二次函数与相似的结合
题型一:动点在线段上
如图,平面直角坐标系xOy 中,已知(1,0)B -,一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴
分别交于点A 、C 两点,二次函数2
y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ;
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点P 是该二次函数图像的顶点,求△APC 的面积;
(3)如果点Q 在线段AC 上,且△ABC 与△AOQ 相似,求点Q 的坐标;
如图,抛物线2
2y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点(A 在B 的左侧),
与y 轴交于点
(0,3)C -,抛物线的顶点为M ;
(1)求a 、c 的值; (2)求tan MAC ∠的值;
(3)若点P 是线段AC 上一个动点,联结OP ;问是否存在点P ,使得以点O 、C 、P 为
顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由; 如图,已知抛物线2
y ax x c =-+的对称轴为直线x =1,与x 轴的一个交点为A (-1,0),顶点为B . 点C (5,m )在抛物线上,直线BC 交x 轴于点E . (1) 求抛物线的表达式及点E 的坐标; (2) 联结AB ,求∠B 的正切值;
(3) 点G 为线段AC 上一点,过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M (位于点E 右侧),
当△CGM 与△ABE 相似时,求点M 的坐标. 【参考答案】24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分)
解:(1)∵抛物线2
y ax x c =-+的对称轴为直线x =1,∴1
2
a =
. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A (-1,0),∴3
2
c =-
. ∴抛物线的表达式为213
22
y x x =
--.………………………………………………(2分) ∴顶点B (1,-2).…………………………………………………………………(1分) ∵点C (5,m )在抛物线上,∴6m =. ∴C 点坐标为(5,6). 设直线BC 的表达式为y =kx +b (k ≠0),
x
y
A
B E
C O (第24题图)
则652k b k b
=+??
-=+?,∴2,
4.k b =??=-?即BC 的表达式为y =2x -4.
∴E (2,0).……………………………………………………………………………(1分)
(2)作CH ⊥x 轴,垂足为H ,作BP ⊥x 轴,垂足为P , ∵C (5,6),A (-1,0),∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°. ∵B (1,-2),A (-1,0),∴BP =2=AP .∴∠BAP=45°. ∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………(1分)
∵CH =6=AH ,CH ⊥x 轴,∴AC =
∵BP =2=AP ,BP ⊥x 轴,∴AB =
∴tan 3.AC
B AB
∠=
=…………………………………………………………………(2分) (3)∵∠CAB=90°,∴∠B +∠ACB =90°. ∵GM ⊥BC ,∴∠CGM +∠ACB =90°.∴∠CGM =∠B . ………………………………(1分) ∵△CGM 与△ABE 相似,∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG . 情况1:当∠BAE =∠CMG 时, ∵∠BAE =45°,∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ,∴∠MCE =45°.∴∠MCE =∠EAB .
∵∠AEB =∠CEM ,∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………(1分)
∴
BE AE
EM CE =.即EM =∴EM =5. ∴M (7,0). ……………………………(1分) 情况2:当∠BAE =∠MCG 时,
∵∠BAE =∠CAM ,∴∠MCG =∠CAM .∴MC =MA . ………………………………(1分) 设M (x ,0),∵C (5,6),A (-1,0),∴2
2
2
(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.
∴M (5,0). …………………………………………………………………………(1分) 题型二:动点在线段的延长线上
如图7,已知抛物线32
++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B (点A 在点B 的左侧),与y 轴
交于点C ,且OC OB =,点D 是抛物线的顶点,直线AC 和BD 交于点E 。 (1)求点D 的坐标;
(2)联结BC CD 、,求DBC ∠的余切值;
(3)设点M 在线段CA 延长线上,如果EBM △和ABC △相似,求点M 的坐标。
【答案】(1)D 1,4()(2)3(3)
6
3,)55
-(- 【解析】(1)∵抛物线2
y 3x bx =-++与轴的交于点A 和点B (点A 在点B 的左侧) , 与y 轴交于点C ,)3,0(C ,且OC OB =,)0,3(B
(2)OB OC =∵45OCB OBC ∴∠=∠=?y=45DC 。
∴∠;
(3)由2
23y x x =-++,可得,在AOC 和BCD 中,
3CO BC
AO CD
==, 又ACO CBD ∴∠=∠;ACB ACO OCB E CBD ∠=∠+=∠+∠ 当EBM ABC ??和相似时,可知E CBA ∠=∠;
又点在线段的延长线上,ACB EBA ∠=∠,可得EMB ACB ∠=∠; 由题意,得直线的表达式为y 33x =+;设(,33)M x x +.
