不等式的解法
1．一元二次不等式的解法
(1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的解法(如下表所示)
设a＞0，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，且x1＜x2
(3)对于一元二次不等式的解法需注意：
①x－a
x－b
≥0(a＜b)的解集为：{x|x≤a或x＞b}；
x－a
x－b
≤0(a＜b)的解集为：{x|a≤x＜b}．
②从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的点的横坐标的集合．
③三个“二次”的关系
常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系．
2．解一元二次不等式的方法：
(1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集．
(2)公式法步骤：
①先化成标准型：ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，且a＞0；
②计算对应方程的判别式Δ；
③求对应方程的根；
④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集．
3．解绝对值不等式的基本思想
1）解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如：
(1)若a ＞0，则│x │＜a ?－a ＜x ＜a ?x 2＜a 2；
(2)若a ＞0，则│x │＞a ?x ＜－a ，或x ＞a ?x 2＞a 2； (3) |f (x )| (4)|f (x )|>g (x )?f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )(无论g (x )是否为正)． 常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方． 2）常见绝对值不等式及解法： (1)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)?－a ＜f (x )＜a ； (3)|x －a 1|＋|x －a 2|＞(＜)b ，用零点分区间法． 4．一般分式不等式的解法： (1)整理成标准型f (x )g (x )＞0(或＜0)或f (x ) g (x ) ≥0(或≤0)． (2)化成整式不等式来解： ①f (x )g (x )＞0?f (x )·g (x )＞0 ②f (x )g (x ) ＜0?f (x )·g (x )＜0 ③f (x ) g (x )≥0?? ???? f (x )· g (x )≥0g (x )≠0 ④f (x ) g (x )≤0?? ???? f (x )· g (x )≤0g (x )≠0 (3)再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集． ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 一元二次不等式的解法 题型1.解一元二次不等式 [例1] 不等式2x x >的解集是( ) A ．(),0-∞ B . ()0,1 C. ()1,+∞ D . ()(),01,-∞+∞ 【解题思路】严格按解题步骤进行 [解析]由2x x >得(1)0x x ->,所以解集为() (),01,-∞+∞,故选 D;别解:抓住选择题的 特点,显然当2x =±时满足不等式,故选D. 【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数. [例2]已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32 -,求220cx x a -+->的解集. 【解题思路】由韦达定理求系数 [解析] 由2 20ax x c ++>的解集为11(,)32-知0a <,11, 32 -为方程2 20ax x c ++=的两 个根,由韦达定理得11211,3232c a a -+=--?=,解得12,2a c =-=,∴2 20cx x a -+->即 222120x x --<,其解集为(2,3)-. 【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由 韦达定理求系数 【新题导练】 1.不等式（a －2）x 2+2(a －2) -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.（-∞,2] B.（-2,2] C.（-2,2） D.（-∞,2) 解析：∵可推知-2＜a ＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a≤2. 选B 2. 关于x 的不等式(m x -1)( x -2)＞0，若此不等式的解集为{x | ＜x ＜2}，则m 的取值 范围是 A. m ＞0 B.0＜m ＜2 C. m ＞ D. m ＜0 解析：由不等式的解集形式知m ＜0. 答案：D 考点2 含参数不等式的解法 题型1：解含参数有理不等式 例1：解关于x 的一元二次不等式2 (3)30x a x a -++> 【解题思路】比较根的大小确定解集 解析：∵2 (3)30x a x a -++>，∴()()30x x a --> ⑴当3,3a x a x <<>时或，不等式解集为{} 3x x a x <>或； ⑵当3a =时，不等式为()2 30x ->，解集为{} 3x x R x ∈≠且； ⑶当3,3a x x a ><>时或，不等式解集为{} 3x x x a <>或 【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论(0,0,0?>?=?<).③根据根的大小讨论(121212,,x x x x x x >=<). 题型2：解简单的指数不等式和对数不等式 例2. 解不等式log a (1－ x 1 )＞1 (0,1)a a >≠ 【解题思路】借助于单调性进行分类讨论 解析(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组???????>->-a x x 11011 由此得1－a ＞ x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a -11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：???????<->-a x x 11011 由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜ a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a -11 ＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为 {x |1＜x ＜a -11 }. 【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论. 