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排列组合专项训练
1.题 1 （方法对比，二星）题面：（1）有 5 个插班生要分配给 3 所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？
（2）有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解析：“名额无差别”——相同元素问题
（法1）每所学校各分一个名额后，还有 2 个名额待分配，
21 可将名额分给 2 所学校、1 所学校，共两类：C32C31
（种）（法 2 ——挡板法）
2 相邻名额间共 4 个空隙，插入 2 个挡板，
共：C426（种）
注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.（位置有差别，元素无差别）
题面：
有10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？
答案：C96
详解：
因为10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额
之间形成9 个空隙。在9 个空档中选 6 个位置插个隔板，可把名额分成7 份，对应地分给7 个班级，每一种插板
6
方法对应一种分法共有C96种分法。
题面：
完美WORD 格式由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z 之值, 故解的个数为 C 9 2=36 （个）。
2.题 2 （插空法，三星）题面：某展室有9 个展台，现有3 件展品需要展出，要求每件展品独自占用1 个展台，并且3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有 ______________________________ 种；如果进一步要求3 件展品所选用的展台之间间隔不
超过两个展位，则不同的展出方法有____ 种.
答案：60，48 同类题一题面：
6 男 4 女站成一排，任何 2 名女生都不相邻有多少种排法？
答案：A66·A47种.
详解：任何 2 名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66·A47种不
同排法．
题面：
有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座
位相邻的不同坐法有（）
A．36 种B．48 种C．72 种
D．96 种
答案： C. 详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位
与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A24＝
72 种排法，故选 C.
求方程X+Y+Z=10 的正整数解的个数。
答案：36.
详解：
将10 个球排成一排，球与球之间形成9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定3．题 3 （插空法，三星）
题面： 5 个男生到一排12 个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．
[2] ( 法 1——插空 )每个男生占一个位子，插入 7 个位子
所成的 8 个空当中，有：
A 85
=6720 种排法 .
(法 2)[1]5 个男生先排好： A 55
；
[2] 每个男生加上相邻的一个座位， 共去掉 9 个位置，
当 作 5 个排好的元素，
共有
6 个空，剩下的 3 个元素往里插空，每个空可以插
1 个、
2 个、
3 个元素，
共有： C 63
2C 62
C 61
种，
综上：有 A 55
(C 63
2C 62
C 61
)=6720 种.
题面：
(2013 年开封模拟 )2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成
一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女 生相邻，则不同排法的种数是 ( )
A ． 60
B ． 48
C ． 42
D ．36 答案： B.
详解：
排列 A 2
2，第三步男生甲插在中间， 1 种插法，第四步男
法．
题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有
4 个歌舞节目，如果保持这些节目
的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列 方法有多少种？ 答案： 30 。 详解：
记两个小品节目分别为 A 、 B 。先排 A 节目。根据
A 节目前后的歌舞节目数目
考虑方法数，相当于把 4 个球分成两堆，有 种方法。 这
一步完成后就有 5 个节目了。
再考虑需加入的 B 节目前后的节目数，同理知有
种
方法。故由分步计数原理知，方
种)。
题面： 15 个相．同．的球，按下列要求放入 4 个写上了
1 、 2、 3、 4 编号的盒子，各有多少种不同的放法 ?
(1) 将 15 个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；
3
C 13
4 364
(2)将15 个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子 的
编号数；
(3) 将 15 个球放入盒子内，每个盒子不必非空； (4) 任取 5个球，写上 1-5 编号，再放入盒内， 使每个盒
子都至少有一个球；
(5) 任取 10 个球，写上 1-10 编号，奇数编号的球放入奇
数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子． 解析：
(2)先将 2、3、4 号盒子分别放入 1、2、3个球，剩下 的
9 个球用挡板法， C 83
=56
第一步选 2 女相邻排列 C 32
·
A 2
2，第二步与男—女 男生插空 C 41
，故有 C 2
3
C 41
＝ 48 种不同排
法共有
（3）借来 4个球，转化为 19 个球放入盒子内，每个盒子
非空， C 13
8 816
（4） 不能用“挡板法”，因为元素有差别 .
