恒定磁场的旋度和安培环路定理 1、描述 1）、微分形式：
0()()B r J r μ??=
恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源。——安培环路定理的微分形式。 2）、积分形式：
0()c
B r dl I μ=?
恒定磁场的磁感应强度在任意闭合曲线上的环量等于闭合曲线
交链的恒定电流的代数和与0μ的乘积。——安培环路定理的积分形式。 2、恒等式
2()F F F ????=??-?
()uF u F F u ?=?+? ()F u u F uF -?=?-?
'()0J r ?= ''()0J r ?=
2
'1()4()r r R
πδ?=--
3、推导 已知：
''0
'
()()4V
J r B r dV r r μπ
=
??
-?
两边取旋度
''
'
'''2
'
00
''
()()4()1 ()(
)44V
V V
J r B r dV r r J r dV J r dV
r r
r r
μπ
μμππ??=
????
-=??-
?--?
??
其中：
'2
''''0
00'
1()(
)()()()4V
V
J r dV J r r r dV J r r r μμδμπ
-?=-=-?
?
又由：
'''
''
'
'
'
'
'
'
'
'
'''''
()111[
][
()]()()()
11 ()(
)()(
)
1() ()[J r J r J r J r r r r r r r r r J r J r r r r r J r J r r r
r ?=?=?+
?----=?=-?--=
?-?--'''
'
()][
]
J r r
r r
=-?-
即：
'
[()()][()()]f R R f R R φφ?=-?
因此，得到
''''
'00''''0'
()()[]44() 0
4V V S J r J r dV dV r r r r J r d S r r μμππμπ??=-??--=-?=-???
最后，得到：
0()()B r J r μ??=
两边取面积分：
0()c
B r dl I μ=?
安培环路定理 安培环路定理的严格证明(缩略图) 在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。 目录
按照安培环路定理，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。 安培环路定理应用 如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（如左图所示），这在下式中， 按图中选定的闭合路径l 的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为如果闭合路径l包围的电流等值反向（如右图所示），或者环路中并没有包围电流，则： 安培环路定理的证明(严格证明,大图见参考资料的链接) 编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明） 以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。 安培环路定理应用 在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。 取对称环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。 取任意环路包围电流
在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为 H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为 直导线中心向线元的张角为，则有，所以有 可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。 那么B对整个环路的环流值为 上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。 取任意环路不包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任 安培环路定理应用 意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 以载流直导线为圆心向环路作两条夹角为的射线，在环路上截取两个线元和。和距直导线圆心的距离分别为和，直导线在两个线元处的磁感强度分别为和。从上图可以看出，而。利用安培环路定理的证明之二的结论可知 结论 所以有 从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量积之和，都有上式的结果，故即环路不包围电流时，B的环流值为零。 安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B 的环流，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。 编辑本段安培环路定理的应用 利用安培环路定理求磁场的前提条件：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，
10-4 安培环路定理 静电场的一个重要特征是电场强度E 沿任意闭合路径的积分等于零，即0 d =??l E l ，那么， 磁场中的磁感强度B 沿任意闭合路径的积分??l d l B 等于多少呢？可以证明：在真空的稳恒磁场 中，磁感强度B 沿任一闭合路径的积分（即B 的环流）的值，等于0μ乘以该闭合路径所包围的 各电流的代数和，即 ∑?==?n i l I 1 0 d i l B μ （10-8） 安培环路定理与静电场环路定理的比较 讨论：安培环路定理的证明 如图(a)所示，有一通有电流I 的长直载流导线垂直于屏幕平面，且电流流向垂直屏幕平面向内. 在屏幕平面上取两个闭合路径 1C 和2C ，其中闭合路径1C 内包围的电流为I ，而在闭合路径 2C 内没有电流. 从图（b ）可以看出，由于磁感 强度B 的方向总是沿着环绕直导线的圆形回路的切线方向，所以对闭合路径 1C 或2C 上任意一线元l d ，磁感强度B 与l d 的点积为 ?αd cos d d Br l B ==?l B 式中r 为载流导线至线元l d 的距离. 由第10-2节二中例1的式（2），上式可写成 ? μ?μd π 2d π2d 00I r r I = = ?l B （1） 对于图（a ）的闭合回路1C ，?将由0增至π2. 于是，磁感强度B 沿闭合路径1C 的环流 为 这就是真空中磁场的环路定理，也称安培环路定理。它是电流与磁场之间的基本规律之一。在式（10-8）中，若电流流向与积分回路呈右螺旋关系，电流取正值；反之则取负值。
