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逻辑学导论2 第二章习题参考答案

《逻辑学导论（2）》第二章习题解答

一、请将下述命题符号化，如果是复合命题，请根据其中所含的主联结词，指出是何种复合命题：

1．阳光和红霞是好朋友。

【解】：p。这是一个简单命题，应作为一个整体看待。

2．贝多芬和莫扎特是伟大的作曲家。

【解】：设p表示“贝多芬是伟大的作曲家”，q表示“莫扎特是伟大的作曲家”，则上述命题可表示为：p∧q。这是一个联言命题。

3．说西红柿是蔬菜是假的。

【解】：设p表示“西红柿是蔬菜”，则上述命题可表示为：?p。这是一个负命题。

4．大连队将获得今年的甲A冠军，否则，冠军就是国安队。

【解】：设p表示“大连队将获得今年的甲A冠军”，q表示“国安队将获得今年的甲A冠军”，则上述命题可表示为：p∨ q。这是一个选言命题。

5．尽管并非所有的人都是自私的，但仍然有不少人很自私。

【解】：设p表示“所有的人都是自私的”，q表示“有不少人很自私”，则上述命题可表示为：?p∧q。这是一个联言命题。

6．如果我们再不降低生育率，那我们就会连坐下来的空间都没有了。

【解】：设p表示“我们再不降低生育率”，q表示“我们连坐下来的空间都没有了”，则上述命题可表示为：p→q。这是一个假言命题。

7．即使我们提高税收，财政赤字仍不会减少，除非我们削减政府开支。

【解】：设p表示“我们提高税收”，q表示“财政赤字会减少”，r表示“我们削减政府开支”，则上述命题可表示为：?r→?(p→q)。这是一个假言命题。

8．钱不是万能的，但没有钱是万万不行的。

【解】：设p表示“钱不是万能的”，q表示“没有钱是万万不行的”，则上述命题可表示为：p∧q。这是一个联言命题。

9．如果你是草，羊会站在你的身上，践踏你，啃食你，不管你是它的亲人还是朋友；如果你是参天大树，羊会仰望你，赞美你，无论你是残疾还是孩子。

【解】：设p1表示“你是草”，q1表示“羊会站在你的身上践踏你”，r1表示“羊会站在你的身上啃食你”，s1表示“你是它的亲人”，t1表示“你是它的朋友”，则上述命题的前半部分可表示为：p1→?(s1∨t1→?q1∨?r1)。

设p2表示“你是参天大树”，q2表示“羊会仰望你”，r2表示“羊会赞美你”，s2表示“你是残疾”，t2表示“你是孩子”，则上述命题的后半部分可表示为：p2→?(s2∨t2→?q2∨?r2)。

整个命题可表示为：（p1→?(s1∨t1→?q1∨?r1)）∧（p2→?(s2∨t2→?q2∨?r2)）这是一个联言命题。

10．某液体是酸类，当且仅当，它让石蕊试纸变红。

【解】：设p表示“某液体是酸类”，q表示“该液体让石蕊试纸变红”，则上述命题可表示为：q?p。这是一个充分必要条件假言命题。

11．既然不存在完美无缺的事情，我就不应该因我的过失而受到责备。

【解】：设p表示“不存在完美无缺的事情”，q表示“我不应该因我的过失而受到责备”，则上述命题可表示为：p→q。这是一个充分条件假言命题。

12．恐龙无法被克隆，除非科学家能够获悉恐龙的完整基因。

【解】：设p表示“科学家能够获悉恐龙的完整基因”，q表示“恐龙能被克隆”，则上述命题可表示为：p←q。这是一个必要条件假言命题。

13．如果你没有失约，老板仍然不高兴，那么或者是因为你没有做成那笔买卖，或者是因为我的错。

【解】：设p表示“你没有失约”，q表示“老板不高兴”，r表示“因为你没有做成那笔买卖”，s表示“因为我的错”，则上述命题可表示为：p∧q→r∨s。这是一个充分条件假言命题。

14．所有可靠的论证都是有效的，并且它们有真的前提。

【解】：设p表示“所有可靠的论证都是有效的”，q表示“所有可靠的论证都有真的前提”，则上述命题可表示为：p∧q。这是一个联言命题。

15．如果我们提高税收并且削减政府开支，那么，除非发生大的自然灾害，财政赤字将会减少。

【解】：设p表示“我们提高税收”，q表示“我们削减政府开支”，r表示“发生大的自然灾害”，s表示“财政赤字将会减少”，则上述命题可表示为：p∧q→(?r→s)。这是一个充分条件假言命题。

