高等代数 课堂笔记 第九章 第20页
欧式空间复习要点：
(1)重要的线性变换：正交变换、对称变换、反对称变换：
△定义;
△在标准正交基下矩阵;
△特征值的特性.
(2)正交子空间的和一定是直和（定理5）.
(3)正交补及性质：
对n 维欧式空间V 的任一子空间W 存在唯一的子空间W ⊥=*α∈V |α⊥W +，称为W 的正交补．．．
，具有性质：W 与W ⊥的和为直和且W ⊕W ⊥=V .
(4)正交投影:
△V =W ⊕W ⊥,α=α1+α2,α1∈W,α2∈W ⊥，
定义线性变换A : α?α1(=A (α))，称为V 在W 上的内射影（正交投影）.
△正交投影为V 上的对称变换（第六节，例）.
(5)对称矩阵的对角化（定理7/定理8）.
应用：△把实二次型用正交线性替换化为平方和（标准形）;
△求正交矩阵T ，使得T′AT 为对角形;
△求欧式空间中的标准正交基，使得给定的对称变换在此基下为对角阵.
理论意义：A ∈?n×n ,A ′=A ，存在正交阵T ，使得T ′AT =diag (λ1,λ2,…,λn )，λi 为A 的
特征值.
由此，可求A k ；若A 正定，则λi >0，从而可开方.
(6)正交矩阵定义及判别.
习题：P397、Ex7.
2011-06-22
第九章欧氏空间 ［教学目标］ 1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。 3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。 4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。 5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。 6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学重难点］ 欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。 ［教学时间］18学时。 ［教学内容］
欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。 [教学过程] §1 定义、性质 定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。 这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。 练习：394P 1（1）。 定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k = 单位向量：长度为1的向量。 α单位化： α α -Cauchy Буняковский不等式：βα,?，有 βαβα≤),( 等号成立当且仅当βα,线性相关。 在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子： 例1中，2 2221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ
第九章 欧几里得空间习题解答 P394.1.1 (,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=?====正定非负性证得 由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积 ( )111 11 61P394.1.2,(006);19,,P394.1.2 |(,)|||||(,)|i i j ij i j n n n ij i j i j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====?? ? ? == ? ? ??? ∴≤=∴--≤∑∑∑∑L L L Q 的度量矩阵即为A 不等式为|() 393.2P ①, α=(2,1,3,2), β =(1,2,-2,1) |||,)0,,2 αβαβαβπ αβ∴====∴⊥∴= 〈〉 393.2P ②, α=(1,2,2,3), β =(3,1,5,1) |||6,(,)18 (,)(,)arc cos cos ||||24arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴==== 393.2P ③, α=(1,1,1,2), β =(3,1,-1,0) ||||(,)3 ,arc 700'30''38 αβαβαβ===∴==?〈〉 P393. 3 ||||||αβαβ+≤+Q
(,)|||()()||||| (,)(,) d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ = P393.4在4 R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交 解设所求 2123412341234123 44123(,,,)1,00230 1 1111111 111111102000 1003,211301310 0314,0,1 4i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=??? ?--+=????+++=? ???-????-- ? ? ? ? ? ?--→-→= ? ? ? ? ? ?+ ? ?????? ===-= -∑则且与各向量的内积为0得令得 ,0,1,3),() -单位化 393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==L L 而是一个基 1 1 (,)(,)(,)0. 0. n n i i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有 393.5P ②证，Q 12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==L 12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==L 由第①小题：12120,γγγγ-==故 P393.6 1231232211(,,)(,,)2123122αααεεε?? ? =-- ? ?--?? Q 而1232211212,,3122ααα?? ?-- ? ?--?? 是正交矩阵,所以是标准正交基
