第三章 插值方法与数据拟合
所讨论的问题给复杂的函数
()f x 找一简单的函数()p x 如多项式、三角函数
等，并让其满足一定的条件，让其近似的取代原函数
()f x 。
或 有一数据表格，我们需要找一函数取近似的表征该表数据。
§1 拉格朗日（L a g r a n g e ）插值
在函数类中多项式具有最简单的性质。
1230123()...n n p x a a x a x a x a x =+++++
设
()y f x =在区间[a ，b ]连续的实函数已知在该区间上n +1个不同点i x 的函
数值()1,2,...,i
i y f x i n ==
或 有数据表有1n +对数据 1,2,...,i i
x y i n →= 插值节点
我们需要找一个n 次多项式
1230123()...n n p x a a x a x a x a x =+++++
使得在这些点上函数值等于插值节点的值。
()i i y p x =
1、线性插值
已知两个点的函数值：0
011x y x y →→
做一线性函数使得在两个节点上函数值为节点值。
0011()
()y p x y p x ==
函数为：
0011
01
010110
()()()p x l x y l x y x x x x y y x x x x =+--=+-- 基函数()i l x 为一次函数，且在节点上 1()0j i
i j j i x x l x x x =??=?≠??
几何意义：过两点做直线。按x 变化量平均。
2、抛物线插值
已知三个点的函数值：0
01122x y x y x y →→→
做二次函数使得在三个节点上函数值为节点值。
001122()
()()y p x y p x y p x ===
函数为：
001122
0012
21012010210122021
()()()()p x l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x =++------=++------ 基函数()i l x 为二次函数，且在节点上 1()0j i i j j i x x l x x x =??=?≠??
3、拉格朗日插值
已知n +1个点的函数值：0
011,....,n n x y x y x y →→→
做n 次函数使得在n +1个节点上函数值为节点值。
0011()
(),...,()n n y p x y p x y p x ===
函数为：
001122()()()(),...,()n n p x l x y l x y l x y l x y =++++
基函数()i l x 为n 次函数，且在节点上 1()0j i
i j j i x x l x x x =??=?≠??
12
0102002110121...........
n n n n x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x ---=------+---+
01110111012021
...........
...i i n i i i i i i i i n n n n n n n x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x -+-+-------+-----+---+---
为了程序设计我们作如下推导：
011
0011
1
00
.....
.....n
n
j j j j j j
j n
n j j i n
j j i j
n j
j i
x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x ==≠-==≠--=++----+++--∏
∏
∏
∏
0n
n
j
i
i j i
j
j i
x x y x x
==≠-=-∑
∏
程序结构是什么样子？
D I M
E N S I O N X (N ),Y (N ) 读入节点数据 X =.....
T 1=0.0
D O 100 I =0,N T 2=1.0 D O 200 J =0,N
I F (J .E Q .I ) G O T O 200
T 2=T 2* j
i j
x x x x --
200 C O N T I N U E T 1=T 1+T 2*i y
100 C O N T I N U E W R I T E (*,*)X ,T 1 S T O P E N D
拉格朗日插值的唯一性 已知n +1个点的函数值：0011,....,n n x y x y x y →→→
做n 次函数
1230123()...n n p x a a x a x a x a x =+++++
使得在n +1个节点上函数值为节点值。
0011()
(),...,()n n y p x y p x y p x ===
即：
1230102030001230112131111230122232221230123...................n
n n n n n n
n n n n n n a a x a x a x a x y a a x a x a x a x y a a x a x a x a x y a a x a x a x a x y ?+++++=?+++++=??+++++=???
?+++++=?
求得系数0
123,,,,...,n a a a a a 则多项式确定
线性方程组，系数矩阵对应的行列式：
1
2
300
00
1
2
31
11112322
2212
31...1...1 0
.......1...n n
n n n
n
n n
x x x x x x x x x x x x x x x x ≠范德蒙（V a n d e r m o n d e ）行列式
所以方程有唯一解。所以多项式唯一。
§2、牛顿插值公式 差分、差商
定义 4.1 称
100110
()()
(,)f x f x f x x x x -=
-为函数的
()f x 的一阶差商，
120101220
(,)(,)
(,,)f x x f x x f x x x x x -=-为()f x 的二阶差商。
一般地，
101010
(,...,)(,...,)
(,,...,)n n n n f x x f x x f x x x x x --=-
为
()f x 的n 阶差商。为统一起见，补充定义0()f x 为零阶差商。
由差商定义，显然有
01010110
()()
(,)f x f x f x x x x x x =+
--
120101220
012010210122021(,)(,)
(,,)()()()()()()()()()
f x x f x x f x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x -=
-=++
------
如此类推，可以证明
010
011()
(,,...,)()...()()...()
n
j n j j j j j j j n f x f x x x x x x x x x x x =-+=----∑
由此看出，差商的值与节点01,,...,n x x x 的排列次序无关，即
011012,0(,,...,)(,,...,)...(,,...,)n n n f x x x f x x x f x x x x ===这
种性质称为差商对称性。
定义4.2 设函数()y f x =在等距节点0(0,1,...,)i x x ih i n =+=上
的函数值为
()i i f x f =，其中h 为常数，称做步长。称
1i i i f f f +?=- 向前差分 1i i i f f f -?=- 向后差分
112
2
(/2)(/2)i i i i i f f x h f x h f
f
δ+-
=+--=- 中心差分 分别为()f x 在i x 处以h 为步长的一阶向前差分，一阶向后差分和一阶中心
差分。
符号?、?、δ分别称为向前差分算子，向后差分算子和中心差分算子。 由一阶差分的定义出发，可定义二阶差分
21212i i i i i i f f f f f f +++?=?-?=-+， 21122i i i i i i f f f f f f ---?=?-?=-+，
211112
2
2i i i i i i f f
f
f f f δδδ+-+-=-=-+。
一般地刻定义n 阶差分为
111n n n i i i f f f --+?=?-? 111n n n i i i f f f ---?=?-?