16．雨、雪、风、霜都不会阻止那位邮递员按时投送邮件。

【解】：设p表示“雨不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，q表示“雪不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，r表示“风不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，s表示“霜不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，则上述命题可表示为：p∧q∧r∧s。这是一个联言命题。

17．甲、乙、丙、丁至少有一人将来会成为杰出人士。

【解】：设p表示“甲将来会成为杰出人士”，q表示“乙将来会成为杰出人士”，r表示“丙将来会成为杰出人士”，s表示“丁将来会成为杰出人士”，则上述命题可表示为：p ∨q∨r∨s。这是一个相容选言命题。

18．聪明的人总是用别人的智慧填补自己的大脑，愚蠢的人总是用别人的智慧干扰自己的情绪。

【解】：设p表示“聪明的人总是用别人的智慧填补自己的大脑”，q表示“愚蠢的人总是用别人的智慧干扰自己的情绪”，则上述命题可表示为：p∧q。这是一个联言命题。

二、用真值表方法去验证下述公式是不是重言式：

1．?(A∧?A)

【解】：列真值表进行真值运算如下：

最后一列真值均为1，故原公式为重言式。

2．(A→?A)→?A

【解】：列真值表进行真值运算如下：

3．?A→(A→(B→C))

【解】：列真值表进行真值运算如下：

4．(A→(B→C))→((A→B)→(?C→?A∨D))

【解】：列真值表进行真值运算如下：

5．A?A∨(A→C)

【解】：列真值表进行真值运算如下：

最后一列第三、四行真值均为0，故原公式不是重言式。

6．(A?B)→((C?D)→((A?C)→(B?D))) 【解】：列真值表进行真值运算如下：

三、用归谬赋值法判定下述公式是否重言式：1．(?A→A)→A

【解】

变元A

2．(A→B)→((A∨C)→(B∨C))

【解】：用归谬赋值法判定如下：

3．(A→B)→((C→D)→(A∧C→B∧D)) 【解】：用归谬赋值法判定如下：

变元D的取值出现矛盾，故原公式为重言式。4．(A→(A→C))→(A→C)

【解】：用归谬赋值法判定如下：

变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式。5．(A∧(B∨C))→((A∧B)∨(A∧C))

变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式。6．((A∨B)∧(A∨C))→(A∨(B∧C))

【解】：用归谬赋值法判定如下：

变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式。四．用树形图方法判定下述公式是否重言式：1．A∧?A→(A∧B)∨C

【解】：依画图规则构造树形图如下：

由于该树形图只有一个闭枝，故原公式为重言式。 2．((A →B)→A)→A

【解】：依画图规则构造树形图如下：该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。 3．(A →B)→(A ∧C →B) 【解】：依画图规则构造树形图如下：该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。 4．(A →B)→((A ∧C)?(B ∨C)) 【解】：依画图规则构造树形图如下：

?（（A ∧?A ）→（A ∧B ）∨C ）

︱

A ∧?A ?（（A ∧

B ）∨

C ））

︱

A ?A ※

√

该树形图有不能关闭的枝，故原公式不是重言式。 5．(A ∧B →C)?(A →(B →C)) 【解】：依画图规则构造树形图如下：

该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。 6．(A ?(B ∧C))→(A ?B)∨(A ?C) 【解】：依画图规则构造树形图如下：

?（（

B →

C ）

）） A ∧B ?（A →（︱

A ?（

B →

C ）︱

B A ∧B →

C ） B →C ）︱

A ∧

B ?

C ︱ A B

C ※

?A ※

B →?B ※

※ ※

※

√

√ √

√ ?

（（A →B ）→（（A ∧

C ）?（B ∨C ）））

︱

A →

B ?（（A ∧

C ）?A ∧?（B ︱ A C ︱ ?B ?C ※

C ※

?A ?A

B B

该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。五．在PN 中证明，下述公式是PN 定理： 1．A ∨?A 【证明】：

（1）〇?( A ∨?A) 假设（2） | 〇A

假设

（3） | |A ∨?A （2）∨+

（4） | |?( A ∨?A) （1）∈（假设引用）（5） | ?A （2）（3）（4）?+ （6） | A ∨?A （5）∨+

（7） | ?( A ∨?A) （1）∈（假设引用）（8）A ∨?A

（1）（6）（7）?-

2．??A ?A 【证明】：

（1）〇A

假设

（2） | 〇?A

假设

（3） | | A （1）∈（假设引用）（4） | | A ∧?A

（2）（3）∧+ （5） | ??A （2）（4）?+ （6） A →??A （1）（5）→+ （7）〇??A 假设（8） | 〇?A

假设

（9） | | ??A （7）∈（假设引用）（10）| | ?A ∧??A （8）（9）∧+ （11）| A

（8）（10）?-

?((A ?(B ∧C))→(A ?B)∨(A ?C))

︱

A ?(

B ∧C) ?((A ?B)∨(A ?

