第6章典型习题解析
1.简支梁受力如图a 所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力
由平衡方程
∑=0B
m
和∑=0A m 分别求得
ql R A 83=，ql R B 8
1=
利用平衡方程∑=0y 对所求反力进行校核。
（2）建立剪力方程和弯矩方程
以梁的左端为坐标原点，建立x 坐标，如图a 所示。
因在C 处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯矩方程。 AC 段：
qx ql x Q -=83)(1 )20(l
x ≤<
212183)(qx qlx x M -= )20(l
x ≤≤
CB 段： ql x Q 81)(2-= )2(l x l
<≤
)(81)(2x l ql x M -= )2
(l x l
≤≤
3．求控制截面内力，绘Q 、M 图
Q 图：AC 段内，剪力方程)(1x Q 是x 的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截
面的剪力值，ql Q A 8
3=右，ql Q C 81
-=左，分别以a 、c 标在x Q -坐标中，连接a 、c 的直
线即为该段的剪力图。CB 段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如
ql Q B 8
1
-=左，连一水平线即为该段剪力图。梁AB 的剪力图如图b 所示。
M 图：AC 段内，弯矩方程)(1x M 是x 的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截
面的弯矩，0=A M ，2
16
1ql M C =，分别以a 、c 标在x M -坐标中。由剪力图知在d 点
处0=Q ，该处弯矩取得极值。令剪力方程0)(1=x Q ，解得l x 83=，求得21128
9
)83(ql l M =
，
以d 点标在x M -坐标中。据a 、d 、c 三点绘出该段的弯矩图。CB 段内，弯矩方程)(2x M 是x 的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c 、b 标在x M -坐标中，并连成直线。AB 梁的M 图如图c 所示。
2.梁的受力如图a 示，利用微分关系作梁的Q 、M 图。
解：（1）求支座反力
由平衡条件∑=0B
m
和∑=0A m 分别求出
KN 10=A R ，KN 5=B R
利用平衡条件
∑=0y 进行校核。
（2）分段确定曲线形状
由于载荷在A 、D 处不连续，应将梁分为三段绘内力图。
根据微分关系q dx dQ =、Q dx dM
=和q dx
M d =2
2，CA 和AD 段内，0=q ，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；DB 段内，常数=q ，且为负值，剪力 为斜直线，M 图为向上凸的抛物线。
（3）求控制截面的内力值，绘Q 、M 图
Q 图：KN 3-=右C Q ，KN 7=右A Q ，据此可作出CA 和AD 两段Q 图的水平线。KN 7=右D Q ，KN 5-=左B Q ，据此作出DB 段Q 图的斜直线。
M 图：0=C M ，m KN 8.1?-=左A M ，据此可以作出CA 段弯矩图的斜直线。A 支座
的约束反力A R 只会使截面A 左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故
m KN 8.1?-===A A A M M M 右左，m KN 4.2?=左D M ，据此可作出AD 段弯矩图的斜直
线。D 处的集中力偶会使D 截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出m KN 2.1?-=右D M ，
0=B M ；由DB 段的剪力图知在E 处0=Q ，该处弯矩为极值。因KN 5=B R ，根据BE
段的平衡条件
∑=0y ，知BE 段的长度为0.5m ，于是求得m KN 25.1?=E
M
。根据上述
三个截面的弯矩值可作出DB 段的M 图。
对作出的Q 、M 图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如DB 段内的
均布载荷为负值，该段Q 图的斜率应为负；CA 段的Q 为负值，该段M 图的斜率应为负；AD 段的Q 为正值，该段M 图的斜率应为正；支座A 处剪力图应发生突变，突变值应为10KN ；D 处有集中力偶，D 截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为3.6KN ?m ；支座B 和自由端C 处的弯矩应为零
2.梁受力如图a 所示，试绘出其内力图。
解：（1）该梁为一次静不定。将中间支座C 去掉，以简支梁作为静定基（图b ）。在静定基上作用均布载荷q 和多余约束力C R ，成为原静不定梁的相当系统（图c ）。
（2）相当系统在c 点的挠度应为零，即0=c v 。根据此变形条件可写出求解静不定梁的补充方程式：
03845484
3=-EI
ql EI l R c 求得 ql R C 8
5=
（3）利用静力平衡条件求得其他支座反力（图d ）
ql R R B A 16
3=
= 画出静不定梁的Q 、M 图，如图e 、f 所示。静不定梁的
2
max
32
1ql M
=
，
而简支梁的2max
8
1
ql M =，
前者仅为后者的4
1。
3.图所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。
解：
作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC段，其值为
max
7575000
Q kN N
==
利用型钢表查得，56a号工字钢*2
47.7310
z z
S m
-
=?,最大切应力在中性轴上。
由此得
以下求该横截面上腹板与翼板交界处C的切应力。此时*
z
S是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得
*343
56021
16621()9395009.4010
22
z
S mm m
-
=??-==?