2(3)(33)18x x ∴-++=,解得126
,05x x =-=(舍去)
∴点M 的坐标是63
,)55
-(-
题型三:动点在对称轴上
如图,抛物线c bx x y ++-=2
经过点)0,3(B ,)3,0(C ,D 为抛物线的顶点。
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)点C 关于抛物线c bx x y ++-=2
的对称点为E 点,联结BC ,BE ,求CBE ∠的正
切值;
(3)点M 是抛物线对称轴上一点,且△DMB 和△BCE 相似,求点M 的坐标。 【答案】(1)322
++-=x x y ;)4,1(D (2)
21(3) ()2,1-M 或??
?
??32,1M
【解析】(1)∵抛物线c bx x y ++-=2
经过点)0,3(B ,)3,0(C
∴??
?==++-3
39c c b 可解得
???==3
2
c b ∴ 322
++-=x x y 顶点坐标)4,1(D (2)过点E 作EH 垂直于BC 交于点H ∵点C 与点E 关于对称轴1=x 对称 ∴)3,2(E ,2=CE ,CE 平行于x 轴 在等腰直角三角形ECH 中,2=CE
在直角三角形EHB 中,22=-=CH BC BH ,
2=EH
∴CBE ∠的正切值为
2
1 (3)设抛物线对称轴1=x 交x 轴与点F
∵在直角三角形DFB 中,4=DF ,2=BF ∴点M 在点D 的下方
∴当DMB ?与BCE ?相似时,有下列两种情况:
?当
BE BC
DB DM = 时,即 102352=
DM 可解得6=DM ?当
BC BE DB DM = 时,即 2
31052=
DM 可解得310
=DM 综上所述: ()2,1-M 或???
??32,1M
2)动点在平移后的对称轴上
在平面直角坐标系中,点)0,4(A 是抛物线c x ax y ++=22
上的一点,将此抛物线向下平移
6个单位以后经过点)2,0(B ,平移后的新抛物线的顶点记为C ,新抛物线的对称轴和线段
AB 的交点记为P 。
(1)求平移后得到的新抛物线的表达式,并求出点C 的坐标;
(2)求CAB ∠的正切值;
(3)如果点Q 是新抛物线对称轴上的一点,且BCQ △和ACP △相似,试求点Q 的坐标。 【答案】(1)222
++-=x x y ;)3,1(C (2)1tan 3CAB ∠=
(3))2
5
,1(1Q 或)1,1(2-Q 【解析】
(1)∵点)0,4(A 是抛物线c x ax y ++=22
上的一点,代入得:0816=++c a ①
又∵抛物线向下平移6个单位以后经过点)2,0(B ,平移后的抛物线解析式为:
622-++=c x ax y 。
代入得:8,26==-c c ②,由①②得:8,1=-=c a
平移后得到的新抛物线的表达式:222
++-=x x y ,顶点)3,1(C
(2)∵)0,4(A 、)2,0(B 、)3,1(C ,易得52,23,2===BA CA CB
由勾股定理逆定理得ABC △是直角三角形,31
tan ==∠CA CB CAB (3)设抛物线对称轴与x 轴相交于点H 易得
45=∠=∠ACP BCP ,2
3,23,2=
==
CP CA CB ∴点Q 只能在对称轴点C 的下方,BCQ △和ACP △相似,有以下两种情况: 综上,)2
5,1(1Q 或)1,1(2-Q 题型四:动点在某直线上
如图,已知抛物线22y ax x c =-+经过ABC ?的三个顶点,其中点(0,1)A ,点(9,10)B ,
AC x ∥轴.
(1)求这条抛物线的解析式; (2)求tan ABC ∠的值;
(3)若点D 为抛物线的顶点,点E 是直线AC 上一点,
当CDE ?与ABC ?相似时,求点E 的坐标.
【参考答案】24.解:(1)∵抛物线2
2y ax x c =-+经过点(0,1)A 和点(9,10)B
∴1811810c a c =??-+=?