C)) ︱

(A ??(A ??A ?(B ∧C) ?C

B ∧

C ︱ B C

A ?

B ※ ?A B ※ A ?B ※

?A B A ?B ※ ?A B

※ A ?C ※ ?A C ※

√

√ √ √

（12）??A→A （7）（11）→+

（13）??A?A （6）（12）?+ 3．?(A∧?A)

【证明】：

（1）〇A∧?A 假设

（2） | A （1）∧-

（3） | ?A （1）∧-

（4）?（A∧?A）（1）（2）（3）?+ 4．(A→B)→(?B→?A)

【证明】：

（1）〇A→B 假设

（2） | 〇?B 假设

（3） | | 〇A 假设

（4） | | | B （1）（3）→-

（5） | | | ?B （2）∈（假设引用）（6） | | | B∧?B （4）（5）∧+

（7） | | ?A （3）（6）?+

（8） | ?B→?A （2）（7）→+

（9）（A→B）→（?B→?A）（1）（7）→+ 5．(A→(B→C))→(?C→(B→?A))

【证明】：

（1）〇A→（B→C) 假设

（2） | 〇?C 假设

（3） | | 〇 B 假设

（4） | | | 〇A 假设

（5） | | | | B→C （1）（4）→-

（6） | | | | B （3）∈（假设引用）（7） | | | | C （5）（6）→-

（8） | | | | ?C （2）∈（假设引用）（9） | | | | C∧?C （7）（8）∧+

（10）| | | ?A （4）（9）?+

（11）| | B→?A （3）（10）→+

（12）| ?C→(B→?A) （2）（11）→+

（13）(A→(B→C))→(?C→(B→?A))(1）(12）→+ 6．(A→B)→((B→C)→(A→C))

【证明】：

（1）〇A→B 假设

（2） | 〇B→C 假设

（3） | | 〇A 假设

（4） | | | B （1）（3）→-

（5） | | | C （2）（4）→-

（6） | | A→C （3）（5）→+

（7） |（B→C）→（A→C）（2）（6）→+

（8）（A→B）→（（B→C）→（A→C））（1）（7）→+

7．(A∧B→C)→((?C∧A)→?B)

【证明】：

（1）〇A∧B→C 假设

（2） | 〇?C∧A 假设

（3） | | 〇B 假设

（4） | | | ?C∧A （2）∈（假设引用）（5） | | | A （4）∧-

（6） | | | ?C （4）∧-

（7） | | | A∧B （5）（3）∧+

（8） | | | A∧B→C （1）∈（假设引用）（9） | | | C （7）（8）→-

（10）| | | C∧?C （6）（9）∧+

（11）| | ?B （3）（10）?+

（12）|（?C∧A）→?B （2）（11）→+

（13）（A∧B→C）→（（?C∧A）→?B）（1）（12）→+ 8．(A∧B)∨(A∧C)→A∧(B∨C)

【证明】：

（1）〇（A∧B）∨（A∧C）假设

（2） | 〇A∧B 假设

（3） | | A （2）∧-

（4） | | B （2）∧-

（5） | | B∨C （4）∨+

（6） | | A∧（B∨C）（3）（5）∧+

（7） |（A∧B）→A∧（B∨C）（2）（6）→+

（8） | 〇A∧C 假设

（9） | | A （8）∧-

（10）| | C （8）∧-

（11）| | B∨C （10）∨+

（12）| | A∧（B∨C）（9）（11）∧+

（13）|（A∧C）→A∧（B∨C）（8）（12）→+

（14）| A∧（B∨C）（1）（7）（13）∨- （15）（A∧B）∨（A∧C）→A∧（B∨C）（1）（14）→+ 六．在PN中证明，下述推理是有效的：

1．A∧(B→C)，?(C∧A)，∴?B

【证明】：

（1） A∧（B→C）前提

（2）?（C∧A）前提

（3）〇B 假设

（4） | B→C （1）∧-

（5） | C （3）（4）→-

（6） | A （1）∧-

（7） | C∧A （5）（6）∧+

（8） | ?（C∧A）（2）∈（前提引用）（9） |（C∧A）∧?（C∧A）（7）（8）∧+

（10）?B （3）（9）?+

2．H→K，(K∧L)→M，∴L→(H→M)

