数列典型例题选讲
1 ．已知数列}{n a 为正项等比数列,n 2n 53
a b 32a 8a log ,,===
(1)求n a 的通项公式; (2)设}{n b 的前n 项和为n S ,求n S 【解析】
2253(1)328,2a a q q q =∴==由
3322(2)log 2(1)2
n n n n n n a a q b n n n S -∴====+=
2 ．设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知1
1,a =142n n S a +=+
(I)设12n
n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列 (II)求数列{}n a 的通项公式．
【解析】(I)由11,a =及142n n S a +=+,有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=
由1
42n n S a +=+,...① 则当2n ≥时,有142n n S a -=+.....②
②-①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-
又12n n n b a a +=-Q
,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为2的等比数列.
(II)由(I)可得1
1232n n n n b a a -+=-=?,113224
n n n n a a ++∴-=
∴数列{}2n n a 是首项为12,公差为34的等比数列. ∴1331(1)22444
n n
a n n =+-=-,2
(31)2n n a n -=-? 3 ．已知等比数列{}n a 中,1
3,a =481a =*()n ∈N .
(Ⅰ)若{}n b 为等差数列,且满足2152,b a b a ==,求数列{}n b 的通项公式;
(Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n b a =,求数列11n n b b +??
????
的前n 项和n T .
【解析】(Ⅰ)在等比数列{}n a 中,13,a =481a =.
所以,由34
1a a q =得3813q =,即327q =,3q = 因此,1333n n n a -=?=
在等差数列{}n b 中,根据题意,21523,9b a b a ====
可得,5293
2523
b b d
--=
==- 所以,2(2)3(2)221n b b n d n n =+-=+-?=-
(Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n b a =,则3log 3n
n b n ==,
因此有122311111111122334(1)
n n b b b b b b n n ++++=++++
???+L L 1111111(1)()()()223341n n =-+-+-++-+L 1111
n
n n =-=
++ 4 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1n n S tS n --=(2n ≥,*
n ∈N ,t 为常数) ,且11a =.
(Ⅰ)当2t =时,求2a 和3a ; (Ⅱ)若{1}n a +是等比数列,求t 的值; (Ⅲ)求n S .
【解析】解法一(Ⅰ)当2n ≥时,1n n S tS n --=,当3n ≥时,121
n n S tS n ---=-,
两式相减得11
n
n a ta --=(*) (3)n ≥
2n =时,212S tS -= ,得 1212a a ta +-= 因为11a =,得 211a ta -= ,故 11n n a ta --=(*) (2)n ≥ 因为2t =,所以21213a a =+=,32217a a =+=
(Ⅱ)由(*)可知112n n a ta -+=+(2n ≥),若{1
}n a +是等比数列,则1231,1,1a a a +++成等比数列 即2213(1)(1)(1)a a a +=++ 因为212312,12,12a a t a t t +=+=++=++,所以22(2)2(2)t t t +=++
即2
20t
t -=,所以0t =或2t =.经检验,符合题意 (Ⅲ)由(*)可知21
21221(1)111n n n n n n a ta t ta t a t t
t t -----=+=++=++==++++L L (2n ≥) 当1t =时,1
111n n a n =+++=L 14243
个,此时,12(1)
122n n n n S a a a n +=+++=+++=L L 当1t ≠时,11n
n t a t
-=
-,
此时,12n n S a a a =+++L 211111n t t t t --=+++--L 2(1)(1)(1)
1n t t t t
-+-++-=
-L
(1)11n t t n t t --
-=-12
(1)(1)n t t n t t ++--=
- 所以
1
2(1)
(1)
2(1)(1)
(1)n n n n t S t t n t t t ++?=??=?+--?≠?-?