11112
2
n n n i i i f f
f
δδδ--+
-=-
如果令i i If f =，1i i Ef f +=，则称I
为不变算子，E 为移位算子。由于
1()i i i i i i f f f Ef If E I f +?=-=-=-，
于是
E I
?=-。
同理可得
1I E -?=-，
1/21/2E E δ=-
牛顿插值公式
有了差商的概念，前面介绍的线性插值与抛物插值可表示为
11()()(,)()k k k k N x f x f x x x x +=+-，
抛物插值
2111111()()(,)()
(,,)()()k k k k k k k k k N x f x f x x x x f x x x x x x x ----+-=+-+--
事实上，按差商定义
000()()(,)()f x f x f x x x x =+-，
0010121(,)(,)(,,)()f x x f x x f x x x x x =+-，
0101201220110101(,,)(,,)(,,,)()
(,,...,,)(,,...,)(,,...,,)()
n n n n f x x x f x x x f x x x x x x f x x x x f x x x f x x x x x x -=+-=+
-反复用后一个式子代入前面的式子，可得
001001201010110101()()(,)()(,,)()()(,,...,)()()...()(,,...,,)()()...()
n n n n f x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x -=+-+--+
+---+--- 记
001001011()()(,)()...(,,...,)()()...()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x x x -=+-+
+--- （*）
0101()(,,...,,)()()...()n n n R x f x x x x x x x x x x =---（**）
于是
()()()n n f x N x R x =+
由于
()0
(0,1,2,...,)n i R x i n ==，
故必有
()()(0,1,2,...,)n i i N x f x i n ==
所以式（*）为n 次插值多项式，由插值多项式的唯一性讨论可知
()()n n N x L x ≡，
且有
(1)01()
(,,...,,)(1)!n n f f x x x x n ξ+=
+。
式（*）称作牛顿基本插值公式，它的各项系数就是函数的各阶差商，每增加一个插值节点，只需在原来的基础上多计算一项，这一性质称作牛顿插值公式的承继性。
利用牛顿插值公式时，一般分两步： 第一步：造差商表 节点 函数值 一阶差商 二阶差商 三阶差商 。。。。 X 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 … X n
F (x 0) F (x 1) F (x 2) F (x 3) F (x 4) F (x 5) … F (x n )
F (x 0,x 1) F (x 1,x 2) F (x 2,x 3) F (x 3,x 4) F (x 4,x 5) …
F (x n -1,x n )
F (x 0,x 1,x 2) F (x 1,x 2,x 3) F (x 2,x 3,x 4) F (x 3,x 4,x 5) …
F (x n -2,x n -1,x n )
F (x 0,x 1,x 2,x 3) F (x 1,x 2,x 3,x 4) F (x 2,x 3,x 4,x 5) …
F (x n -3,x n -2,x n -1,x n )
第二步：利用
001001011()()(,)()...(,,...,)()()...()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x x x -=+-+
+---
例如：节点表 i 0 1 2 3 4 5 X i 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 F (x i ) 0.0
2.0
12.0
42.0
116.0
282.0
差商表 X i
F （x i )
一阶
二阶
三阶
四阶
五阶
1 2
0 2
2
3 4 5 6
12 42 116 282
10 30 74 166
4 10 22 46
2 4 8
0.5 1
0.1
500101201230123402420()()()()
()()()()()()()()()()()()
.50.1N x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+--+---+----+-----即：
5()(1)(1)(2)
(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)
(1)(2)(3)(4)(5)
02420.50.1N x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+--+---+----+-----
§3、厄密（H e r m i t e ）插值简介
高次插值逼近效果往往不理想，原因是高次函数变化复杂。 所以节点的增加并不一定能提高节点之间多项式()n p x 与函数()f x 的逼近
程度。 例如：
函数
2
1
()1f x x =
+在区间[-5，5]进行插值，我们取1n +个等分节点进行
插值。会得到在节点上和函数值相等，节点之间误差很大。这种现象叫龙格（R u n g e ）现象。
而利用分段低次多项式去逼近函数
()f x 的效果要优于光滑的高次多项式。
所以可用分段线性插值。线性插值计算简单，随节点密度增加越逼近函数，但缺点是光滑度不好（导数不连续）
分段三次厄密插值，就是要求函数值在节点上相等，函数的一阶导数也相等。 设函数()f x 在1n +个互异的节点0,1,2,...,i
x i n =上函数值和导数
为：
012012,,,...,',',',...,'n