【证明】：

（1） H→K 前提

（2）（K∧L）→M 前提

（3）〇L 假设

（4） | 〇H 假设

（5） | | K （1）（4）→-

（6） | | K∧L （5）（3）∈、∧+

（7） | | M （2）（6）→-

（8） | H→M （4）（7）→+

（9） L→（H→M）（3）（8）→+

3．A∧B→C，?(C∨?A)，∴?B

【证明】：

（1） A∧B→C 前提

（2）?（C∨?A）前提

（3）?C∧A （2）德*摩根律

（4）〇B 假设-

（5） | ?C （3）∧-

（6） | A （3）∧-

（7） | A∧B （4）（6）∧+

（8） | C （1）（7）→-

（9） | C∧?C （5）（8）∧+

（10）?B （4）（9）?+

4．A∨B，C，A∧C→D，?(?F∧B)，∴D∨F

【证明】：

（1） A∨B 前提

（2） C 前提

（3） A∧C→D 前提

（4）?(?F∧B) 前提

（5） F∨?B （4）德*摩根律

（6）〇?D 假设

（7） | ?(A∧C) （3）（6）DR1

（8） | ?A∨?C （7）德*摩根律

（9） | ?A （2）（8）否定肯定式（10）| B （1）（9）否定肯定式（11）| F （5）（10）否定肯定式（12）?D→F （6）（11）→+

（13）D∨F （12）蕴析律

5．?(D∨C)，?C→(A→?B)，A?B，∴?A

【证明】：

（1）?(D∨C) 前提

（2）?C→(A→?B) 前提

（3） A?B 前提

（4）?D∧?C （1）德*摩根律

（5）?C （4）∧-

（6） A→?B （2）（5）→-

（7） A→?A （3）（6）RP（等值置换）（8）〇A 假设

（9） | ?A （7）（8）→-

（10）| A∧?A （8）（9）∧+

（11）?A （8）（10）?+

6．A∨B，C，A∧C→D，∴D∨B

【证明】：

（1） A∨B 前提

（2） C 前提

（3） A∧C→D 前提

（4）〇?D 假设

（5） | ?(A∧C) （3）（4）DR1

（6） | ?A∨?C （5）德*摩根律

（7） | ?A （2）（6）否定肯定式

（8） | B （1）（7）否定肯定式

（9）?D→B （4）（8）→+

（10）D∨B （9）蕴析律

7．K→((L∨M→R)，R∨S→T，∴K→(M→T)

【证明】：

（1） K→((L∨M)→R) 前提

（2）（R∨S→T）前提

（3）〇K 假设

（4） | 〇M 假设

（5） | |(L∨M）→R （1）（3）→-

（6） | | L∨M （4）∨+

（7） | | R （5）（6）→-

（8） | | R∨S （7）∨+

（9） | | T （2）（8）→-

（10）| M→T （4）（9）→+

（11）K→(M→T) （3）（10）→+

8．(M∨N)→(M→?N)，?(N→P)→?(M→?N)，M∨N，∴M∨P 【证明】：

（1）（M∨N)→(M→?N) 前提

（2）?(N→P)→?(M→?N) 前提

（3） M∨N 前提

（4）〇?M 假设

（5） |(M→?N) （1）（3）→-

（6） | N→P （2）（5）DR1

（7） | ?M→N （3）蕴析律

（8） | ?M→P （6）（7）DR2

（9） | P （4）（8）→-

（10）?M→P （4）（9）→+

（11）M∨P （10）蕴析律

9．A?B，?(A∧?R)→(A∧S)，∴?(B∧S)→?(A∧R)