解法二(Ⅰ)因为 2t =及1n n S tS n
--=,得12n n S S n --= 所以
121()22a a a +-=且1
1a =,解得 23a =
同理
12312()2()3
a a a a a ++-+=,解得
37a =
(Ⅱ)当3n ≥时,1n n S tS n
--=, 得
121n n S tS n ---=-, 两式相减得11
n n a ta --=(**) 即
112
n n a ta -+=+
当t =0时,12n a +=,显然{1}n
a +是等比数列
当0t
≠时,令112n n n b a ta -=+=+,可得12n
n b tb t
-=+-
因为 {1}n a +是等比数列,所以{}n b 为等比数列,当2n ≥时,211n n n b b b +-?=恒成立,
即 2(2)
[(2)]n n n b t tb t b t
--+-?= 恒成立,化简得 2(2)(1)(2)0
n t t b t -+--=恒成立,
即2
(2)(1)0(2)0t t t -+=??-=?
,解得2t =, 综合上述,0t =或2t = (Ⅲ)当1t
=时,由(**)得11
n n a a --=
数列{}n a 是以1为首项,1为公差的等差数列,所以 (1)
122
n n n S n +=+++=
L 当1t
≠时,由(**)得11n n a ta -=+, 设1()n
n a k t a k -+=+(k 为常数) 整理得1(1)n n a ta t k -=+-, 显然
11
k t =- 所以111
()11n n a t a t t -+
=+--, 即数列1{}1n a t +
-是以111
t +-为首项,t 为公比的等比数列 所以111(1)11n n
a t t t -+
=+--,即 11
11
n n t a t t t -=-
-- 所以122
(1)
(1)(1)111(1)1(1)n n n n t
t n t t n t t n t t S t t t t t +--+---=
-=+=-----
所以
1
2(1)(1)
2(1)(1)
(1)n n n n t S t t n t t t ++?=??=?+--?≠?-?
5 ．已知数列
{}n a 的前n 项和为n S , 且满足n 2-=n n a S ,(1,2,3,.....)n =
( I ) 求321,,a a a 的值; (II) 求证数列}1{+n a 是等比数列; ( III ) 若n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n T .
【解析】(I)因为n 2-=n n a S ,令1=n , 解得,11=a
再分别令3,2==n n
,解得233,7a a ==
(II)因为n a S n n -=2,所以)1(211--=--n a S n n , (1,)n n N >∈
两个代数式相减得到121+=-n n a a
所以）（1211+=+-n n
a a , (1,)n n N >∈
又因为211=+a ,所以}1{+n a 构成首项为2, 公比为2的等比数列
(III)因为}1{+n a 构成首项为2, 公比为2的等比数列,所以n n a 21=+,所以12-=n n a
因为n n na b =,所以n n b n n -?=2
所以)...21(22)1(......2322211321n n n T n n n +++-?+-++?+?+?=-
令
1231122232...(1)22 (1)n n n H n n -=?+?+?++-+?
23412122232...(1)22 (2)n n n H n n +?=?+?+?++-+?
1231
11212(1)(2)222 (22)
2(1)2212
n n n n n n H n n n +++---=++++-?=-?=-?--（）
得：
因此12)1(2 +?-+=n n
n H 所以 .2
)
1(2)1(21+-
?-+=+n n n T n n 6 ．已知
)0(3,2
)
(,
≥x x f x 成等差数列.又数列,3,)0}({1=>a a a n n 中此数列的前n 项的和S n (+∈N n )对所有大于1的正整数n 都有)(1-=n n S f S .
(1)求数列}{n a 的第n+1项; (2)若n
n n a a b 1
,11+是
的等比中项,且T n 为{b n }的前n 项和,求T n. 【解析】(1))0(3,2
)
(,
≥x x f x Θ成等差数列,∴322
)
(+=?x x f
∴.)3()(2+=x x f
∵2111)3()(),2(),(+==∴≥=---n n n n n S S f S n S f S , ∴,3,311=-+=--n n n n S S S S ∴{n
S }是以
3为公差的等差数列.
∵
n n n S S a S a n 33333)1(,3,31111=-+=-+=∴==∴=,
∴).(32+∈=N n n S n
∴.363)1(32211
+=-+=-=++n n n S S a n n n
(2)∵数列n n n a a b 1,11+是
的等比中项,∴,11)(12n n n a a b ?=+ ∴).1
21
121(181)12(3)12(3111+--=-?+==
+n n n n a a b n n n ).1
211(181)]121121()5131()311[(18121+-=+--++-+-=
+++=n n n b b b T n n ΛΛ 7 ．设数列{}n b 的前
n 项和为n S ,且22n n b S =-;数列{}n a 为等差数列,且514,a =720a =?