24
（法 1）必有一个盒子有 2 个球， C 52
A 44
240 ；
（法 2） 先选 3 个球，分别排到 4 个盒子中的 3 个里，
剩 下的盒子自然放 2 个球 .
33
C 53
A 43
240；
41
（法 3） A 54
C 41
480 ，会重！需要除 2！
重复原因： 1 号盒子放 1 、5 号球，先放 1 后放 5 与先 放 5 、后放 1 是一样的！
（5）（ 法 1）每个球都有 2 种选择，共有 210种方法； （法 2） 奇数号的球有 1、3、5、7、9，共 5 个，可以在 1、 3 号两个盒子中选一个放入，
5
4 3 2
1 0
5
共有： C 55
C 54
C 53
C 52
C 51
C 50
25
种放法，
5 10
同理放偶数号的球也有 25种方法，综上共有 210 种方法 .
同类题一 题面：
某车队有 7 辆车， 现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任 务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出 有
_________ 种不同的调度方法 （填数字 ）．
答案： 120. 详解：
先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 C 52
种选法，连同
甲、乙共 4 辆车，排列在一起，先从 4 个位置中选两个 位置安排甲、乙，甲在乙前共有 C 42
种，最后，安排其
他两辆车共有 A 22
种方法，故不同的调度方法为
题面：
我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训 练
中 ,有 5架舰载机准备着舰 ,如 果甲、乙两机必须相邻着舰 ,而丙、丁两机不能相邻着舰
那么不同的着舰方法有（ ）
A ． 12
B ． 18
C ． 24
答案： C. 详解：
分三步 :把甲、乙捆绑为一个元素 A ,有 A 22种方 法;
A 与戊机形成三个“空” , 把丙、 丁两机插入空中有 A 3
2
种方法;考虑 A 与戊机的排法有
2 2 2 2
A 22
种方法.由乘法原理可知共有 A 22
A 32
A 22
24种不
同
的着舰方法 .故应选 C ．
5. 题 5（ 相同与不同，三星 ） 题面：某同学有同样的画
册 2 本，同样的集邮册 3 本， 从中取出 4 本赠送给 4 位
朋友每位朋友 1 本，则不同的 赠送方法共有 （ ）
A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20 种
题面：
（2013 ·北京高考） 将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5张参
观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的
2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 ________ ．
答案： 96. 详解：
按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券 分成 4 组，然后再分配给 4 人，连号的情况是 1 和 2,2
和 3,3 和 4,4 和 5 ，故其方法数是
＝ 120
种．
完美WORD 格式题面：
题面：
3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排
法的种数是（）
A. 360
B. 288
C. 216
D. 96
答案：288 种.
详解：
分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，
22 有C32种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有
A22种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把
2
三个男生任意排列，有A32中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成
2
两个元素插入 4 个位置中。有A42种不同的排法，共有
A22C32A33A42种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。
1
甲可能站左端，也可能是右端，有C2 种不同的方法，然后其他两个男生排列有A22种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有A32种不同的排法。共A22C32 C21A22A32种不同的排法，故总的排法为
2 2
3 2 2 2 1 2 2
A2 C3 A3 A4 —A2 C3 C2 A2 A3 =288 种不同的方法。
.题6（组合数的性质，二星）
题面： 5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？
（1）选出3人参加 A 活动；
（2）选出 5 人参加B活动；
（3）选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；
（4）选出 4 人参加一项活动，女生甲不能参加答案：
从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）
A. 70 种
B. 80 种
C. 100 种
D. 140 种答案： A.详解：
分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女两大类，共有
2 1 1 2
C52C41C51C42=70 种
题面：
男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人. 选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方
法？
（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；
（2）至少有 1 名女运动员；
（3）队长中至少有 1 人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
答案：（1）120 种
（2）246 种.
详解：
（1）第一步：选 3 名男运动员，有 C 63种选法.
第二步：选 2 名女运动员，有 C 24 种选法.
共有 C 63·C 24 =120 种选法.
2 ）至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1女4
男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为
+C 44C 16 =246 种.