n y y y y y y y y
进行分段插值
在区间1[,]k k x x +上作插值，使得在两端点函数值和导数值为：
11,','k k k k y y y y ++
四个方程，我们构造三次多项式：
23
30123()P x a a x a x a x
=+++
使得3311()
()k k k k P x y P x y ++== 3311'()''()'k k
k k P x y P x y ++==
令
31111()()()'()'()k k k k k k k k P x y a x y a x y x y x ββ++++=+++
则11(),(),
(),()k k k k a x a x x x ββ++为三次多项式且满足：
11,()0,()0,()0()1k k k k k k k k a x x a x x ββ++====
111111()0,,()()0,()01k k k k k k k k a a x x x x ββ++++++==== 11'()0,'()0,,''()0()1k k k k k k k k a x a x x x ββ++==== 111111'()0,'()0,'')((1
)0,k k k k k k k k a x a x x x ββ++++++====
由此可求得最后11(),(),
(),()k k k k a x a x x x ββ++
2
11112111111()(12)
0()()(12)
0[,]
k k k k k
k k k
k k
k k k k k k k
k k x x x x x x x k x x x x x x x x a x x x x k n x x x x x x x +-++++++-+--?+≤≤=?--??--=+≤≤=?--?????
略去略去
2
111
2
111
11()()0()()()0[,]k k k k k
k k k k k k k k k k x x x x x x x k x x x x x x x x x x k n x x x x x β---+++-+-?-≤≤=?-??-=-≤≤=?-?????
略去
略去
§4、数据拟合
问题的提出：有一组数据，数据很多，且往往有误差。需要有一函数反映这组数据。因为不同数据段误差不一样（可信度不同），同时数据多时函数中的参数有限，所以，并不要求函数通过每一个数据点。但函数尽可能科学的反映数据。往往要确定函数中的参数，使得某种统计偏差尽可能的小。
或者说在某函数类中找一函数()x ?，使得某判断量最小或最大。
往往取偏差的平方和：2
2
1
[()]m
i i
i y x σ?==-∑ 最小。 或2
2
1
()[]m
i i i i
y x E ?χ
=-=∑
最小，i E 为i y 的误差。
当函数不一样时，22,χσ的数值不一样，这种以函数为自变量，以数为函数值的函数关系数学上叫做泛函。
{}{}
{}{}
2
2
2
1
()
[(()]
)m
i i i y y y x f x x x σ?σ?=→→==-∑
一、用多项式进行最小二乘数据拟合
现在考察m 对实验数据或()y f x =的一个表函数(,)i i x y ，1,2,3,...,i m =。 函数类最简单的是多项式，于是我们首先取次数不超过n 的代数多项式{}()n P x 为H ，即取{}()n H P x =。于是当{}()()n y x P x ?=∈时有
20120
()...n
n i
i i x a a x a x a x a x ??==++++=∑，
其中01,,...,n a a a 取遍所有可能的实数就得到{}()n P x 的全体。
我们的目的就是要在{}()n P x 中找出一个函数0()n
i i i x a x ?==∑
使偏差()i i y x ?-的平方和
[]
2
011
()(,,...,)()m
n i i i a a a a y x ψψ?===-∑达到极小。
对于给定的一组数据(,)i i x y ，1,2,3,...,i m =来说，()i a ψ以01,,...,n a a a 为参数，也就是对应{}()i i P x 中一不同的()x ?，()a ψ有不同的值，于是问题归结为选取
01,,...,n a a a 使()a ψ取极小。
另外我们还要求n m <。因为当n m ≥时即1n m +>，n 次多项式由1n +个系数所决定，而数据对只有m 对，即使作出()(1,2,...,)i i x y i m ?==才m 个条件，而1m n <+，故()x ?至少还有一个自由度，它是不确定的，但此时的()x ?都使
()a ψ为0，当然就是极小了。所以对于n m ≥的问题本身就没有意义。
下面我们分几步来叙述使()a ψ达到极小的01,,...,n a a a 的确定及最小的()a ψ值01(,,...,)n a a a ψ。
第一步：01,,...,n a a a 所满足的方程。
[]2
011()(,,)()m
n i i i a a a a y x ψψ?===-∑ 0
()n
j
j
j x a x ?==∑
根据微积分学，极小的01,,...,n a a a 应满足偏导数为零：
1
2()0,0,1,2,...,m n
j k j i i i i j k
y a x x k n a ψ==?=--==?∑∑。 N +1个方程
即：
1101
1
0,0,1,2,...,0,0,1,2,...,m m
n
k
j k
j i i i i i i j m
n m
k j k
j i i i
i j i y x a x x k n y x a x k n
===+===-==-==∑∑
∑∑∑∑
若令
1
1
,
m
m
k
k i i k i k i i y x T x S ====∑∑。
于是有方程组
n
j j k
k j a S
T +==∑ 0,1,2,...,k n =。
这就是使ψ取极小的01,,...,n a a a 应满足的方程。 解线性方程组得到,0,1,2,...,k a k n =
方程的系数矩阵为
011
21112............n n n n n n S S S S S S G S S S +++????