(1)求数列{}n b 的通项公式; (2)若(1,2,3),n
n n n c a b n T =?=…为数列{}n c 的前n 项和,求证7
2
n T <
? 【解析】(1)由11111222,1,22,,3
n n b S n b S S b b =-==-==
令则又所以 2122111222(),9
222,2()21
3n n n n n n n n n b b b b n b S b b S S b b b ---=-+=≥=--=--=-=则当时，由可得即
{}1211
2333
n n n b b b ==?所以是以为首项，为公比的等比数列，于是
(2)数列{}n a 为等差数列,公差751
()3,312n d a a a n =-==-可得 从而1
2(31)3
n n n n c a b n =?=-?
2323123111112[258(31)],3333
111112[ 25(34)(31)]333332111112[3333(31)]3333333n n n n n n n n T n T n n d T n ++∴=?
+?+?++-?=?+?++-?+-?∴=?+?+?++?---?……… 从而17717
22332
n
n n n T -=
-?-< 8 ．在数列{}n a 中,1111
1,(1)2n n n
n a a a n ++==++
(1)设n n
a b n
=
,求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和n S
【解析】(I)由已知有
1112n n n a a n n +=++11
2
n n n
b b +∴-=
利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式
1
122n n b -=-
(*
n N ∈) (II)由(I)知122n n n
a n -=-,∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2
n n
k k k k k -===-∑∑
而
1
(2)(1)n
k k n n ==+∑,又112
n
k k k
-=∑
是一个典型的错位相减法模型,
易得
111242
2n
k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1
2
42n n -++- 9
．2a ,5a 是方程2
x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列,数列{
}n b 的前n 项和为
n
T ,且
n T 2
1
1-=n b ()*∈N n
(1)求数列{}n a ,{
}n b 的通项公式; (2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S . 【解析】(1)由27,125252
==+a a a a .且0>d 得9,352==a a
232
5=-=
∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12
在n n b T 211-=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,T n =,211n b -1121
1---=n n b T ,
两式相减得n n n b b b 21211-=-,()23
1
1≥=∴-n b b n n
()
*
-∈=
?
?
?
??=∴N n b n
n n 3
231321
(2)()n
n n n n c 3
2
43212-=?-=, ??? ??-++++=∴n n n S 312353331232Λ,??
? ??-+-+++=+1323123323331
23n n
n n n S Λ,
??????--??? ??++++=∴+132312313131231232n n n n S Λ=2?????
???????---
???
??-?+
+-11
31231131191231n n n =11344343123131312+++-=???
??---+n n n n n ,
n
n n S 32
22+-=∴
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n a 是n S 与2的等差中项,数列{
}n b 中,11=b ,点()1,+n n b b P 在直线02=+-y x 上? (Ⅰ)求1a 和2a 的值; (Ⅱ)求数列
{}n a ,{}n b 的通项n a 和n b ; (Ⅲ) 设n n n
b a
c =,求数列{}n c 的前n 项和n T ?
【解析】(1)∵n a 是n S 与2的等差中项, ∴22-=n n a S ?
∴22111
-==a S a 解得21=a , 222221-==+a S a a 解得42=a
(2)22-=n n a S Θ 2211-=--n n a S 又()*
-∈≥=-N n n a S S n n n ,21 122--=∴n n n a a a 又0≠n a Θ ()*
-∈≥=∴
N n n a a n n
,2,21
即数列{}n
a 是等比数列
21=a Θ n n a 2=∴ 又Θ点()1,+n n b b P 在直线02=+-y x 上,
021=+-∴+n n b b 21=-∴+n n b b ,即数列{}n b 是等差数列,又,11=b 12-=∴n b n
(3)
(21)2,
n n c n -Q ＝
231122123252(21)2,n n n n T a b a b a b n ∴+++=?+?+?++-L L ＝231
21232(23)2(21)2n n n T n n +∴=?+?++-+-L ?
因此由错位相减法得,∴
6
2)32(1+-=+n n n T ?