.题7 （选和排，二星）题面：从 4 名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中有且只有 1 名女生，则选派方案共有多少种？
法一：先选后排，C31C42A33
同类题二
2
3
3
2
4
1
同类题一
题面：
将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有( )
A．12 种B．24 种C．36 种D．48 种答案： C.详解：
完美WORD 格式只用1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出
现，这样的四位数有( )
A．6 个B．9 个 C ．18 个
D．36 个答案： C. 详解：注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C31＝3(种)选
先分组再排列：将 4 名教师分成 3 组有 C 24 种分法，法，即1231,1232,1233 ，而每种选择有再将这三组分配到三所学校有A33种分法，由分步乘法计排法，所以共有3× 6＝18(种)情况，即这
样的四位数有
A33＝36 种不同分配方案．18 个．
题面：
甲、乙、丙3人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( )
A ．258 B．306 C ．336 D ．296
答案： C.
详解：
根据题意，每级台阶最多站 2 人，所以，分两类：第一类，有 2 人站在同一级台阶，共有 C 32A27种不同的站法；第二类，一级台阶站 1 人，共有 A 73种不同的站法．根据分类加法计数原理，得共有C32A27＋A37＝
336( 种) 不同的站法．
3．题一(合理分类，二星) 题面：若从1，2，3，⋯，9这9个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60 种B．63 种C．65 种 D ．66 种
题面：
题面：
由1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108
D．144
答案： C.
详解：
分两类：若 1 与 3 相邻，与 3 不相邻有 A 33·A33＝
36( 个)
故共有72＋36 ＝108 个．
题8
题面： 5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？
(1)选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；
(2) 选3人参加数学竞赛，至少有一名男生. (法1)分类：1 名、 2 名、3 名男生：
法二：边选边排，
1 1 2
(C31A31) A42
种
(
＝
23
C
×
22
31A22A23＝72( 个)，若1
完美 WORD 格式
333
（法 2） 间接法—— C 83
C 33
C 83
1 55.
（法 3）[1] 先取 1 名男生； [2]再在剩下的 7 人中取 3
人；
1 2 7 6 C 51
C 72
5 105 ？
5 7 2
题面： 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班 至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个 班，则不同分法的种数为
A.18
B.24
C.30
D.36
答案： C.
详解： 用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种 数是 C 42
，顺序有 A 33
种，而甲乙被分在同一个班的
有 A 33
种，所以种数是 C 42 A 33 A 33
30
题 9 （组合数性质，三星 ） 某班分成五个小组，分别有
5,6,7,8,9 名同学， 现从该班挑选 2 名同学参加比赛， 且
这两名同学必须来自同一小组，共有多少种不同的方 案？
同类题一
题面： 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每
个班
至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个 班，则不同分法的总数为
（）
A. 18 30 答案： C.
详解：
B. 24
C. 30
D.
将甲、乙、丙、
丁四名学生分成三组，则共有
2
C 42
种
不
3 同的分法，然后三组进行全排列共
A 33 种不同的方法；
3 然后
再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共 A 33
种不
2 3 3
同的排法。所以总的排
法为 C 42
A 33
A 33
=30 种不同的排
题面：
甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的 课程中至少有 1 门不相同的选法共有
（）
A. 6
B. 12
C.
30
D. 36
答案： C.
详解：
可以先让
甲、
乙任意选择两门，有
C
42
2
C 42
种选择方
然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相 2
同，可以让甲选两门有 C 42 种选法，然后乙从剩余的两
2 2 2
门选，有 C 22种不同的选法， 全不相同的选法是 C 42 C 22 种 方法，所以至少有一门不相同的选法为
2 2 2 2
C 42
C 42
— C 42
C 22
=30 种不同的选法。
题面：
将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习， 每班至 少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有 （A ） 30 种 （B ） 90 种 （C ） 180 种 （D ）
270 种
答案： B.
详解：
将 5 名实习教师分配到高一 年级的 3 个班实习， 每班至 少 1 名，最多 2 名，则将 5 名教师分成三组， 一组 1 人，
C 1 C 2
另两组都是 2 人，有 5 2 4 15 种方法，再将 3 组分
A 22
3
1 2 2 1 3
C 5C 3 C 5 C 3 C 5
55；
到 3 个班，共有15 A3390 种不同的分配方案，选 B.
