fenchel对偶定理
Fenchel对偶理论是数学中的一种重要理论，它是非线性优化和凸分析领域中的基本理论之一。Fenchel对偶理论为描述凸优化问题和非凸问题提供了一种理论框架，可以将非凸问题转化为等效的凸问题，并且为解决这些问题提供了一种有效的数值方法。
在数学中，Fenchel对偶理论是指将一个凸优化问题转化为其对应的对偶问题的方法。这个过程可以通过寻找一个共轭函数来实现。共轭函数是一个实值函数，它表示原函数在某个点的切线的斜率。共轭函数是可以完全由原函数确定的，而且具有很好的凸性质。Fenchel对偶定理是基于这个共轭函数的概念而得出的一组定理。
Fenchel对偶定理的基本思想是，定义原凸优化问题的拉格朗日函数，然后通过找到这个函数的共轭函数，将原问题转化为对偶问题。对偶问题的解可以帮助我们理解原问题的解，并提供一种有效的优化方法。
Fenchel对偶定理包含以下几个基本定理：
1. Fenchel对偶定理。如果原问题是凸的，其拉格朗日对偶问题也是凸的，并且二者的最优解是相等的。
2. 定义投影算子。对于一个凸集合，如果存在一个投影算子能够将点映射到该凸集里面，并保持点到集合的距离不变，那么这个算子是唯一的，并且是凹的。
3. 闭合定理。对于一个凸集合，如果其闭包也是凸的，那么对于任意一个点，都存在一个最近的点投影到集合上。
4. 拉格朗日对偶函数的凸性。如果原问题是凸的，其拉格朗日对偶函数也是凸的，并且在某些情况下可以减少计算量。
5. 序列定理。定义一个序列，如果其满足一定的条件，那么这个序列必定在某个子序列上收敛到极值，并且这个极值满足李雅普诺夫条件。
总的来说，Fenchel对偶定理具有以下的优点：
1. 可以将非凸问题转化为等价的凸问题，这使得问题的求解可以通过凸优化算法来实现。
2. 对偶问题的解有助于我们理解原问题的解。
3. 对偶问题的解可以提供一种有效的优化方法。
4. Fenchel对偶定理提供了一种通用的方法，适用于各种不同类型的优化问题。
综上所述，Fenchel对偶定理是凸优化领域中的重要理论，它为解决凸优化问题提供了有效的数值方法，并且可以将非凸问题转化为等价的凸问题。Fenchel对偶定理是非线性优化和凸分析领域的基本理论之一，对于解决工程、经济、物理和计算机科学等领域中的多种优化问题都具有重要意义。
基于原始—对偶内点法的无线传感网平均数据流最优传输研究 【摘要】本文提出一种基于原始-对偶内点算法的无线传感网络数据路由算法。当传输的数据量给定时，提出的算法能够尽可能地平均每条链路上的数据流，有效避免数据流不均导致部分链路上的通信拥塞。仿真实验验证提出算法的有效性。 【关键词】无线传感网络；原始对偶内点法；平均数据流最优解 0 引言 无线传感器网络[1]是由大量的静止或移动的传感器节点以自组织和多跳的方式构成的无线网络，其目的是协作地感知、采集、处理和传输网络覆盖地理区域内感知对象的监测信息，并报告给用户。无线传感网在环境、医疗、工业、建筑、空间和海洋探索以及军事上方面具有广泛的应用前景[2]。 其中数据路由[3]在无线传感网中显得十分重要，关键技术之一就是如何能够在完整传输所有数据流的情况下，如何尽可能的平均每一条链路上的数据流。 1 数学模型 所以目标函数为： 2 原始-对偶内点法求解平均数据流最优解 由上述可知，平均数据流最优解是一个非线性规划凸优化[4]问题。而原始-对偶内点法[5]是现代内点算法中最优秀的算法。它从理论上被证明具有多项式时间复杂性[6]。当约束条件和变量数目增加时，该算法的迭代次数随着系统规模的变化比较小、收敛速度快、精度高，适合求解大规模非线性系统[7]。原始-对偶内点法求解非线性规划问题的步骤，可参考文献[8-9]。而该问题满足原始对偶内点法的应用条件，所以可用原始-对偶内点法求解该问题，步骤如下： 3 仿真结果与讨论 3.0初始化各个数据 3.1 分析图2和图3得出如下结论 a.由图2可知，求出的值与目标的最优解不断减小，说明该算法在上述初始条件下，是收敛的。且最后的差值在指定的误差范围内，验证了该算法的可行性。 b.由图3可知，所求的最优解最后趋近于某一个数值，所以可以用这个值去非常近似的去代替真实的最优解，体现了原始对偶内点法的迭代。