11．已知在等差数列
{}n a 中,34,a =前7项和等于35,数列{}n b 中,点(),n n b S 在直线220x y +-=上,其中n S 是数列{}n b 的前n 项
和
()
*
n N ∈?
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证数列{}n b 是等比数列;
(3)设,n
n n n c a b T =?为数列{}n c 的前n 项和,求n T 并证明;
4532
n T ≤
76
7352
a d a d +=??
??+=??得121a d =??=? ∴1(1)21 1.n a a n d n n =+-=+-=+
(2)∵点(,)n n b S 在直线
220x y +-=上
∴220n n b S +-=----① ,11220n n b S --+-= (2)n ≥ -----②
①-②得120n n n b b b --+=,∴11
(2)3
n n b b n -=≥,
又当1n =时,11112b b =-+ ∴1
2
03b =≠ ∴数列{}n b 是以23为首项,1
3为公比的等比数列?
(3)由(2)知,1212
()333
n n n b -=?-=,
∴n n n n n b a c 3
2
)1(?+=?=
232223242(1)
3333n n
n T ???+=++++L -----------③ 2341122232422(1)
333333
n n n n n T +???+=+++++L ------④ ③—④得,2312222222(1)333333
n n n n T +?+=+++-L
∴2311111(1)233333n n n n T -+=+++++-L =111(1)
13321313
n n
n --++-- =11112(1)233n n n -++--=525
223n
n +-? n T =52552232
n n +-
由③知n T 的最小值是143T = ∴
45
32
n T ≤< 12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足2+3=,2=1+1n n S S S ()L n=1,2,3.
(Ⅰ)求证数列
{}1+n
S
为等比数列; (Ⅱ)求通项公式n a ; (Ⅲ)设2
n n
n S a b =
,求证1...21<+++n b b b .
【解析】证明(Ⅰ)2+3=1+n n S S Θ
, )1+(3=1+∴1+n n S S .
又3=1+1S Θ
,
{}1+∴n S 是首项为3,公比为3的等比数列且*31,N n n S n =-∈.
(Ⅱ)1=n
时,2==11S a ,
1>n 时,)13()13(11---=-=--n n n n n S S a )13(31-=-n 132-?=n . 故1*23,N n n a n -=?∈.
(Ⅲ) ()11211232311
,1(31)(31)(31)3131
n n n n n n n n b n ----??=
<=->-----Q )
1
31
131()131131()131131(21...1322121---+???+---+---+<+++∴-n n n b b b 11
312121<--+=n . 【命题意图】 数列既是高中数学的重点,也是难点.掌握好等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式,能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点n S 与n a 的关系(注意讨论);b ka a n n +=+1;递推——猜想——数学归纳法证明;迭加)(1n f a a n n +=+;迭乘n n a n f a ?=+)(1;裂项求和;错位相减等;数列不等式证明中注意放缩法的运用.
13．已知等差数列{a n }的首项≠=d a 公差,21
0,且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{b n }的第一项、第二项、第三项?
(I)求数列{a n }和{b n }的通项公式;
(II)设数列{c n }对任意的122
11+*
=+++∈n n
n a b c b c b c N n Λ均有
,求数列{c n }的前n 项和? 【解析】(I)由已知)(03)102(2)22(2舍==?+=+d or d d d
数列{a n }的通项公式13-=n a n ;数列{b n }的通项公式122-=n h b n
(II)由
),,11221112211--++++=+++n n n n n b c b c
b c a b c b c b c ΛΛ 2(31≥=-=?=+n a a b c a n n n
n n ) )2(2312≥?=-n c n n
又10211
=?=a b c ???≥?==-)
2(,23)1(,101
2n n c n n
所以数列}{n c 的前n 项和121
224
1)41(2410+-+=--+=n n n
S 14．设数列}{n a 的首项1
1a =,前n 项和为n S ,且点1(,)(,2)n n S S n n *-∈≥N 在直线(23)330t x ty t +-+=(t 为与n 无关的正
实数)上.