完美 WORD 格式
A 22
A 2
2＝4（ 个），综上，共有 16 个．
题 10 （ 组合的识别，四星 ）
题面：（1） “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的 正整数 （如 1458）, 则四位“渐升数”共有多少个？
（2）5 个男生 3 个女生排成一排，自左至右，男、女生分
别都从高到矮排 （ 任意两人身高不同 ），有多少种不同排 法？
（法 1）8 个位置中选 5 个排男生，剩下 3 个位置排女
生，
注意：男生位置选定以后，女生顺序一定，只对应一种 排
法.
除序 ) A A 58A 3 C 85 .
A 55
A 3
3
8
答案： 150 同类题一 题面：
形如 45132 的数称为“波浪数”， 即十位数 字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则 由 1,2,3,4,5 可构成不重复的五位“波浪数”的 个数为 _____________ ．
答案： 16. 详解： 由题意可得，十位和千位只能是
4,5 或者 3,5. 若 十位和千位排 4,5，则其他位置任意排 1,2,3 ，则 这样的数有 A 2
2A 33
＝12（ 个）；若
十位和千位排 5,3， 这时 4 只能排在 5 的一边且不能和其他数字相 邻，1,2 在其余位置上任意排列，则这样的数有
题面：
4 个不同的球， 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内 .
（ 1）恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ （ 2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ （ 3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？ 答案： （1） 144 种 . （2） 144 种 . （3） 6 种 . 详解：
（1 ）为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子 中任意取出去一个，问题转化为“4 个球， 3 个盒子， 每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球 分成 2，1，1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放
2 个球，其余 2 个球放在另 外 2 个盒子内，由分步 乘
法计数原理，共有 C 14 C 24 C 13 ×A 22 =144 种.
（2）“恰有 1 个盒内有 2个球”，即另外 3 个盒子 放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球，也即另外 3 个盒
子中恰有一个空盒， 因此，“恰有 1 个盒内有 2 个球” 与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有
144 种放法 .
（3）确定 2个空盒有 C 42种方法.
(法 2
(3)3,3,3,4,4,5,5,5,5 能组多少个不同的九位数？多重排
列除序 C 93C 62C 44
9!
3!2!4!
1．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56) (69)n n n ---等于 A ．5569n n A -- B ．15 55n A - C ．1569n A - D ．14 69n A - 【答案】C 【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56) (69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数 为55-n ，那么可知下标的值为69-n,共有69-n-（55-n ）+1=15个数，因此选择C 2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 38种 D. 108种 【答案】B 【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑，分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B 3．n ∈N * ，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（ ） A ．80 100n A - B ．n n A --20100 C ．81100n A - D ．8120n A - 【答案】C 【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N * ，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于81 100n A -，选C 4．从0,4,6中选两个数字,从3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为 ( ) A.56 B. 96 C. 36 D.360 【答案】B 【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解，第一种，末尾是0，那么 其余的有A 3 5=60，第二种情况是末尾是4，或者6，首位从4个人选一个，其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种 5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ） A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【答案】B 【解析】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有 46360A =种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有3560A =种，乙从事翻译工作的有3 560A =种， 若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360-60-60=240种． 6．如图，在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段A i B j （1≤i ≤4,1≤j ≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有
排列组合习题及答案 排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到数学问题的解决方法和思维方式。本文将介绍一些排列组合的习题及答案，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。 1. 问题一：某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选法？ 解答：这是一个从10个学生中选出3个学生的组合问题，即C(10,3)。根据组 合的定义，C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数。因此，C(10,3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 120 种不同的选法。 2. 问题二：某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，并且要求其中包含学生A，问有多少种不同的选法？ 解答：由于题目要求学生A必须在选出的小组中，因此可以将问题转化为从剩 下的9名学生中选出2名学生的组合问题，即C(9,2)。根据组合的定义，C(9,2) = 9! / (2! * (9-2)!) = 9 * 8 / (2 * 1) = 36 种不同的选法。 3. 问题三：某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，并且要求其中不包含学生A，问有多少种不同的选法？ 解答：由于题目要求学生A不能在选出的小组中，因此可以将问题转化为从剩 下的9名学生中选出3名学生的组合问题，即C(9,3)。根据组合的定义，C(9,3) = 9! / (3! * (9-3)!) = 9 * 8 * 7 / (3 * 2 * 1) = 84 种不同的选法。 4. 问题四：某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，且要求其中至少有一名男生和一名女生，问有多少种不同的选法？ 解答：这是一个包含男生和女生的组合问题，可以分别计算出只包含男生和只
排列与组合练习题 1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三 个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）1314 答案：D 解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是39C ．所以39613114 C -=． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种 答案：B 解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法． 3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 （A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个 答案：A 解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一 的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302325=⋅C C 个，于是最 多有30个交点． 推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的 交点最多有22m n C C ⋅个 变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点． 答案：412C 4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45 答案：B 111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