数学系《高等代数》课程教学大纲 学时：153学时学分：9 适用专业：数学与应用数学 执笔人：储茂权审定人：殷晓斌 说明： 1、课程的性质、地位和任务 本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对初等数学的理解，并为进一步学习打下基础，要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识；掌握行列式，矩阵和线性方程组中的基本理论和方法，掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。 2、课程教学的基本要求 （1）掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。熟练掌握一元多项 式的带余除法和辗转相除法；多项式函数和重因式的基本知识；掌握有 关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法； 掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多 项式。 （2）掌握行列式的基本性质和计算；线性方程组的基本理论；矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵；二次型和标准形、规范形和正定性，掌握 -矩阵的基本知识，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形的基本知识；线性空间中向量的线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，基变换和坐标变换，线性子空间的基本知识；掌握欧氏空间的基本知识；熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵；掌握线性变换的特征值和特征向量，值域和核、不变子空间等基本知识。 3、课程教学改革 （1）注重能力的培养 本课程教学中，在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时，应注重培养学生的运算能力，运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力，同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，逐步提高自学和创新能力。 （2）注重本课程与其它课程的联系 《高等代数》是数学系的重要基础课程之一，它的基础地位不仅表现在它
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
线性空间与欧几里得空间 自测题 一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当 。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。 二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且
第九章欧氏空间习题 一、填空题 1.设就是一个欧氏空间,,若对任意,都有,则。 2.在维欧氏空间中,向量在标准正交基下得坐标就是,那么,。 3.若就是一个正交矩阵,则方程组得解为。 4、已知三维欧式空间中有一组基,其度量矩阵为,则向量得长度为。 5、设中得内积为,则在此内积之下得度量矩阵为。 6.设,,,若与正交,则。 7.若欧氏空间在某组基下得度量矩阵为,某向量在此组基下得坐标为,则它得长度为,在此基下向量与向量得夹角为。 8.在欧氏空间中,若线性相关,且,则。 9.就是度量阵,则必须满足条件______________。 10.线性空间在不同基下得过渡阵、线性变换在某组基下得矩阵、欧氏空间得度量阵这三类矩阵中,可以为退化阵得就是。 11、在欧氏空间中,向量,,那么=___________, =___________。 12、两个有限维欧氏空间同构得充要条件就是__________________。 13、已知就是一个正交矩阵,那么=__________,＝__________。 14、已知为阶正交阵,且,则= 。 15、实对称矩阵得属于不同特征根得特征向量就是彼此得。 16、设,则与得夹角。 17、在维欧氏空间中,级矩阵就是某个基得度量矩阵得充要条件就是。 二、判断题 1.在实线性空间中,对向量,,定义,那么构成欧氏空间( ) 2.在实线性空间中,对于向量,,定义,则构成欧氏空间。( ) 3.就是欧氏空间得一组基,对于中任意向量,均有,(,分别就是在此基下得坐标)),则此基必为标准正交基。( ) 4.欧氏空间中得线性变换可以将椭圆映射成圆。( ) 5.V与W均欧氏空间且同构,则它们作为线性空间也必同构。( ) 6.设就是一个欧氏空间,,,则与正交。() 7.设就是一个欧氏空间,,并且,则线性无关。( ) 8.若都就是欧氏空间得对称变换,则也就是对称变换。( ) 9.欧氏空间中,为对称变换。( )
第9章欧几里得空间 9.1复习笔记 一、定义与基本性质 1．欧几里得空间定义 设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质： （1）（α，β）＝（β，α）； （2）（kα，β）＝k（α，β）； （3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）； （4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0. 这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间． 2．长度 （1）定义 非负实数称为向量α的长度，记为|α|． （2）关于长度的性质 ①零向量的长度是零， ②|kα|＝|k||α|， ③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1 α α 就是一个单位向量，通常称此为
把α单位化． 3．向量的夹角 （1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有 |（α，β）|≤|α||β| 当且仅当α，β线性相关时，等号才成立． （2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为 （3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β． 零向量才与自己正交． （4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2． 4．有限维空间的讨论 （1）度量矩阵 设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得 a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n）， 显然a ij＝a ji，于是
