠0）经过AB 、
CD 两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2），过点B 作BE⊥CD 于点E ，交抛物线于点F ，连接DF 、AF ．设菱形ABCD 平移的时间为t 秒（0＜t ＜ 3 ）
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）
【答案】解：（1）由题意得AB的中点坐标为（－3 ，0），CD的中点坐标为（0，3），
分别代入y=ax2+b，得
()2
3a+b=0
b3
?-
?
?
=
??
，解得，
a=1
b3
-
?
?
=
?
。
∴这条抛物线的函数解析式为y=－x2＋3。
（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=23，
∴
BE3
sinC=
BC23
==。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC=
1
2
BC=3，
DE=3。
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。
（I）若∠ADF=90°，∠EDF=120°－90°=30°。
在Rt△DEF中，DE=3，得EF=1，DF=2。
又∵E（t，3），F（t，－t2+3），∴EF=3－（－t2＋3）=t2。∴t2=1。
∵t＞0，∴t=1 。
此时
AD23DF2
2=2
DE EF1
3
===
，，∴
AD DF
=
DE EF
。
又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。
（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则
DE EF
FB BA
=。
设EF=m，则FB=3－m。
∴
3
23
=，即m2－3m＋6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。
（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。
②
6
6 3t
-≤≤。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定，解方程和不等式。
【分析】（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。
（2）①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。
（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。
（III）∠DAF≠90°，此时t不存在。
②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么
样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：
如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x 轴，分别交抛物
线、x 轴于点M 、点N 。
观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE 且MN≥C′N。 ∵F（t ，3－t 2
），∴EF=3－（3－t 2
）=t 2
。∴EE′=2EF=2t 2
。 由EE′≤BE，得2t 2
≤3，解得6
t ≤
。 又∵C′E′=CE=3 ，∴C′点的横坐标为t －3。∴MN=3－（t －3）2
， 又C′N=BE′=BE－EE′=3－2t 2
，
∴由MN≥C′N，得3－（t －3 ）2
≥3－2t 2
，即t 2
＋23t －3≥0。 求出t 2
＋2
3t －3=0，得t=36-±，∴t 2＋23t －3≥0即
()()
t+
3+6t+360-≥。
∵t+3+60≥，∴t+360-≥，解得t≥ 6 3-。 ∴t 的取值范围为：6
6 3t -≤≤
。 5. （2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D
的坐标；
(3) 如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO＝∠A BO ，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB
的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．
【答案】解：(1) ∵抛物线y ＝ax 2
＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．
∴???9a ＋3b ＝016a ＋4b ＝4，解得：???a ＝1b ＝－3
。 ∴抛物线的解析式是y ＝x 2
－3x 。
(2) 设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B(4，4)，
得：4＝4k 1，解得k 1＝1。 ∴直线OB 的解析式为y ＝x 。
∴直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m 。 ∵点D 在抛物线y ＝x 2
－3x 上，∴可设D(x ，x 2
－3x)。
又点D 在直线y ＝x －m 上，∴ x 2
－3x ＝x －m ，即x 2
－4x ＋m ＝0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－4m ＝0，解得：m ＝4。 此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2
－3x ＝－2。∴ D 点坐标为(2，－2)。
(3) ∵直线OB 的解析式为y ＝x ，且A(3，0)，
∴点A 关于直线OB 的对称点A'的坐标是(0，3)。 设直线A'B 的解析式为y ＝k 2x ＋3，过点B(4，4)， ∴4k 2＋3＝4，解得：k 2＝1
4
。
∴直线A'B 的解析式是y ＝1
4x ＋3。
∵∠NBO＝∠ABO，∴点N 在直线A'B 上。
∴设点N(n ，14n ＋3)，又点N 在抛物线y ＝x 2
－3x 上，
∴ 14n ＋3＝n 2
－3n ，解得：n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，会去)。 ∴ 点N 的坐标为(－34，4516
)。
如图，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1， 则N 1(－34，－45
16)，B 1(4，－4)。
∴O、D 、B 1都在直线y ＝－x 上。 ∵△P 1OD∽△NOB，∴△P 1OD∽△N 1OB 1。
∴ OP 1ON 1＝OD OB 1＝12。∴点P 1的坐标为(－38，－45
32
)。 将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(4532，38)。
综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，3
8
)。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，一元二次方程根的判别式，翻折对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
(2) 根据已知可求出OB 的解析式为y ＝x ，则向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m 。
由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m 的值和D 点坐标。
(3) 综合利用几何变换和相似关系求解：翻折变换，将△NOB 沿x 轴翻折。（或用旋转）
求出P 点坐标之后，该点关于直线y ＝－x 的对称点也满足题意，即满足题意的P 点有两个。
中考数学分类汇：几何综合——图形变换 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： ①如图1，在正三角形△ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝60o，则BM ＝CN ； ②如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝90o，则BM ＝CN ； 然后运用类比的思想提出了如下命题： ③如图3，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108o，则BM ＝CN 。 任务要求： （1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分） (2)请你继续完成下列探索： ①请在图3中画出一条与CN 相等的线段DH ，使点H 在正五边形的边上，且与CN 相交所成的一个角是108o，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明） ②如图4，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、EA 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108o，请问结论BM ＝CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。 [解] （1）以下答案供参考： （1） 如选命题① 证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3 又∵BC=CA ，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM ≌ΔCAN ∴BM=CN （2）如选命题② 证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3 又∵BC=CD ，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM ≌ΔCDN ∴BM=CN （3）如选命题③ 证明；在图3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108° ∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3 又∵BC=CD ，∠BCM=∠CDN=108° ∴ΔBCM ≌ΔCDN O C M N A 图1 A C M N O D 图2 图4 N M O E D C B A