由型钢表查得4
65866
z
I cm
=,腹板与翼板交界处的切应力为
4
83
750009.4010
8.6
658661012.510
fc a
MP
τ
-
--
??
==
???
4.长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。
F6h
*
max max max
max23
*
max
75000
12600000126.
47.731012.510
z
a
z
z
z
Q S Q
MP
I
I d d
S
τ
--
=====
???
?
a
MP
6.
12
解：B 截面的弯矩为
m kN FL M B .6.126.15.02
1
=??==
a 点的正应力
Z a B a I y
M =σ12
3
213bh
h FL =MPa 65.1=
B 点在中性轴上,其正应力0=b σ.
c 点的正应力为
Z c B c I y
M =σ12
2213bh
h FL =MPa 47.2= （压）
5.图示为一工字形钢梁，受力如图示，钢的容许弯曲应力为[]152a MP σ=，容许切应力为
[]95a MP τ=。试选择工字钢的型号。
解：首先将梁简化为简支梁,作出剪力和弯矩图如(b)(c)，先按正应力强度条件选择截面,因梁的最大弯矩为
max 375000M N m =?
kN
（b ）
（c ）
5.375
.375
.1125
.112
根据][max
max σσ≤=
z
W M ,可计算梁截面的截面模量z W ，应为
63max
6
max
375000
24601015210
z M W m σ-=
=
=?? 由型钢表查得最接近这一要求的是56b 号工字钢，其截面模量为
63244710z W m -=?
由于在规定材料的容许应力时，为材料留有一定的安全裕度，所以只要超出容许应力不是很大(一般5%在之内),选用小一号的截面是充许的，这里56b 号工字钢截面模量比所需要的相差不到1%，相应地，最大正应力也将不会超出容许应力1%，因此可以采用。
进行切应力强度校核: 梁的最大剪力为
max 112500Q N m =?
利用型钢表查得，56b 号工字钢的*2
47.1710z z I S m -=?,最大切应力为
显然，这个最大切应力小于容许切应力，切应力强度条件满足。实际上，前面已经讲到，梁的强度多由正应力控制，故在按正应力强度条件选好截面后，在一般情况下不需要再按切应力进行强度校核。
6.T 字形截面铸铁梁受力如图所示，已知材料的拉、压容许应力分别为[]30l a MP σ=，
[]90a a MP σ=。已经给出了截面的部分尺寸，试按合理截面的要求确定尺寸δ，并按所确定
的截面尺寸计算梁的容许荷载。
*
6
max max max max
23
*
max
1550000025.41025.447.171012.510z a a z z z Q S Q P MP I I d
d S τ---==
===????a 6104.25?
