基本不等式及其应用
2011.11.15
高考命题趋势：
基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。考察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。
教学目标
1． 知识与技能
理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。
2． 过程与方法
通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。
3． 情感态度与价值观
鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
重点：运用基本不等式求最值
难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件
教学过程：
一、 要点梳理
1、基本不等式
若a 、b ∈R,则a 2+b 2≥2ab,当且仅当a=b 时取“=”
若a 、b ∈R +,,则ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时取“=”
2、常用变形形式：
① ()0,02
222≥≥+≤+≤b a b a b a ab ④ ② 22222b a b a ab +≤???? ??+≤ ⑤ ③ 同号）、b a a b
b a (2≥+
3、求最大值、最小值问题
（1）如果x 、y ∈(0,+∞),且xy=p （定值），那么当x=y 时，x+y 有 。
（2）如果x 、y ∈(0,+∞),且x+y=s （定值），那么当x=y 时，xy 有 。
概括为：“一正，二定，三相等”
ab b a 222≥+21≥+x
x
二、 例题精讲
例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围。
例2、已知x>0、y>0,且191=+y
x ，求x+y 的最小值。 变式训练：设x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值
例3、已知a>0,求函数a x a x y +++=
221的最小值。 练习:设x>-1求函数()()125+++=
x x x y 的最值。 三、基础巩固
1、函数f(x)=x+42
1--x (x>2),则f(x)有( ) A.最大值0 B.最小值0 C. 最大值-2 D. 最小值-2
2、下列各式中最小值是2的是（ ） A.x y y x + B.4
522++x x C.tan θ+cot θ D.x x -+22 3、已知2a 为1-b 、1+b 的等比中项，则ab 的最大值是 ； a+2
b 的最大值是 。 四、[考题印证]
(1)[2010·安徽卷]
若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号
①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.
(2)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2，
ab ＋bc ＋ca 、13的大小关系是________．
（3）(2010·山东高考)若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
五、小结
1、基本不等式及其常见变形形式；
2、利用基本不等式的放缩作用求函数的最值，要特别注意使用的条件。
六、作业
活页练习P242
(基本不等式)公开课 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
基本不等式: 2 a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：2 a b +≤的证明过程。 难点：2 a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民
热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22 a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：22 2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有22 2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22 ,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(2 2ab b a ≥+ 4．12a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， (a>0,b>0)2a b ab +≤ 22a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤ 的几何意义
基本不等式 2a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2 a b +≤的证明过程。 难点：2a b +≤等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的 面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(22ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 22a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过 点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本 2a b ab +≤的几何解释吗？
2.2基本不等式 教材分析： “基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质. 教学目标 【知识与技能】 1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】 通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重难点 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】 1.基本不等式等号成立条件； 2.利用基本不等式求最大值、最小值. 教学过程 1.课题导入 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 一般地，，有 a2+b2≥2ab， 当且仅当a=b时，等号成立 特别地，如果a>0，b>0，我们用,分别代替上式中的a，b，可得
① 当且仅当a=b时，等号成立. 通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 思考:上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 2.讲授新课 1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式 特别的，如果a＞0,b＞0,我们用分别代替a、b，可得， 通常我们把上式写作： 2）从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明： 要 证 （1） 只要证a+b ≥（2） 要证（2），只要证a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证（- ）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过
《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。
基本不等式 2 a b + 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤ 的证明过程。 难点：2a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程
1.课题导入 2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和 是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为222)(2b a ab b a -=-+
一元一次不等式组教案公开课教案修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
§9.3一元一次不等式组 肖慧 教学目标 知识与技能： 1、了解一元一次不等式组及其解集的概念。 2、会利用数轴求不等式组的解集。 过程与方法： 1、培养学生分析实际问题，抽象出数学关系的能力。 2、培养学生初步数学建模的能力。 情感态度价值观： 加深学生对数形结合的作用的理解，让学生体会数学解题的直观性和简洁性的数学美。感受探索的乐趣和成功的体验，使学生养成独立思考的好习惯。 教学重难点 重点：不等式组的解法及其步骤。 难点：确定两个不等式解集的公共部分。 教法与学法分析
教法：启发式、讨论式和讲练结合的教学方法。 学法：实践、比较、探究的学习方式。 教学课型 新授课 教学用具 多媒体课件 教学过程 一、复习引入 一元一次不等式的解法我们已经全部讲完，现在复习一下前面的内容。 1、不等式的三个基本性质是什么？ 2、一元一次不等式的解法是怎样的？ 3、情境引入：这个星期的星期天是我母亲的生日,肖老师想买一束康乃馨送给妈妈. 要求：这束花不低于20元，又少于40元 如果你是花店售货员,你会拿什么价格的康乃馨给我选择呢 二、讲授新知 探究新知：
题中一共有两种数量关系，讲解时应注意引导学生自主探究发现。 题中的x 应同时满足两个不等式，从而引出一元一次不等式组的概念：把两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组。 同时满足两个不等式的未知数，既是两个不等式解集的公共部分，要找出公共部分，就要利用数轴，在此要引导学生重视数轴的作用，并指导学生在数轴如何观察数轴上对应解集的范围。 记着20≤X<40（引导发现，此就是不等式组的解集。） 不等式解集的概念：不等式组中的几个不等式解集的公共部分。由此，教师可以引导学生自己总结出解一元一次不等式组的一般步骤。学生回答后教师总结步骤：分别求出每个不等式的解集；找出它们的公共部分。 三、例题讲解 教师提出问题，有了上面的铺垫，我们来完整的解一元一次不等式组。 例1解不等式组 （1）312128 x x x ->+??>?