【证明】：

（1） A?B 前提

（2）?(A∧?R)→(A∧S) 前提

（3）〇?(B∧S) 假设

（4） | ?(A∧S) （1）（3）RP（等值置换）（5） | A∧?R （2）（4）DR1

（6） | ?R （5）∧-

（7） | ?A∨?R （6）∨+

（8） | ?(A∧R) （7）德*摩根律

（9）?(B∧S)→?(A∧R) （3）（8）→+

10．(A∧B)∨C，(A∧B)→(E→A)，(C→D) ，∴(E→A)∨D

【证明】：

(1) (A∧B)∨C 前提

(2) (A∧B)→(E→A) 前提

(3) C→D 前提

(4) 〇?D 假设

(5) | ?C (3)(4)DR1

(6) | A∧B (1)(5)否定肯定式

(7) | E→A (2)(6)→

(8) ?D→(E→A) (4)(7)→

(9) D∨(E→A) (8)蕴析律

(10)(E→A)∨D (9)交换律

11．C?D，B→(D∧E)，?C∨?D，∴?B

【证明】：

（1） C?D 前提

（2） B→(D∧E) 前提

（3）?C∨?D 前提

（4）?D∨?D （1）（3）RP（等值置换）（5）?D （4）消去律

（6）?D∨?E （5）∨

（7）?(D∧E) （6）德*摩根律

（8）?B （2）（7）DR1

12．A∨(?B∨?C)，A→(D→E)，?(?B∨?D)，∴C→(D→E)

【证明】：

(1) A∨(?B∨?C) 前提

(2) A→(D→E) 前提

(3) ?(?B∨?D) 前提

(4) 〇C 假设

(5) | B∧D (3)德*摩根律

(6) |(A∨?B)∨?C (1)析取结合律

(7) | A∨?B (4)(6)否定肯定式

(8) | B (5)∧-

(9) | A (7)(8)否定肯定式

(10)| D→E (2)(9)→-

(11)C→(D→E) (4)(10)→+

七．对于下面的每一个论证，先将其符号化为命题逻辑公式；如果它是有效的，则构造一个其有效性的形式证明；如果它是无效的，则画出相应的树形图揭示它的无效性：1．【解析】：设P——发现新的能源，Q——世界的人口数量降低，R——生活水平提高，S——我们提供研究经费，则上述论证可表示为：

P→(R→Q)，?R??P，P∨?S，∴S→Q

这是一个有效的论证。可构造其有效性的形式证明如下：

【证明】：

（1）P→(R→Q) 前提

（2）?R??P前提

（3）P∨?S前提

（4）〇S假设

（5） | P（3）（4）否定肯定式

（6） | R→Q（1）（5）→-

（7） | R（2）（5）PR1

（8） | Q（6）（7）→-

（9）S→Q （2）（11）→+

2．【解析】：设P——语言学研究者是正确的，Q——在古希腊出现了不止一种方言，R ——不同的部落就是在不同的时间来自北方，S——不同的部落是来自达卢比河谷，T——考古发掘揭示了某些不同部落的遗迹，则上述论证可表示为：

P→(Q→R)，R→S，R→T，?T，∴Q→?P

这是一个有效的论证。可构造其有效性的形式证明如下：

【证明】：

（1）P→(Q→R) 前提

（2）R→S前提

（3）R→T前提

（4）?T前提

（5）〇Q假设

（6） | 〇P假设

（7） | | Q→R（1）（6）→-

（8） | | R （5）（7）→-

（9） | | T（3）（8）→-

（10）| | ?T（4）∈（前提引用）

（11）| ?P（6）（9）（10）?+

（12）Q→?P（5）（11）→+

3．【解析】：设P——李白获胜，Q——马丽会感到高兴，R——傅德获胜，S——萨乔会感到高兴，T——彼尔获胜，U——保罗获胜，则上述论证可表示为：

P→Q，R→S，(T→S)∧(U→Q)，(?S∨?Q)∧(?R∨?T)，∴(?T∨?U)∧(?R∨?P) 这是一个有效的论证。可构造其有效性的形式证明如下：

【证明】：

（1）P→Q前提

（2）R→S前提

（3） (T→S)∧(U→Q) 前提

（4） (?S∨?Q)∧(?R∨?T) 前提

（5）?S∨?Q（4）∧-

（6）?R∨?T（4）∧-

（7）T→S（3）∧-

（8）U→Q（3）∧-

（9）〇T假设

（10）| S（7）（9）→-

（11）| ?Q（5）（10）否定肯定式

（12）| ?U（8）（11）PR1

（13）T→?U （1）（12）→+

（14）?T∨?U （13）蕴析律

（15）〇R假设

（16）| S（2）（15）→-

（17）| ?Q（5）（16）否定肯定式

（18）| ?P（1）（17）PR1

（19）R→?P （15）（18）→+

（20）?R∨?P （19）蕴析律

（21）(?T∨?U)∧(?R∨?P) （14）（20）∧+

4．【解析】：设P——工资提高，Q——物价提高，R——通货膨胀，S——议会限制通货膨胀，T——人民将遭受损失，U——议员们会失掉人心，则上述论证可表示为：P∨Q→R，R→(?S→T)，T→U，?S∧?U，∴?P