利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY， 其中 分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵． （2）性质 ①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的． ②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的． 二、标准正交基 1．正交向量组 欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组． 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组． 2．标准正交基
第九章欧氏空间习题 答案
第九章欧氏空间习题答案 一、填空题 1. 0； 2. i x ；3. 123'b A b b ?? ? ? ??? ； 5. A ； 6. (2,2,1)-； 7. 2 π；8. 6±；9. 2 k >；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 0；12. 它们的维数相同；13. A ，1；14. 1-；15. 正交；16. 3π；17. 正定的。 二、判断题 1-5 ××√√√ 6-10 √×√√√ 11-15 √√√×√ 16-20 √√×√× 三、选择题 1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 四、计算题 1. 由2 20 212(2)(1)(4)002E A λλλλλλλ ---=--=+--=，故特征值为2,1,4-。 当2λ=-时，有121232 34202320230x x x x x x x --=??--+=??-=?，则基础解系为11(,1,1)'2ξ=-，单位化为1122(,,)'333 η=-； 当1λ=时，有1213232022020x x x x x x --=??-+=??+=?，则基础解系为21(1,,1)'2ξ=-，单位化为2212(,,)'333 η=-； 当4λ=时，有12123232202320240x x x x x x x -=??-++=??+=?，则基础解系为31(1,1,)'2ξ=-，单位化为322 1(,,)'333 η=-。
则令1223332123332213 33T ??- ? ? ?=- ? ? ?- ???，为正交阵，有1214T AT --?? ?= ? ???。 2. （1）111111t A t t ?? ?=- ? ?-??，由于二次型正定，则2300320t t t t >??>??-->? ，即2t >。 （2）当1t =时，则111111111A ?? ?=- ? ?-?? 。 由21 12111(2)(1)01 11E A λλλλλλ----=---=-+=--，特征值为2,2,1-。故标准形为22212322f y y y =+-。 3. 二次型矩阵为202023b A b a ?? ?= ? ??? 。由于正交变换得到的标准形为 22212325f y y y =++，则A 的特征值为1,2,5，故23125a ++=++， 12510A =??=可得3,0a b ==。 当1λ=时，有123230220230x x x x x -=??--=??--=? ，则基础解系为1(0,1,1)'ξ=-，单位化 为 1(0,,22 η=-； 当2λ=时，有23232020x x x x --=??--=? ，则基础解系为2(1,0,0)'ξ=，单位化为2(1,0,0)'η=； 当5λ=时，有1232330220220x x x x x =??-=??-+=? ，则基础解系为3(0,1,1)'ξ=，单位化为
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/ca13630174.html, 高等代数教学改革研究 作者：陈林 来源：《科技视界》2012年第26期 【摘要】高等代数是高等院校数学专业的主干课程，该门课程的教学改革对整个数学专业学生的教学质量的提高以及培养目标的完成都起着主导作用。本文在分析目前高等代数课程教与学的基础上，为高等代数的课程内容、教学方法、指导思想和教育观念进行改革。 【关键词】高等代数；教学内容；教学方法；改革 0 引言 高等代数这门课程是各高等院校数学专业学生的必修课，它不仅仅是中学数学理论的延续，而且还是整个现代数学大厦的基石。通过对这门课程的系统的学习，有助于学生养成严谨的处事习惯，增强学生逻辑推理能力，培养学生的数学抽象思维能力。绝大多数大中专院校将高等代数课程列为研究生入学考试的必考科目之一。 但是，目前高等代数的主要内容，在文革之前就已经确定了，还基本上是沿用前苏联的高等代数内容体系。近年来，国内许多学者对高代的内容进行大量的革新尝试，但其中几道丝线基本内容变动不大，仍然难以适应日新月异的科学技术发展的趋势，难以发挥高等代数作为自然科学原动力的作用，不能适应目前教学、科研的诸多需求。况且，近30年来，数学的理论分支发展迅猛，新思想、新知识、新研究方法不断涌现，更加强调理论的适应性，即如何提高生产力和更多的创造经济价值。但现行的高等代数教材的内容过分强调数学的纯理论性，往往是直接突兀的给出一个定义或一个定理，而没有关于这个定义或定理形成过程的介绍，同时缺乏讨论这些数学理论的发展和应用。在传统的高等代数课程教学中，往往只注重向学生灌输知识，课堂教学基本上还是“教材+粉笔+黑板”模式。从而难以提高学生的学习积极性，学生很难在认识上有所突破。 总之，为了应对数学理论日益迅猛的发展形势，为了紧跟时代发展的脚步，为了遵循我国教育发展的规律，为了提高办学质量、培养新时代的创新型人才，必须对高等代数课程的指导思想、内容以及教学方法进行改革。 1 指导原则 1.1 突出师范特色 大部分师范院校学生毕业后是进中学和小学参加教书。许多师范院校的毕业生工作以后感到大学里学到的东西在中学里用不到。因此，作为师范院校高等代数课程的内容要坚持师范性与学术性的统一，重点要突出师范性。必须将该课程的教学内容由学术型向教育学术型转化，