“ 2 a b +≤ ”教学设计 一． 教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A 版）第三章第4节第一课时，主要 2a b +≤ 的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从 2a b +≤2 a b +≤的应用，而且在基本不等式 2 a b +≤的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时 在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养． 二．学情分析 学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的． 三．目标分析 教学目标： 1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用． 3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦． 教学重难点： 2 a b +≤的证明过程． 2 a b +≤ 等号成立条件． 四．教学策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点． 教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合
基本不等式 :ab a b 2 授课人 : 祁玉瑞授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab a b 的证明过程。2 难点：基本不等式ab a b 等号成立条件。2 三、教学过程
1. 课题导入 ab a b 基本不等式 2 的几何背景： 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个 图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2. 讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a 2 b 2 。这样，4 个直角三角形的面积的和 是 2ab ，正方形的面积为 a 2 b 2 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式： a 2 b 2 2ab 。 当直角三角形变为等腰直角三角形， 即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有 a 2 b 2 2ab 。 2．得到结论：一般的，如果 a b R, 那么 a 2 b 2 ab 当且仅当 a b 时 取 " " 号 ) , 2 ( 3．思考证明：你能给出它的证明吗？
《3.4基本不等式》教学设计
1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性. 四、教学重点与难点： 1、教学重点：基本不等式的推导及其简单应用 2、教学难点：分析法证明基本不等式思路的获得和应用基本不等式求最值. 五、教学策略分析： 1、由情景1和情景2引入课题，可明确本堂的主要内容，使学生学习目标明确，进而激发学生的学习兴趣； 2、精心设置“问题串”，由简到难，由感性到理性，一步步引导学生自主探究，小组讨论推导基本不等式，让学生感受知识发生发展深化的过程，也体现学生为主体，老师为主导的教学理念； 3、为突破分析法证明基本不等式思路的获得这一教学难点，采用先学生小组讨论，再师生共同完成的策略； 4、为突破应用基本不等式求最值这一难点，先由例题归纳应用基本不等式求最值的要点，然后趁热打铁设置两个练习，由简到难，由浅入深，采用学生板演，抢答和小组讨论等方式，及时发现问题，及时纠错，让“一正二定三相等”深入人心； 5、对于转化为函数进而用函数的图像和性质求最值的问题，教师只作适当提示，不作为重点； 6、课堂小结重视知识间的联系和研究问题的方法，并强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用。
基本不等式 2 a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2 a b +的证明过程。 难点：2 a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22 a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：22 2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有22 2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22 ,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(2 2ab b a ≥+ 4．12a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， (a>0,b>0)2a b ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤ 的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本 2a b ab +≤ 的几何解释吗？
《基本不等式》教学设计 一．教学内容解析 基本不等式是选自人教A版数学必修5第三章第4节第1课时，是在学习了“不等关系与不等式”，“一元二次不等式及其解法”和“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究，是不等式的延续与拓展，为后面选修中不等式的学习打下了坚实的基础，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。 本节课内容属于概念性知识，课程标准对它的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。因此，根据以上课标和学生实际我确定本节课的教学重点是：探索基本不等式的形成与正明，会利用基本不等式求解简单的最值问题。在本节课中，学生通过观察，试验等方法抽象概括，归纳出基本不等式，其中渗透了数形结合的思想。 二．教学目标设置 本章的课程目标是：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，也是数学本质的体现。根据本节课内容特点和以上分析，我确定了以下教学目标： 知识与技能目标： 了解基本不等式的几何背景和证明方法，理解基本不等式的几何意义，会利用基本不等式求解简单的最大（小）值问题； 过程与方法目标： 了解基本不等式的形成与证明过程，初步认识分析法证明问题的思路，体会利用基本不等式求解最值的方法； 情感态度与价值观目标： 通过实际背景抽象推导出基本不等式，又利用它解决实际生活中的问题，体现了数学来源于生活，又应用于生活；同时培养学生分析问题，解决问题的能力，充分激发学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神。 基本不等式可以与函数，三角函数，数列等知识相结合，在求解取值范围和最值等问题时有着广泛的应用，时培养学生思维品质的重要途径。
