高等数学期末复习
第九章 多元函数微分学
一、内容要求
1、会求简单二元函数定义域
2、会求多二元函数表达式和值
3、会求简单二元函数的极限
4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达
5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值
6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式
7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数
8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数
9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数 10、会求多元函数全微分 11、会求多元隐函数的偏导数
12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性 13、能观察出简单多元函数极值情况
14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题 15、会求空间曲面的切平面、法线方程 16、会求空间曲线的切线、法平面方程 17、会求多元函数的方向导数 18、会求多元函数的梯度
二、例题习题
1、二元函数x y
z arcsin =的定义域是( )
A.|}||||),{(x y y x ≤
B. }0|||||),{(≠≤x x y y x
C. }0|||||),{(≠>x x y y x
D. }0|||||),{(≠≥x x y y x
解：使函数x y z arcsin =有意义，只要||1,0y
x x
≤≠，即||||,0y x x ≤≠，所以，选B. （内容要求1）
2、函数22
1
(,)ln()=++
+f x y x y x y 的定义域为 ；
解：使函数22
1(,)ln()=++
+f x y x y x y
有意义，只要22
0,0x y x y +>+≠，所以填22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠（内容要求1）
3、设22
(,),f x y x y x y +-=-则(,)f x y =( ).
(A) 2
2
x y - (B) 2
2
x y + (C) 2
()x y - (D) xy 解：令,u x y v x y =+=-，则,22
u v u v
x y +-=
=
，于是 22(,)f x y x y x y +-=-?(,)f u v uv =
即由函数与自变量记号选取无关性有(,)f x y xy =。所以选D 。（内容要求2）
4、设22
(,)2+=x y f x y xy
，则(2,3)-=f ；
解：4913(2,3)1212f +-=
=--，所以填13
12
-。
（内容要求2） 5、
(,)(0,0)
lim
x y →=( )；
A.
2
1
B. 41
C. 1
D. 0
解：
(,)(0,0)
(,)(,)12lim
lim lim x y x y x y →→→===
所以选A 。（内容要求3） 6、
(,)(0,0)sin lim
→=x y xy
x
；
解：
(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)
sin sin sin lim
lim []lim lim 0x y x y x y x y xy xy xy
y y x xy xy →→→→=?=?=
所以填0。（内容要求3） 7、
(,)(2,0)sin lim
x y xy
y →= ；
解：
(,)(2,0)(,)(2,0)(,)(2,0)sin sin lim
lim lim 2x y x y x y xy xy
x y xy →→→=?=，所以填2。（内容要求3）
8、函数
) ,(y x f 在点)0 ,0(处存在偏导数，则=-→x
x f f x )
0,2()0,0(lim
0 ( )；
A ．)0,0(21'x f
B ．)0,0(2
1'-x f C ．)0,0(2'-x f D ．)0,0(2'
x f
解：由偏导数定义，00(0,0)(2,0)(2,0)(0,0)
lim
2lim 2(0,0)2x x x f f x f x f f x x
→→--'=-=- 所以选C 。（内容要求4）
9、 函数
) ,(y x f 在点)0 ,0(处存在偏导数，则=-→y
y f f y 2)
,0()0,0(lim
( )；
A ．
)0,0(2
1'y f B ．)0,0(21'-y f C ．)0,0(2'-y f D ．)0,0(2'
y f
解：由偏导数定义，0
0(0,0)(0,)1(0,)(0,0)1
lim
lim (0,0)222
y y y f f y f y f f y y →→--'=-=-
所以选B 。（内容要求4）
10、 函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处存在偏导数，则=??--→?x
y x x f y x f x )
,(),(lim
00000
( )；
A ．),(00y x f x '
B ．),(00y x f x '-
C ．),(00y x f y '
D ．),(00y x f y '- 解：由偏导数定义，
00000000000
0(,)(,)(,)(,)
lim
lim (,)x x x f x y f x x y f x x y f x y f x y x x
?→?→--?-?-'==?-? 所以选A 。（内容要求4） 11、函数