fenchel对偶定理 Fenchel对偶理论是数学中的一种重要理论，它是非线性优化和凸分析领域中的基本理论之一。Fenchel对偶理论为描述凸优化问题和非凸问题提供了一种理论框架，可以将非凸问题转化为等效的凸问题，并且为解决这些问题提供了一种有效的数值方法。 在数学中，Fenchel对偶理论是指将一个凸优化问题转化为其对应的对偶问题的方法。这个过程可以通过寻找一个共轭函数来实现。共轭函数是一个实值函数，它表示原函数在某个点的切线的斜率。共轭函数是可以完全由原函数确定的，而且具有很好的凸性质。Fenchel对偶定理是基于这个共轭函数的概念而得出的一组定理。 Fenchel对偶定理的基本思想是，定义原凸优化问题的拉格朗日函数，然后通过找到这个函数的共轭函数，将原问题转化为对偶问题。对偶问题的解可以帮助我们理解原问题的解，并提供一种有效的优化方法。 Fenchel对偶定理包含以下几个基本定理： 1. Fenchel对偶定理。如果原问题是凸的，其拉格朗日对偶问题也是凸的，并且二者的最优解是相等的。 2. 定义投影算子。对于一个凸集合，如果存在一个投影算子能够将点映射到该凸集里面，并保持点到集合的距离不变，那么这个算子是唯一的，并且是凹的。
3. 闭合定理。对于一个凸集合，如果其闭包也是凸的，那么对于任意一个点，都存在一个最近的点投影到集合上。 4. 拉格朗日对偶函数的凸性。如果原问题是凸的，其拉格朗日对偶函数也是凸的，并且在某些情况下可以减少计算量。 5. 序列定理。定义一个序列，如果其满足一定的条件，那么这个序列必定在某个子序列上收敛到极值，并且这个极值满足李雅普诺夫条件。 总的来说，Fenchel对偶定理具有以下的优点： 1. 可以将非凸问题转化为等价的凸问题，这使得问题的求解可以通过凸优化算法来实现。 2. 对偶问题的解有助于我们理解原问题的解。 3. 对偶问题的解可以提供一种有效的优化方法。 4. Fenchel对偶定理提供了一种通用的方法，适用于各种不同类型的优化问题。 综上所述，Fenchel对偶定理是凸优化领域中的重要理论，它为解决凸优化问题提供了有效的数值方法，并且可以将非凸问题转化为等价的凸问题。Fenchel对偶定理是非线性优化和凸分析领域的基本理论之一，对于解决工程、经济、物理和计算机科学等领域中的多种优化问题都具有重要意义。
第八章 约束优化最优性条件 §8.1 约束优化问题 一、 问题基本形式 min ()f x 1()0 1,,.. ()0 ,,i e i e c x i m s t c x i m m +==??≥=? （8.1） 特别地，当()f x 为二次函数，而约束是线性约束时，称为二次规划。 记 {}1()0 (1, , );() 0 ,,i e i e X x c x i m c x i m m +===≥= ，称之为可行域（约束域） 。 {}1,,e E m = ，{}1,,e I m m += ，{}()()0 i I x i c x i I ==∈ 称()E I x 是在x X ∈处的积极约束的指标集。积极约束也称有效约束，起作用约束或紧约束（active constraints or binding constraints ）。 应该指出的是，如果x *是（1）的局部最优解，且有某个0i I ∈，使得 0()0i c x * > 则将此约束去掉，x *仍是余下问题的局部最优解。 事实上，若x *不是去掉此约束后所得问题的局部极小点，则意味着0δ?>，存在x δ，使得 x x δδ* -<，且()()f x f x δ* <，这里x δ满足新问题的全部约束。注意到当δ充分小时，由0() i c x 的连续性，必有0 ()0i c x δ≥，由此知x δ是原问题的可行解，但()()f x f x δ*<，这与x * 是局部极小 点矛盾。 因此如果有某种方式，可以知道在最优解x *处的积极约束指标集()()A x E I x * *= ，则问题可转化为等式的约束问题： min ()f x .. ()0i s t c x = ()i A x * ∈ （8.2） 一般地，这个问题较原问题（8.1）要简单，但遗憾的是，我们无法预先知道()A x * 。
Fenchel对偶定理 引言 Fenchel对偶定理是数学中一个重要的理论，它在凸分析和凸优化等领域具有广泛的应用。该定理由德国数学家Werner Fenchel在20世纪40年代提出，为我们提供了一种将凸函数的对偶问题转化为原始问题的方法。本文将介绍Fenchel对偶定理的基本概念、证明过程以及应用。 Fenchel对偶定理的基本概念 凸函数 在介绍Fenchel对偶定理之前，我们首先需要了解什么是凸函数。凸函数是指定义在实数集上的一个函数，其图像位于其任意两个点之间区域上方。具体地说，一个函数f(x)被称为凸函数，如果对于任意两个实数x1和x2以及0 <= t <= 1，以下不等式成立： f(t*x1 + (1-t)*x2) <= t*f(x1) + (1-t)*f(x2) 其中t表示权重。 对偶问题 对于一个给定的原始问题（也称为原始优化问题），我们可以通过构造一个与之相关的对偶问题来求解原始问题。这个与原始问题有着特定关系的问题被称为对偶问题。通常情况下，对偶问题的求解比原始问题更加容易。 Fenchel对偶定理的表述 Fenchel对偶定理描述了凸函数的对偶问题与原始问题之间的关系。具体地说，设f(x)是一个凸函数，其定义域为实数集，那么其对偶函数f*(y)定义为： f*(y) = sup(x∈dom(f)) { y*x - f(x) } 其中sup表示上确界，dom(f)表示函数f的定义域。