解：为了达到合理截面要求，必须使同一横截面上的最大拉应力和最大压应力之比max max
l a
σσ等于相应的拉、压容许应力之比[]]
l a
σσ，这样当荷载增大时，截面上的最大拉应力和最大压应力将同时达到容许应力，受拉区和受压区的材料可以同样程度地发挥潜力。
根据给定条件可知[][]
:30:901:3
l a
σσ==，所以同一截面上应有
max max
:1:3
l a
σσ=
由图(c).由于正应力在横截面上按直线分布，由几何关系可确定中性轴的位置
y为
210
y mm
=
由于中性轴是通过形心的，根据形心计算公式，可建立
y与截面几何尺寸关系式为
2806060
(28060)()60220(280)
22
(28060)60220
y
δ
δ
-
-+?-
=
-+?
将
210
y mm
=代入上式可解得24mm
δ=。
下面确定梁的容许荷载：
首先计算截面惯性矩,由于T形截面可划分为两个矩形，由几何关系可求得两矩形形心相对于中性轴位置如图(c),利用平行移轴定理可解出
33
226
2422022060
(24220100)(2206040)99.1810
1212
z
I mm
??
=+??++??=?
最大弯矩max M 出现在跨中，即
max 20.544
PL P M P ?=
== 最大拉应力为
根据强度条件
[]max l σσ≤
故有
6352.93010P ≤?
可解得
3851085P N kN ≤?=
故按拉应力强度条件可确定梁的容许荷载为85kN ，由于梁的截面尺寸是按最大拉应力和最大压应力同时达到相应容许应力的条件确定的，所以按压应力强度条件也会求得同样的容许荷载。
由于与上题同样的考虑，对于所确定的容许荷载，不需要再进行切应力强度校核。 7.长度为250mm ，截面尺寸为h ×b=O.8mm ×25mm 的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为?60的圆弧,已知弹性模量E=2.1×105
MPa 。试求钢尺横截面上的最大正应力。
解：
a MP l h
E y E 352310250214.3108.0101.23
23
311max
=???????=?
==--πρσ 8.厚度为h=1.5mm 的钢带,卷成直径为D=3m 的圆环,求此时钢带横截面上的最大正应力。已知钢的弹性模量E=2.1×l05
MPa 。
3
6
0.57010352.999.1810P P --??==?
解：因为
222
1
22z
z D l R M D EI M E I D
ππρ
==?
=
==
所以 2105z My Ey MPa I D
σ=
== 9.直径为d 的钢丝，其名义流动极限为2.0σ。现在其两端施加外力偶使弯成直径为D 的圆弧。试求当钢丝横截面上的最大正应力等于2.0σ时D 与d 的关系式。并据此分析为何钢丝绳要用许多高强度的细钢丝组成。 解：
222
1
22z
z D
l R M D EI M E I D
ππρ
==?=
==
所以 0.20.2
2,z My E
D E
I D d σσσ=
===
由上可见,细钢丝强度越大,E 越大,D 越大,抗弯刚度大.
10.图示一由1 6号工字钢制成的简支梁，其上作用着集中荷载P,在截面c-c 处梁的下边缘上,用标距s=20mm 的应变计量得纵向伸长△S=0.0O8mm 。已知梁的跨长L=1.5m,a=1m ，弹性模量E=2.1×105
MPa 试求p 力的大小。
解：因 z
C
W M s s E E =??