第八章 欧氏空间练习题 1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立: (1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||4 1 ||41,22ηξηξηξ--+= 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量 )0,,0,1,0,,0() ( i i =ε,n i ,,2,1 = 的夹角. 3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 ) 4,5,2,3()2,2,1,1() 0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交. 4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形． 5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: 222||||||ηξηξ+=+(勾股定理) 6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β. 7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量. 行列式 > <><><> <><><> <><> <= n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121 叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要
n ααα,,,21 线性相关. 8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: ><><ααβα,,2和> <> <βββα,,2都是0≤的整数. 证明: βα,的夹角只可能是 6 54 3,32,2π π ππ或 . 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 , 2 3322211 (||n n i i a a a a n a ++++≤∑= ). 10．已知 )0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α, )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α 是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基． 11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组． 12．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即 ><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 13．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令 },2,1,10,|{1n i x x V K n i i i i =≤≤=∈=∑=γξξ K 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少? 14．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:
对教师的建议_关于高等代数课程教学改革的几点建议 摘要：《高等代数》是数学专业最重要的专业基础课之一，很多后续课程都与之有着密切的联系。而现阶段，该课程的教学存在一系列的问题：教学课时太少；教师的教和学生的学很大程度上是以考试为目的；教学模式与大众教育相冲突等。为了解决这些问题，使《高等代数》的教学适应现代社会的需要，我们必须要在课程教学上做一些必要的改革，具体建议如下：调整、优化教学内容；因材施教；开展多层次的教学模式；努力提高学生的应用知识的能力和创新能力。关键词：高等代数；课程教学改革；因材施教；教学模式中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2012）05-0241-02 一、《高等代数》的地位和教学改革的必要性当前，《高等代数》是我国很多师范院校数学与应用数学专业和信息计算专业的基础课，其地位不言而喻。作为师范类的数学与应用数学专业基础课，是学生从高中进入大学后的数学逻辑、数学思维的一个重要提升，以便将来站在高处为中学教学服务；该课作为信息计算专业的基础课，是为后续的信息计算类课程打下坚实的理论基础，是算法实现的前期必要条件；该课程中的线性代数部分又是理工科所有专业的必修课，因此该课程是最重要的专业基础课之一。通过本门课程的教学，使学生了解代数理论的基本体系，理解代数学的基本概念、基本理论，掌握基本技能和基本方法，初步形成运用向量空间理论分析、解决线性变换中的综合问题的能力。该课程的建设为后续课程的学习提供重要的理论支撑，能为从事中学教育实践活动提供理论指导。二、《高等代数》教学中存在的问题坦率地说，中国的高校教育目前还没有到特别完美的地步，还存在一定的缺陷和不足。高等代数的教学中也存在着不少的问题，当然了，导致这些问题的因素是很复杂的，我们这里仅仅分析一些最常见的问题。具体说来，当前的高等代数教学存在如下的缺点和不足： 1.课时太少，教师“上课=赶课”。笔者通过调查相关院校发现，课时少是高等代数教学中存在的一个通病。教师在安排教学内容时，一方面要遵守大纲，大纲上的东西必须要讲到；另一方面要受教学进度表的束缚，
第九章欧氏空间习题答案 、填空题 ............ Fbj 1.0; 2. X i, Jx； +x ；+ 二+x：； 3. A b2 ； 4. √13 ； 5. ';8. _6 ; 9. k .2 ; 10.线性变换在某基下的矩阵；11.0, 、2 ; 12.它们的维数相2 同；13. A，1; 14. -1 ; 15.正交；16. - ; 17.正定的。 3 、判断题 1-5 ××√√√6-10 √×√√√11-15 √√√×√16-20 √√×√× 三、选择题 A ;6. (2, -2,1); 7. 2、2 , 1-5 CDBCC 四、计算题 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 1. λ-2-2 由^E-A= —2 丸一1 0 2 2 =（人+2）（人一1）（几一4） = 0 ,故特征值为一2,1,4。 当彊=「2时，有 ~4 X1 - 2 x^ — 0 -2 X1 — 3x2 + 2 X =0 ,则基础解系为 12 2 十3,3,3 当’=1时， ?2x2— 3x3 = 0 - x1- 2x2 = 0 有t -2x1 +2x3 = 0， 2x2 +x3 =0 1=（-丄,1,1）',单位化 为 M 1 则基础解系为2 = （1,-一 2 ,1）,'单位化为 2x1 - 2x2 = 0 当人=4时，有」-2x1 +3x2 +2x3 = 0 ,则基础解系为 2x2 +4x3 = 0 3 = （1,1厂丄）',单位化 为 2 2 2 _1_ 3,3, 3 2 3