这是一个有效的论证。可构造其有效性的形式证明如下：

【证明】：

（1）P∨Q→R前提

（2）R→(?S→T) 前提

（3）T→U前提

（4）?S∧?U前提

（5）〇P假设

（6） | P∨Q（5）∨+

（7） | R（1）（6）→-

（8） | ?S→T（2）（7）→-

（9） | ?S（4）∧-

（10）| T（8）（9）→-

（11）| ?U（4）∧-

（12）| ?T（3）（11）PR1

（13）?P （5）（10）（12）?+

5．【解析】：设P——世界人口在增长，Q——农业产量在下降，R——制造业的产品保持稳定，S——有新的食品源可资利用，T——将从根本上对世界上的食品资源进行重新分配，U——人类的营养需求降低，V——鼓励家庭节约食品，则上述论证可表示为：P∧Q∧R，Q∧P→(?U→?(S∨T))，?S∧?V∧?U，∴T

这是一个无效的论证。可用树形图法证明其无效性如下：

【证明】：?((P∧Q∧R)∧(Q∧P→(?U→?(S∨T)))∧(?S∧?V∧?U))→T

该树形图已经终结，但是有不能关闭的枝，故原公式不是重言式，上述推理无效。 6．【解析】：设P ——上帝愿意阻止邪恶，Q ——上帝能阻止邪恶，R ——上帝是万能的，S ——上帝是仁慈的，T ——邪恶存在，U ——上帝存在，则上述论证可表示为： P ∧?Q →?R ，Q ∧?P →?S ，T →(Q ∧?P )∨(P ∧?Q ) ，T ，U →R ∧S ，∴?U

这是一个有效的论证。可构造其有效性的形式证明如下：【证明】：

（1） P ∧?Q →?R 前提（2） Q ∧?P →?S 前提

（3） T →(Q ∧?P )∨(P ∧?Q ) 前提（4） T 前提

（5） U →R ∧S 前提（6） (Q ∧?P )∨(P ∧?Q ) （3）（4）→- （7）〇U 假设

（8） | R ∧S （5）（7）→- （9） | S

（8）∧-

（10）| ?(Q ∧?P )

（2）（9）PR1 （11）| P ∧?Q （6）（10）否定肯定式（12）| ?R （1）（11）→- （13）| R （8）∧-

（14）?U

（7）（12）（13）?+

7．【解析】：设P ——你有自由意志，Q ——你的行动不是被某个先前的事件所决定，R ——你的行动无法预测，S ——你的行动的后果无法预测，则上述论证可表示为：

P →Q ，P →(Q →R)，Q →(R →S)，∴P →S

这是一个有效的论证。可构造其有效性的形式证明如下：【证明】：

（1） P →Q 前提（2） P →(Q →R)

前提

P ∧Q ∧R

Q ∧P →(?U →?(S ∨T ))

?S ∧?V ∧?U

?T ?S ?V ?U P Q R

?Q ※ ?U →?(S ∨T )