) ,(y x f 在点) ,(00y x 处偏导数存在是) ,(y x f 在点) ,(00y x 处连续的( )；
A ．充分必要条件
B ．必要条件
C ．充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解：选D 。（内容要求4）
12
、设函数2(,)=+f x y x (1,1)'=y f ( ). (A) 1 (B) 2 (C) 1
2
(D) 3
解：(,)y f x y '=
，所以1
(1,1)2
y f '=
，所以选C 。（内容要求5） 13、设2y z x =，则
2(1,1)
z
x y -?=??( ). (A) 2- (B) 1- (C) 2 (D) 1
解：22222,z y z y x x x y x ??=-=-???，所以2(1,1)
2z x y -?=??，所以选C 。（内容要求5）
14、2
2
ln(1)z x y =++，则1
2
d |
x y z
===
解：
222222,11z x z y x x y y x y ??==?++?++，所以，112212|,|33
x x y y z z x y ====??==??，故
1212d 33|x y z dx dy ===+，所以填12
12
d 33|x y z dx dy ===+。（内容要求6）
15、设221
ln(1)2
z x y =++，则(1,1)d |z = 解：
2222,11z x z y x x y y x y ??==?++?++，所以，111111|,|33
x x y y z z x y ====??==??，故 1111d 33|x y z dx dy ===+，所以填11
11
d 33|x y z dx dy ===+。（内容要求6）
16、设x y
z arctan =，则
=??x
z
( )； A. 222y x x + B. 22y x y + C. 221y x +- D. 2
2y x y
+-
解：
22
2
21()1()z y y
y x x x y x
?=?-=-?++，所以选D 。（内容要求7） 17、 设sin
y
z x
=，则z y ?=?( ). (A)
1cos y x x (B) 1cos y x x - (C) 2cos y y x x - (D) 2cos y y
x x
解：
11cos cos z y y
y x x x x
?=?=?，所以选A 。（内容要求7） 18、设2
2
sin()z x y =-，则22z
x
?=?( ).
(A) 2
2
sin()x y -- (B) 2
2
sin()x y -
(C) 2
2
2
4sin()x x y -- (D) 2
2
2
2
2
2cos()4sin()x y x x y ---
解：222
2222222cos(),2cos()4sin()z z x x y x y x x y x x
??=-=---??，所以选D 。（内容要求7）
19、设x y z ln =，则
=??x
z
( )； A.
y x B. x y C. y 1- D. x
1-
解：
21
()z x y x y x x
?=?-=-?，所以选D. （内容要求7） 20、设y
xy z )1(+=，
=??y
z
解：
1(1)ln(1)(1)(1)[ln(1)]1y y y z x xy x xy xy xy xy y xy
-?=+?++?+=+++?+，所以填 (1)[ln(1)]1y x xy xy xy
++++。（内容要求7）
21、 若函数2
2
2xy x z +=，则=??x
z
解：
24z
x y x
?=+?，所以填24x y +。
（内容要求7） 22、设)2(cos 22
y x z -=，验证02222=???+??y x z
y
z 。
解：2
2cos ()cos(2)1,2sin(2),sin(2)2y z z
z x x y x y x y x y
??=-
=-+=--=-?? 2222cos(2),cos(2)z z
x y x y x y y
??=-=--???，将上述导数代入式子左端得0，所以等式成立。（内容要求7）
23、设4422
4=+-z x y x y ，求2222
22,,,??????????z z z z x y x y y x .
解：22
322248,128,16z z z x xy x y xy x x x y
???=-=-=-???? 由,x y 在表达式中的对称性，22
2
2128,16z z y x xy y y x
??=-=-???。（内容要求8）
24、设2
2y x z +=，求2222y
z x z ??+??．
解：222
2z z x x ??===??
由,x y
在表达式中的对称性，22
2z y ?=
?，
所以，2222
z z
x y
??+=??。
（内容要求8） 25、设)ln(y x z +
=，求y
z y x z x
??+??
解：
12z
x ?==?,x y 在表达式中的对称性，
12z y ?==?，所以，1
2z z x y x y ??+=??（内容要求8） 26、 设)ln(2
2
y x z +=，求y
x z
y z x z ???????22222,,.
解：2222222222222222222
224224,,()()()z x z x y x z xy x x y x x y x y x y x y x y ??-?==-==-?+?+++??+， 由,x y 在表达式中的对称性，222222222()
z x y x x y ?-=?+。
（内容要求8） 27、设)ln(y
x e e z +=，验证???22x z 22y z ??-2
2???