??=????????
我们来证明系数据正对应的行列式的值不为零。
即1det 0n G +≠，因为若1det 0n G +=，则齐次方程组1010,((,,))T n n G a a a a a +==，
就有非零解01(,,)T n a a a a =，从而将齐次方程组第k 个方程乘以k a
并对所有k
从0到n 作和有
00
1
100100
2
00
0()()
()n n n n m
k j
k j k j k j i k j k j i m
n n
k j
k j i i k j m
n
n
k
j k i j i i k j m
n
k k j k k a a S a a x a a x a x a x a x ++=====+============?=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
即0
0,
1,2,...,n
k k j k a x j m ===∑
意味着n 次多项式，有不同的m 个零点，且m>n,所以,
0,1,2,...,k a k n =全为零。
二、 用函数进行最小二乘曲线拟合
现在我们将前面用多项式进行拟合的情况推广到一般函数进行拟合。 设12(),(),...,()n x x x ???是n 个在[],a b 上定义的连续函数。 所谓函数组12(),(),...,
()n x x x ???是线性相关的，就是说存在n 个不全为零
的实数01,,...,n a a a 使1122()()...()0n n a x a x a x ???+++=在[
],a b 上成立。
若上述等式在[],a b 上除非01,,...,n a a a 全为零时成立，就说12(),(),...,()n x x x ???是
线性无关的。 现设12(),(),...,
()n x x x ???在[],a b 上线性无关的。
设12....,()m a x x x b y f x =<<<==在i x 之值为()i i y f x =。
引入向量记号：12((),(),...,())T m x x x ?
???=?显然?为m 维列向量。
所谓用函数12(),(),...,()n x x x ???去进行数据(,),1,2,...,i i x y i m =的最小二乘曲线拟合，就是用线性拟合
1
()()
n
k k k Q x c x ?==∑
去逼近函数()y f x =，使二者在各点i x 上偏差的加权平方和
2
121
()(,,...,)()()()m
n j j j j c c c c x f x Q x ψψω=??==-??∑ **
在由12(),(),...,()n x x x ???的一切可能的线性组合1
()n
k k
k c x ?
=∑所组成的函
数类H 中为极小。 若在 ** 中取1()1,()k k x x x ω?-==。于是使极小的问题就变成前面多项式
数据拟合了。
与前面要求n m <一样，这里应要求1n m -<或n m ≤，否则若n m >，则n
个m 维向量12,,...,n ???，必然线性相关。
于是求 ** 的极小的问题就完全与求()a ψ的极小一样了。只不过这里是函数
12,,...,n ???，比前面复杂，所以引入了新的内积写法。
为书写简化，引进“内积” 1
(,)()()()m
k l j
k
j
l
j
j x x x ??ω??==
∑，
而称
1/2
21/21
(,)
(()())m
k k j k j k
j x x ??ω??===∑
为m 维列向量k ?的范数或长度。
其中()x ω为[],a b 上给定的正连续函数，称为权函数。
2
121
()(,,...,)()()()m
n j j j j c c c c x f x Q x ψψω=??==-??∑ 1
()()n
k k k Q x c x ?==∑
第一步：建立使()c ψ取极小的c 所满足的方程。与前面一样，应有：
112()()()0m
n
k j j k j i j j k i x y c x x c ψ
ω??==???
=--=?????
∑∑ 11()()()0m
n
k j j k j i j j k x y c x x ω??==??
-=????
∑∑ 111
()()()()()0m m n
k
j
j i
j
j
k
j
i
j
j j k x y x x c x x ω?ω??===-=∑∑∑
1
1
1
()()()()()0m
n
m
k
j
j i
j
j
k
j
i
j
j k j x y x c x x x ω?ω??===-=∑∑∑
记作：
1
(,())(,)0n
k i k i k y x c ???=-=∑
亦即（设12(,,...,)T
m
y y y y =） 1
(,)(,)1,2,...,n
k
k i i k c
y i n ???===∑
注意：上式中未知数是k c ，是个线性方程组。
写成矩阵形式为
1111211221222212(,)(,)...(,)(,)(,)(,)...(,)(,)(,)(,)...(,)(,)n n n n n n n n c y y c y c ?????????????????????????????????????????????