Fenchel对偶定理可以表述为：若f(x)是一个凸函数，则其对偶函数f*(y)也是一 个凸函数，并且有以下关系成立： f**(x) = f(x) 其中f**表示f*的对偶函数。 Fenchel对偶定理的证明过程 Fenchel对偶定理的证明过程相当复杂，在此我们只给出一个简要概述。 首先，我们需要证明f*(y)是一个凸函数。为此，我们需要证明它满足凸函数的定义。具体来说，我们需要证明对于任意两个实数y1和y2以及0 <= t <= 1，以下 不等式成立： f*(t*y1 + (1-t)*y2) <= t*f*(y1) + (1-t)*f*(y2) 然后，我们使用分离超平面定理来证明上述不等式。该定理指出，如果存在一个超平面将两个凸集分开，那么这两个凸集的上确界和下确界也可以通过这个超平面进行分离。 通过应用分离超平面定理，我们可以得到f(t y1 + (1-t)y2) <= t f(y1) + (1- t)f(y2)的不等式成立。因此，f(y)是一个凸函数。 接下来，我们需要证明f**(x) = f(x)。为此，我们需要证明对于任意的实数x， 以下不等式成立： f**(x) >= f(x) 然后，我们使用定义证明了上述不等式的反向不等式也成立。 综上所述，Fenchel对偶定理得证。 Fenchel对偶定理的应用 Fenchel对偶定理在凸优化和相关领域中具有广泛的应用。它为求解各种凸优化问 题提供了一个简单而有效的方法。 一种常见的应用是在线性规划问题中。在线性规划中，我们需要最小化一个线性目标函数，并且满足一组线性约束条件。通过使用Fenchel对偶定理，我们可以将原始线性规划问题转化为其对偶问题，并通过求解对偶问题来获得原始问题的最优解。 另一个应用是在图像处理中的总变差正则化问题。总变差正则化是一种常用于图像去噪和图像恢复的方法。通过使用Fenchel对偶定理，我们可以将总变差正则化问题转化为其对偶问题，并通过求解对偶问题来获得原始问题的最优解。
基于加权总广义变差的Mumford-Shah模型 张文娟;冯象初;王旭东 【期刊名称】《自动化学报》 【年(卷),期】2012(038)012 【摘要】给出了加权总广义变差(Total generalized variation,TGV)的定义.利用图像的2阶加权TGV半范作为正则项,利用水平集函数的2阶加权TGV半范近似边界长度,提出了基于加权TGV的Mumford-Shah模型.对未知函数分别利用交替Split-Bregman方法、Fenchel对偶方法及FISTA (Fast iterative shrinkage-thresholding algorithm)给出数值计算模型.仿真实验结果表明,利用图像的2阶加权TGV半范的去噪效果优于常用的梯度模2范数和加权TV (Total variation)半范正则化；利用水平集函数的2阶加权TGV半范近似边界长度的边缘检测效果优于传统的TV半范和加权TV半范约束.%The weighted total generalized variation (TGV) is defined and the Mumford-Shah model based on weighted TGV is proposed, in which the second-order weighted TGV semi-norm of images is used as the regularization term. Besides, the second-order weighted TGV semi-norm of the level set function is used for approximating the length of boundary. A numerical calculation model is presented for solving the unknown functions by using the alternating Split-Bregman method, Fenchel dual method, and FISTA (fast iterative shrinkage-thresholding algorithm), separately. Simulation results show that the second-order weighted TGV semi-norm of images has better denoising effect than the common L2 norm of gradient norm and the weighted TV semi-norm. And