? ?????y x z =0. 解：2222222,,()()()x x x x y x y
x y x y x y x y x y z e z e e e z e x e e x e e e e e e x y e e ++???==-==-?+?+++??+ 由,x y 在表达式中的对称性，222
()x y
x y z e y e e +?=?+，将上述各导数代入式子左端得0，所以等
式成立。（内容要求8）
28、设t y x z +-=2
2
，t x sin =，t y cos =，求全导数t
z
d d . 解：
2cos 2sin 1dz
x t y t dt
=++。
（内容要求9） 29、ln ,,z u v u xy v x y ===+，求
,z z
x y
????及全微分dz . 解：
ln ln()z u xy v y y x y x v x y ?=?+=++?+，ln ln()z u xy v x x x y y v x y
?=?+=++?+，全微分为[ln()][ln()]xy xy
dz y x y dx x x y dy x y x y
=++
+++++。（内容要求9） 30、设(
)
2
2
z y f x y
=+-,其中()f u 可微，则z z
y
x x y
??+=??
解：
()()22222,12z z xf x y yf x y x y ??''=-=--??，所以z z
y x x x y
??+=??，所以填x .（内容要求9） 31、设22(,)=-xy z
f x y e ，其中f 有一阶连续偏导数，求
y
z
x z ????,. 解：121
22,2xy xy
z z xf ye f yf xe f x y
??''''=+=-+??量（内容要求9） 32、设22(,)-=+x y z
f x y e ，其中f 有一阶连续偏导数，求
y
z
x z ????,. 解：12122,2x y
x y z z xf e f yf e f x y
--??''''=+=-??。（内容要求9）
33、),,(y x x z z y f u ---=有连续偏导数，求
z
u
y u x u ??+??+?? 解：
231312,,u u u
f f f f f f x y z
???''''''=-+=-=-+???，所以，0u u u x y z ???++=???（内容要求9）
34、设,x
z xy y
=+
则z 的全微分d z =( ). (A) 21()d ()d x y x x y y y +
+- (B) 21()d ()d x
y x x y y y +++ (C) 1()d ()d x y x x y y y -
+- (D) 11()d ()d y x x y y y
++- 解：
21,,z z x y x x y y y ??=+=-?? 所以21d ()d ()d x
z y x x y y y
=++-，所以选A 。（内容要求10）
35、函数)ln(y x z +=的全微分为
解：
11,z z x x y y x y ??==?+?+，所以1()dz dx dy x y =++。所以填1()dz dx dy x y
=++。（内容要求10）
36、设0y
y xe -=，则
d d y
x
=( ).
(A) 1y y e xe - (B) 1y y e xe - (C) 1y y xe e - (D) 1y y
xe e -
解：()001y
y
y
y
y
e y xe y e xe y y xe ''''-=?--=?=-，所以选B 。（内容要求11）
37、设(,)z z x y =是由方程0z
e xyz -=所确定的隐函数，则z
x
?=?( ). (A)
z yz e xy + (B) z yz e xy - (C) z xy e yz + (D) z
xy
e yz
- 解：0z
z z z z yz
e
yz xy x x x e xy
???--=?=???-，所以选B 。（内容要求11） 38、设(,)z z x y =是由方程3
30z xyz -=所确定的隐函数，则有( ). (A) z z x
y x y ??=?? (B) z z x y ??=-?? (C) z z x y
??=?? (D) z z y x x y ??=?? 解：2
23330z z z yz z
yz xy x x x z xy ???--=?=???-，同理，2z xz
y z xy
?=?-，所以选A 。（内容要求11）
39、设方程+-=z
x y z e 确定了二元函数(,)z f x y =，则?=?z
x
解：111z z
z z z e x x x e ???-
=?=???+，所以填1
1
z e +。（内容要求11） 40、 设方程20+--=z
x y e z 确定了二元函数(,)z f x y =，则
?=?z
y
解：2201z
z z z z e
y y y e ???--=?=???+所以填21
z e +。（内容要求11） 41、设方程z
e xyz =确定了二元函数),(y x z ，则
=??y
z
; 解：z z z z z xz xz xy
e y y y e xy ???+=?=???-，所以填z xz e xy
-。（内容要求11） 42、设方程2
2
2
40x y z z ++-=确定了二元函数),(y x z ，则
=??y
z
; 解：22402z z z y y z
y y y z ???+-=?=???-，所以填2y z
-。（内容要求11）
43、设方程0sin =-+z z xy 确定了二元函数),(y x z ，则
=??x
z
; 解：cos 0cos 1z z z y y z x x x z ???+
-=?=???-，所以填cos 1
y z -。（内容要求11） 44、设函数2
2
(,)22013=--++f x y x y y ，则 ( )．