=?????????????????????
????? 解此方程组得到最佳拟合参数，即得到表达式1
()()n
k
k
k Q x c x ?==
∑。
三、最速下降法
很多问题都可以化成求最小值的问题。 例如1：多项式拟合
m 对实验数据或()y f x =的一个表函数(,)i i x y ，1,2,3,...,i m =。 取n 次多项式2
0120
()...n
n
i
i i x a a x a x a x a x
??==++++=∑，
其中01,,...,n a a a 时代定系数。 我们的目的就是要在
{}()n P x 中找出一个函数（确定一组01,,...,n a a a ）
()n
i i i x a x ?==∑使偏差()i i y x ?-的平方和
[]
2
011
()(,,...,)()m
n i i i a a a a y x ψψ?===-∑达到极小。
例如2：函数拟合 用1
()()n
k
k
k Q x c x ?==
∑
去逼近函数()y
f x =，使二者在各点i x 上偏差的加权平方和
第二讲 插值与数据拟合模型 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。 在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是数据拟合问题。 一、插值方法简介 插值问题的提法是，已知1+n 个节点n j y x j j ,,2,1,0),,( =，其中j x 互不相同，不妨设b x x x a n =<<<= 10，求任一插值点)(*j x x ≠处的插值*y 。),(j j y x 可以看成是由某个函数)(x g y =产生的，g 的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式。也可以未知。 求解的基本思路是，构造一个相对简单的函数)(x f y =，使f 通过全部节点，即),,2,1,0()(n j y x f j j ==，再由)(x f 计算插值，即*)(*x f y =。 1．拉格朗日多项式插值 插值多项式 从理论和计算的角度看，多项式是最简单的函数，设)(x f 是n 次多项式，记作 0111)(a x a x a x a x L n n n n n ++++=-- （1） 对于节点),(j j y x 应有 n j y x L j j n ,,2,1,0,)( == （2） 为了确定插值多项式)(x L n 中的系数011,,,,a a a a n n -，将（1）代入（2），有 ???????=++++=++++=++++---n n n n n n n n n n n n n n n n y a x a x a x a y a x a x a x a y a x a x a x a 01110111110001010 （3） 记 T n T n n n n n n n n n n y y y Y a a a A x x x x x x X ),,,(,),,,(,11110011111 100 ==?????? ? ??=---- 方程组（3）简写成 Y XA = （4） 注意X det 是Vandermonde 行列式，利用行列式性质可得 ∏≤<≤-= n k j j k x x X 0)(det 因j x 互不相同，故0det ≠X ，于是方程（4）中A 有唯一解，即根据1+n 个节点可以确定唯一的n 次插值多项式。 拉格朗日插值多项式 实际上比较方便的做法不是解方程（4）求A ，而是先构造一组基函数： n i x x x x x x x x x x x x x x x x x l n i i i i i i n i i i ,,2,1,0,) ())(()()())(()()(110110 =--------=+-+- （5） )(x l i 是n 次多项式，满足
插值法和拟合实验报告 一、 实验目的 1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性； 2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理； 3.利用matlab 编程，学会matlab 命令； 4.掌握拉格朗日插值法； 5.掌握多项式拟合的特点和方法。 二、 实验题目 1.、插值法实验 将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点 k x 的值，进行不同类型 的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： ;11)(2x x f += ;a r c t a n )(x x f = .1)(42 x x x f += (1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值. 2、拟合实验 给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数 ),(i i y x 和拟合函数的图形。 三、 实验原理 1.、插值法实验
∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--= =-= ==-=-=----==++==j i j j i i i i i n i i n n j i j j n j i j j i i n j i j j n i i i n i i n n n o i n i i n x x x x x y x l x L x x c n i x x c x x x c x x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00 ,0,0,01100 00 )(l )()() (1 ,1,0, 1)()(l ) ()())(()()()()()()()(， 故， 得 再由，设 2、拟合实验
利用matlab实现插值与拟合实验 张体强1026222 张影 晁亚敏 [摘要]：在测绘学中，无论是图形处理，还是地形图处理等，大多离不开插值与拟合的应用，根据插值与拟合原理，构造出插值和拟合函数，理解其原理，并在matlab平台下，实现一维插值，二维插值运算，实现多项式拟合，非线性拟合等，并在此基础上，联系自己所学专业，分析其生活中特殊例子，提出问题，建立模型，编写程序，以至于深刻理解插值与拟合的作用。 [关键字]: 测绘学插值多项式拟合非线性拟合 [ Abstract]: in surveying and mapping, whether the graphics processing, or topographic map processing and so on, are inseparable from the interpolation and fitting application, according to the interpolation and fitting theory, construct the fitting and interpolation function, understanding its principle, and MATLAB platform, achieve one-dimensional interpolation, two-dimensional interpolation, polynomial fitting, non-linear fitting, and on this basis, to contact their studies, analysis of their living in a special example, put forward the question, modeling, programming, so that a deep understanding of interpolation and fitting function. [ Key words]: Surveying and mapping interpolation polynomial fitting nonlinear