关于配分函数的物理意义 配分函数是热平衡系统的矩母函数，携带了该系统的全部信息。它本身不是可测量，只有配分函数的对数和配分函数的对数对某些物理量的导数才有物理意义。 一个系综的配分函数实际上就是矩母函数。 利用等权假设给定概率测度为均匀分布，i.e. P(dω)=dω|Λn| 以无相互作用系统为例，取随机变量为总能量 Hn:Ω→[0,+∞)ω↦∑i=1nϵ(ωi) 则有 P(Hn∈du)=∫{ω|Hn(ω)∈[u+du)}P(dω) 因此，正则配分函数 Zn(β)=∫0+∞g(u)e−βudu|Λu|=∫0+∞e−βuP(Hn∈du)=∫0+∞e−βu∫{ω|Hn(ω)∈[u+du)}P(dω)=∫Λne−βHn(ω)P(dω)=MHn(−β) 也就是矩母函数在−β处的值。矩母函数有什么好处概率论里都有啦，统计物理里可以拿它来生成各种热力学量和求能量的均值、方差。 比如⟨u⟨=−∂ln⟨Zn(β)∂β=−n∂1nln⟨Zn(β)∂β，i.e. 但粒子能量的样本均值⟨un⟨=−∂1nln⟨Zn(β)∂β
定义单粒子配分函数的对数为ϕ(β)=−limn→+∞1nln⟨Zn(β) ，上面的式子令 n→+∞，⟨u⟨=∂ϕ(β)∂β 其Lengendre-Fenchel变换为 s(u)=infβ(βu−ϕ(β))，因此 s(u)=βu−ϕ(β) ，β满足 u=∂ϕ(β)∂β，从ϕ(β) 的定义，结合统计物理里的结论可以知道，自由能 F=ϕ(β)β，根据单粒子能量均值的表达式，记宏观能量为 E ，有 F=E−Sβ，所以，通过Lengendre-Fenchel变换得到的 s(u) 是熵函数，如果熵函数是严格凹函数，Lengendre-Fenchel变换可逆，有Legendre对偶，因此，微正则系综和正则系综是等价的。可以通过渐进性证明能量的样本均值依概率收敛到平均能量 limn→+∞P(hn ∈du)=1 ，并且平均能量 u=arg⟨maxus(u) 其他广义系综同理，在构造概率测度的时候变一下形式就可以
fenchel对偶定理 费马对偶定理（Fermat's Last Theorem）是一条数论定理，是 由17世纪法国数学家费尔马（Pierre de Fermat）在1637年提 出的，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。费马 对偶定理在数学界引起了很大的轰动，因为它涉及到整数解的问题，在数论中扮演着非常重要的角色。 费马对偶定理可以表述为：当n大于2时，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。 费马最初提出这个定理的时候，并没有给出证明，只是说自己找到了"简洁而漂亮的证明"。这一定理在当时成为了一项数学 难题，被世人热议和争论了数百年之久。直到怀尔斯的证明出现，费马对偶定理的谜团才得以解开。 怀尔斯的证明运用了20世纪代数几何的方法，研究了椭圆曲 线上的有理点。他证明了当n大于等于3时，方程x^n + y^n = z^n在有理数域上没有非平凡解，从而完美地证明了费马对偶 定理。怀尔斯的证明之所以被广泛接受，是因为他使用了当时最前沿的数学工具和方法，并且逻辑十分严密。 费马对偶定理的证明不仅令人印象深刻，而且对数学研究产生了重要影响。证明过程中引入的代数几何方法，推动了代数几何理论的发展。同时，这个定理也启发了其他数学家对于数学问题的思考。例如，在证明费马对偶定理的过程中，怀尔斯使用了模形式的概念，这也激发了其他数学家研究模形式的兴趣，推动了数论中模形式和椭圆曲线的研究。
费马对偶定理的证明为数学界赢得了诺贝尔级的奖项，这一成果也体现了数学是一门既具有纯理论性又具有实际应用性的科学。费马对偶定理的证明不仅仅是一项科学成果，更是人类智慧的结晶和对数学美的追求。 总结来说，费马对偶定理是一条重要的数论定理，它的证明经历了几百年的等待和探索，在20世纪通过怀尔斯的努力才最终得以解决。这个定理引发了数学界的广泛讨论和研究，推动了代数几何和模形式的发展。费马对偶定理的证明是数学研究的重大成果，也展示了数学的魅力和无限可能性。