……………………………………………………1分
解得131
a c ?=???=?………………………………………………………………2分
∴这条抛物线的解析式为2
1213
y x x =
-+………………………………1分 (2)过点B 作BH AC ⊥,垂足为H
9BH AH ==∴又90BHA ∠=?
HAB ∴△是等腰直角三角形
45HAB ∠=?∴………………………………………………………1分
AC x ∥轴,(0,1)A ,点C 也在该抛物线上
过点C 作CG AB ⊥,垂足为点G
sin 45CG AC =?=∴1分
又∵在Rt △ABH
中,sin 45BH
AB ==?
∴BG ==…………………………………………………1分
(第24题图)
∴在Rt △BCG 中,1
tan 2
CG ABC BG ∠=
=……………………………1分 (3)过点D 作DK AC ⊥,垂足为K ∵点D 是抛物线2
1213
y x x =
-+的顶点∴(3,2)D -………………1分 ∴3CK DK ==又∵90CKD ∠=?∴△CDK 是等腰直角三角形 又∵45BAC ∠=?
∴DCK BAC ∠=∠………………………………………………………1分 ∴当△CDE 与△ABC 相似时,存在以下两种情况:
1?
AC EC AB CD ==9232
∴∴EC=2(4,1)E ∴……………1分
2?
AC DC
AB EC =32=92EC
∴∴EC=9(3,1)E -∴…………1分 题型五:动点在x 轴上
如图9,在平面直角坐标系xoy 中,顶点为M 的抛物线2
(0y ax bx a =+>)经过点A 和x 轴正半轴上的点B ,AO OB == 2,0120AOB ∠=. (1)求这条抛物线的表达式; (2)联结OM ,求AOM ∠的大小;
(3)如果点C 在x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,求点C 的坐标.
2019年青浦一模24】已知,如图8,在平面直角坐标系中,抛物线142
+-=ax ax y 与x 轴
正半轴交于点A 和点B ,与y 轴交于点C ,且OC OB 3=,点P 是第一象限内的点,联结
BC ,△PBC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形.
(1)求这个抛物线的表达式; (2)求点P 的坐标;
(3)点Q 在x 轴上,若以P O Q 、、为顶点的三角形与以点B A C 、、为顶点的三角形相似,求点Q 的坐标. 【答案】(1)134
312+-=
∴x x y (2)
)2,2(P ∴(3)点Q 坐标为)0,2(-或)0,4(- M
A B O
y
图9
【解析】(1)由题意可得)1,0(C
33==∴OC OB )0,3(B ∴
代入142
+-=ax ax y 得3
1
=
a 13
4
312+-=∴x x y
(2)过点P 作轴轴x PF y PE ⊥⊥, (3)PBC ? 为等腰直角三角形 (4)PB PC =∴
(5)?=∠+∠=∠+∠90CPF FPB CPF EPC
(6)FPB EPC ∠=∠∴)(AAS PFB Rt PCE Rt ??∴≌BF EC =∴ (7)可证四边形PEOF 为正方形BF OB OC EC -=+∴3,1==OB OC
(8)BF EC -=+∴31,解得1==BF EC 2==∴OF OE P 在第一象限内)2,2(P ∴ (9)2,2==
AB AC )0,1(),1,0(A C OA OC =∴,可得AOC ?为等腰直角三角形
?=∠∴45OAC ?=∠∴135CAB ,则点Q 在y 轴左侧
i.CAB OP Q ??∽1
AB
CA OP OQ =1,
2222
2
1=?=?
=AB CA OP OQ )0,2(1-∴Q ii.CAB POQ ??∽2
AB
CA OQ OP =2 42222=?=?
=AC
AB
OP OQ )0,4(2-∴Q
若点Q 在y 轴右侧,不存在
综上所述:点Q 坐标为)0,2(-或)0,4(-
在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2
+c y x bx =-+与x 轴相交点(1,0)A -和点B ,与y 轴
相交于点(0,3)C ,抛物线的顶点为点D ,联结AC ,BC ,DB DC 。
(1) 求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标; (2) 求证:ACO DBC ∽?