基本不等式教案 一、教学目标： 1、知识与技能： ①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件； ②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。 2、过程与方法： 本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。 3、情感与价值： 培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。 二、教学重点和难点： 重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 2 a b +≤的多种解释； 难点：理解“当且仅当a b =时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。 三、学法与教学用具：
先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。 四、教学设想： 1、几何操作，引入问题： 给出如右的所示的几何图形，AB 是O 的直 径，点C 是AB 上任意一点，过点C 作垂直于AB 的 弦交O 于DD '，连结AD 、BD ，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗? 提问一：现在我们不妨假设2AC a =，2BC b =，那么CD 的长度是多少？、 由AB 为直径可知ABD ?是直角三角形，再根据DC AB ⊥，容易证得ACD ?∽DCB ?，即得CD ab =； 提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？ 任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。 提问三：结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，若可以，等号成立的条件是什么？ 首先由垂径定理可知，12 CD DD '=，因此有2DD ab '=，即为O 的一条弦长，而22a b +表示的是O 直径的长度，根据上一问的结论可以得知有不等式222a b ab +≥，两边同时除以2，不等式可以表示为：
楠杆中学数学教研活动 活动课题：不等式的基本性质 活动时间：2014年12月17日 活动地点：校多媒体教室 活动班级：八年级（5）班 主讲人：周刚
《4.2 不等式的基本性质》教学设计 楠杆中学周刚教学目标： 知识与技能： 掌握不等式的三条基本性质，理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别。 过程与方法： 经历通过类比、猜测、验证，在积极参与探索、发现不等式基本性质的过程中，体会不等式的三条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力。 情感态度价值观： 1、通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力； 2、通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神。 3、通过实验探究活动，体会探索过程中所应用的归纳和类比思想方法。 教学重点：理解并掌握不等式的三大基本性质。 教学难点：熟练应用运用不等式的三大基本性质。 教学方法：探究式教学法 学习方法：自主探究合作交流 教学过程： 一、精导引标
1、故事：《童言无忌》 三岁的小凯幼儿园回家开始缠着他的爸爸说：“爸爸，你比我大多少岁啊？”爸爸放下手中的报纸笑眯眯的答道：“我比可爱的小凯大25岁呀，怎么了？”小凯高兴地跑开道：“再过25年我就和爸爸一样大了”。留下错愕的爸爸沉浸在“百感交集”中…… 【设计理念】趣味引入，探寻学生解释小孩疑问的方法，期待新课后的数学解释，展示学生学以致用能力。 2、复习回顾 （1）什么叫做不等式？ （2）等式的基本性质是什么？ 二、精讲达标 不等式是否有和等式类似的性质呢？为了研究不等式的性质，我们现在先从一些数字的运算开始。 1、用“＜”或“＞”完成下列两组填空。 ①5＞3 5+2 3+2 5+(-2) 3+(-2) 5+0 3+0 5+x 3+x ②-1＜3 -1+2 3+2 -1+(-3) 3+(-3) -1+0 3+0 -1+x 3+x 提问：从以上的练习中，你发现了什么？ 请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流。 让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出： 不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），
必修5：3.4.1基本不等式教学设计 牟定一中段存富 知识网络 学习要求 1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程,会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义,并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等. 【课堂互动】 自学评价 １．算术平均数： 见书 ２．几何平均数 见书 ３． 设a ≥0,b ≥0则2a b 与的关系为 ≥ ４．基本不等式的证明方法： 比较法 分析法，综合法．
【精典范例】 例1．.设a 、b 为正数,求证明：2a b ab 见书（共有三个方法）． 点评： １．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法 ２．本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b 时成立． ３．把不等式2a b ab (a ≥0,b ≥0)称为基本不等式 4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等 5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦． 例2.利用基本不等式证明下列不等式： (1) 已知a>0,求证a+1 2a (2).已知a,b,c ∈R,求证:a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac. (3).已知x,y,z 是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:(1111)(1)(1)8x y z 证明：因为题目简单，证略． 点评：1..基本不等式的变形公式： (1)2 22(,)a b ab a b R (2)2 2(,)2a b ab a b R
(3)2(,)a b ab a b R (4)2()(,)2a b ab a b R 2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式． ３．注意严格不等式的证明方法． 思维点拔： 1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法． ２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 a i ≥0(i=1,2,…,n),则 12n a a a n (n>1,n N) 追踪训练 １．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数． （１）２与８ 答案：５，４ （２）３与１２ 答案：７.５，6 （３）Ｐ与９Ｐ 答案：５p ，3p （４）２与２2p 答案：p 2+1，2p ２．已知a>1求证a+ 11a ≥3 略证． ３．已知a+b+c=1,求证a 2+b 2+c 2≥13