运用TGV正则化分解模型实现天文图像去噪 张文娟;王艳红 【摘要】通过对天文图像进行分解达到去噪的目的,针对图像分解模型中常用的总变差(Total Variation,TV)半范假设图像由分片常数区域构成这一局限性,提出了基于2阶总广义变差(Total Generalized Variation,TGV)半范正则化的图像分解方法.假设图像的主体部分在有界总变差(Bounded Generalized Variation,BGV)空间中,振荡部分在G空间中,建立图像分解极小化模型,使得分解后的各部分之和逼近原始图像的同时,主体部分满足一定的光滑性要求.运用快速迭代压缩-阈值算法(Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm,FIS-TA)迭代算法及Chambolle 投影算法对模型求解,收敛速度快,耗时小.数值实验表明,与TV正则化方法相比,利用本文方法能更好地去除太阳射电动态频谱图中的噪声,从而更准确地将纤维精细结构提取出来.%Denoising is achieved through decomposing the original astronomical image. The common TV semi-norm has the shortcoming that an image is composed of piecewise constant areas. A new image decomposition method based on TGV semi-norm regularization is proposed in this paper. Based on the assumption that cartoon and oscillation belong to BGV space and G space respectively, the minimized model for decomposing image is established. The sum of the two decomposed parts approximates the original image, at the same time the cartoon meets a certain smooth requirement. The minimizer of the model is found out by using FISTA algorithm and Chambolle projection algorithm, which has a fast convergence speed and takes less time. Numerical experiment shows, that compared to the TV regularization method, the
设X 使实局部凸拓扑向量空间，*X 是X 的对偶空间.取X x ∈和**X x ∈，我们记x x *,是 *x 在x 这点的值，也就是，()x x x x *:*,=。让Z 包含于X 。用符号（resp.，cl Z ，co Z 和cone Z ）分别表示集合Z 的（resp.，闭包，凸包和凸锥包）。对偶*X 被弱拓扑赋予。因此，如果*X W ⊆，则cl W 表示为集合W 的弱闭包。按照惯例，当Z 是空集时，cone Z ={0}。 我们可以定义正极化锥⊕Z 和负极化锥ΘZ ，例如： {}Z z z x X x Z ∈∀≥∈=⊕,0*,:**: {}Z z z x X x Z ∈∀≤∈=Θ,0*,:**: 根据[5]，我们用()T R 表示含有有限多个真正元()0,≠=∈t T t t λλλ的空间，并让()T R +表示()T R 中的半锥，也就是， ()()(){ }T t R R t T T t t T ∈∀≥∈=∈+,0::λλ 非空正则集Z 上的示性函数Z δ和承托函数Z σ可以定义为 ()⎩ ⎨⎧∞+∈=其余Z x x Z ,0:δ ()X x x x x Z x Z ∈∀=∈**sup :*，，σ f 为定义在集合X 上的本征函数。 分别用dom f ，*f ，和epi f 表示f 的定义域，共轭函数，上图，则他们分别为： (){},::dom +∞<∈=x f X x f (){}**,:*,sup :*X x X x x f x x f ∈∀∈-= ()(){}.:,:epi r x f R X r x f ≤⨯∈= 于是有Young-Fenchel 不等式成立： ()()().**,*,**X X x x x x x f x f ⨯∈∀≥+