【新题导练】 3.关于x 的不等式226320x mx m --<的解集为( ) A.(,)97m m - B.(,)79m m - C.(,)(,)97 m m -∞-+∞ D.以上答案都不对 解析:原不等式可化为()()097 m m x x +-<,需对m 分三种情况讨论,即不等式的解集与m 有 关. 4.解关于x 的不等式：04)1(22<++-x a ax 解析：0)2)(2(<--x ax a a a ) 1(222-= - 当?> ?>a a 2 21? ?????<<22|x a x ； 当a a 2210< ?<<∴???? ?? < 当0-+-?0)2)(2(x ax 2|2x x x a ??< >???? 或 Φ∈?=>?=x a x a 1;20 5. 考点3 分式不等式及高次不等式的解法 [例5] 解不等式:2 2 (1)(68)0x x x --+≥ 【解题思路】先分解因式,再标根求解 [解析]原不等式(1)(1)(2)(4)0x x x x ?-+--≥,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下: ① ② 所以不等式的解集为(,1][1,2][4,)-∞-+∞. 【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系. 【新题导练】 5.若关于x 的不等式 0(3)(1) x a x x +>++的解集是(3,1)(2,)--+∞,则a 的值为_______ 解析:原不等式()(3)(1)0x a x x ?+++>,结合题意画出图可知2a =-. 6. 解关于)0(1 1 )1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式 解：①若)25 1()2511(2150∞++--+< <，，，则原不等式的解集为 a a ； ②若)2 5 1(215∞+++= ，，则原不等式的解集为a ； ③若)2 51()1251(215∞++--+> ，，，则原不等式的解集为 a a 7.（ 广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试）解不等式.2)2 1 (242>?-+x x x ．解析：2)2 1(2242> ?-+x x 2 14 22 22 2 >?∴-+x x 即2 12 322 >-x 得65> x 所以原不等式的解集为}6 5|{>x x 考点4 简单的恒成立问题 题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围 例1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解 [解析]当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意; 当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420 a a >??-? 2a > 综上,所求实数a 的取值范围为1 (,)2 +∞ 【名师指引】不等式2 0ax bx c ++>对一切x R ∈恒成立0 00a b c =???=??>? 或2 040a b ac >???=- 不等式20ax bx c ++<对任意x R ∈恒成立0 00a b c =?? ?=?? 或2 040a b ac 【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. [解析] (1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2 ()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴2 2 (1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++= 即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2 ()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()24 g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上 的最大值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-. 【名师指引】()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成 立,则max [()]m f x ≥; 【新题导练】 8.不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______． [解析]：不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立, 即 014)2(2 >-+++a x x a 对一切∈x R 恒成立 若2+a =0,显然不成立 若2+a ≠0，则?? ?+00 2a ∴2>a 9.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，1 2 ）成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．0 B ． –2 C ．-5 2 D ．-3 解析：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－,若a 2－≥1 2 ，即a ≤－1时，则f （x ）在 〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0?－5 2≤x ≤－1 若a 2－≤0，即a ≥0时，则f （x ）在〔0，1 2 〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0 若0≤a 2－≤12，即－1≤a ≤0，则应有f （a 2 －）＝222a a a 110424≥－＋ ＝－恒成立，故－1≤a ≤0． 综上，有－5 2 ≤a,故选C ． ★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. 不等式2 560x x -++>的解集是__________ 解析:将不等式转化成2560x x --<，即()()160x x +-<.] 2. 若不等式20x ax b --<的解集为{|23}x x <<,则不等式210bx ax -->的解集为 __________. .解析:先由方程20x ax b --=的两根为2和3求得,a b 后再解不等式210bx ax -->.得 11,23??-- ??? 3. (广东省五校2008年高三上期末联考) 若关于x 的不等式2 ()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ． 解析： 2 ()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，就是1= [()g x ]max ＜21a a ++ 所以(,1)(0,)a ∈-∞-?