2016中考数学预测押题--专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。 在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。 中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。 原创模拟预测题1.如图，直线l：y=+y轴交于点A，将直线l绕点A顺时针旋转75o后，所得直线的解析式为【】
A ．y = B ．y x =+ C ．y x =-+ D ．y x =- 【答案】B 。 【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 故选B 。 原创模拟预测题2. 根据要求，解答下列问题： （1）已知直线l 1的函数表达式为y x 1=+，直接写出：①过原点且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式；②过点（1，0）且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式； （2）如图，过点（1，0）的直线l 4向上的方向与x 轴的正方向所成的角为600，①求直线l 4的函数表达式；②把直线l 4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l 5，求直线l 5的函数表达式； （3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x 55 =-垂直的直线l 6的函数表达式。
图形的变换压轴题 1．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E=30°． （1）操作发现 如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是 ； ②设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ． （2）猜想论证 当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高DM 和AN ，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S =，请求出相应的 BF 的长． 【答案】（1）DE AC ①； 12S S =②．（2）证明见解析；（3）BF ． 【解析】（1）DE AC ①； 12S S =②． （2）证明： 90DCE ACB ∠=∠=?， 180DCM ACE ∴∠+∠=?． 又180ACN ACE ∠+∠=?， ACN DCM ∴∠=∠． 又 90CNA CMD ∠=∠=?， AC CD =， ANC DMC ∴≌． AN DM ∴=． 又 CE CB =， 12S S ∴=． （3）如图，延长CD 交AB 于点P ，
则有 ∠ABD =30°，PD =2，由BD =CD =4可得∠BCD =30°， ∴∠BPD =90°，BP = 同理可求DE =BE ，故BDE S = ， 当DCF BDE S S =时， 1423DCF S PF = ??=，∴3 PF =， ∴BF =，即BF ． 2．已知，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 延长线上一点，AE=BD ．将△ABE 绕点 A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△A B ′E ′，点B 、E 的对应点分别为B ′、E ′． （1）如图1，当α=30°时，求证：B ′C=DE ； （2）连接B ′E 、DE ′，当B ′E=DE ′时，请用图2求α的值； （3）如图3，点P 为AB 的中点，点Q 为线段B ′E ′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ 长度的取值范围为 ． 【答案】（1）证明见解析（2）45°（3） ≤PQ≤4 +2
2012年中考数学压轴题分类解析 专题7：几何三大变换相关问题 授课老师：黄立宗 典型例题选讲： 例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对 应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的 条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形． 例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE ①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）； （3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）． 例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线 OP与该抛物线交点的个数。 巩固练习 1、（2012黑龙江大庆）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0). （1）结合坐标系用坐标填空． 点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称
平移旋转对称三大变换 1.（2020?安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折 叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究： （1）∠PAQ的大小为30 °； （2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为． 【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP， ∵∠QRA+∠QRP＝180°， ∴∠D+∠C＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠B+∠DAB＝180°， ∵∠DQR+∠CQR＝180°， ∴∠DQA+∠CQP＝90°， ∴∠AQP＝90°， ∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°， ∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°， 故答案为：30； （2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR， ∵四边形APCD是平行四边形， ∴AD＝PC， ∴AR＝PR， 又∵∠AQP＝90°， ∴QR AP， ∵∠PAB＝30°，∠B＝90°， ∴AP＝2PB，AB PB， ∴PB＝QR， ∴， 故答案为：． 2.（2020?天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连 接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 2 ．
【解答】解： 法一：由题意可得， △ADF≌△ABG， ∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG， ∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠EAB＝45°， ∴∠BAG+∠EAB＝45°， ∴∠EAF＝∠EAG， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝FE， 设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x， ∵CD＝6，DF＝3， ∴CF＝3，
上海市北初级中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE． (1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE； (2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由． (3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可； （2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； （3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可； 【详解】 解：（1）证明：如图： ∵∠ACB＝∠AEF＝90°， ∴△FCB和△BEF都为直角三角形． ∵点P是BF的中点， ∴CP＝1 2BF，EP＝ 1 2 BF， ∴PC＝PE． （2）PC＝PE理由如下： 如图2，延长CP，EF交于点H，