《不等式的基本性质》教学设计 教材分析 不等式的基本性质是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第二章第二节内容，本章主要是研究不等式和不等式组的解法；本节要求理解知识与技能目标：掌握不等式的基本性质。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。所以本节的重点是正确理解题意列出不等式。 不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，掌握不等式的基本性质。 教学目标 【知识与能力目标】 （1）知识与技能目标： ①掌握不等式的基本性质。 ②经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 【过程与方法目标】 ①能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。 ②进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。【情感态度价值观目标】 ①尊重学生的个体差异，关注学生的学习情感和自信心的建立。 ②关注学生对问题的实质性认识与理解。 教学重难点 【教学重点】 用不等关系解决实际问题。 【教学难点】 正确理解题意列出不等式。 课前准备
教师准备 课件、多媒体； 学生准备； 练习本； 教学过程 第一环节：情境导入，提出问题 活动内容：利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。问题1：怎样比才公平？ 活动目的：让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时，比较才是公平的，高的同学仍然高，矮的同学仍然矮，这是不可能改变的事实。 活动实际效果：学生对能自己参与的活动很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。 第二环节：活动探究，验证明确结论 活动内容： 参照教材与多媒体课件提出问题： （1） 还记得等式的基本性质吗？ （2） 等式的基本性质1用字母可以表示为： c b c a b a ±=±∴=, ，那么不 等式的基本性质1是什么？先猜一猜。 （3） 如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，结果会怎样？请举几例试一 试，并与同伴交流。 （4） 不等式的基本性质与等式的基本性质类似，对于等式的基本性质2，用字母可 以表示为：c b c a c b c a b a ÷=÷?=?∴=,, ，其中0≠c 。对应 的大家能不能归纳出不等式的基本性质2是什么呢？ （5） 例如：如果比高度的两个人不是同时增加或减少相同的高度，而是成倍的增加 （或缩小）自身的高度，结果又会怎样？ （6） 例如：商场A 种服装的标价高于B 种服装的标价，如果都打八折出售，那么还 是A 种服装价格高。通过这些例子，你发现了什么？能得到一个什么类似的结 论？
澜沧拉祜族自治县第一中学教案 课题：1.1.2基本不等式 一、教材分析：本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 二、教学目标： 1、知识与技能： （12 a b +≤ ,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法： （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度与价值观： （1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 三、教学重点： 应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式 2 a b +≤ 的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。 四、教学难点：2 a b +≤使用限制条件 2 a b +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用 五、教学准备 1、课时安排： 2课时
《“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思》
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“基本不等式 2 a b ab +≤ ”教学设计 一． 教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A 版）第三章第4节第一课时， 主要内容为基本不等式2a b ab +≤ 的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从利用基本不等式2a b ab +≤求最值这个侧面来体现基本不等式2 a b ab +≤的应用，而且 在基本不等式2 a b ab +≤的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内 容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养． 二．学情分析 学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的． 三．目标分析 教学目标： 1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用． 3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦． 教学重难点： 本节课教学重点是应用数形结合的数学思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2 a b ab +≤的证明过程． 教学难点是基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件． 四．教学策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．
第10课时 课题: §3.4基本不等式 2a b ab +≤ 备课教师：刘德清、龙新荣、郭晓芳、王焕刚、沈良宏 【教学目标】 1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．通过实例探究抽象基本不等式； 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤ 的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤ 等号成立条件 【教学过程】 一.课题导入 基本不等式 2a b ab +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系? 二.探究 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22 a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们 就得到了一个不等式： 222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有 222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 )""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+