==εσmax 2
P R R B A =
= C 截面的弯矩 ）（a L P M C -=2
查表得16号工的36
10
141m W z -?=,代入后得
kN a
l E W P z 38.472=-=ε
5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡 由 0,0=+?=∑e RA B M l F M 得 l M F e RA - = 由 0,0=-?=∑e RB A M l F M 得 l M F e RB = 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和 剪力图 弯矩表达式为： ()l M F x F e RA S -== ()x l M x F x M e RA ?- =?= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。( 如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 由 04 5 2,0=??-?=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8 5= 由 021 ,02=+?=∑ql l F M RC B 得 ql F RC 2 1 -= 则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB 段：（2 01l x ≤≤） ()()21 11 12 1qx x M qx x F S -=-= BC 段：（2 322l x l ≤ ≤） 剪力图 弯矩图
()()? ?? ??-?+??? ??-??-==-= 285428 21852222l x ql l x l q x M ql ql ql x F S AB 段剪力方程为x 1的一次函数，弯矩方程为x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图 为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC 段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2的一次函数，所以BC 段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。（如图） 5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 12,8== AB 段作用有均布荷载，所以 AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。 在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图） （5） 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 5.6,5.3== AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。
怎样快速绘制剪力图和弯矩图 毛和业 （黔南职业技术学院机电系，贵州，都匀 558022） 摘要《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课。在目前高职高专、中职学生文化素质不高，而在本门课课时安排不多情况下，如何让学生掌握基本理论与基本计算方法至关重要。在工程构件中，最常见的变形形式是弯曲变形和弯扭组合变形。它们的强度计算必须以剪力图和弯矩图的绘制来找到危截面为前提，而这一绘制过程复杂，计算量大。因此，根据各种载荷的剪力图和弯矩图规律对这一过程进行简化，找到一种学生易于掌握，且准确率高的方法，在该门课程的教学与工程实际中均有重要意义。 关键词：剪力图弯矩图绘制快速 How to draw the shearing force diagram and bending moment diagram rapidly MAO He-ye (Mechanical and Electronic Department,Qiannan V ocational And Technical College,Duyun 558022,China ) Abstract: Engineering Mechanics is an important basic technology curriculum in variety of engineering courses. because the culture lever