?? == = ?1 000π2π 2d π 2d C I I I μμ?μl B （2） 可见，真空中磁感强度B 沿闭合路径的环流等于闭合路径所包围的电流乘以0μ，而与闭合 路径的形状无关. 然而，对于图（a ）中的闭合路径2C ，将得到不同的结果，当我们从闭合路径2C 上 某一点出发，绕行一周后，角 ?的净增量为零，即 ?=0d ? 于是，由式（1）可得 ?=?2 0d c l B （3） 比较式（2）和式（3）可以看出，它们是有差别的. 这是由于闭合路径1C 包围了电流，而 闭合路径 2C 却未包围电流. 于是我们可以得到普遍的安培环路定理：沿任意闭合路径的磁感强 度B 的环流为 ?∑=?2 0d c I μl B 式中∑I 是该闭合路径所包围电流的代数和 人物简介：安培简介 安培(Andre Marie Ampere,1775-1855)，法国物理学家，对数学和化学也有贡献，他在电磁理论的建立和发展方面建树颇丰。 1820年9月提出了物质磁性起源的分子电流假设，并在1821—1825年精巧实验的基础上导出两电流元间相互作用力的公式，后来人们结合毕奥—萨伐尔定律而将该公式写成现在通用的安培力公式，即安培定律。
在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。 目录
2编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明） 以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。 安培环路定理应用 在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。 3 取对称环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。 4 取任意环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为 H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为 直导线中心向线元的张角为，则有，所以有 可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。 那么B对整个环路的环流值为 上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。 5 取任意环路不包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任
第五版普通物理习题 11-4,11-5安培环路定理及其应用 1.选择题 1若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布 （A ）不能用安培环路定理来计算 （B ）可以直接用安培环路定理求出 （C ）只能用毕奥-萨伐尔定律求出 （D ）可以用安培环路定理和磁感应强度的叠加原理求出 [ ] 答案：（D ） 2在图(a )和(b )中各有一半径相同的圆形回路L 1和L 2，圆周内有电流I 1和I 2，其分布相同，且均在真空中，但在(b )图中L 2回路外有电流I 3，P 2、P 1为两圆形回路上的对应点，则： （A ）212 1 ,P P L L B B l d B l d B =?=??? （B ）212 1 ,P P L L B B l d B l d B ≠?≠??? （C ）212 1 ,P P L L B B l d B l d B ≠?=??? （D ）212 1 ,P P L L B B l d B l d B =?≠??? [ ] 答案：（C ） 3一载有电流I 的导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管（R=2r ），两螺线管单位长度上的匝数相等，两螺线管中的磁感应强度大小B R 和B r 应满足 （A ）B R =2B r （B ）B R =B r （C ）2B R =B r （D ）B R =4B r [ ] 答案：（B ） 4无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空 间各处的B 的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示。正确的图是
恒定磁场的旋度和安培环路定理 1、描述 1）、微分形式： 0()()B r J r μ??= 恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源。——安培环路定理的微分形式。 2）、积分形式： 0()c B r dl I μ=? 恒定磁场的磁感应强度在任意闭合曲线上的环量等于闭合曲线 交链的恒定电流的代数和与0μ的乘积。——安培环路定理的积分形式。 2、恒等式 2()F F F ????=??-? ()uF u F F u ?=?+? ()F u u F uF -?=?-? '()0J r ?= ''()0J r ?= 2 '1()4()r r R πδ?=-- 3、推导 已知： ''0 ' ()()4V J r B r dV r r μπ = ?? -? 两边取旋度
'' ' '''2 ' 00 '' ()()4()1 ()( )44V V V J r B r dV r r J r dV J r dV r r r r μπ μμππ??= ???? -=??- ?--? ?? 其中： '2 ''''0 00' 1()( )()()()4V V J r dV J r r r dV J r r r μμδμπ -?=-=-? ? 又由： ''' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ''''' ()111[ ][ ()]()()() 11 ()( )()( ) 1() ()[J r J r J r J r r r r r r r r r J r J r r r r r J r J r r r r ?=?=?+ ?----=?=-?--= ?-?--''' ' ()][ ] J r r r r =-?- 即： ' [()()][()()]f R R f R R φφ?=-? 因此，得到 '''' '00''''0' ()()[]44() 0 4V V S J r J r dV dV r r r r J r d S r r μμππμπ??=-??--=-?=-???