基于混合全变分模型的图像去模糊算法 肖宿 【摘要】针对全变分图像去模糊模型的局限性,将各向同性全变分模型和各向异性全变分模型相结合,提出一种图像去模糊混合全变分模型.为求解该模型,利用变量分裂方法对其处理,得到一个等价的最小化问题.在交替最小化作用下,变量分裂后生成的图像去模糊问题被分解为最小化子问题组.借助快速傅里叶变换和软阈值函数等,子问题可高效获得其精确解.在迭代过程中,通过逐个求解每个子问题,可获得图像去模糊问题的解.实验对高斯型模糊噪声图像进行复原,复原结果验证本文提出算法的有效性.与基于全变分模型的图像去模糊算法相比,可获得更优的复原结果,处理速度更快. 【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2018(039)004 【总页数】6页(P57-62) 【关键词】图像去模糊;交替最小化;变量分裂;软阈值函数 【作者】肖宿 【作者单位】淮北师范大学计算机科学与技术学院,安徽淮北 235000 【正文语种】中文 【中图分类】TP311 0 引言
回顾过去二十年，全变分（TV，total varaition）模型无疑是图像复原领域最成功的模型之一.该模型最早由Rudin等［1］提出并应于图像降噪，随后又将其应用 于图像去模糊（deblurring）问题的处理.TV模型的成功在于它利用图像的分段连续性，即图像通常由不连续的平滑区域和平滑区域之间的边缘构成，因此至今仍有许多图像去模糊算法采用该模型以复原高质量的清晰图像.标准的图像去模糊TV模型有两种形式：一种是Rudin等的各向同性（isotropic）TV模型，另一种是衍生自前者的各向异性（anisotropic）TV模型［2］.虽然TV模型形式并不复杂，但 由于它的代价函数（cost function）是非光滑且不可微的，早期研究一直受其数 值解的困扰.近年来，变量分裂（variable splitting）类方法的采用提高TV模型求解效率，出现一些代表性图像去模糊算法.Wang等［3］将半二次（half-quadratic）分裂方法用于求解TV模型，在处理图像去模糊问题时，所提出的算 法比经典的滞后扩散（lagged diffusivity）算法速度有明显提升.为简化TV模型 的处理，NG等［4］首先将其变换为等价的约束问题，然后用交替方向法（alternating direction method）求解得到约束TV模型，并在求解过程中采用连续法［5］自适应调整全变分模型的惩罚参数，以加快图像去模糊过程的收敛速度.与之类似的还有张峥嵘等［6］提出的算法，不过该算法直接处理图像去模糊的TV模型，且模型参数的选取方式是非自适应的.为提高交替方向法速度，Goldstein等［7］在其中加入预估-校正步骤，并将新提出的方法用于解决TV图像去模糊问题.在对快速收缩/阈值法［8］进行恒定步长扩展的基础上，Zuo等［9］提出广义加速近端梯度法以解决TV图像去模糊问题，经验证该方法比其原型具有更快的收敛速度.为避免快速收缩/阈值法处理TV模型时产生内部迭代从而加快处 理速度，Kamilov等［10］将该方法采用的精确TV近邻算子（proximal operator）替换为具有闭合解的近似近邻算子.王静等［11］采用分裂Bregman 方法处理TV图像去模糊的问题，将其转化为一组等价的简单子问题求解，所提算
凹凸性的定义 数学中的几何概念是很重要的，其中凹凸性是很多数学领域中 的一个重要概念。凹凸性不仅在数学分析、计算机科学、经济学 等领域中有重要的应用，也能够帮助我们更好地理解很多日常生 活中的现象。在不同的领域，凹凸性也有不同的定义。本文将主 要介绍在欧几里得空间和拓扑空间中的凹凸性概念及其一些重要 性质。 欧几里得空间中的凸性 在欧几里得空间中，凸性（Convexity）是最基本的凹凸性概念。一个集合S如果满足对于S中的任意两点x和y，线段[x,y]都在S 中，那么S就是一个凸集。此外，如果一个凸集S中任意两点之 间的线段上的点都在S中，那么S就是一个严格凸集。 对于任意一个凸集S，我们可以定义它的边界：$ \partial S = \overline{S} \cap \overline{\mathbb{R}^n \backslash S} $，其中 $\overline{S}$表示S的闭包，$\overline{\mathbb{R}^n \backslash S}$表示$\mathbb{R}^n \backslash S$的闭包。如果一个凸集S的边 界是非空的，那么我们称S为有界凸集。
实际上，一个凸集的边界就是它包含所有支撑超平面的点的集合。一个支撑超平面是一个超平面，它可以将集合S分成两个部分，其中一个包含S，一个不包含S。因此，一个有界凸集的边界就是它支撑超平面的交。 欧几里得空间中的凹性和凸性密切关联。如果一个集合S不是凸的，那么它就是凹的。一个集合S是凹的，如果对于任意两个 在S中的点，线段连接这两个点的所有点都在S中。 拓扑空间中的凸性 在拓扑空间中，凹凸性的定义与欧几里得空间中的定义稍有不同。我们仍然可以定义一个集合S的边界为$\partial S = \overline{S} - S^\circ$，其中$S^\circ$表示S的内部。 然而，在拓扑空间中，凸性的定义需要用到更广泛的概念。我们需要先定义凸结。一个集合S是凸的，如果对于任意两个点x 和y，都存在一个凸结T，使得x和y都在T中。其中，凸结T是一个集合，它满足以下条件：