+∞ 4(08梅州)设命题P ：函数)16 1 lg()(2a x ax x f + -=的定义域为R ；命题q ：不等式ax x +<+121对一切正实数均成立。如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题， 求实数a 的取值范围。 解：命题P 为真命题?函数)lg()(a x ax x f 16 1 2+ -=定义域为R ? 016 1 2>+ -a x ax 对任意实数x 均成立?00>-=x a 时解集为R ，或204 1102>??????<->a a a ∴ 命题P 为真命题?2>a 5.解关于x 的不等式 012 ) 1(<+--x x k (k ≥0，k ≠1). 原不等式即02 2 )1(<--+-x k x k ， 1°若k=0，原不等式的解集为空集； 2°若1－k>0，即0 k x 此时 k k --12－2=k k --12>0， ∴若0 k --12}； 3°若1－k<0，即k>1时，原不等式等价于,0)2)(12(>----x k k x 此时恒有2>k k --12，所以原不等式的解集为{x|x k --12，或x>2}. 综合拔高训练 6.. 已知ａ＞０，且ａ≠１，解关于x 的不等式： ).4(log )1(log 2 1 42x x a a -≤-+ 解：原不等式等价于 )4(log )1(log 21),4(log 21 )1(log 212222x x x x a a a a -≤-+-≤-+ )4(log ]2)1[(log 222x x a a -≤?- 原不等式同解于?? ???-≤---)3(4)1(2(2) 04(1) 012x x x x a a a a 7分 由①②得１＜ａｘ ＜４， 由③得22 1 ,023)(22≤≤- ≤--x x x a a a 从而1＜ａｘ ≤２ １０分 ①当ａ＞1时，原不等式解为｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２ } ②当０＜ａ＜１时，原不等式解为｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０ } 6.(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x ＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元（a ＞0）。 （I ）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的 农民的年总收入，试求x 的取值范围； （II ）在（I ）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民 的人均年收入达到最大。 解：（I ）由题意得（100-x ）·3000·（1+2x%）≥100×3000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x≤50， 又∵x ＞0 ∴0＜x≤50； （II ）设这100万农民的人均年收入为y 元， 则y= (100－x )×3000×(1+2x %)+3000ax 100 = －60x 2+3000(a +1)x +300000100 =－3 5 [x －25(a +1)]2+3000+475(a +1)2 (0 （i ）当0<25(a +1)≤50，即0＜a ≤1，当x=25(a +1)时，y 最大； （ii ）当25(a +1)＞50，即a ＞1，函数y 在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y 取最大值 答：在0＜a ≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大 7.已知二次函数),,(,)(2 R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当∈x （1，3）时，有2)2(8 1 )(+≤ x x f 成立。 （1）证明：2)2(=f ; （2）若)(,0)2(x f f =-的表达式; （3）设x m x f x g 2)()(-= ,),0[+∞∈x ，若)(x g 图上的点都位于直线4 1 =y 的上方，求 实数m 的取值范围。 解析：（1）由条件知 224)2(≥++=c b a f 恒成立 又∵取x=2时，2)22(8 1 24)2(2=+≤++=c b a f 与恒成立, ∴2)2(=f . （2）∵?? ?=+-=++0 24224c b a c b a ∴,124==+b c a ∴a c b 41, 21 -==. 又 x x f ≥)(恒成立，即0)1(2 ≥+-+c x b ax 恒成立. ∴0)41(4)12 1 (,02≤---=?>a a a ， 解出：21,21,81=== c b a , ∴2 1 2181)(2++=x x x f . （3）由分析条件知道，只要)(x f 图象（在y 轴右侧）总在直线 4 1 2+=x m y 上方即可，也就是直线的斜率 2 m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是： ??? ??? ?+=++=4122 121812x m y x x y ∴)2 2 1,(+-∞∈m . 解法2：),0[4 1 21)221(81)(2+∞∈>+-+= x x m x x g 在必须恒成立, 即 ),0[02)1(42 +∞∈>+-+x x m x 在恒成立. ①△<0，即 [4(1－m)]2 －8<0，解得：2 2 1221+<<- m ; ②?? ? ??>=≤--≥?0 2)0(0)1(20 f m 解出：221-≤m . 总之，)2 21,(+-∞∈m . 课 题：分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等 式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4 ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法） 利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 一元二次不等式解法步骤： 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 分式不等式的解法 一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。 二．学习过程 （一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 2.解下列不等式 （1）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x ＋5(x －1)2≥2 （三）巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是（ ） .A }2131|{>- 1．不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4．