恒定磁场的高斯定理和安培环路定理 选择题 1.磁场中高斯定理：?=?s s d B 0 ，以下说法正确的是： （A ）高斯定理只适用于封闭曲面中没有永磁体和电流的情况 （B ）高斯定理只适用于封闭曲面中没有电流的情况 （C ）高斯定理只适用于稳恒磁场 （D ）高斯定理也适用于交变磁场 答案：（D ） 2.在地球北半球的某区域，磁感应强度的大小为5 104-?T ，方向与铅直线成60度角。则穿过面积为1平方米的水平平面的磁通量 答案：（C ） （A ）0 （B ）5104-?Wb （C ）5102-?Wb （D ）51046.3-?Wb 3.一边长为l ＝2m 的立方体在坐标系的正方向放置，其中一个顶点与坐标系的原点重合。有一均匀磁场)3610(k j i B ++=通过立方体所在区域，通过立方体的总的磁通量有 （A ）0 （B ）40 Wb （C ）24 Wb （D ）12Wb 答案：（A ） 4.均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为R 的圆面，今以圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 （A ）B R 22π （B ）B R 2π （C ）0 （D ）无法确定 答案：（B ） 5.在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α，则通过半球面S 的磁通量为 （A ）B r 2π （B ）B r 22π （C ）απsin 2B r - （D ）απcos 2B r -答案：（D ） 6.若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布 （A ）不能用安培环路定理来计算 （B ）可以直接用安培环路定理求出 （C ）只能用毕奥-萨伐尔定律求出 （D ）可以用安培环路定理和磁感应强度的叠加原理求出 答案：（D ） 7.在图(a )和(b )中各有一半径相同的圆形回路L 1和L 2，圆周内有电流I 1和I 2，其分布相同，且均在真空中，但在(b )图中L 2回路外有电流I 3，P 2、P 1为两圆形回路上的对应点，则： （A ）2121,P P L L B B l d B l d B =?=??? （B ）212 1,P P L L B B l d B l d B ≠?≠??? （C ）2121,P P L L B B l d B l d B ≠?=??? （D ）212 1,P P L L B B l d B l d B =?≠??? 答案：（C ）
简单实验证明安培环路定理不成立 朱昱昌 我经过十几年的潜心研究和反复验证，终于打破了教材约束，从而澄清了：用安培环路定理推导螺线管内部磁场，则不分螺线管长短（乃至单个线圈）、也不分内半径大小、更不分轴线和非轴线，统统都是一样，B≡μ0nI（n为单位长度线圈个数）。其特点就是：螺线管的内部磁场与线圈内半径R完全无关，与线圈总个数N完全无关。这叫什么破定理？简直是荒谬绝伦！ 如何测量一个螺线管内部磁场的大小，不仅麻烦，而且很难找到比较理想的测量仪器。我曾经与吉林师范大学物理学院联系过，他们也没有相关仪器。我为此觉得非常困惑。后来，我偶然想起螺线管对硬铁芯的磁化效果。就是螺线管内部磁场的大小，完全可以通过它对硬铁芯的磁化热表现出来。硬铁芯的磁化温度与螺线管内部磁场的强弱直接相关。而且，停止电流以后，硬铁芯的热度也不会马上消失。这样就便于观察分析。既可以用手摸，也可以用热敏表测量。虽然不是很精确，但是完全可以进行比较直观的模糊判断。也可以算做是一个定性分析。我们应该清楚，尽管硬铁芯的磁化机理和磁化过程比较复杂。但是，当两个等长的螺线管，如果线圈半径差距很大，其磁化热效果的温度差距是非常明显的。同理，两个线圈半径相等的螺线管，如果长度差距很大，其磁化热效果的温度差距也是非常明显的。我的实验虽然简单粗糙，但是结果明显，而且符合全磁通原理和法拉第电磁感应定律。因此，我更加坚信“安培环路定理关于螺线管内部磁场与线圈半径R大小无关、与线圈总个数N大小无关的结论”是荒谬的。 《电磁学》教材中对应用安培环路定理施加了约束条件，只能用安培环路定理推导长直螺线管中间的内部磁场。为什么不能用安培环路定理推导螺线管两端的内部磁场？不是因为复杂麻烦，而是怕暴露与公式B=（μ0nI/2）（cosβ2-cosβ1）的端点收敛极限μ0nI/2不一致。因为，用安培环路定理推导长直螺线管两端的内部磁场也是B≡μ0nI，这样就彰显了两个重要公式的矛盾。可见，教材中的所谓对称性约束，完全是为了掩人耳目。可能有人会提出长直螺线管的两端存在漏磁通等等，我不想争论这个。请你应用安培环路定理推导一下单个线圈或电流环的内部磁场，一切都会一目了然了。 我认为事实胜于雄辩。在具体实例面前，一切为安培环路定理的辩解都是苍白无力的。 请电磁学大师们看看下面设计的实验是否成立？你们可以实际验证一下。 实验A：把1根载有10A电流的导线按右手定则沿直径为1cm的铁棒表面紧密回绕100周（这就是一个螺线管），通电10秒钟所产生的磁化热温度很高；而把这根载有10A电流的导线按右手定则沿直径为10cm的铁棒表面紧密回绕
安培环路定理 开放分类：物理、磁场 11-3 安培环路定理 安培环路定理 在稳恒磁场中，磁感强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和的倍。这个结论称为安培环路定理。 它的数学表达式是 按照安培环路定理，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。 如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（如左图所示）， 这在下式中， 按图中选定的闭合路径l 的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为 如果闭合路径l包围的电流等值反向（如右图所示），或者环路中并没有包围电流，则： 安培环路定理的证明（不完全证明） 以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。 在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。 1、取对称环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度B的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则B与dl间的夹角，B沿这一环路l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，B沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。 2、取任意环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为 B与dl的夹角为，则B对dl的线积分为 直导线中心向线元的张角为，则有，所以有 可见，B对dl的线积分与到直导线的距离无关。 那么B对整个环路的环流值为 上述计算再次说明B的环流值与环路的大小、形状无关。 3、取任意环路不包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。