实验三 插值法与拟合实验 一、实验目的 1. 通过本实验学会利用程序画出插值函数，并和原图形相比较 2. 通过本实验学会拟合函数图形的画法，并会求平方误差 二、实验题目 1. 插值效果的比较 实验题目：区间[]5,5-10等分，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 2 11)(x x f +=； x x f arctan )(=； 4 41)(x x x f += （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值. 2. 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形. 三、实验原理 本实验应用了拉格朗日插值程序、三次样条插值程序、多项式拟合程序等实验原理. 四、实验内容 1（1） figure x=-5:0.2:5; y=1./(1+x.^2); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=1./(1+x1.^2); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25);
m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（2） x=-5:0.2:5; y=atan(x); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=atan(x1); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（3） x=-5:0.2:5; y=x.^2./(1+x.^4); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=x1.^2./(1+x1.^4); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 2. x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]'; y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]'; plot(x,y,'or'); hold on %三次多项式拟合 p1=mafit(x,y,3);
13. 数据插值与拟合 实际中，通常需要处理实验或测量得到的离散数据（点）。插值与拟合方法就是要通过离散数据去确定一个近似函数（曲线或曲面），使其与已知数据有较高的拟合精度。 1.如果要求近似函数经过所已知的所有数据点，此时称为插值问 题（不需要函数表达式）。 2.如果不要求近似函数经过所有数据点，而是要求它能较好地反 映数据变化规律，称为数据拟合（必须有函数表达式）。 插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数。区别是：【插值】不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。【拟合】要求得到一个具体的近似函数的表达式。 因此，当数据量不够，但已知已有数据可信，需要补充数据，此时用【插值】。当数据基本够用，需要寻找因果变量之间的数量关系（推断出表达式），进而对未知的情形作预测，此时用【拟合】。
一、数据插值 根据选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值 Matlab 插值函数实现： （1）interp1( ) 一维插值 （2）intep2( ) 二维插值 （3）interp3( ) 三维插值 （4）intern( ) n维插值 1.一维插值（自变量是1维数据） 语法：yi = interp1(x0, y0, xi, ‘method’) 其中，x0, y0为原离散数据（x0为自变量，y0为因变量）；xi为需要插值的节点，method为插值方法。 注：（1）要求x0是单调的，xi不超过x0的范围； （2）插值方法有‘nearest’——最邻近插值；‘linear’——线性插值；‘spline’——三次样条插值；‘cubic’——三次插值；
MATLAB中的插值、拟合与查表 插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。 如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。 根据测量数据的类型： 1．测量值是准确的，没有误差。 2．测量值与真实值有误差。 这时对应地有两种处理观测数据方法： 1．插值或曲线拟合。 2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。 MATLAB中提供了众多的数据处理命令。有插值命令，有拟合命令，有查表命令。 2.2.1 插值命令 命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。各个参量之间的关系示意图为图2-14。 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y的内插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。 yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。
实验报告三 一、实验目的 通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合（即拟合插值），了解它们各自的优缺点及插值。 二、实验题目 1、 插值效果比较 实验题目：将区间[]5,5-10等份，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 211)(x x f +=；x x f arctan )(=；4 2 1)(x x x f +=。 （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值。 2、 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： i x -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 i y -4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55 分别对上述数据做三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数()i i y x ,和拟合函数的图形。 三、实验原理 n 阶拉格朗日插值 设已知n x x x ,,,10 及()()()x L n i x f y n i i ,,,1,0 ==为不超过n 次的多项式，且满足 插值条件()().,,1,0n i y x L i i n ==由对()x L 2的构造经验，可设 ()()()()(),11000 n n n i i i n y x l y x l y x l y x l x L +++==∑= 其中，()()n i x L i ,,1,0 =均为n 次多项式且满足() .,,1,0,, ,0, ,1n j i j i j i x l j i =?? ?≠==不难验 证，这样构造出的()x L n 满足插值条件。因此问题归结为求()()n i x l i ,,1,0 =的表达式。因 ()i j x i ≠是n 次多项式()x l i 的n 个根，故可设