(3) 如果点E 在x 轴上,且在点B 的右侧,BCE ACO ∠=∠,求点E 的坐标。 【答案】(1)
;(2)略(3)(6,0)E 【解析】(1)∵抛物线过点A(
)和点
,
∴将两点坐标代入解析式可得:
可解得
根据顶点公式可得
(2)代入0y
到2
1
4y
x 求得11x ,2
3x ,所以有3,0B
可以求得:1OA ,3OC 22
1310AC , 在ACO 和DBC 中,有
==2CD BC BD
AO OC AC
,
(3)在OC 上取一点F 使得OF=OA ,
由(2)得B(3,0),C(0,3),∴OB=OC ,∴∠OBC=45°,∴∠CBE=135°
OA=OF ,∴∠AFO=45°,∴∠AFC=135°,∴∠AFC=∠CBE ,又 ∠BCE=∠ACO , ∴△AFC ∽△BCE
题型六:动点在抛物线上
如图1,已知抛物线的方程C 1:1
(2)()y x x m m =-+- (m >0)与x 轴交于点B 、C ,与y 轴
交于点E ,且点B 在点C 的左侧.
(1)若抛物线C 1过点M (2, 2),求实数m 的值;
(4)在第四象限内,抛物线C 1上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.
图1
【解析】(1)将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-
+-,得1
24(2)m m
=-?-.解得m =4.
(4)①如图3,过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ,过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′.
由于∠BCE =∠FBC ,所以当
CE BC
CB BF
=
,即2BC CE BF =?时,△BCE ∽△FBC . 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-,由''FF EO BF CO =,得1
(2)()
2
2x x m m x m
+-=+.
解得x =m +2.所以F ′(m +2, 0).由
'
CO BF CE BF
=
,
得4
m BF
+=
.所
以BF =
. 由2
BC CE BF =?
,得2
(2)m +=.整理,得0=16.此方程无
解.
图2 图3 图4
②如图4,作∠CBF =45°交抛物线于F ,过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′, 由于∠EBC =∠CBF ,所以
BE BC
BC BF
=
,即2BC BE BF =?时,△BCE ∽△BFC . 在Rt △BFF ′中,由FF ′=BF ′,得
1
(2)()2x x m x m
+-=+. 解得x =2m .所以F ′(2,0)m .所以BF ′=2m +2
,2)BF m =+. 由2BC BE BF =?
,得2(2)2)m m +=+
.解得2m =± 综合①、②,符合题意的m
为2+ 2)动点在直线下方的抛物线
24. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点,
B 点的坐标为(3,0),与y 轴交于点(0,3)
C -,点P 是直线BC 下方抛物线上的任意一
点;
(1)求这个二次函数2y x bx c =++的解析式;
(2)联结PO 、PC ,并将△POC 沿y 轴对折,得到四边形
POP C ',如果四边形POP C '为菱形,求点P 的坐标;
(3)如果点P 在运动过程中,能使得以P 、C 、B 为顶点的 三角形与△AOC 相似,请求出此时点P 的坐标; 【正确答案】
3)动点在直线上方的抛物线
如图11所示,已知抛物线2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C .
(1)求A 、B 、C 三点的坐标.
(2)过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积. (3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥x 轴
于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似. 若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由. 【解析:】(1)令0y =,得2
10x -= 解得1x =±
令0x =,得1y =-
∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ···(2分)
(2)∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=
45
∵A P ∥CB , ∴∠P AB =
45
过点P 作P E ⊥x 轴于E ,则?A P E 为等腰直角三角形
令O E =a ,则P E =1a + ∴P (,1)a a +
∵点P 在抛物线2
1y x =-上 ∴2
11a a +=-
解得12a =,21a =-(不合题意,舍去)
∴P E =3··················································································· 4分) ∴四边形ACB P 的面积S =
12AB ?O C +1
2AB ?P E =11
2123422
??+??= ······································ 6分) (3). 假设存在
∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC
∵MG ⊥x 轴于点G , ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中,O A =O C =1 ∴AC
在Rt △P AE 中,AE =P E =3 ∴A
P= ················································ 7分) 设M 点的横坐标为m ,则M 2
(,1)m m -
①点M 在y 轴左侧时,则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时,有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m --,MG=2
1m -
2= 解得11m =-(舍去) 22
3
m =
(舍去) (ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有AG CA =MG
PA
即
2=
解得:1m =-(舍去) 22m =-
∴M (2,3)- ·················································
② 点M 在y 轴右侧时,则1m >
(ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时有AG PA =MG
CA
∵A G=1m +,MG=2
1m -
解得11m =-(舍去) 24
3
m =
∴M 47
(,)39
(ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有AG CA =MG
PA
即 2=
解得:11m =-(舍去) 24m = ∴M (4,15)
∴存在点M ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?P CA 相似
M 点的坐标为(2,3)-,47
(,)39
,(4,15) ·································· (13分)
y x E Q P C B O A 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图,已知抛物线与x 交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y 轴交于点B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ,, ,及原点(00)O ,. (1)求抛物线的解析式. (2)过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点,交直线PC 于B 点,直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点Q ,使得OPC △与PQB △相似?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,说明理由. (3)如果符合(2)中的Q 点在x 轴的上方,连结OQ ,矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ,,,△△△△之间存在怎样的关系?为什么?