不等式1x x -≥2的解集为（ ） .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5．解下列不等式 （1）2x ＋11－x <0 （2）x ＋12x －3≤1 四．作业 解不等式：（1） 0324≤+-x x （2）321≥-+x x 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 （一）分式不等式： 型如： 0)()(>x x f ?或0) () ( 练一练：解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532 )2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式： 23 2 ≥+-x x 解： 023 2 ≥-+-x x 03) 3(22≥++--x x x 即， 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：? ? ?≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2<+++x x x 方法一：322 ++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质 方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式：1≥x a 解：移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x a x 等价转化为，?? ?≠≤-0 )(x a x x 当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ 2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握. 二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为s ，甲的速度为v ，自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为 s v ，乙上楼所需时间为02 s v v + . 由题意，得 2 s s v v v < +. 整理的 0122v v v <+. 由于此处速度为正值，因此上式可化为022v v v +<，即02v v >.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式： 1 232 x x +>-. 解：（化分式不等式为一元一次不等式组） 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?10320x x -?或10320x x ->??-??或12 3x x >?? ??或 10 320 x x ->?? -?>，00a ab b -?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?()()3210x x --（0<）?()()0f x g x >（0<） ； （2） ()()0f x g x ≥（0≤）?()()()()000 f x g x g x ≥≤??? ≠??. 不等式知识点及其解题技巧 1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或 （4）若，，则；若，，则。如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②； ③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧，则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差 的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）；（3）比较1+与的大小（答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是A 、的最小值是2 B 、的最小值是 2 C 、的最大值是 D 、的最小值是（答：C ）；（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）； ,a b c d >>a c b d +>+,a b c d >-0,0a b c d >>>>ac bd >0,0a b c d >><0a b >>n n a b >0ab >a b >11a b <0ab 11a b >c b a ,,22,bc ac b a >>则若b a bc ac >>则若,2222,0b ab a b a >><<则若b a b a 11,0<<<则若b a a b b a ><<则若, 0b a b a ><<则若,0b c b a c a b a c ->->>>则若,011,a b a b > >若0,0a b ><11x y -≤+≤13x y ≤- ≤3x y -137x y ≤-≤c b a >>,0=++c b a a c 12,2??-- ?? ?0,10>≠>t a a 且21log log 21+t t a a 和1a >11log log 22 a a t t +≤1t =01a <<11log log 22a a t t +≥1t =2a >12 p a a =+-2422-+-=a a q q p ,p q >3log x )10(2log 2≠>x x x 且01x <<43x > 3log x 2log 2x 413x <<3log x 2log 2x 43 x =3log x 2log 2x 1y x x =+ 2y =423(0)y x x x =-->2-423(0)y x x x =-->2-21x y +=24x y +,x y 21x y +=y x 11+3+ 二次不等式、分式不等式的解法（二） 示标——知识归纳 1、不等式的结构 ()???????????--????????????指数、对数不等式等 超越不等式绝对值不等式无理不等式分式不等式高次一次、二次、整式不等式有理不等式代数不等式不等式 2、这些不等式解法的化归思路主要是： ???? ?????化去绝对值超越化为代数无理化为有理分式化为整式高次化为低次)5()4()3()2()1(最后化为???二次不等式一次不等式组 施标——应用举例 例1 解关于x 的不等式： （1）).(03222R a a ax x ∈>--（2）).0(0)1(22≠<++-a a x a ax 解（1）.,30322122a x a x a ax x -===--有二根 当0=a 时，021==x x ，解集为);,0()0,(+∞-∞ 当0a 时，,21x x > 解集为).,3(),(+∞--∞a a （2）0)1(22=++-a x a ax 有二根 .1,21a x a x = = 当0>a 时，原不等式化为,0)1)((<--a x a x 当1=a 时，解集为φ； 当10<a 时，解集为).,1(a a 当0--a x a x 当1-=a 时，解集为);,1()1,(+∞---∞ 当1-a 与0<--a a x a x ， )0(0)1)((<>--a a x a x 。