∵∠ACB＝∠AEF＝90°， ∴EH//CB， ∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP， ∵点P是BF的中点， ∴PF＝PB， ∴△CBP≌△HFP(AAS)， ∴PC＝PH， ∵∠AEF＝90°， ∴在Rt△CEH中，EP＝1 2 CH， ∴PC＝PE． （3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下： 如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD， ∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°， 在△DAF和△EAF中， DAF, , , EAF FDA FEA AF AF ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAF≌△EAF(AAS)， ∴AD＝AE， 在△DAP≌△EAP中， , , , AD AE DAP EAP AP AP = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAP≌△EAP (SAS)， ∴PD＝PF， ∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC， ∴FD//BC//PM， ∴DM FP MC PB =，
2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题13：几何三大变换问题之对称 一、选择题 1.（2004年浙江绍兴4分）如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD等于【】 A．108°B．144°C．126°D．129° 【答案】C。 【考点】矩形的性质，折叠对称的性质。 【分析】展开如图：五角星的每个角的度数是： 0 180 36 5 。 ∵∠COD=3600÷10=360，∠ODC=360÷2=180， ∴∠OCD=1800－360－180=1260。故选C。 2.（2004年浙江湖州3分）小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是【】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】剪纸问题，折叠对称的性质，正方形的性质。 【分析】按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个等腰直角三角形，展开得：剪去的为一正方形，且顶点在原正方形的对角线上。故选D。 3.（2007年浙江绍兴4分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是【】
A．向右平移7格 B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称 C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称 D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格 【答案】D。 【考点】轴对称和平移变换。 【分析】观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格。故选D。 4.（2008年浙江台州4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移， 我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换 ．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结 合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换 ．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是【】 A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行 【答案】B。 【考点】新定义，轴对称变换和平移变换的性质。 【分析】观察图形，因为进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的； 对应点连线是不可能平行的，D是错误的； 由对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分。故选B。 5.（2011年浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，
几何三大变换（习题） ?例题示范 例1：如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B′处，点A 的对应点为A′，折痕为MN．若B′C=3，则AM 的长为． 【思路分析】 要求AM 的长，设AM=x，则MD=9-x． 思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x， A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是 直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程． 思路一思路二 思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ 可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M 中借助勾股定理表达，列方程． 例2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD 的面积为24，则AC 的长为． 【思路分析】 已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四 边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的 结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可把△ABC 绕点A 逆时针旋转90°．
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?巩固练习 1.如图，将边长为2 的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1 个单 位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为． 第1 题图第2 题图 2.如图，已知△ABC 的面积为8，将△ABC 沿BC 方向平移到 △A′B′C′的位置，使点B′和点 C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为． 3.如图，在6 4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点 三角形乙，则其旋转中心是（） A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q 第3 题图第4 题图 4.如图，已知OA⊥OB，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD=45°，将△CDE 绕点 C 逆时针旋转75°，点 E 的 对应点N 恰好落在OA 上，则OC 的值为．CD 5.如图，E 是正方形ABCD 内一点，连接 AE，BE，CE，将△ABE 绕点B 顺时针 旋转90°至△CBE′的位置．若AE=1， BE=2，CE=3，则∠BE′C= ． 6.如图，在□ABCD 中，∠A=70°，将该 平行四边形折叠，使点C，D 分别落 在点E，F 处，折痕为MN．若点E， F 均在直线AB 上，则∠AMF= ．
几何图形变换压轴题中考整理 1（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________； （3）在（2）的条件下，若AG＝2 5，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别 3，求线段PQ的长． 与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝ 2 （湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论． （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测 量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长 线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AP ＜ 2 1 （AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥ 2 1 DE ． 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－ 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F )
中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解） 几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形 之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同 样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样， 和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形， 大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关 系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地 从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图 形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究. 解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基 本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力. 1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由； （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方 形的性质。 专题：压轴题。 分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG． （3）结论依然成立．还知道EG⊥CG． 解答：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵Ｇ为DF的中点， ∴CG=FD， 同理，在Rt△DEF中， EG=FD， ∴CG=EG． （2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴△DAG≌△DCG， ∴AG=CG； 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴△DMG≌△FNG，