练习3 、如图所示,已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C . (1)求A 、B 、C 三点的坐标. (2)过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积. (3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥x 轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似.若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由. 练习4、在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ,两点(点 A 在点 B 的左边) ,与y 轴交于点C ,其顶点的横坐标为1,且过点(23),和(312)--,. (1)求此二次函数的表达式;(由一般式... 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++) (2)若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合),则是否存在这样的直线l ,使得以B O D ,,为顶点的三角形与BAC △相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点D 的坐标;若不存在,请说明理由;(10)(30),(03)A B C -,,,, (3)若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小(不必证明),并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围.
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数的定义专项练习30题(有答案) 1.下列函数中,是二次函数的有() 2y=③y=x(1﹣x)④y=﹣x(②1﹣2x)(1+2x)①y=1 A.1个B.2 个C.3个D.4 个 2.下列结论正确的是() 2.A是二次函数y=ax B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例 D.二次函数自变量的取值范围是非零实数 3.下列具有二次函数关系的是() A.正方形的周长y与边长x B.速度一定时,路程s与时间t C.三角形的高一定时,面积y与底边长x D.正方形的面积y与边长x )是二次函数,则m等于()4.若y=(2﹣m ±2 B.2 C.﹣2 D.不A.能确定 2)是二次函数,则m的值是((m+m)5.若y= B.m =2 C.m=﹣A.1或m=3 D.m =3 ±2m=1 222中,二次函数的个数为(x),y=(x﹣1)6.,下列函数y=3x﹣x,,y=x(﹣2)5个4个D..A.2个B.3个 C )7.下列结论正确的是( 二次函数中两个变量的值是非零实数A. xB.二次函数中变量的值是所有实数 2. C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D .c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中,b, )8.下列说法中一定正确的是( 2.A c为常数)一定是二次函数,函数y=ax(其中+bx+ca,b B.圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时,速度是关于时间的二次函数. C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数.D 2)是二次函数的条件是(m﹣n)x+mx+n.函数9y=(n ≠n是常数,且m≠0 B.m、A.m、n是常数,且m 可以为任何常数m、nn≠0 D.C.m、n是常数,且 ).下列两个量之间的关系不属于二次函数的是(10 .速度一定时,汽车行使的路程与时间的关系 A .质量一定时,物体具有的动能和速度的关系 B .质量一定时,运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C .从高空自由降落的物体,下降的高度与下降的时间的关系D )11.下列函数中,y是x二次函数的是(22 DC..A.y=x﹣1 B.1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数:12.下面给出了6 222 y=y=;﹣②y=xy=x﹣3x;③;y=④(x⑥+x+1);⑤①y=3x.﹣1;)其中是二次函数的有(个D.4 C2A.1个B.个.3个 2)之间的关系是(t(g为常量),h13.自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D.一次函数C.二次函数A.正比例函数 B. 的值一定是_________+kx+1是二次函数,那么k.﹣14.如果函数y=(k3 ) 1.如图,抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,点B 坐标为(﹣4,﹣5),点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点,过点P 作PC ⊥x 轴于点C ,交AB 于点D .(1)求抛物线的解析式;(2)以O ,A ,P ,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点P 运动到直线AB 下方某一处时,过点P 作PM ⊥AB ,垂足为M ,连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此时点P 的坐标. 2. 在直角坐标系xoy 中,(0,2)A 、(1,0)B -,将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结AC ,点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点,若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分,求此时点P 的坐标;(3)现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移,求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =-1,且经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 图15.1 C D O B A x y 轴的另一个交点为B .⑴若直线y =mx +n 经过B ,C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求点M 的坐标;⑶设点P 为抛物线的对称轴x =-1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标. 4. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经 第25题图 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1,已知抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式;(用顶点式... 求得抛物线的解析式为x x 4 1y 2 +-=) ⑵若点C 在抛物线的对称轴上,点D 在抛物线上,且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求D 点的坐标; ⑶连接OA 、AB ,如图2,在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ,使得△OBP 与△OAB 相似若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线....... 为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边.和角.的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。 y x E Q P C B O A 例题2:如图,已知抛物线y=ax 2+4ax+t (a >0)交x 轴于A 、 B 两点,交y 轴于点 C ,抛物线的对称轴交x 轴于点E ,点B 的坐标为(-1,0). (1)求抛物线的对称轴及点A 的坐标; (2)过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ,你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论; (3)连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ,当∠APD=∠ACP 时,求抛物线的解析式. 练习1、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ,, ,及原点(00)O ,. (1)求抛物线的解析式.(由一般式... 得抛物线的解析式为2253 33 y x x =-+) (2)过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点,交直线PC 于B 点,直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点Q ,使得OPC △与PQB △相似若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,说明理由. (3)如果符合(2)中的Q 点在x 轴的上方,连结OQ ,矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ,,,△△△△之间存在怎样的关系为什么 二次函数的定义专项练习 30 题(有答案) 1.下列函数中,是二次函数的有( ) ① y=1﹣ x 2② y= ③ y=x (1﹣x )④ y= ( 1﹣ 2x )( 1+2x ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5.若 y=(m 2+m ) 是二次函数,则 m 的值是( ) A m=1 ±2 B m=2 C m= ﹣ 1 或 D m=3 . . . m=3 . 6.下列函数 ,y=3x 2, ,y=x (x ﹣2),y=(x ﹣ 1)2﹣ x 2 中,二次函数的个数 为 ( 7.下列结论正确的是( ) 二次函数中两个变量的值是非零实数 二次函数中变量 x 的值是所有实数 2 形如 y=ax +bx+c 的函数叫二次函数 2 二次函数 y=ax +bx+c 中 a ,b ,c 的值均不能为零 8.下列说法中一定正确的是( ) A . y=ax 2 是二次函数 B . 二次函数自变量的取值范围是所有实数 C . 二次方程是二次函数的特例 D . 二次函数自变量的取值范围是非零实数 3.下列具有二次函数关系的是( ) A . 正方形的周长 y 与边长 x B . 速度一定时,路程 s 与时间 t C . 三角形的高一定时,面积 y 与底边长 x D . 正方形的面积 y 与边长 x 4.若 y= ( 2﹣ m ) 是二次函数,则 m 等于( ) 2.下列结论正确的是 ( ) D 不能确定 A C ﹣ 2 ±2 B 2 A . B . C . D . 2 A . 函数 y=ax 2+bx+c (其中 a ,b , c 为常数)一定是二次函数 B . 圆的面积是关于圆的半径的二次函数 C . 路程一定时,速度是关于时间的二次函数 D . 圆的周长是关于圆的半径的二次函数 2 9.函数 y=( m ﹣ n )x 2+mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m 、n 是常数,且 m ≠0 B . m 、 n 是常数,且 m ≠n C . m 、n 是常数,且 n ≠0 D . m 、 n 可以为任何常数 10.下列两个量之间的关系不属于二次函数的是( ) A . 速度一定时,汽车行使的路程与时间的关系 B . 质量一定时,物体具有的动能和速度的关系 C . 质量一定时,运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D . 从高空自由降落的物体,下降的高度与下降的时间的关系 11.下列函数中, y 是 x 二次函数的是( ) A y=x ﹣1 B y=x 2+ ﹣ 10 C 2 y=x +2x D 2 y =x ﹣ 1 . . . . 12.下面给出了 6 个函数: 其中是二次函数的有( ) A 1 个 B 2个 C 3 个 2 13.自由落体公式 h= gt 2(g 为常量),h 与 t 之间的关系是( ) A 正比例函数 B 一次函数 C 二次函数 D 以上答案都不对 14.如果函数 y= ( k ﹣ 3) +kx+1 是二次函数,那么 k 的值一定是 ___________ . 15.二次函数 y= ( x ﹣2) 2﹣ 3 中,二次项系数为 __________ ,一次项系数为 ___________ 为 _________ . 16.已知函数 y=(k+2) 是关于 x 的二次函数,则 k= __________ . 17.已知二次函数 的图象是开口向下的抛物线, m= ___________ . 22 18.当 m __________ 时,关于 x 的函数 y= (m 2﹣1)x 2+(m ﹣1) x+3 是二次函数. 2 2 2 19. y=(m 2﹣ 2m ﹣3)x 2+(m ﹣1)x+m 2是关于 x 的二次函数要满足的条件是 ___________ . ① y=3x 2﹣1;② y=﹣ x 2 ﹣3x ; ③ y= ; 2 ④ y=x (x +x+1 );⑤ y= ⑥ y= ,常数项 1.如图,抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x﹣3 交于 A、B 两点,其中点 A 在 y 轴上,点 B 坐标为(﹣4,﹣5),点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点,过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C,交 AB 于点 D.