(Ⅰ) 求证数列}{n a 是等比数列; (Ⅱ) 记数列}{n a 的公比为()f t ,数列{}n b 满足11
1
1,(
)n n b b f b -==(,2)n n *∈≥N . 设212221n
n n n n c b b b b -+=-,求数列{}n c 的前n 项和n T ;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设1(1)31
n n n
d b =+
-*()n ∈N ,证明1n n d d +<. 【解析】(Ⅰ)因为点
1(,)n n S S -(,2)n n *∈≥N 在直线(23)330t x ty t +-+=(t
为与
n
无关的正实数)上, 所以
1(23)330n n t S tS t -+-+=,即有13(23)3n n tS t S t --+=(,2)n n *∈≥N .
当2n
=时,t a t a a t 3)32()(3121=+-+.
由11=a ,解得t
t a 33
22+=,所以t t a a 33212+=. 当时，有2≥n
t S t tS n n 3)32(31=+-＋ ① t S t tS n n 3)32(31=+-- ②
①-②,得 0)32(31=+-n n a t ta ＋,整理得t
t a a n n 33
21+=+. 综上所述,知t
t a a n n 33
21+=+ (n ∈N*),因此}{n a 是等比数列
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知t t t f 33
2)(+=,从而1111
12312(
)133n n n n n b b f b b b ----?
+===+?, 所以=--1n n b b 3
2
(,2)n n *∈≥N . 因此,}{n b 是等差数列,并且121
(1)33
n b b n d n =+-=+.
所以,123n n T c c c c =++++L
12233445212221n n n n b b b b b b b b b b b b -+=-+-++-L 21343522121()()()n n n b b b b b b b b b -+=-+-++-L
22242541()
()443
32()3232
n n n n n b b d b b b +++=-+++=-?=-?L
28493
n n =--
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知1(1)2n n d n =+,则()1
11121n n d n ++??=+??
+??
.
将112n
n d n ?
?=+ ?
??
用二项式定理展开,共有
1n +项,其第1k +项()0k n ≤≤为
()()11111122!k
k k n k k
n n n k T C n k n +--+??==?? ???
L 111211112!k k k n n n -??????=??--- ??? ???????
L , 同理,() 1
11121n n d n ++??=+??
+??
用二项式定理展开,共有2n +项,第2n +项为()1
1
211021n n n n U C n ++++??=>??
+??
,其前
1n +项中的第1k +项()0k n ≤≤为1111211112!111k k k U k n n n +-??????
=??--- ??? ?+++??????
L ,
由112211,11,,11,2,3,,111k k k n n n n n n n -<--<--<-=+++L L ,
得11,2,3,,,k k T U k n ++<=L 又11222,,0n T U T U U +==>,
∴
1n n d d +<
15．已知递增的等比数列
{}n a 满足28432=++a a a ,且23+a 是42,a a 的等差中项.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若12log +=n n
a b ,n S 是数列{}n b 的前n 项和,求使424n S n >+成立的n 的最小值.
【解析】(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意有423)2(2a a a +=+, (1)
又28432
=++a a a ,将(1)代入得83=a .所以2042=+a a .
于是有?
??==+,8,
2021311q a q a q a
解得???==,2,21q a 或??
???==.21,
321q a
又{}n a 是递增的,故2,21==q a 所以n
n a 2=
(Ⅱ)12
log 1
2+==+n b n n
,2
32n
n S n +=
故由题意可得
234242
n n
n +>+,解得12>n 或7n <-.又*∈N n , 所以满足条件的n 的最小值为13
16．已知数列{}n a 中,211
=
a ,且当21=x 时,函数x a x a x f n n 122
1)(+-=取得极值? (Ⅰ)求数列{}n a 的通项; (Ⅱ)在数列{}n b 中,11=b ,1221log -+=-n n n a b b ,求21b 的值
【解析】(Ⅰ) 1)('+-=n n a x a x f 由题意0)21('=f 得 n n a a 2
1
1=+,
又Θ0211≠=a 所以 数列{}n a 是公比为21
的等比数列 所以 n n a 2
1=
(Ⅱ) 因为 n a b b n n n n 212
1
log log 1221221-===---+,
所以 392021-=-b b ,371920-=-b b ,351819-=-b b ,……,112-=-b b 叠加得 400121-=-b b 把11=b 代入得 21b =399-
17．已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ,且2231-?=-n n S .
