第七讲一笔画与七桥问题
【知识梳理】
1.一笔画是指能够一笔画成的图形。
2.把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点，把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫做偶点，这样图形中要么是奇点，要么是偶点。
3.有2个奇点或0个奇点（全部是偶点）连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成。
4.七桥问题可以转化成一笔画问题解决。
【典例精讲1】一笔画就是笔不离纸，笔画不重复，一笔画出一个图形．你能用一笔画出下列图形吗？
思路分析：能够一笔画成的图形，
首先必须要相连，结果不相连就
一定不能一笔画成，能否一笔画
成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画。
解答：观察图形可知（1）第一个图形全是偶点，所以能一笔画出；
（2）第二个图形是2个奇点，剩下的都是偶点，所以能一笔画出。
小结：解决这类问题首先要看是不是连通图，其次看奇点或偶点的个数，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成。
【举一反三】1、下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？
2.“九点连线”是一道著名的数学题，你能用一笔画4条连续的直线段，把图中所有的9个点都连起来吗？请你在下图画出来。
【典例精讲2】在一个城市中有七座桥和四个区域：能不能一次走遍所有的七座桥，而每座桥只准经过一次？
思路分析：用“1、2、3、4、5、6、7”表示七座桥，它们连接着A、B、C、D 四个区域（如图所示），这样一来，七座桥的问题，就转变为一
个一笔画问题，即能不能一笔从头到尾不重复地画出这个图形．
解答：图中有4个奇点和一个偶点，奇点个数不是2个，
所以不能一笔完成。
小结：解决这类问题要学会转化，即把七桥问题转化成一笔画问题。
【举一反三】3、如图是某层楼房间的平面图，每个房间都有门道通往过道，每相邻两个房间之间各有一扇门道．你能不能不重复地走一次穿过每扇门？如果不能，关闭哪扇门后，就能走一次不重复地穿过所
有的门。
4、送信
下面是一个住宅区的示意图．邮递员小王从邮局出发，要送信到四个住宅楼．为了节省时间，小王选择了一条最短的路线，走这条路线既能把每个楼的信送到，又不走重复的路，你能找到这条最短路线吗？把这条
路线画出来。
答案及解析：
1.【解析】图（1）有4个偶点，可以一笔画出；图（2）
有4个奇点，大于2，不能一笔画出；图（3）不是连通的，不能一笔画出；图（4）有10个偶点，也能一笔画出。
【答案】：图（1）可以一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束；经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出；图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出；图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以．
再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起．而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成．
2.【解析】：本题单独考虑奇点的个数和偶点的个数是不能解决问题的，它不同于一般的一笔画，考虑到直线段如果不超出一些点，是不能画4条线段的，所以可以从右上角的点开始，沿对角线画，再向上画，再向右下画，
最后向左画即可。
【答案】：可以把图中所有的9个点都连起来，如下图：
3.【解析】（1）“能不能不重复地走一次穿过每扇门”，首先观
察偶数点和奇数点的个数．因为C、D、E都是奇数点（3个门相通），超过了两个奇数点，所以不能一笔画出．也就不能不重复地走一次穿过每扇门。
（2）要想“走一次不重复地穿过所有的门”，就得从C、D、E房间的门入手，因为C、D、E都是奇数点。
【答案】：：（1）不能不重复地走一次穿过每扇门。
（2）当关闭C和D之间的门；或关闭D和E之间的门；或关闭E通向过道的门时，可一次通过．（用A、B、C、D、E五个点表示五个房间，F点表示过道，用线把两个点连起来，于是走的路线就简化成一笔画问题。）
4.【解析】利用一笔画定理，画出从邮局出发，经过四个住宅楼的路线，且尽量使行走的路线不重复，且尽量走短边，即可找出最短路线。
【答案】：如图就是最短路程：