(A) (0,1)不是(,)f x y 的驻点 (B) (0,1)是(,)f x y 的驻点，但非极值点 (C) (0,1)是(,)f x y 的极小值点 (D) (0,1)是(,)f x y 的极大值点
解：(,)2,(,)22,(,)2,(,)0,(,)2x y xx
xy yy f x y x f x y y f x y f x y f x y ''''''''=-=-+=-==- 因为(0,1)满足(,)0x f x y '=，(,)0y f x y '=，所以是驻点，又
(0,1)2,(0,1)0,(0,1)2xx
xy yy A f B f C f ''''''==-====- 有2
0,0A AC B <->，(0,1)是(,)f x y 的极大值点。故选D 。（内容要求12） 45、设y x x z --=33
，则它在点(1,0)处( )
A.取得极大值
B.无极值
C.取得极小值
D.无法判断是否有极值 解：
233,1z z
x x y
??=-=-??，所以y x x z --=33无驻点，不存在偏导数不存的点，故选B 。（内容要求12）
46、设2
2
)(4y x y x z ---=，则它在点(2，-2)处( ) A.取得极大值 B.无极值
C.取得极小值
D.无法判断是否有极值
解：2222242,42,2,0,2z z z z z x y x y x x y y
?????=-=--=-==-??????，故选A 。（内容要求12） 47、 函数2
2
(,)42f x y x y x =+-在驻点(1,0)处 ( ) (A) 取到极小值 (B) 取到极大值
(C) 取不到极值 (D) 无法判断是否有极值
解：(,)22,(,)8,x y f x y x f x y y ''=-=(,)2,(,)0,(,)8,xx xy yy f x y f x y f x y ''''''===故选A 。（内
容要求12） 48、 二元函数512632+-++-=y x y x z
在)2,3(处( );
A. 无法判断是否有极值
B. 取不到极值
C. 取到极大值
D. 取到极小值
解：2222
2226,312,2,0,6z z z z z x y y x y x x y y
?????=-+=-=-==-??????，故选C 。（内容要求12）
49、 二元函数x y x y x z 9332
2
3
3
-++-=的极小值点为( );
A. )0,3(-
B. )2,3(-
C. )0,1(
D. )2,1(
解：22222
22369,36,66,0,66z z z z z x x y y x y x y x x y y
?????=+-=-+=+==-+??????，故选C 。（内容要求12）
50、 二元函数x y x y x z 9332
2
3
3
-++-=的极大值点为( );
A. )0,1(
B. )2,1(
C. )0,3(-
D. )2,3(-
解：22222
22369,36,66,0,66z z z z z x x y y x y x y x x y y
?????=+-=-+=+==-+??????，故选D 。（内容要求12）
51、 函数2
423y x z --=的极大值为 ； 解：显然在（0，0）处取极大值3，所以填3。（内容要求13） 52、 函数534
2++=y x z 的极小值为
解：显然在（0，0）处取极小值5，所以填5。（内容要求13）
53、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为：x y x ?--)3(βα和y y x ?--)24(αβ，（0>>βα），求使产鱼总量最大的放养数.
解：产鱼总量2
2
3422z x y x x y y αβα=+---，所以
32204240z
x y x
z
x y y
αββα??=--=??????=--=??? 解得2222
3243,22(2)
x y αβαβ
αβαβ--=
=--，由实际问题，产鱼总量最大的放养数是甲种鱼放养22223βαβα--（万尾），乙种鱼放养)
2(23422βαβα--（万尾）（内容要求14）
54、曲面221z x y =+-在点(2,1,4)的切平面方程为( ).
(A) 4260x y z +--= (B) 42140x y z ++-= (C)
214421x y z ---==- (D) 214
421
x y z ---==
解：
2,2z z
x y x y
??==??，所以，221z x y =+-在点(2,1,4)的法向量为{4,2,1}-，所以在点(2,1,4)的切平面方程为4(2)2(1)(4)0x y z -+---=，整理得4260x y z +--=。所以选A 。（内容要求15）
55、曲面2
2
10x y z +--=在点(2,1,4)的法线方程为( ). (A) 4260x y z +--= (B) 42140x y z ++-= (C)
214421x y z ---==- (D) 214
421
x y z ---==
解：由前题已求得在(2,1,4)的法向量为{4,2,1}-，所以选C 。（内容要求15） 56、 曲面3z
e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程为( ). (A)
21123
x y z
--== (B) 4x y z ++= (C) 240x y +-= (D) 240x y ++= 解：令(,,)3z
F x y z e z xy =-+-，则
,,1z F F F
y x e x y z
???===-???，由此得(2,1,0)处法向量为{1,2,0}，所以得切平面方程为240x y +-=，所以选C 。（内容要求15）
57、曲面2850x xy x z --++=在点(2,3,1)-处的法线方程为( ).