专题11.2 排列与组合 1．（2021·福建宁德·高三期中）三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（ ） A ．6种 B ．9种 C ．18种 D ．36种 【答案】C 【分析】 根据题意首先从三名学生中选2名选报同一项目，再从三个项目中选2项项目，全排即可. 【详解】 由题意可得222 33233218C C A ⋅⋅=⨯⨯=， 故选：C 2．（2021·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（ ） A ．18种 B ．36种 C ．54种 D ．72种 【答案】C 【分析】 甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果． 【详解】 由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况； 余下3人有33A 种排法．故共有3 3333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况． 故选：C. 3．（2021·全国·高三月考（理））某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ） 练基础
排列练习【1】 一、选择题 1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（） A、81 B、64 C、12 D、14 2、n∈N且n<55，则乘积（55-n）（56-n）……（69-n）等于（） A、 B、 C、D、 3、用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（） A、64 B、60 C、24 D、256 4、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（） A、2160 B、120 C、240 D、720 5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（） A、 B、 C、 D、 6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（） A、B、C、 D、 7、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（） A、24 B、36 C、46 D、60 8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，其中甲不能担任正班长，乙不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是（） A、 B、C、D、 二、填空题 1、（1）（4P84+2P85）÷（P86-P95）×0！=___________（2）若P2n3=10Pn3，则n=___________ 2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中，取出三个不同元素的排列为 __________________________________________________________________
3、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有_________种不同排法 4、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币可以组成_________种不同币值。 三、解答题 1、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的五位数， （1）在下列情况，各有多少个？ ①奇数②能被5整除③能被15整除④比35142小⑤比50000小且不是5的倍数 2、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头 （2）甲不排头，也不排尾 （3）甲、乙、丙三人必须在一起 （4）甲、乙之间有且只有两人 （5）甲、乙、丙三人两两不相邻 （6）甲在乙的左边（不一定相邻） （7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序 （8）甲不排头，乙不排当中 3、从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数 （1）这样的三位数一共有多少个？ （2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？ （3）所有这些三位数的和是多少？ 排列与组合练习（1） 一、填空题 1、若，则n的值为（） A、6 B、7 C、8 D、9
圆梦教育中心 排列组合专项训练 1.题 1 （方法对比，二星）题面：（1）有 5 个插班生要分配给 3 所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？ （2）有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解析：“名额无差别”——相同元素问题 （法1）每所学校各分一个名额后，还有 2 个名额待分配， 21 可将名额分给 2 所学校、1 所学校，共两类：C32C31 （种）（法 2 ——挡板法） 2 相邻名额间共 4 个空隙，插入 2 个挡板， 共：C426（种） 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.（位置有差别，元素无差别） 题面： 有10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？ 答案：C96 详解： 因为10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额 之间形成9 个空隙。在9 个空档中选 6 个位置插个隔板，可把名额分成7 份，对应地分给7 个班级，每一种插板 6 方法对应一种分法共有C96种分法。 题面： 完美WORD 格式由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z 之值, 故解的个数为 C 9 2=36 （个）。 2.题 2 （插空法，三星）题面：某展室有9 个展台，现有3 件展品需要展出，要求每件展品独自占用1 个展台，并且3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有 ______________________________ 种；如果进一步要求3 件展品所选用的展台之间间隔不 超过两个展位，则不同的展出方法有____ 种. 答案：60，48 同类题一题面： 6 男 4 女站成一排，任何 2 名女生都不相邻有多少种排法？ 答案：A66·A47种. 详解：任何 2 名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66·A47种不 同排法． 题面： 有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座 位相邻的不同坐法有（） A．36 种B．48 种C．72 种 D．96 种 答案： C. 详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位 与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A24＝ 72 种排法，故选 C. 求方程X+Y+Z=10 的正整数解的个数。 答案：36. 详解： 将10 个球排成一排，球与球之间形成9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定3．题 3 （插空法，三星） 题面： 5 个男生到一排12 个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．
排列组合典型题大全 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重 复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”， 则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策 略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、 3 C 8 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？ 2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？ 3、4个同学参加3项不同的比赛 （1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？ 4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项
《排列组合》 一、排列与组合 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是 A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 A.12个 B.13个 C.14个 D.15个 二、注意附加条件 1.6人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？ （2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？ 4. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法 有 A.30种 B.31种 C.32种 D.36种