of the students in High-V ocational school、High-Technological academy and Middle-V ocational school is not rich and the hour of the course is limited, How to master the basic theory and basic compute method is very important to these students. Base on the years of teaching experience of the course, A simple、easy、rapid and accurate method for drawing the shearing force diagram and bending moment diagram is summarized for the purpose of increasing the study efficiency of the students. Key words: shearing force diagram; bending moment diagram;draw;rapid 1、引言 《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课，特别对于机电类专业，学生学习质量的好坏，对后续课程的学习，如《机械原理》《机械零件》《汽车理论》等乃至于对今后的工作至关重要。目前中职、高职高专《工程力学》课程的学时数一般安排在80学时左右，其内容包含了静力学、材料力学和运动力学三个部分。本课程的最终目标是让学生能对构件正确进行运动分析，掌握构件的强度、刚度和稳定性的计算中必备的理论基础与计算方法，从而解决强度和刚度计算中的强度校核、计算截面尺寸、确定许可载荷三类问题。在以上三类问题的计算中，都是以危险截面为前提，而剪力图和弯矩图正是用平行于梁的坐标表示梁截面位置，用垂直于梁的坐标表示剪力或弯矩的大小，它能形象准确找到危险截面。因此，能否正确绘制出剪力图和弯矩图，关系到整个计算的成败。而这部分内容则是在《工程力学》教材中所有篇幅较多，计算量较大的内容之一。目前高职高专或中职学生普遍文化素质较差，加上本课程课时较少，的确给教学以及学生对这部分内容的掌握带来了很大难度。根据笔者多年从事《工程力学》教学的实践，总结出在两图的绘制中快速且学生容易掌握的方法，供从事该门课的教师参考。 2、传统绘制剪力图和弯矩图的步骤 （1）根据梁的受力情况，计算约束反力 可根据已知条件，包括受力情况及约束类型，用静力平衡方程进行计算，对学生来说能较容易解决。 （2）对梁进行分段，列出各段的剪力方程和弯矩方程 分段时须先找到分界点，把每两个界点之间的部分作为一段。一般把梁上以下点作为分界点：集中力作用处（包括主动力与约束反力）、集中力偶作用处及均布载荷的起止点。这点对于学生掌握来说也不难。接下来需列出每一段的剪力方程和弯矩方程，这个过程是较繁琐的，每段列两个方程，且须确定各分段函数的定义域。 （3）确定各界点的剪力值和弯矩值 根据各段的剪力与弯矩方程，计算各界点的值，这个过程也较复杂。特别对于梁中段的界点，往往要分别计算其左侧及右侧的剪力值和弯矩值。 作者简介：毛和业，出生年月：1959年10月，贵州瓮安人，黔南职业技术学院机电工程系，高级讲师，研究方向：机电技术应用
《材料力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法[摘要]在《材料力学》中，绘制平面弯曲梁的剪力图和弯矩图是“直梁的弯 曲”一章中的重点和难点，传统的规律绘图法用到的一次函数、二次函数和导数等相关知识，对于数学基础不很扎实的中专生来说是很难理解的。本文中作者利用几何图形的面积来绘制剪力图和弯矩图，其方法更为简便快捷。 [关键词]剪力图弯矩图面积 在《材料力学》中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图（即把剪力方程和弯矩方程用函数图象表示出来）以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面的位置。目前绘制剪力图和弯矩图最常用的规律绘图法中用到一次函数、二次函数和导数等相关知识，这对于数学基础不很扎实的中专生来说是很难理解的。通过教学，作者在原有绘图方法的基础上，利用几何图形的面积代替一次函数、二次函数和导数来绘制剪力图和弯矩图的规律，谨供广大同仁参考。具体方法为：从上至下依次画出直梁的受力分析图——剪力图（直角坐标系）——弯矩图（直角坐标系），其图象遵循“平行线——斜直线——抛物线”的顺序，其剪力和弯矩的变化值等于对应的上一个几何图形的面积，其它事宜与原方法同。 