m a t l a b实现插值法和 曲线拟合
插值法和曲线拟合 电子科技大学 摘要：理解拉格朗日多项式插值、分段线性插值、牛顿前插，曲线拟合，用matlab编程求解函数，用插值法和分段线性插值求解同一函数，比较插值余项；用牛顿前插公式计算函数，计算函数值；对于曲线拟 合，用不同曲线拟合数据。 关键字：拉格朗日插值多项式；分段线性插值；牛顿前插；曲线拟合 引言： 在数学物理方程中，当给定数据是不同散点时，无法确定函数表达式，求解函数就需要很大的计算量，我们有多种方法对给定的表格函数进行求解，我们这里，利用插值法和曲线拟合对函数进行求解，进一步了解函数性质，两种方法各有利弊，适合我们进行不同的散点函数求解。 正文： 一、插值法和分段线性插值 1拉格朗日多项式原理 对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点： 其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。 假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为： 其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为： [3] 拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点 上取值为0。 2分段线性插值原理 给定区间[a,b], 将其分割成a=x 0 《数值分析》课程实验一：插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性； 2. 编写MA TLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MA TLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 (2) 编写MA TLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件： ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0, , 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0 )()( (2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为 第七讲插值方法与数据拟合 § 7.1 引言 在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(x i , y i ) (i= 1, 2, …, n) 揭示自变量x与因变量y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式y = f (x) 来表示。函数f (x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。 § 7.1.1 插值方法 1．引例1 已经测得在北纬32.3?海洋不同深度处的温度如下表： 根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如500米、600米、1000米…）处的水温。 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。 2．插值问题的基本提法 对于给定的函数表 其中f (x) 在区间[a, b] 上连续，x0，x1，…，x n为[a, b] 上n + 1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类{P(x)} 中，选出一个使 P(x i ) = y i，i= 0, 1, …, n(7.1.1) 成立的函数P(x) 作为 f (x) 的近似，这就是最基本的插值问题（见图7.1.1）。 为便于叙述，通常称区间[a, b] 为插值区间，称点x0，x1，…，x n为插值节点，称函数类{P(x)} 为插值函数类，称式(7.1.1) 为插值条件，称函数P(x) 为插值函数，称f (x) 为被插函数。求插值函数P(x) 的方法称为插值法。 § 7.1.2 数据拟合 1．引例2 在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下： 根据这些数据，我们希望寻找一个y = f (t) 的近似表达式（如建立浓度y与时间t之间的经验公式等）。从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1, 4.00），…,（16, 10.60），求函数y = f (t) 的图象的一条拟合曲 6、下列数据点的插值 01491625364964 012345678 (1)可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。 （2）用这9个点作8次多项式插值。 四、实验结果 1、用MATLAB编写独立的拉格朗日插值多项式函数 Lagrange 插值多项式源代码 function yi=Lagrange(x, y, xi) % Lagrange 插值多项式，其中 % x --- 向量，全部的插值节点 % y --- 向量，插值节点处的函数值 % xi --- 标量，自变量x % yi --- xi 处的函数估计值 n=length(x); m=length(y); if n~=m error('The lengths of X and Y must be equal'); return; end p=zeros(1,n); % 对向量p赋初值0 for k=1:n t=ones(1,n); for j=1:n if j~=k if abs(x(k)-x(j)) yi=sum(y.*p); 2、用MATLAB编写独立的牛顿插值多项式函数 function yi=New_Int(x, y, xi) % Newton 基本插值公式，其中 % x --- 向量，全部的插值节点，按行输入 % y --- 向量，插值节点处的函数值，按行输入 % xi --- 标量，自变量x % yi --- xi 处的函数估计值 n=length(x); m=length(y); if n~=m error('The lengths of X and Y must be equal'); return; end % 计算均差表Y Y=zeros(n); Y(:,1)=y'; % Y(:,1)表示矩阵中第一列的元素 for k=1:n-1 for i=1:n-k if abs(x(i+k)-x(i)) 实验 2 插值与拟合 系班姓名学号 【实验目的】 1、掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目， 对三种插值结果进行初步分析。 2、掌握用MATLAB作线性最小二乘的方法。 