泛函分析 Functional Analysis一、课程基本情况 课程类别：专业方向课课程学分：3学分 课程总学时：48学时，其中讲课：48学时（含习题课），不含课外辅导学时课程性质：选修开课学期：第6学期先修课程：高等代数、数学分析、常微分方程、复变函数、实变函数等 适用专业：数学与应用数学等教材：拉克斯《泛函分析（中文版）》，人民邮电出版社，2010年，讲授第1、2、5章Brezis《泛函分析一理论和应用》（叶东、周风译），清华大学出版社,2009年, 讲授第『5章 开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务 课程性质：《泛函分析》是数学类专业的后续课程，是现代数学中的的主要数学分支之一，它综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法，来研究无穷维空间上的函数及其算子，在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题，解决分析学自身的疑难问题以及产生于现代数学、现代物理、现代工程技术等领域中的学术问题。 教学目标与教学任务：我们的目标侧重于泛函分析中相关知识的应用，为学生将来掌握现代偏微分方程服务。为此，教学任务是使学生掌握度量空间、Banach空间、Hilbert空间以及定义在这些空间上的线性泛函和线性算子的基本性质，引导学生形成正确的抽象空间概念。 主要内容、重点：线性空间、商空间*、线性映射及其指标、赋范线性空间*、HahrvBanach 定理及共轨凸函数理论*、Banach.Steinhuas定理*、闭图像定理*、正交关系、无界算子、共规算子、满射算子的刻画*、弱拓扑*、自反空间*、可分空间、一致凸空间、I7空间*和Hilbert 空间*。 注：重点用右上标星号标出三、教学内容和要求 第一章线性空间与商空间（4学时） （1）了解：线性空间定义基本性质，及各种典型例子如常见的函数空间C[a,b]等； （2）理解：线性空间的直和、线性子空间、线性张、线性映射、凸性、凸集、极值点；（3）掌握：商空间的定义、等价类定义、商空间的维数/余维数/基，商空间的典型例子； 重点：商空间的维数/基、线性张、凸性、凸集 难点：商空间的维数/基/典型例子第二章线性映射（4学时） 2.1线性映射生成的代数（2学时） （1）了解：线性映射满足的结合律、分配律，可逆性，零空间、值域、基零空间； （2）理解：线性映射的不变子空间、商映射的零空间；
复合优化问题的 Farkas 引理和 Lagrange 强对偶 龚鑫;方东辉 【摘要】在函数不具有连续性的情况下，利用共轭函数的上图性质，引进新的约束规范条件，等价刻画了复合优化问题与其对偶问题之间的强对偶、稳定强对偶及Farkas引理等，并将相关结论应用于复合锥规划的研究之中。%Under the assumption that the functions are not necessarily continuous ,by using the epigraph technique of conjugated functions ,we introduce some new constraint qualifications ,which completely characterize the Farkas lemma ,the strong duality and the stable strong duality between the composite problem and its dual problem .Applications to the composite conical optimization problem are also given . 【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2015(000)006 【总页数】6页(P8-13) 【关键词】复合优化;强对偶;Farkas引理;复合锥优化 【作者】龚鑫;方东辉 【作者单位】吉首大学数学与统计学院，湖南吉首416000;吉首大学数学与统计学院，湖南吉首416000 【正文语种】中文 【中图分类】O224