(A)
231121x y z -+-==- (B) 231
121
x y z -+-==
--- (C) 250x y z +-+= (D) 2
31x t y t z t =+??
=-??=+?
解：令2
(,,)85F x y z x xy x z =--++，则
28,,1F F F
x y x x y z
???=--=-=???，由此得(2,3,1)-处法向量为{1,2,1}--，所以法线方程为
231
121
x y z -+-==
--，所以选A 。（内容
要求15）
58、曲面92
22=++z y x 在点)2,2,1(处的切平面方程为 ， 法线方程为
解：令2
2
2
(,,)9F x y z x y z =++-，
2,2,2F F F
x y z x y z
???===???，由此得)2,2,1(处法向量为{2,4,4}，切平面方程为2(1)4(2)4(2)02290x y z x y z -+-+-=?++-= 法线方程为
122122
244122
x y z x y z ------==?==
。（内容要求15） 59、曲线x t =，2y t =，3z t =在对应于1t =点处的切线方程是( ).
(A)
123146x y z ---== (B) 123
126x y z ---==
(C) 111123x y z ---== (D) 111126
x y z ---==
解：2
1,2,3x y t z t '''===，在1t =点处的切向量为{1,2,3}，所以切线方程为C 。所以选C 。（内容要求16）
60、曲线2
3,,1t z t y x ===在点)1,1,1(处的切线方程为，
法平面方程为 ;
解：20,
3,2x y t z t ''===，所以切向量为{0,3,2}，切线方程为
111
032
x y z ---==
， 法平面方程为0(1)3(1)2(1)03250x y z y z -+-+-=?+-=（内容要求16）
61、在曲线32,,t z t y t x ===上求出其切线平行于平面42=++z y x 的切点坐标.
解：设切点处参数为t ，由2
1,2,3x y t z t '''===，得切点处切向量为2
{1,2,3}t t 。又平面
42=++z y x 的法向量为{1,2,1}，于是2121
1430,13
t t t t ++=?=-=-，故切点坐标为
)1,1,1(--或)27
1
,91,31(--。（内容要求16）
62、函数x
ye z 2=在点P(1,0)处从点P(1,0)到Q(2,-1)的方向的方向导数为( )
A. 22
1e -
B. 22
1e +-
C.
22
1e D.
22
1e +
解：点P(1,0)处从点P(1,0)到Q(2,-1)的方向向量为{1,1}-
，单位化得，又222,x x z z ye e x y ??==??，故222cos cos x x z
ye e l αβ?=+?
，210|x y z l ==?=?，所以选A 。（内容要求17）
63、函数2
22),,(z y x z y x f ++=在点(1,-1,2)处梯度为( )
A.（2，-2，4）
B. (-2，-2，4)
C.(-2，2，-4)
D.(2，2，4)
解：(,,)2,(,,)2,(,,)2,x y z f x y z x f x y z y f x y z z '''=== 所以rad {2,2,4}g f =-，所以选A 。（内容要求18）
64、函数2
2
2
ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -的梯度rad g u =( ). (A) 122,
,999??-???? (B) 23 (C) 13 (D)244,,999??
-????
解：
222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z ???===?++?++?++，244rad ,,999g u ??
=-????