它们的解集迥然不同。 课题： 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 目标： 1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法； 2．培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。 重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。 难点：正确串根。 过程： 一、复习引入 1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 2．一元二次不等式的解法步骤。 引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法。 二、新课 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必 须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集 的并集，即{x|???<+>-0401x x }∪???>+<-040 1|{x x x }=φ∪{x|-4 ∴原不等式的解集是{x|-4 昌宁二中高二年级数学有效课堂教学学案 编写人：李永兴 授课时间：2014年10月14日（第九周） 课题：分式不等式的解法 一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。 二．学习过程 （一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 1．分式不等式的同解变形法则： (1)f (x ) g (x )＞0?________；f (x ) g (x )<0?________。 (2)f (x )g (x )≤0?________；f (x ) g (x )≥0?________。 (3)f (x ) g (x )≥a ?________；f (x ) g (x )≤a ?________。 2.解下列不等式 （1）（2008年北京高考）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4)（2008年山东高考） x ＋5(x －1)2≥2 （三）巩固练习题 1.（2012重庆文）不等式 021<+-x x 的解集是 2.不等式01 312>+-x x 的解集是（ ） .A }2131|{>- （一）分式不等式： 型如：0)()(>x x f ?或0) ()( 练一练：解关于x 的不等式 051) 1(>--x x 3532)2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式： 232≥+-x x 解：023 2≥-+-x x 03 )3(22≥++--x x x 即，03 8≥+--x x 03 8≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：? ??≠+≤++030)3)(8(x x x ∴原不等式的解集为 [)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23282<+++x x x 方法一：322++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质 方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式： 1≥x a 解：移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x a x 等价转化为，???≠≤-0 0)(x a x x 当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ 分式不等式的解法 一、新课： 例1、（1）()()303202 x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？ （2） ()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？ 解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。 方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。 通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）： （1）()() ()()00f x f x g x g x >??> （2）()()()()() 000f x g x f x g x g x ?≥??≥??≠?? 解题方法：数轴标根法。 解题步骤： （1）首项系数化为“正” （2）移项通分，不等号右侧化为“0” （3）因式分解，化为几个一次因式积的形式 （4）数轴标根。 例2、解不等式：22320712x x x x -+≤-+- 解略 点评：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。 例3、解不等式：22911 721 x x x x -+≥-+ 点评：1、不能随便去分母 2、移项通分，必须保证右侧为“0” 3、注意重根问题 例4、解不等式：22560(0)32x x x x +-≥≤-+ 点评：1、不能随便约去因式 2、重根空实心，以分母为准 例5、解不等式： 2121332 x x x x ++>-- 点评：不等式左右不能随便乘除因式。 例6、解不等式： 22331x x x ->++ 练习：解不等式： 1、 3 2 x x - ≥ - （首相系数化为正，空实心） 2、21 1 3 x x - > + （移项通分，右侧化为0） 3、 2 2 32 23 x x x x -+ ≤ -- （因式分解） 4、 221 2 x x x -- < - （求根公式法因式分解） 5、()() () 32 2 16 3 x x x x -++ ≤ + （恒正式，重根问题） 6、 () 2 3 9 x x x - ≤ - （不能随便约分） 7、 1 01 x x <-<（取交集） 例7、解不等式： ()1 1 2 a x x - > - 分式不等式的解法公开 课教案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 分式不等式 数学科组权莘童 【教学课题】分式不等式 【授课时数】一课时 【教学设想】 《数学》作为高中的一门基础课，是为了专业技能学习和升学服务，有很强的工具功能.因此，在教学中，要保证“宽”，而不追求“深”、“厚”.要本着“以学生发展为本”的教学理念，注重学生的主动参与性，通过讨论探究，培养学生探究问题和解决问题的能力.本堂课的重点是让学生自行探究、归纳总结分式不等式的解法.在讲授新课前,创设情境,引出分式不等式的定义.在教学中,和学生一起讨论、探究分式不等式的解法，并解决情境问题.教材介绍了分式不等式的两种解法：（1）化为不等式组；（2）化为整式不等式.但是，由于学生的基础薄弱，学生的认知水平属中等.