例：一外伸梁受力如图a)所示，已知P=6kN，q=2kN/m，a=1m，绘出梁的剪力图和弯矩图。 解：（1）求支座反力NA和MA 选整个梁为研究对象，由平衡方程求得NA= 10kN，MA= 18kN.m。 （2）绘制剪力图 A点作用有向上的集中载荷NA和逆时针转向的集中力偶MA，因集中力偶对剪力图没有影响，故剪力图只在集中力NA的作用下从零值向上突变10 kN； A、B点之间的剪力图为平行于x轴的直线；B点作用有向下的集中力P，剪力图向下突变P=6kN，变为4 kN； B、C之间的剪力图为平行于x轴的直线；CD 段作用有向下的均布载荷q=2kN/m，所以剪力图为从4 kN开始向下倾斜的直线，因此D点剪力值为4 kN -4 kN=0，如图b）所示。 （3）绘制弯矩图 A点作用有逆时针转向的集中力偶MA= 18kN.m，故从A点零开始，向下突变18 kN.m，AB段剪力图为位于x轴上方且平行于x轴的直线，因此其弯矩
弯矩图绘制方法 1、基本方法： 采用“截面法”，运用静力平衡方程式（ΣX=0、ΣY=0、ΣM=0等）求解控制截面的内力（弯矩、剪力）。控制截面的内力求解后再勾绘弯矩图。 1）确定内力符号的规律为：“左上剪力正、左顺弯矩正”；“右下剪力正、右逆弯矩正”。 2）确定内力数值的规律为：剪力Q等于截面任意一侧所有外力沿梁轴垂直方向所作投影的代数和；弯矩M等于截面任意一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。 2、勾绘弯矩图时线型处理： 除构件受“均布荷载”作用、其弯矩图是曲线外，其余均为直线。 3、弯矩图所画位置： 1）正弯矩画在杆件的下方，负弯矩画在杆件的上方。 2）使杆件下部受拉的弯矩为正,上部受拉的弯矩为负。 3）弯矩图画在杆件纤维受拉的一侧。 4、剪力图所画位置： 1）正剪力画在杆件的上方； 2）负剪力画在杆件的下方； 3）使杆件截面顺时针方向转动的剪力为正剪力； 4）使杆件截面逆时针方向转动的剪力为负剪力； 5）一般情况下，剪力与杆件所受外力的方向相反。 5、弯矩图叠加时注意事项： 1）叠加时以基线为标准，不是以其中某直线或斜线为基准； 2）叠加时要注意正负弯矩的抵消，应先计算每个控制截面的弯矩值，然后勾绘。 6、刚结点会在节点处产生负弯矩，铰结点不会在节点处产生负弯矩。在绘制弯矩图时，只要杆件端部是铰结点，则该节点处的弯矩必为零！ 注意：弯矩M、剪力Q、分布荷载q之间的关系在绘制内力图上的应用： 1、设梁上作用有任意的分布荷载q，规定q向上为正、向下为负； 2、若梁上某段没有分布荷载： 1）该段的剪力图是一条平行于梁轴的直线，剪力Q为一常数； 2）该段弯矩图为一条直线，分以下3种情况： (1)当剪力Q=常数>0时，弯矩图为一下斜直线（\）； (2)当剪力Q=常数<0时，弯矩图为一上斜直线（/）； (3)当剪力Q=常数=0时，弯矩图为一水平直线（—）； 3、若梁上某段作用有分布荷载： 1）该段的剪力图是一条斜线，分布荷载q为一常数； 2）分布荷载q为一常数，分以下3种情况： (1)当分布荷载q=常数>0时，Q图为一上斜直线（/）,弯矩M图为上凸曲线（∩）； (2)当分布荷载q=常数<0时，Q图为一下斜直线（\）,弯矩M图为下凸曲线（∪）； 4、在剪力Q=0处，弯矩M有极值。即在剪力Q=0的截面上，弯矩M有极值（极大或极小）。
快速绘制剪力图、弯矩图 骆 行 (成都电子机械高等专科学校 610031) 摘 要:在教学实践中总结出一种快速绘制剪力图、弯矩图的方法,能够较快地、准确地绘制出承受弯曲的构件的剪力图和弯矩图。 关键词:剪力图 弯矩图 绘制 快速 Abstract:to sum marize a method w ith w hich shearing force diagram and bending mo -ment diagram could be protracted rapidly in teaching practice so that both above of the com -ponent bearing curve could be ploted comparatively apace and accurately. Key word:shearing force diagram,bending moment diagram,protract,rapidly 中图分类号:TH 12612 在工程实际中,有不少的构件在工作时要承受弯曲。如火车轮轴、滑轮轴要承受弯曲,车床主轴、减速器中安装齿轮的轴等要同时承受扭转和弯曲。在设计这些构件的过程中,必须计算其弯矩(或同时计算扭矩),根据构件的强度条件和刚度条件等对构件进行设计计算。