，所
以选D （内容要求18）
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集
新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111 +=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+
集合与函数概念单元测试 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2
10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 11.下列四个函数中，在（0，∞）上为增函数的是 （A ）f （x ）＝3－x （B ）f （x ）＝x 2－3x （C ）f （x ）＝－｜x ｜ （D ）f （x ）＝－2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x f A 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6 B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6 D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M∩N＝ ． 14.已知f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （2x －1），则当x ＞0时，f （x ）＝＿＿ 15． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 16．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 17．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 三．解答题 18．.已知集合A={-1，a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值.(13分) 19．已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值. 第八章 多元函数微积分 习题一 一、填空题 1. 设2 23),(y x y x y x f +-= ，则.________ )2,1(_______,)1,2(=-=-f f 2. 已知12),(22++=y x y x f ，则._________________ )2,(=x x f 二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.x y z -= 2. y x z -+-=11 3. 224y x z --= 4. xy z 2log = 习题二 一、是非题 1. 设y x z ln 2 +=，则 y x x z 1 2+=?? （ ） 2. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则 该函数在P 点处一定连续 （ ） 3. 函数),(y x f z =在),(00y x P 处一定有),(00y x f xy ),(00y x f yx = （ ） 4. 函数?? ? ?? =+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处有0)0,0(=x f 及 0)0,0(=y f （ ） 5. 函数22y x z += 在点)0,0(处连续，但该函数在点)0,0(处的两个偏导数 )0,0(x z )0,0(,y z 均不存在。 （ ） 二、填空题 1. 设2 ln y x z = ，则_;___________; __________1 2=??=??==y x y z x z 2. 设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数),(b a f x 和),(b a f y 均存在，则 ._________) 2,(),(lim =--+→h h b a f b h a f h 三、求下列函数的偏导数： 1. ;133+-=x y y x z 2. ;) sin(22y e x xy xy z ++= 3. ;)1(y xy z += 4. ;tan ln y x z = 5. 222zx yz xy u ++= 四、求下列函数的,22x z ??22y z ??和y x z ???2： 1. ;234 23+++=y y x x z 2. y x z arctan = 五、计算下列各题 1. 设),2(),(sin y x e y x f x +=-求);1,0(),1,0(y x f f 2. 设)ln(),(y x x y x f +=，求,2 12 2==??y x x z , 2 122==??y x y z .2 12==???y x y x z 六、设)ln(3 13 1y x z +=，证明：.3 1=??+??y z y x z x 习题三 一、填空题 1．xy e y x z +=2在点),(y x 处的._______________ =dz 2．2 2 y x x z += 在点)1,0(处的._______________ =dz 第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 第一章 集合与函数单元测试卷（巅峰版） 一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．设{ } 2 1M x x ==，则下列关系正确的是（ ） A ．1M ? B ．{}1,1M -∈ C ．{}1M -? D ．M φ∈ 【答案】C 【解析】 由题得{}1,1M =-， A. 元素“1”和集合M 的关系只能用∈?， 连接，不能用??，连接，所以该选项错误； B.{}1,1-和集合M 只能用??， 连接，不能用∈?，连接，所以该选项错误； C.{}1M -?正确； D. M φ∈，显然错误. 故选：C 2．（2019·唐山一中高一期中）已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则?B A=（） A ．[3，+∞） B ．（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】A 【解析】因为2 {|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{ } 1 2 1(1,)x B x +==-+∞，所以 [3,)B C A =+∞；故选A. 3．（2019·苍南县树人中学高一期中）若对任意的实数x ∈R ，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则实数 m 的取值范围是 A ．[2,6]? B ．[6,2]-- C ．(2,6) D ．(6,2)-- 【答案】A 【解析】对任意实数x R ∈，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则224238120m m m m --=-+≤（）， 解得26m ≤≤，即实数m 的取值范围是[] 26， ，故选A. 4．（5分）已知集合2{|2530}A x x x =++<，集合{|20}B x x a =+>，若A B ?，则a 的取值范围是( ) A ．(3,)+∞ B ．[3，)+∞ C ．[1，)+∞ D ．(1,)+∞ 【分析】先分别求出集合A ，B ，由A B ?，能求出a 的取值范围． 【解答】解：Q 集合23 {|2530}{|1}2A x x x x x =++<=-<<-， 集合{|20}{|}2 a B x x a x x =+>=>-， A B ?， 3 22a ∴--…，解得3a … ． a ∴的取值范围是[3，)+∞． 故选：B ． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣6，1]，则函数g （x ）()212 f x x +=+的定义域是（ ） A ．（﹣∞．﹣2）∪（﹣2，3] B ．[﹣11，3] C ．[7 2- ，﹣2] D ．[7 2 - ，﹣2）∪（﹣2，0] 【答案】D 【解析】 由题可知，对应的x 应满足[]216,120 x x ?+∈-?+≠?，即(]7,22,02?? - --???? U 故选：D 6．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()2 4f x x x =+，则()25f x +>的解集为（ ） A ．()(),73,-∞-+∞U B ．()(),33,-∞-+∞U C ．()(),71,-∞--+∞U D ．()(),53,-∞-+∞U 【答案】A 【解析】 中江中学校集合与函数测试题 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 4．