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令()n n a n b 23-=,求数列{
}n b 的前n 项和为n T . 【解析】 (Ⅰ)当1=n 时,11=a
当2≥n
时,1--=n n n S S a 2
2
1
2
322
322
3---?=+?--?=n n n 即()()?
??≥?==-223112
n n a n n ;
(Ⅱ)当1=n
时,11=T
当2≥n 时,()2
210232323102372341-??-++??+??+??+=n n n T Λ ()()2210223210272431--++?+?+?+=n n Λ
令()22102232102724--++?+?+?=n n
n G Λ
利用错位相减法解得()22531+-=-n n
n G 所以()725331+-=-n n n T
18．等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +
∈ ，点(,)n n S ，均在函数
(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图
像上.
（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈
证明对任意的n N
+
∈ ，不等式
1212111
·······1n n
b b b n b b b +++>+ 【解析】因为对任意的n N
+
∈,点(,)n n S ，均在函数
(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当
1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为
等比数列,所以
1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-
（2）当b=2时，11(1)2n n n
a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=
则
1212n n b n b n ++=,所以1212111
35721·······2462n n b b b n b b b n
++++=??L 下面用数学归纳法证明不等式
1212111
35721·······12462n n b b b n n b b b n
++++=??>+L . ①
当1n =时,左边=
32,右边2,因为
3
22
>,所以不等式成立. ② 假设当
n k =时不等式成立,即
1212111
35721·······12462k k b b b k k b b b k
++++=??>+L .则当1n k =+时,左边=
11212111113572123
(246222)
k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=?????+L
2223(23)4(1)4(1)11
1(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)
k k k k k k k k k k k ++++++>+?===+++>++++++
所以当
1n k =+时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立.
19．已知数列{n a }的前n 项的和为n S ,对一切正整数n 都有22n
n S n a =+.
(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式; (Ⅱ)当n N *
∈,证明11117
2122212n
n n a a a ++++≥++L . 【解析】(Ⅰ)∵22
1
112222n n n
n a a n n S S +++=
+=+（），， ∴11112121222
n n
n n n
n n a a n a S S a a n +++++=-=+-+=+，即 ∴11n n a n a n +-+=--（）（）
令
n n b a n =-,则1n n b b +=-,∴11(1)n n b b -=-
1
1111122
a a S a ==
+=又得,∴1110b a =-= ∴0n n b a n ==，即 (Ⅱ)证明111()(*)122f
k k N k k k =
+++∈++L 构造
111111(1)()()()2322122f k f k k k k k k k +-=+++-++++++++L L 11
02122
k k =->++
∴()f k k 关于是递增的,
又∵
22(*)n n N ≥∈,∴(2)(2)n f f ≥
∴
1111117
(2)(2)212223412n n n n f f +=
+++=+=++L 的最小值为
∴111121222n
n n ++++≥++L 7
12
20．已知数列{n a }中2
1
1
=
a ,点(n n a a n -+12,)在直线x y =上,其中1,2,3....n = (Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n
b a a b ,11--=+
(Ⅱ)求数列
{}的通项；n a
(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ,使得数列n n S T n
λ+??
???
?
为等差数列?若存在,试求出λ.若不存
在,则说明理由? 【解析】(1)由已知得111,2,2n n a a a n +==+2213313,11,4424
a a a =--=--=-Q 又11,n
n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--
11112111(1)1
11222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴====------{}n b ∴是以34-为首项,以
12
为公比的等比
数列 (2)由(1)知,13131(),4222n n
n b -=-?=-?1311,22
n n n a a +∴--=-?2131
1,22a a ∴--=-?
322311,22a a --=-???????1131
1,22
n n n a a --∴--=-?将以上各式相加得
1213111
(1)(),2222
n n a a n -∴---=-++???+
11111(1)31313221(1)(1) 2.
12222212
n n n n a a n n n ---∴=+--?=+---=+--
3
2.2
n n a n ∴=+-
(3)解法一存在2λ=,使数列{}n n
S T n
λ+是等差数列.