大部分的学生在学习上不够自信，如果两种方法都讲授，学生容易混淆，比较难接受.因此，这节课我仅讲授了一种方法：通过化商为积，将分式不等式化为整式不等式（一般为一元二次不等式）来求解.因为学生在上一课时就已经学过一元二次不等式的解法，所以，学生对这种方法容量理解，达到事半功倍的效果.这节课的关键是要求学生掌握如何通过转化，将分式不等式化为整式不等式.通过学生讨论探究，让学生猜想和归纳出形如()()0?>f x x 、()()0? 【教材分析】 所用的教材《数学》（上海教育出版社），华东师范大学主持编写.本教材在总体上强调“打好基础，学会应用，激发兴趣，启迪思维”的教学理念.一元二次不等式的解法是《数学》（高中一年级第一学期）第二章第一节的内容，分式不等式的解法是《数学》（高中一年级第一学期）第二章第二节的内容，这两个内容在教材的编排上联贯，间隔时间短.本节课，通过对一元二次不等式解法的复习，使两个内容衔接起来. 【学生分析】 高一四班是美术班，学生的认知水平属中等.大部分的学生在学习上不是很自信，特别是数学这一门课.而选择美术的同学，部分对自己要求稍低，自觉性稍差，平时不乐于思考，自学和探究能力稍差，可能导致被动的学习习惯.如果仅是运用传统的教学方法，教学效果可能不理想.因此在教学中，本节课本着“以学生发展为本”的教学理念，逐步引导学生养成积极参与课堂教学的习惯，发挥学生学习的主体性，指导学生逐步学会科学的学习方法，树立自信心，培养学生的创造性思维和探索钻研精神，通过学生的主动探索过程使学生从知识的积累和能力的发展走向素质的提高. 【教学实施】 一元二次不等式和分式不等式的解法 1．一元一次不等式 解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0及a <0情况分 别解之，还要注意?=-b ac 24的三种情况，即?>0或?=0或?<0，最好联系二次有两相)(,x x x x <有两相等a b x x 221-==无实根 3．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，)()(x g x f ≥0????≠≥?0 )(0)()(x g x g x f 。 例1．不等式组???<-<-0 30122x x x 的解集是（ ） A ．｛x ｜－1＜x ＜1} B ．｛x ｜0＜x ＜３} C ．｛x ｜0＜x ＜1} D ．｛x ｜－1＜x ＜３} 答案：C 解析：原不等式等价于：?? ??<<<<-????<-<30110)3(12x x x x x 0＜x ＜1。 点评：一元二次不等式的求解问题是高中数学的基础性知识，是解决其它问题的基础。 练习1. 解下列不等式 （1）02632>+-x x （2）023x 22>--x （3）0273x 2<+-x （4）0322>++-x x （5）0532>+-x x （6）2223x x ->-- 例2．不等式3 1--x x >0的解集为（ ） A.{x |x <1} B.{x |x >3} C.{x |x <1或x >3} D.{x |1 课题 分式不等式的解法 任课教师 杨文静 课型 新课 课时 1 授课时间2007－06－ 知识与技能1、会将分式不等式转化为整式不等式（组）而后求解 2、会用数轴标根法解分式不等式 过程与方法分析解决问题能力，转化能力教学 目标 情感态度与价值观事物间存在普遍联系的辨证思想，严谨的科学态度 教学 重点 数轴标根法解分式不等式 教学 难点 转化为整式不等式时的等价性 教法 讲解法 教具 多媒体 、管路敷设技术通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行 高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况 ，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 分式不等式 数学科组 权莘童 【教学课题】分式不等式 【授课时数】一课时 【教学设想】 《数学》作为高中的一门基础课，是为了专业技能学习和升学服务，有很强的工具功能.因此，在教学中，要保证“宽”，而不追求“深”、“厚”.要本着 “以学生发展为本”的教学理念，注重学生的主动参与性，通过讨论探究，培养学生探究问题和解决问题的能力.本堂课的重点是让学生自行探究、归纳总结分式不等式的解法.在讲授新课前,创设情境,引出分式不等式的定义.在教学中,和学生一起讨论、探究分式不等式的解法，并解决情境问题.教材介绍了分式不等式的两种解法：（1）化为不等式组；（2）化为整式不等式.但是，由于学生的基础薄弱，学生的认知水平属中等.大部分的学生在学习上不够自信，如果两种方法都讲授，学生容易混淆，比较难接受.因此，这节课我仅讲授了一种方法：通过化商为积，将分式不等式化为整式不等式（一般为一元二次不等式）来求解.因为学生在上一课时就已经学过一元二次不等式的解法，所以，学生对这种方法容量理解，达到事半功倍的效果.这节课的关键是要求学生掌握如何通过转化，将分式不等式化为整式不等式.通过学生讨论探究，让学生猜想和归纳出形如() ()0>f x x 、()()0? 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 (1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式． (2)一元二次不等式的解法(如下表所示) 设a＞0，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，且x1＜x2 (3)对于一元二次不等式的解法需注意： ①x－a x－b ≥0(a＜b)的解集为：{x|x≤a或x＞b}； x－a x－b ≤0(a＜b)的解集为：{x|a≤x＜b}． ②从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的点的横坐标的集合． ③三个“二次”的关系 常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系． 2．解一元二次不等式的方法： (1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集． (2)公式法步骤： ①先化成标准型：ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，且a＞0； ②计算对应方程的判别式Δ； ③求对应方程的根； ④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集． 3．解绝对值不等式的基本思想 1）解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如： (1)若a ＞0，则│x │＜a ?－a ＜x ＜a ?x 2＜a 2； (2)若a ＞0，则│x │＞a ?x ＜－a ，或x ＞a ?x 2＞a 2； (3) |f (x )|高考数学 高次分式不等式解法
分式不等式的解法
分式不等式的解法基础测试题回顾.doc
高中数学不等式的分类、解法(教资材料)
专题二、分式不等式的解法
分式不等式教案
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