3 'l l l (2)当 t=l 时，则 A= l l —l 订 —l l l =(丸—2)2(人+l) = O ,特征值为2,2,—l 。故标 λ-l 准形为 f = 2y l 2 2y ； - y f 。 z 2 b O A 3.二次型矩阵为 A = 'b a 2。由于正交变换得到的标准形为 f = y 2 +2y ； +5y ；, e 2 3」 则 A 的特征值为 l,2,5，故 2?a ?3=l2? 5 ，A =l 2 5=l0 可得 a = 3,b=O 。 -x ∣ = O I 当λ =l 时，有＜ —2X 2—2X 3=0，则基础解系为气=（0,l,—1）'，单位化为 -2x 2 ^ 3x^ — 0 …X …2 X — 0 当慣-2时，有 2 3 ,则基础解系为；=(l,0,0)',单位化为2 =(l,0,0)'； -2x 2 -x^ 0 3x l = 0 当怎-5时，有2X 2 -2X 3 =0 ,则基础解系为 ^(0,1,1)',单位化为 - 2x 2 ■ 2X 3 = 0 l l λ (1) A = l t -l ,由于二次型正定，则 -l t 丿 3 3 3 2 . \>0
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{ }n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1 αβ，那么∑==n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()()()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； ③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式。 4、设()n x x x f ,,,21 为n 元实二次型，则()n x x x f ,,,21 负定的充要条件为（ ）
关于高等代数课程教学改革的几点建议 摘要：《高等代数》是数学专业最重要的专业基础课之一，很多后续课程都与之有着密切的联系。而现阶段，该课程的教学存在一系列的问题：教学课时太少；教师的教和学生的学很大程度上是以考试为目的；教学模式与大众教育相冲突等。为了解决这些问题，使《高等代数》的教学适应现代社会的需要，我们必须要在课程教学上做一些必要的改革，具体建议如下：调整、优化教学内容；因材施教；开展多层次的教学模式；努力提高学生的应用知识的能力和创新能力。 关键词：高等代数；课程教学改革；因材施教；教学模式 一、《高等代数》的地位和教学改革的必要性 当前，《高等代数》是我国很多师范院校数学与应用数学专业和信息计算专业的基础课，其地位不言而喻。作为师范类的数学与应用数学专业基础课，是学生从高中进入大学后的数学逻辑、数学思维的一个重要提升，以便将来站在高处为中学教学服务；该课作为信息计算专业的基础课，是为后续的信息计算类课程打下坚实的理论基础，是算法实现的前期必要条件；该课程中的线性代数部分又是理工科所有专业的必修课，因此该课程是最重要的专业基础课之一。通过本门课程的教学，使学生了解代数理论的基本体系，理解代数学的基本概念、基本理论，掌握基本技能和基本方法，初步形成运用向量空间理论分析、解决线性变换中的综合问题的能力。该
课程的建设为后续课程的学习提供重要的理论支撑，能为从事中学教育实践活动提供理论指导。 二、《高等代数》教学中存在的问题 坦率地说，中国的高校教育目前还没有到特别完美的地步，还存在一定的缺陷和不足。高等代数的教学中也存在着不少的问题，当然了，导致这些问题的因素是很复杂的，我们这里仅仅分析一些最常见的问题。具体说来，当前的高等代数教学存在如下的缺点和不足： 1.课时太少，教师“上课=赶课”。笔者通过调查相关院校发现，课时少是高等代数教学中存在的一个通病。教师在安排教学内容时，一方面要遵守大纲，大纲上的东西必须要讲到；另一方面要受教学进度表的束缚，否则内容讲不完。这样做的后果就是上课完全是填鸭式的一言堂，必要的提问和习题课全没了，从第一节课到最后一节课，除了讲课就是板书，教师一分钟不敢耽误。而学生呢，50%以上拼命记笔记；30%压根儿就不听了，因为听不懂；仅有不到10%的学生基础好些，平时有预习复习的习惯，能跟上教师的进度。显然，长此以往，很多学生会丧失对高等代数学习的积极性，学习效果可想而知了。 2.以“考试为中心”的教与学。众所周知，数学粗略地可以分为代数，几何和分析三大类。而高等代数是代数学的最最基础的课程之一，是一切代数分支的基础。通过对该课程的学习，可以培养学
第九章 欧氏空间 一. 内容概述 1. 欧氏空间的定义 设V 是实数域R 上的一个线性空间.如果V ∈?βα.,定义了一个二元实函数.记作 ()()R ∈βαβα,,,称为内积,且满足 1) ()()2;,,αββα=)()()()()()(), 0,)4;,,,)3;,,≥+=+=ααγβγαγβαβαβαk k 当且仅当 0=α时,().0,=αα其中γβα,,是V 中任意向量,k 为任意实数,则称V 为欧几里空间,简称欧氏空 间. 常见的欧氏空间有: (1) 在 (){}R x x x x R i n n ∈=|,,2 1 里定义内积为()()1,2 2 1 1 y x y x y x n n +++= βα其 中()().,,,,,1 1 y y x x n n ==βα则称R n 为R 上的欧氏空间. (2) 设[]b a C ,为定义在[]b a ,上所有连续实函数所成的线性空间.内积定义为 ()()()()2,dx x g x f g f b a ?= (3) 设 R m n ?为一切m n ?矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '= 则称R m n ?为R 上的欧氏空间, 2. 欧氏空间的内积的主要性质: 1) ()()()()()()())4;0,00,)3;,,,)2;,,==+=+=βαγαβαγβαβαβαk k 设εεεn ,,,21 为V 的一组基,,,2 2 1 1 2 2 1 1 ε ε εεε εβαn n n n y y y x x x + ++=+++= 则()Ay x '=βα,其 中()()()()??? ? ? ??=?????? ? ??=? ? ????? ??=εεεεεεεεn n n n n n A y x y y y x x x 11 112121,. 3. 向量的长度,角,柯西-不涅柯夫斯基不等式().,βαβα≤ 4. 标准正交基 施密特正交化的方法 正交向量组是线性无关的.正交基.标准正交基. 格拉姆矩阵()()( )()??? ?? ??=∈αααααααααααn n n n m G V V 11 1 121.,,,.