在这些计算中需要画出剪力图和弯矩图,据此判断何处的剪力和弯矩最大,结合截面的尺寸判断危险截面的位置,对危险截面进行计算。当有几个可能的危险截面时,应该同时进行计算并进行比较。快速、准确地画出剪力图和弯矩图对设计工作是十分重要的。 1 传统剪力图、弯矩图的画法 1.求出构件上所受全部外力: 2.把构件进行分段,每两个外力(力偶)之间 为一段,若有n 个外力(力偶),就必须分成(n-1)段; 3.分段列剪力方程和弯矩方程。在每段中任选一个截面取分离体,画受力图,列出剪力方程和弯矩方程,这一步的计算要重复n-1次,即列出 n-1个剪力方程和n-1个弯矩方程; 4.根据剪力方程和弯矩方程在x )Q 和x )M 坐标系中画出剪力图和弯矩图。 例如图1所示转轴,按传统的画法画AC 段剪力图、弯矩图的步骤如下: 图1 转轴受力图(1)求出轴上全部外力; (2)该轴上有四个力,所以应该把轴分为三段; (3)用截面法,在两外力作用面之间的AC 段内任取一距A 端为x 的截面,画出截面以左的一段轴的受力图,根据该段轴的平衡条件列出该截 面上的剪力和弯矩的表达式(即剪力方程和弯矩
《结构力学Ｉ》期末复习题 1． 试画出图示静定梁的弯矩图和剪力图。 P a a a a a 2．试 画 出 图 示刚架的弯矩图、剪力图和轴力图。各杆长均为l 。 3． 试 求 图 示 桁 架各指定杆的轴力。已知F= 30kN 。 3×4=12m 3F 2 3 1 3m 3m 4 D A C 4kN/m B 10kN D C b a c F F 2×2=4m 2×3=6m 4 8m 3 4kN/m
三、静定结构的位移计算 1．用图乘法计算图示荷载作用下外伸梁C点的竖向位移Δcy。 2．试画出图示结构的弯距图。并求C点的水平位移和D点转角。已知三杆长均为l，EI为常数。 D C 2F 3F b a c 4m 4×3=12m
3．试绘制图示静定结构的弯矩图，并求A 点的垂直位移和B 点转角。已知三杆长均为3m 。各杆EI 均为10000kNm 2。 4．试绘制图示静定结构的弯矩图，并求A 点的垂直位移。各杆EI 均为5000kNm 2。 四．力 法 1．试用力法计算图示结构，绘制弯矩图。已知二杆长均为l ，EI 为常数。 q 5kN
2．试用力法计算图示结构，绘制弯矩图。已知两杆长均为l，EI为常数。 3．试用力法计算图示结构，绘制弯矩图。已知三杆长均为l，EI为常数。 4．用力法计算并作图示结构M图。已知二杆长均为l，E I= 常数。
五、位移法 1．建立图示结构的方程，求出方程的系数和自由项。已知三杆长均为l，EI为常数。 2．试用位移法计算图示结构，绘制弯矩图。已知两杆长均为l，EI为常数。 q 3．试用位移法计算图示结构，绘制弯矩图。已知三杆长均为6米，EI为常数。
第6章典型习题解析 1.简支梁受力如图a 所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（1）求支座反力 由平衡方程 ∑=0B m 和∑=0A m 分别求得 ql R A 83=，ql R B 8 1= 利用平衡方程∑=0y 对所求反力进行校核。 （2）建立剪力方程和弯矩方程 以梁的左端为坐标原点，建立x 坐标，如图a 所示。 因在C 处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯矩方程。 AC 段： qx ql x Q -=83)(1 )20(l x ≤< 212183)(qx qlx x M -= )20(l x ≤≤ CB 段： ql x Q 81)(2-= )2(l x l <≤ )(81)(2x l ql x M -= )2 (l x l ≤≤ 3．求控制截面内力，绘Q 、M 图 Q 图：AC 段内，剪力方程)(1x Q 是x 的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截 面的剪力值，ql Q A 8 3=右，ql Q C 81 -=左，分别以a 、c 标在x Q -坐标中，连接a 、c 的直 线即为该段的剪力图。CB 段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如 ql Q B 8 1 -=左，连一水平线即为该段剪力图。梁AB 的剪力图如图b 所示。 M 图：AC 段内，弯矩方程)(1x M 是x 的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截 面的弯矩，0=A M ，2 16 1ql M C =，分别以a 、c 标在x M -坐标中。由剪力图知在d 点 处0=Q ，该处弯矩取得极值。令剪力方程0)(1=x Q ，解得l x 83=，求得21128 9 )83(ql l M = ，