5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是 A.230种 B.236种 C.455种 D.2640种 6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法 有 A.240种 B.180种 C.120种 D.60种 7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是。 三、间接与直接 1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不同选法？ 2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？ 4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数 A.60种 B.80种 C.120种 D.140种 5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种？ 6. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个？ 7. 对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对？
排列与组合练习题及答案 排列与组合练习题及答案 排列组合与古典概率论关系密切。今天，店铺为大家整理了排列与组合练习题。 排列与组合练习题一、填空题 1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是________. [解析] 由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共3×2×2=12种;如果是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共3×2×1=6种，因此总共12+6=18种情况. [答案] 18 2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种. [解析] 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C=5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C·C=60(种);三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5+60+1=66(种). [答案] 66 3.(2014·福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有________个. [解析] 分类讨论：若十位数为6时，有A=20(个);若十位数为5时，有A=12(个);若十位数为4时，有A=6(个);若十位数为3时，有A=2(个).
（完整版）排列组合练习题及答案 《排列组合》 一、排列与组合 1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？ 2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是 A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 A.12个 B.13个 C.14个 D.15个 5．用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ （5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？ 二、注意附加条件 1.6人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？
（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？ 2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？ 3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是 A.3761 B.4175 C.5132 D.6157 4. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 A.30种 B.31种 C.32种 D.36种 5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是 A.230种 B.236种 C.455种 D.2640种 6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有 A.240种 B.180种 C.120种 D.60种 7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是。三、间接与直接 1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不同选法？ 2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？ 3.已知集合A 和B 各12个元素，A B I 含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C 的个数：（1）()C A B ?U 且C 中含有三个元素；（2）C A ≠?I ,?表示空集。 4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数 A.60种 B.80种 C.120种 D.140种 5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种？
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10=n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合习题_(含详 细答案)
圆梦教育中心 排列组合专项训练 1.题1 (方法对比，二星) 题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每 校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？ (2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：213 3 C C +(种) (法2——挡板法) 相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共： 2 4 6C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别) 同类题一 题面： 有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 答案：6 9C 详解： 因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分 给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共 有6 9C 种分法。 同类题二 题面： 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 答案：36. 详解： 将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36（个）。 2.题2 (插空法，三星) 题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用 的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48 同类题一 题面： 6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？
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排列组合典型题大全 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一 类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的 元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问 题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底 数，哪个是指数 【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法 （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果 （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法 【解析】：（1）43（2）34 （3）34 【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同 方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数 原理知共有67种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38 B 、83 C 、38A D 、3 8C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家 “店”，3项冠 军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有 38种
不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法 2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况 3、4个同学参加3项不同的比赛 （1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果 （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果 4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种 6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种(B) 20种(C) 25种 (D) 32种 7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种 8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种 思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种 二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有