12121113(
)(12)2222n n n
S a a a n n =++???+=++???++++???+-Q 11
(1)(1)22321212
n n n n -+=?+--22
13333(1) 3.2222n n n n n n --=-+
=-++ 121
31(1)
313342(1).1222212
n n n n n T b b b +--=++???+==--=-+-
数列{}n n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n n
S T An B A n λ+=+、B 是常数)
即2,n
n S T An Bn λ+=+
又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-
+++-+231
3(1)(1)222n n n λ-=+-- ∴当且仅当102
λ
-
=,即2λ=时,数列{
}n n
S T n
λ+为等差数列
21．数列{}n a 中,1
48,2,a a ==且212(*).n n n a a a n N ++=-∈
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设12||||||,n Sn
a a a =+++L 求10;S
(3)设121,(12)n n n n b T b b b n a =
=+++-L ,是否存在最大整数m,使得对*n N ?∈ 有32
n m
T >成立?若存在,求出m 的值,若不存在,说明理由? 【解析】(1)由题意,2
11,n n n n a a a a +++-=-
{}n a ∴为等差数列,设公差为d ?
由题意得2
832,82(1)102,n d d a n n =+?=-∴=--=-……………………
(2)若1020, 5.n
n -≥≤则
101256710S a a a a a a =+++----L L
1627510()()()5(5)50a a a a a a d =-+-++-=?-=L ……………………
(3)11111
()(12)2(1)21n n b n a n n n n =
==--++Q 1111111111[(1)()()()()]222334112(1).
n n T n n n n n ∴=-+-+-++-+-=-++L
…………………………
若32n
m T >
对任意*
n N ∈成立,即
116n m n >+对任意*n N ∈成立, *()1
n n N n ∈+Q 的最小值是12,
1
162
m ∴<,m ∴的最大整数值是7?
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．
数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列，并且23 1n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中，10a =，112n n a a += -，* N n ∈.
求证：11n a ?? ??-?? 是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式； 5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式 （二）含有n S 的递推处理方法 1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.
2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2 (2)8 n n a S +=则，数列n a 3 4）1a +求数列a （三） 累加与累乘 （1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a
（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式 (3) 1a = （4 （四）一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足111 1,12 n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a
2 .若数列{}n a 满足111 1,22 n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a （1 （2 （六）求周期 16 （1） 121,41n n n a a a a ++==-，求数列2004a
数学基础知识例题
数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ， 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解：14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解：12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一：设首项为1a ，公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二：??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解：∵109181a a a a =，∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得：12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列
数列常见题型总结经典(超 级经典) -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1．前n 项和法（知n S 求n a ）???-=-11n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-= n n a S ，求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法） （1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.
例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a 1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如)(1n f a a n n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。
高中数列经典题型-大 全
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ： ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x Θ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 13212+=++，求n a 。 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-) 2()1(11n S S n S a n n n 与 例：已知数列{}n a 前n 项和2214-- -=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公 式n a . 类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 )()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。 例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
数列知识点及典型例题 一、 知识点 一、 选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分 1、数列 的一个通项公式是（ D ） A. B ． C ． D ． 2、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（ C ）A.8 B.-8 C.±8 D. 3、已知数列{}n a 是等比数列，若,a a a a 41813229=+则前30项的和=30S （B ） A 、154， B 、15 2， C 、15 21?? ? ?? D 、153， 12) 1(3++-=n n n a n n 1 2) 3()1(++-=n n n a n n 121 )1() 1(2--+-=n n a n n 1 2) 2()1(++-=n n n a n n ?--,9 24 ,715,58,18 9
4、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( B ) A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 5、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则（ D ） A 、18 B 、36 C 、54 D 、72 6、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( C ) A ． －1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－20 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。 7、已知数列的通项公式74+=n a n ，则其中三位数的个数有255个 8、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2010S S =，则30S 的值是0。 三、解答题：本大题共7小题，共84分。 11、已知等差数列{}n a 中，公差为,1=d 且9999=s ，求+++852a a a 15a +Λ的值。 解法一：9999=S ，{}n a 是等差数列 所以 992 98 99991=?+ d a ，又1=d ，481-=a 所求量为首项为-47，公差为3的前5项和S 5=…… 12、⑴在等比数列{}n a 中，若,a a ,a a 6243224=+=-求首项1a 和公比q 。 ⑵设等比数列{}n a ，n s 是它的前n 项和，若,s s s 9632=+求公比q 。 解：⑴由已知有：24131=-q a q a 及6211=+q a q a 得5 1 1= a ， 5=q ⑵当1=q 时，{}n a 是常数列，则根据,s s s 9632=+得1111863a a a =+，01=a ， 因为{}n a 是等比数列，01≠a 故1≠q 。 当1≠q 时，()()() q q a q q a q q a --= --+--1121111916131，解得321-=q 。 13、三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数
数列全部题型归纳(非常全面-经典!)