剪力图弯矩图快速画法口诀 剪力图快速画法口诀 外伸端，自由端，没有P力作零点。 无力梁段水平线，集中力偶同样看， 均布荷载对斜线，小q正负定增减， 集中力处有突变，左顺右逆画竖线， 增多少？降多少？集中横力作参考。 弯矩图快速画法口诀 弯矩图，较复杂，对照剪图来画它，自由端，铰支端，没有力偶作零点。剪图水平弯图斜，剪力正负定增减，天上下雨池水满，向上射出弓上箭。剪图轴线交叉点，弯矩图上极值点。均载边界无横力，光滑吻接无痕迹。集中力处有转折，顺着外力折个尖。集中力偶有突变，反着力偶符号弯，升多少？降多少？集中力偶作参考。 弯矩图形已画完，注意极大极小点， 数值符号截面点，三大要素标齐全。
7.2.1 截面法求内力 问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在横截面上会有几种内力 素同时存在？如何求出这些内力素？ 例：欲求图示简支梁任意截面1-1上的内力。 1.截开： 在1-1截面处将梁截分为左、右两部分，取左半部分为研究对象。 2.代替： 在左半段的1-1截面处添画内力、，(由平衡解释)代替右半部分对其作用。 3.平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。 由 得 如取右半段为研究对象，同样可以求得截面1-1上的内力和，但左、右半段求得的及数值相等，方向（或转向）相反。 7.2.2 剪力和弯矩 是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且与截面垂直，故称为截面1-1的弯矩。 由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向（或转向）相反，为使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号相同，必须对剪力和弯矩的正负符号做适当规定。
口诀法在梁内力图绘制中的应用（苏科大土木学院2020.5）弯矩与剪力有这样的关系：弯矩方程比剪力方程高一阶，弯矩方程的一阶导数是剪力方程，弯矩图的在某个截面的斜率值恰恰就是该截面的剪力。弯矩与剪力、分布荷载之间的微分积分关系，可作为弯矩图绘制的理论依据。本文以画梁的内力图为例，淡淡形象教学法在力学教学中的应用。利用形象的口诀同时将弯矩、剪力与荷载集度问的微分关系及梁的内力图的一些特点，文献中的作者们做了大量工作，这里作汇总如下（部分略有改动）。 （1）黄氏口诀[3]： 剪力图口诀：剪力跟随载荷走； 均布载荷顺着斜；集中力处随着跳； 上下看力的方向，遇到力偶剪力不会变。 （要求从左至右画）。 弯矩图口诀：差值等于Q与轴围图的面积； 突变朝着同向矢；曲线突向顺着q； 顶点正好对零剪。特征：分段、突变、直线、曲线。 （2）高氏口诀[4]： 均布荷载负，剪力下（右下）斜路．弯矩下（下凸）抛物；均布荷载零，剪力直线平，弯矩斜向行； 集中力在梁上现．剪力要突变（顺F方向），弯矩定折转（F作用截面出现折角）； 力偶作用面，剪力照常现（左右相同），弯矩要突变（顺时针力偶向下突变）。最大弯矩可能发生在F，零（剪力为零）、F。变（剪力变号）和紧靠力偶一侧面。 （3）钱氏口诀[5]： 剪力图口诀： 没有外力，水平线； 均布外力，斜直线； 集中外力，有突变； 集中力偶，不用变。
剪力、弯矩图的相对应口诀： ①你无我平，你平我斜，你斜我弯，弯线顶点你为0； ②顺流而下，逆流而上，集中力偶来管上； ③上尖角、下尖角，外力指向要看好。 （4）网络口诀（作者不详）。 剪力图口诀: 外伸端，自由端，没有集中力取零点。无力梁段Q水平线，集中力偶同样看，均布荷载Q应为斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线， 增多少？降多少？集中横力作参考。 弯矩图口诀: 弯矩图，较复杂，对照剪图来画它；自由端，铰支端，没有力偶作零点。 剪图水平弯图斜，剪力正负定增减；天上下雨池水满，向上射出弓上箭。 剪图轴线交叉点，弯矩图上极值点。均载边界无横力，光滑吻接无痕迹。 集中力处有转折，顺着外力折个尖。集中力偶有突变，反着力偶符号弯，升多少？降多少？集中力偶作参考。弯矩图形再检查，注意极大极小点； 数值符号截面点，三大要素标齐全。 注：“均载边界无横力，光滑吻接无痕迹”指均载边界结束处，两侧的弯矩图“光滑吻接”，或曲线斜率相同连接。“天上下雨池水满”指分布荷载q向下时，弯矩图的形状像池水底部抛物线；“向上射出弓上箭”指q向上时，弯矩图形状像弓箭上弯后的形状。 口诀法在梁内力图绘制中的应用（苏科大土木学院2020.5）