专题20 几何三大变换问题之轴对称（折叠）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。中考压轴题中轴对称 (折叠)问题，包括有关三角形的轴对称性问题；有关四边形的轴对称性问题；有关圆的轴对称性问题；有关利用轴对称性求最值问题；有关平面解析几何中图形的轴对称性问题。 一. 有关三角形的轴对称性问题 1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，连接EF ，交AD 于点G ，求证：AD ⊥EF ． 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=900 ，∠B=300 ， BC=，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为等腰三角形时，BD 的长为 。 F D C E A B
【考点】翻折问题，轴对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的判定，分类思想的应用。 二. 有关四边形的轴对称性问题 3.如图①是3×3菱形格，将其中两个格子涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕菱形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【】 A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B。 【考点】利用旋转的轴对称设计图案。 【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案： 得到的不同图案有：
几何三大变换（讲义） 一、知识点睛 1.________、________、____________统称为几何三大变换．几 何三大变换都是_______________，只改变图形的________，不改变图形的_________________． 2.三大变换思考层次 三 大 变 换 基本要素基本性质延伸性质应用 平移平移方向 平移距离 1．对应点所连的线 段平行且相等 2．对应线段平行且 相等 3．对应角相等 平移出现 __________ 天桥问题、 平行四边形 存在性等 旋转旋转中心 旋转方向 旋转角度 1．对应点到旋转中 心的距离相等 2．对应点与旋转中 心的连线所成的角 等于旋转角 3．对应线段、角相 等，对应线段的夹 角等于旋转角 4．对应点所连线段 的垂直平分线都经 过旋转中心 旋转出现 __________ 旋转结构 （等腰）等 轴 对称对称轴 1．对应线段、对应 角相等 2．对应点所连线段 被对称轴垂直平分 3．对称轴上的点到 对应点的距离相等 4．对称轴两侧的几 何图形全等 折叠出现 __________ 折叠问题、 最值问题等
二、精讲精练 1. 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到 △DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 F C E D B A B 1 A 1 y x B A O 第1题图 第2题图 2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 的坐标分别 为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A 1B 1，若点A 1，B 1的坐标分别为(2，a )，(b ，3)，则a b +=___________． 3. 如图，在44?的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角 度得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D D C B A N 1 M 1 P 1N M P 4. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90°， ∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路径长为________________．（结果保留π） C B A l …
中考压轴题（选择、填空）按题型整理： 七、平移旋转对称三大变换 1.（2019?宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（） A．（﹣1，2+）B．（﹣，3）C．（﹣，2+）D．（﹣3，） 解：如图，作B′H⊥y轴于H． 由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°， ∴∠A′B′H＝30°， ∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝， ∴OH＝3， ∴B′（﹣，3）， 故选：B． 2.（2019?邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线， 将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（） A．120°B．108°C．72°D．36°
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝54°． ∵AD是斜边BC上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°． ∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处， ∴∠ADF＝∠ADC＝72°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°． 故选：B． 3.（2019?株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5． 解：当光线沿O、G、B、C传输时， 过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，
2019-2020 年中考数学复习专题四几何变换压轴题试题 类型一图形的旋转变换 几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．解决旋转变换问题，首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点 D 作DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 1 (1)如图 1，连接 AC 分别交 DE，DF 于点M，N，求证：MN＝AC； 3 (2)如图2，将∠EDF以点D 为旋转中心旋转，其两边DE′，DF′分别与直线AB，BC 相交于点G，P.连接GP，当△DGP的面积等于3 3时，求旋转角的大小并指明旋转方向． 【分析】(1)连接 BD，由∠BAD＝60°，得到△ABD为等边三角形，进而证明点 E 是AB 的中点，再根据相似三角形的性质解答；(2)分∠EDF 顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题． 1．(xx·潍坊)边长为 6 的等边△ABC 中，点 D，E 分别在 AC，BC 边上，DE∥AB，EC＝2 3. (1)如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点 N.当 CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由． (2)如图 2，将△DEC绕点C 旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为 P. ①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接 AP，当 AP 最大时，求AD′的值．(结果保留根号) 图1 图2 2．(xx·成都)如图 1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点 D 在AH 上，且 DH＝CH，连接 BD. (1)求证：BD＝AC； (2)将△BHD 绕点 H 旋转，得到△EHF(点 B，D 分别与点 E，F 对应)，连接 AE. ①如图 2，当点 F 落在 AC 上时(F 不与 C 重合)，若 BC＝4，tan C＝3，求 AE 的长； ②如图 3，当△EHF 是由△BHD 绕点H 逆时针旋转 30°得到时，设射线 CF 与AE 相交于点 G，连接 GH，试探究线段 GH 与EF 之间满足的等量关系，并说明理由．
1.如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不 与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值． 类比归纳：在图（1）中，若 13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14 CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN 的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于__．（用含m n ，的式子表示）