第九章 欧几里得空间 §1定义与基本性质 一、向量的内积 定义1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα, 定义内积 .),(2211n n b a b a b a +++=Λβα (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间. 在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα, 定义内积 .2),(2211n n b na b a b a +++=Λβα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数 )(),(x g x f 定义内积 ?=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2) 对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例4 令H 是一切平方和收敛的实数列 +∞<=∑∞ =12 21),,,,(n n n x x x x Λξ 所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='. ),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+' 定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α. 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3) 这里V R k ∈∈α,. 长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量 αα 1 就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化. 柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有 βαβα≤),( (5)
第九章 欧几里得空间（ * * * ） 一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。 二、考点精讲： 三、首师大真题： （一）欧氏空间 1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质： （1）(,)(,)αββα=； （2）(,)(,)k k αβαβ= （3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+； （4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2.α的长度，记为α。 3.非零向量的夹角,β规定为(,) ,arccos ,0,ααβαβπαβ =≤≤ 4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。 5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令 (,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ?= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。 （1）度量矩阵是正定的； （2）不同基底的度量矩阵是合同的。 6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 （1）施密特正交化 这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法. 以3个线性无关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1, β2=α2- 11112) ,() ,(ββββα, β3=α3-11113),(),(ββββα-22223) ,() ,(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组. （二）同构 1.实数域R 上欧氏空间V 与' v 称为同构，如果由V 到' v 有一个1-1上的映射σ，适合 （1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=
第九章 欧氏空间 一、判断题 1、12,,,n εεε 是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ?=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。( ) 2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。( ) 3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。( ) 4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ） 5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 （ ） 6、度量矩阵是正定的 （ ） 7、正交矩阵的行列式等于1 （ ） 8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。 10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( ) 11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( ) 12、若矩阵A 为正交矩阵，则1 -='A A .( ) 13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( ) 14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。( ) 15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。( ) 二、填空题 1、在欧氏空间3 R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________， α＝_________． 2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________． 3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2 A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --?? ?=- ? ??? ，则向量 12323βααα=+-的长度为 。