下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5．下列四个函数：①3y x =-；②21 1y x =+；③2210y x x =+-；④(0) 1 (0) x x y x x ?-≤?=?- >??. 其中值域为R 的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6． 已知函数212x y x ?+=?-? (0) (0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52 - C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 7．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y = B ．2 2x y -= C ．13+=x y D ．2 )1(-=x y 8．若R y x ∈,，且)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f （ ） A ． 0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B ．0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C ．)(x f 为增函数且为奇函数 D ．)(x f 为增函数且为偶函数 第一章集合与函数概念测试题 一：选择题 1、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 2、图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3、已知集合2{1}A y y x ==+，集合2{26}B x y x ==-+，则A B =（ ） A ．{(,)1,2}x y x y == B ．{13}x x ≤≤ C ．{13}x x -≤≤ D ．? 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{1,2,3,}A a =，2{3,}B a =，则使得Φ=B A C U )(成立的a 的值的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6、设A 、B 为两个非空集合， 定义{(,),}A B a b a A b B ⊕=∈∈，若{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B ⊕中的元素个数为 （ ） A ．3 B ．7 C ．9 D ．12 7、已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50 C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 8、已知g (x )=1-2x, f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。 . 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） . 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： 一、选择题（每小题5分，共计50分） 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．很小的实数可以构成集合。 B ．集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合。 C ．自然数集N 中最小的数是1。 D ．空集是任何集合的子集。 2. 函 数 2() - f x 的定义域是 （ ） A. 1[,1]3 - B. 1(,1)3 - C. 11(,)33 - D. 1(,)3 -∞- 3. 已知{}{}22|1,|1==-==-M x y x N y y x ，N M ?等于（ ） A. N B.M C.R D.? 4. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ． 2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ． 2(),()f x x g x == D ．0()1,()f x g x x == 5. 已知函数()533f x ax bx cx =-+-，()37f -=，则()3f 的值为 ( ) A.13 B.13- C.7 D.7- 6. 若函数2(21)1=+-+y x a x 在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[－23，+∞） B ．（－∞，－2 3 ] C ．[ 2 3 ，+ ∞） D ．（－∞，23] 7. 在函数22, 1, 122, 2x x y x x x x +≤-?? =-< 第一章 《集合与函数概念》单元测试题 （纯属个人做法，如有不正确的请纠正） 姓名： 饭团 班别： 学号： 一、选择题：每小题4分，共40分 1、在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程220x +=的实数解”中，能够表示成集合的是( A ) （A ）② （B ）③ （C ）②③ （D ）①②③ 2、若{ {}|0,|12A x x B x x =<< =≤<，则A B ?= ( D ) （A ）{}|0x x ≤ （B ）{}|2x x ≥ （C ）{ 0x ≤≤ （D ）{}|02x x << 3、若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B ?= ( C ) （A ）{}1,2 （B ）{}0,1 （C ）{}0,3 （D ）{}3 4、在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ A ） （A ）)1,3(- （B ）)3,1( （C ）)3,1(-- （D ）)1,3( 5、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ D ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）2 2 )1()(,)(+==x x g x x f （C ）0 )(,1)(x x g x f == （D ）?? ?-==x x x g x x f )(|,|)( ) 0()0(<≥x x 6、 是定义在上的增函数,则不等式 的解集是（ D ） (A)(0 ,+∞) (B)(0 , 2) (C) (2 ,+∞) (D) (2 ,7 16) 7、若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ C ） A .是减函数，有最小值0 B .是增函数，有最小值0 C .是减函数，有最大值0 D .是增函数，有最大值0 8、如图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数()H h ≤≤0。 H Ｓ 数学必修一单元测试题 集合与函数概念 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B =I （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 4．下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5．下列四个函数：①3y x =-；②211y x =+；③2210y x x =+-；④(0)1 (0)x x y x x ?-≤? =?->??. 其中值域为R 的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6． 已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或5 2- C ． 2或-2 D ．2或-2或5 2- 7．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y = B ．22x y -= C ．13+=x y D ．2)1(-=x y 8．若R y x ∈,，且)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f （ ） A ． 0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B ．0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C ．)(x f 为增函数且为奇函数 D ．)(x f 为增函数且为偶函数高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)
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