(1)求抛物线的解析式;(2)以 O, A,P,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点 P 运动到 直线 AB 下方某一处时,过点 P 作 PM⊥AB,垂足为 M,连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此 时点 P 的坐标. 若直线 PC 将 ABC 的面积分成1: 3 两部分,求此时点 P 的坐标;(3)现将 ABO 、BCD 分别向下、向左 以1: 2 的速度同时平移,求出在此运动过程中 ABO 与 BCD 重叠部分面积的最大值. 二次函数压轴题(相似类) 1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y 轴交于点C,点A的坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=. (1)求抛物线的解析式; (2)M为第一象限内的抛物线上的一个点,过点M作MG⊥x轴于点G,交AC于点H,当线段CM=CH时,求点M的坐标; (3)在(2)的条件下,将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°<α<90°),在旋转过程中,设线段MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 2.如图,顶点为C(﹣1,1)的抛物线经过点D(﹣5,﹣3),且与x轴交于点A、B两点(点B在点A的右侧).(1)求抛物线的解析式; (2)抛物线上存在点Q,使得S△OAQ=,求点Q的坐标; (3)点M在抛物线上,点N在x轴上,且∠MNA=∠OCD,是否存在点M,使得△AMN与△OCD相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由. 3.如图,在平面直角坐标系中,顶点为A(1,﹣1)的抛物线经过点B(5,3),且与x轴交于C,D两点(点C 在点D的左侧). (1)求抛物线的解析式;(2)求点O到直线AB的距离; (3)点M在第二象限内的抛物线上,点N在x轴上,且∠MND=∠OAB,当△DMN与△OAB相似时,请你直接写出点M的坐标. 4.如图,直线y=﹣x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,B,M(m,0)为x轴上一动点,点M在线段OA上运动且不与O,A重合,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N. (1)求点B的坐标和抛物线的解析式; (2)在运动过程中,若点P为线段MN的中点,求m的值; (3)在运动过程中,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标; 5. 如图,已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0). (1)求抛物线的解析式及其对称轴方程; (2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由; (3)M为抛物线上BC之间的一点,N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值; (4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由. 初中二次函数计算题专项训练及答案 :___________班级:________考号:_______ 1、如下图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点 的坐标为(3,4),B点在轴上. (1)求的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为,点P的横坐标为,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由. 2、如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),以AB的中点P为圆 心,AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 (1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 (2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数表达式。 (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论。 3、已知;函数是关于的二次函数,求: (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时,抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标,这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时,y随的增大而减小. 4、如图所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为轴,过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系. (1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标; (2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.二次函数的定义专项练习30题有答案
2017中考二次函数专题(含答案)
二次函数与相似三角形问题(含答案 完美打印版)
二次函数的定义专项练习30题(有答案)
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2. 在直角坐标系 xoy 中, A(0, 2) 、 B(1, 0) ,将 ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的 BCD . (1)求经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结 AC ,点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动点,
y A
C
BO D
x
图15.1
3. 如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=-1,且经过 A(1,0),C(0,3)两点,与 x 轴 的另一个交点为 B.⑴若直线 y=mx+n 经过 B,C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴 x=-1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求点 M 的坐标;⑶设点 P 为抛物线的(完整版)二次函数压轴题(相似类)
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