数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中，10a =，112n n a a +=-，*N n ∈.
求证：11n a ????-?? 是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式； 5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式 （二）含有n S 的递推处理方法 1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.
2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2 (2) 8n n a S +=则，数列n a 3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111 ,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列 n a 4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a （三） 累加与累乘 （1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a
（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(11≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式 (3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式. （4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2 n n S n a a ==则，数列n a （四）一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足1111,12 n n a a a -== +(2)n ≥，数列n a
1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．
《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差， ，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将， 代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列 考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是 递增数列，但．对于选项D的命题，由，得， 因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算． 答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若 ，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____． 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵． 考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 １．前ｎ项和法（知n S 求n a ）?? ?-=-11 n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和2 12n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122 -=,求数列|}{|n a 的前ｎ项和n T 练习： １、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。答案：???=-12 2n n a )2() 1(≥=n n 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-=n n a S ，求该数列的通项公式。答案：n n a 32?= 3、设数列}{n a 的前ｎ项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足2 2n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式. 4.n S 为{n a }的前n 项和，n S ＝3（n a －1）,求n a (n ∈N +） ５、设数列{}n a 满足2 *12333()3 n n a a a a n N +++= ∈n-1 …+3，求数列{}n a 的通项公式(作差法） 2。形如)(1n f a a n n =-+型（累加法) （１）若f(ｎ）为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+。 （２)若ｆ(n)为n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111 1≥+==--n a a a n n n ，证明2 1 3-=n n a 例2．已知数列{}n a 的首项为1，且* 12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 例３.已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式。 3。形如 )(1 n f a a n n =+型(累乘法) （1）当f(ｎ)为常数,即：q a a n n =+1(其中q 是不为0的常数）,此数列为等比且n a =1 1-?n q a 。 (2)当f(n ）为n 的函数时，用累乘法． 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式.答案:12+=n a n 练习： 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。答案:)1(2 +=n n a n ２、求数列)2(1 232,111 ≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。 4。形如s ra pa a n n n += --11 型（取倒数法) 例１. 已知数列{}n a 中,21=a ，)2(1 211 ≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a
高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a
【数学联赛】 专题01数列真题汇编与预赛典型例题 1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且 ，则这样的数列的个数为. 2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有 。则的所有可能值为___________。 3．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足 .则这样的有序数组的个数为________. 4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________. 5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______. 6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 7．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中， ，且存在常数使得对每一个正整数都有.则 ________. 8．【2019年全国联赛】设整数满足. 记. 求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数. 9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：
（1）对任意正整数n，有； （2）对任意正整数n，有. 10．【2018年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数n≥1，a n+1是与互素，且不等于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现. 11．【2017年全国联赛】设数列定义为求满足 的正整数r的个数。 12．【2016年全国联赛】设p与p + 2均为素数，p > 3.定义数列 ，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对 ，均有. 13．【2014年全国联赛】已知数列满足.求正整数m使得 . 14．【2013年全国联赛】给定正数数列满足，，其中，.证明：存在常数，使得. 15．【2013年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数， .记.证明：数列中有无穷多项是完全平 方数. 16．【2012年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有 . (1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列. (2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.
高中数学：数列及最全总结和题型精选 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫 这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始 依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2) n n n S n a S S n -=?=? -?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥ 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116 a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”） (三)、等差中项的概念：
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）21 12322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列 {} 1 2n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知 n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
数列经典例题(裂项相消法)
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中， 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距 为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；