?(Q ∧P ) ? P ※

※

?(S ∨T ) ?S ?T

（4）〇P 假设

（5） | Q（1）（4）→-

（6） | Q→R（2）（4）→-

（7） | R（5）（6）→-

（8） | R→S（3）（5）→-

（9） | S（7）（8）→-

（10）P→S（4）（9）→+

8．【解析】：设P——那本书写得很好，Q——我阅读了它，R——我会喜欢它，S——我会保存它，T——我会把它借给朋友，则上述论证可表示为：

P→(Q→R)，R→(S∨T)，P∧Q∧?S，∴T

这是一个有效的论证。可构造其有效性的形式证明如下：

【证明】：

（1）P→(Q→R)前提

（2）R→(S∨T)前提

（3）P∧Q∧?S前提

（4）P（3）∧-

（5）Q（3）∧-

（6）?S（3）∧-

（7）Q→R（1）（4）→-

（8）R（5）（7）→-

（9）S∨T（2）（8）→-

（10）T（6）（9）否定肯定式

9．【解析】：设P——乙是盗窃犯，Q——甲昨晚遇见乙，R——盗窃案发生在午夜，S ——甲说谎，则上述论证可表示为：

?P→?Q∧R，R→P∨S，∴?S→P

【证明】：

（1）?P→?Q∧R前提

（2）R→P∨S前提

（3）〇?S假设

（4） | 〇?P假设

（5） | | ?Q∧R（1）（4）→-

（6） | | R（5）∧-

（7） | | P∨S（2）（6）→-

（8） | | P（7）（3）否定肯定式

（9） | P（4）（8）?-

（10）?S→P（3）（9）→+

10．【解析】：设P——宣战是一个正确的战略行动，Q——有50个师作好了战斗准备，R——已有20个远程轰炸机编队已准备好发动攻击，S——有新的生化武器可用，则上述论证可表示为：

P→Q∨R，?Q，∴?R→?P∨S

这是一个有效的论证。可构造其有效性的形式证明如下：

【证明】：

（1）P→Q∨R前提

（3）〇?R假设

（4） | 〇P假设

（5） | | Q∨R（1）（4）→-

（6） | | R（2）（5）否定肯定式

（7） | | ?R（3）∈（假设引用）

（8） | ?P（4）（6）（7）?+

（9） | ?P∨S（8）∨+

（10）?R→?P∨S（3）（9）→+

《逻辑学导论（2）》第四章习题解答

一、请用谓词逻辑的语言把下述命题或推理符号化：

1．没有最大的自然数。

【解】：设个体域为全域，一元谓词Z()表示“…是自然数”，二元谓词R(

，)

表示“…大

于…”，则上述命题可符号化为：??x(Z(x)∧?y(Z(y)→R(x

，y)

))

2．张三丰是一个足球迷。

【解】：设个体域为全域或{人}，个体常项a表示“张三丰”，一元谓词F()表示“…是足球迷”，则上述命题可符号化为：F(a)

3．每一个时刻都在有的时刻之后。

【解】：设个体域为全域，一元谓词S()表示“…是时刻”，二元谓词R(

，)

表示“…在…

之后”，则上述命题可符号化为：?x(S(x)→?y(S(y)∧R(x

，y)

))

4．叶涛和他的妻子李娜是过去的大学同学。

【解】：设个体域为全域或{人}，个体常项a表示“叶涛”，b表示“李娜”，二元谓词P( ，)表示“…是…的妻子”，R( ，)表示“…和…是过去的大学同学”，则上述命题可符号化

为：P(b

，a)∧R(a

，b)

5．如果所有的人都尊重每一个人，则每一个人都会很快乐。

【解】：设个体域为全域)，一元谓词R()表示“…是人”，K()表示“…很快乐”，二元谓

词Z(

，)表示“…尊重…”，则上述命题可符号化为：?x(R(x)→?y(R(y)→Z(x

，y)

))→?z(R(z)→K(z))

6．有一本书，全班同学都喜欢它并且轮流读过它，而它为王军所拥有。

【解】：设个体域为全域，个体常项a表示“王军”，一元谓词T()表示“…是我班同学”，S()表示“…是一本书”，二元谓词L( ，)表示“…喜欢…”，R( ，)表示“…读过…”，P( ，)表

示“…拥有…”，则上述命题可符号化为：S(x)∧?y(T(y)→L(y

，x)∧R(y

，x)

)∧B(a

，x)

7．如果所有的自然事件都有原因，我家院子里的那棵梨树枯死也是一个自然事件，因此它一定也有原因。

【解】：设个体域为全域，个体常项a表示“我家院子里的那棵梨树枯死这件事”，一元谓词Z()表示“…是自然事件”，Y()表示“…是有原因的”，则该推理可符号化为：?x(Z(x)→Y(x))∧Z(a)?Y(a)

8．所有教逻辑的教师，其思维一定非常合乎逻辑，这一说法是假的。

【解】：设个体域为全域，个体常项a表示“逻辑”，一元谓词S()表示“…是”，T()表示

“…是教师”，二元谓词P(

，)表示“…教…”，Q(

，)

表示“…属于…”，R(

，)

表示“…非常

合乎…”，则上述命题可符号化为：??x(S(x)∧?y(T(y)∧P(y

，a)∧Q(x

，y)

)→R(x

，a)

)

9．对于任意的自然数x、y来说，x＋5＝y当且仅当x＝y－5。

【解】：设个体域为全域，个体常项a表示“5”，一元谓词Z()表示“…是自然数”，三

元谓词P(

，，)表示“…＋…＝…”，Q(

，，)