2. 2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上， 落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开 铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”. 图一图二图三（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF” 是一个_________三角形； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶 点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最 大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存 在，为什么？
3.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的 有关问题． 实验与论证 设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示． （1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________； （2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想 设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α （ n 180 0< < ）． （3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
编辑 一、选择题 1. （2013年湖北荆门3分）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是【】 2. （2013年湖北荆州3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两 点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线 k y x （k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平 移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是【】
A．1 B．2 C．3 D．4 3. （2013年湖北荆州3分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论： ①△A1AD1≌△CC1B； ②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形； ③当x=2时，△BDD1为等边三角形；
④()2s 23x =-（0＜x ＜2）； 其中正确的是 ▲ （填序号）． 4. （2013年浙江湖州3分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交
点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是【 】 A ．16 B ．15 C ．14 D ．13 5. （2013年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y 1x 2 = 经过平移得到抛物线21x 2y 2x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【 】
一、选择题 1．（2017四川省达州市，第9题，3分）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（） A．2017πB．2034πC．3024πD．3026π 2．（2017临沂，第14题，3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 k y x =（x＞0）的图象与边长是 6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（） A．62B．10C．226D．229 3．（2017新疆乌鲁木齐市，第10题，4分）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线 3 y x =上，点C， D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（） A．52B．62C．21022 +D．82 4．（2017湖北省恩施州，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，
直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E 关于y轴对称，抛物线2 y ax bx c =++过E、B、C三点，下列判断中： ①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5，其中正确的个数有（） A．5B．4C．3D．2 5．（2017湖北省咸宁市，第8题，3分）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（） A．（3 2 ，0）B．（2，0）C．（ 5 2 ，0）D．（3，0） 6．（2017辽宁省营口市，第8题，3分）如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函 数 k y x 的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（）
几何综合——三大变换 【例1】已知△ABC ，AD ∥BE ，若∠CBE ＝4∠DAC ＝80°，求∠C 的度数。 C D E B A 【例2】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，且BD ＝BC ，AC ⊥BD 。求证：AD ＋BC ＝2CM 。 M D C B A
【例3】已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG ⊥DE 于点H 。 ⑴求证：FG ＝DE 。 ⑵求证：FD EG 。 H G F E D C B A 【例4】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD ＝CE 。求证：2DE ≥BC 。 E D C B A 【例5】(2007北京)如图，已知△ABC 。 ⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此 图中只存在．．． 两对．． 面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。 板块二 轴对称变换 【例6】把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上， B 'C '交CD 于点N ，已知正方形的边长为1，求△DB'N 的周长。 N C' F E B' D C B A 【例7】（2009山西太原）问题解决： 如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D 、重合），压平后得到折痕MN 。当 12CE CD 时，求 AM BN 的值。 图1 N M F E D C B A 【例8】⑴(2009浙江温州)如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙O 的半径为2，圆心在正方形的中
专题21几何三大变换问题之平移问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由两大要素构成：①平移的方向，②平移的距离。平移有如下性质： 1、经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等； 2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等； 3、平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。 中考压轴题中平移问题，包括直线（线段）的平移问题；曲线的平移问题；三角形的平移问题；四边形的平移问题；其它曲面的平移问题。 一.直线（线段）的平移问题 1.定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点. （1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____, 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______ （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式. （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M. ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长; ②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2；5（2） () () 2 m8m122m4 d 24m6 < ?-+-≤ ? =? ≤≤ ?? （3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m= 14 3 【解析】解：（1）2；5。 （2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。 当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，则根据定义，d=EB。