表示“…＝…—…”，则上述命题可符号化为：

?x(Z(x)→?y(Z(y)→(Q(x，y ，5)?P(x，5，y))))

10．如果天堂的门将只对穷人敞开，而约翰是一位大富翁，那么，约翰将进不了天堂。

【解】：设个体域为全域，个体常项a表示“天堂的门”，b表示“约翰”，一元谓词Q()表示“…是穷人”，二元谓词K(

，)

表示“…对…敞开”，则上述命题可符号化为：?x(K(a，x)→Q(x))∧?Q(b)→?K(a，b)

11．或者所有的学生喜欢所有老师讲课，或者有的学生不喜欢有的老师讲课。

【解】：设个体域为全域，一元谓词S()表示“…是学生”，T()表示“…是老师”，二元谓

词R(

，)

表示“…喜欢…”，则上述命题可符号化为：

?x(S(x)→?y(T(y)→R(x，y)))∨?x(S(x)∧?y(T(y)∧?R(x，y)))

12．世界上没有免费的午餐，所以，做了坏事是要付出代价的。

【解】：设个体域为全域，一元谓词W()表示“…是午餐”，M()表示“…是免费的”，H()表示“…是坏事情”，D()表示“…是有代价的”，则上述命题可符号化为：??x(W(x)∧M(x))??y(H(y)→D(y))

13．所有的马都是动物，所以，所有的马头都是动物头。

【解】：设个体域为全域，一元谓词D()表示“…是动物”，M()表示“…是马”，D’()表示“…是动物的头”，M’()表示“…是马头”，则上述命题可符号化为：

? x(M(x)→D(x))?? x(M’(x)→D’(x))

14．有的人得到所有人的尊敬，有的人得到某些人的尊敬，但一个人至少应该自己尊敬自己。

【解】：设个体域为全域，一元谓词R()表示“…是人”，二元谓词Z(

，)

表示“…尊敬…”，

则上述命题可符号化为：?x(R(x)∧?y(R(y)→Z(y

，x)))∧?x(R(x)∧?y(R(y)∧Z(y

，x)

)∧?x(R(x)→◇

Z(x

，x)

)

15．如果有的自然数小于所有自然数，那么肯定有自然数自己小于自己，而后一说法肯定是假的，所以，前一说法也是假的。

【解】：设个体域为全域，一元谓词Z()表示“…是自然数”，二元谓词R(

，)

表示“…小

于…”，则上述命题可符号化为：(?x(Z(x)∧?y(Z(y)→R(x

，y)))→?x(Z(x)∧R(x

，x)

))∧??x(Z(x)∧

R(x，x))???x(Z(x)∧?y(Z(y)→R(x，y)))

16．如果牛郎不爱所有爱织女的男人，那么，如果孙悟空爱织女，则牛郎不爱孙悟空或者大白菜是云彩。

【解】：设个体域为全域，个体常项a表示“牛郎”，b表示“织女”，c表示“孙悟空”，d表示“大白菜”，一元谓词M()表示“…是男人”，Y()表示“…是云彩”，二元谓词L( ，)表示“…爱…”，则上述命题可符号化为：

? x(M(x)∧L(x，b)→?L(a，x))→(L(c，b)→?L(a，c)∨Y(d))

17．仅当大学生爱好数学时才爱好逻辑。

【解】：设个体域为全域，个体常项a表示“逻辑”，b表示“数学”，一元谓词D()表示

“…是大学生”，二元谓词L(

，)表示“…爱好…”，则上述命题可符号化为：? x(D(x)∧L(x

，

a)→L(x

，b)

)

18．如果张三有罪，则没有一个证人说谎，除非他害怕。有证人害怕。因此，张三无罪。

【解】：设个体域为全域，个体常项a表示“张三”，一元谓词Z()表示“…有罪”，R()

表示“…是证人”，H()表示“…说谎”，P()表示“…害怕”，则上述推理可符号化为：(Z(a)→?x(R(x)∧?P(x)→?H(x)))∧?x(R(x)∧P(x))??Z(a)

二、用解释方法证明下面前五个公式不普遍有效，后五个公式可满足：

1．?xA(x)∧?xB(x)→?x(A(x)∧B(x))

【解】：设个体域为全域，一元谓词A()表示“…是方的”，B()表示“…是圆的”，则在该模型下，原公式的意义为：“如果有东西是方的并且有东西是圆的，那么有东西既是方的，又是圆的。”