3、通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。 【实验内容】 预备：编制计算拉格朗日插值的M文件： 以下是拉格朗日插值的名为y_lagrl的M文件： function y=y_lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 第1题（d） 选择函数y=exp(-x2) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n，在作比较，由此作初步分析。 运行如下程序： n=7;m=61;x=-2:4/(m-1):2; y=exp(-x.^2); z=0*x; x0=-2:4/(n-1):2; y0=exp(-x0.^2); y1=y_lagr1(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); [x'y'y1'y2'y3'] plot(x,z,'w',x,y,'r--',x,y1,'b:',x,y2,'m',x,y3,'b') gtext('y=exp(-x^2)'),gtext('Lagr.'),gtext('Piece.-linear.'),gtext ('Spline'), 将三种插值结果y1,y2,y3与精确值y 项比较，显然y1在节点处不光滑,拉格朗日插值出现较大的振荡,样条插值得结果是最好的.增加n 值（使n=11），再运行以上程序，得到的图形如右图所示，比较这两个图可发现，节点增加后，三种插值方法结果的准确度均有所提高，因此可近似地认为：增加节点个数可以提高插值结果的准确程度。 第3题 用给定的多项式，如y=x 3-6x 2+5x-3，产生一组数据（x i ,y i ,i=1,2,…,n ），再在yi 上添加随机干扰（可用rand 产生（0，1）均匀分布随机数，或用randn 产生N （0，1）分布随机数），然后用x i 和添加了随机干扰的y i 作3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2或4次多项式拟合，结果如何？ 解：2 编制y_2_3.m 文件 n=15; x=0:8/(n-1):8; y=x.^3-6*x.^2+5*x-3; z=0*x; y0=y+rand(1,15); f=polyfit(x,y0,m); r=polyval(f,x) pl2ot(x,z,'k',x,y,'r:'r,'b') 程序及运行结果如下：m=2 ,y_2_3 f = 5.9888 -31.9916 17.6679 m=3 ,y_2_3 计算方法实验 题目： 班级： 学号： 姓名： 目录 计算方法实验 (1) 1 实验目的 (3) 2 实验步骤 (3) 2.1环境配置： (3) 2.2添加头文件 (3) 2.3主要模块 (3) 3 代码 (4) 3.1主程序部分 (4) 3.2多项式方程部分 (4) 3.3核心算法部分 (8) 3.4数据结构部分 (13) 4运行结果 (19) 4.1拉格朗日插值法运行结果 (19) 4.2牛顿插值法运行结果 (20) 4.3多项式拟合运行结果 (20) 5总结 (21) 拉格朗日插值法 (21) 牛顿插值法 (21) 多项式拟合 (21) 6参考资料 (22) 1 实验目的 1.通过编程对拉格朗日插值法、牛顿插值法以及多项式拟合数据的理解 2.观察上述方法的计算稳定性和求解精度并比较各种方法利弊 2 实验步骤 2.1环境配置： VS2013，C++控制台程序 2.2添加头文件 #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "stdafx.h" 2.3主要模块 程序一共分成三层，最底层是数据结构部分，负责存储数据，第二层是交互部分，即多项式方程部分，负责输入输出获得数据，最上层是核心的算法部分，负责处理已获得的数据。具体功能如下： ●数据结构部分 数据结构部分是整个程序的最底层，负责存储部分。因方程系数作为数据元素插入和删除操作较少，而顺序表空间利用率大且查看方便，故此程序选用顺序表保存系数。数据结构文件中写的是有关顺序表的所有基本操作以供其他文件调用。本次实验使用列主元高斯消元法作为求解方程组的方法，所以也用了二维顺序表存储数组。综上，数据结构部分文件是前两个试验的文件内容和，稍作修改。 ●常系数微分方程部分 多项式方程部分是程序的第二层，内容主要是常系数微分方程导数的计算和显示菜单部分。 ●算法部分 算法部分分为两个文件，一个是插值部分，一个是拟合部分。 插值部分文件负责有关插值的核心算法，处于整个程序最上层部分，负责拉格朗日插值法和牛顿插值法的具体实现过程。调用方程文件的函数，将获得的数据进行处理运算，将结果返回给方程主函数和输出的第二层。每种方法有两个函数，一个为仅仅实现一次插值的算法，另一个是和方程部分联系的 数据插值与数据拟合 1、一维数据插值： y=interp1(x0,y0,x,’method’) ‘method’共有四种方法选择： ‘nearest’ 最近点插值法取较近点的值 ‘linear’线性插值法用直线连接数据点 ‘spline’样条插值法用三次样条曲线通过数据点 ‘cubic’立方插值法用三次曲线通过数据点 例：对，，用个节点（等分）作上述四种插值，用m=21个插值点（等分）作图比较结果； 练习： 根据程序washu.可得，x=0:3的193个数据，即对应得y值，现在将 x=0:56图形形状不变 从而得到x=1:56的对应的y值，并且比较分析，哪一种插值效果好 2、 数据拟合 P=polyfit(x,y,n)返回系数从高到低 polyval(p,x) 例、在化工生产中获得的氯气的等级随生产时间下降。假定在时，与之间有如下形式的非线性模型： 现收集了44组数据： 80.49160.43280.41 80.49180.46280.40 100.48180.45300.40 100.47200.42300.40 100.48200.42300.38 100.47200.43320.41 120.46200.41320.40 120.46220.41340.40 120.45220.40360.41 120.43240.42360.38 140.45240.40380.40 140.43240.40380.40 140.43260.41400.39 160.44260.40420.39 160.43260.41 要求利用该数据求的值，以确定模型。 练习 问题1： N P K 施肥量(kg/ha) 产量 （t/ha） 施肥量 (kg/ha) 产量 （t/ha） 施肥量 (kg/ha) 产量 （t/ha） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 47115.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 24 49 73 98 147 196 245 294 342 33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73 47 93 140 186 279 372 465 558 651 18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22 （1）将上面第一个表中以施肥量为自变量n，产量为函数y，用最小二乘法拟合函数，输出a1,b1,c1的值，给出拟合误差R^2，并进行图形比较(2) 将上面第二个表中以施肥量为自变量p，产量为函数y，用最小二乘法拟合函数，输出a,b的值，给出拟合误差R^2，并进行图形比较 (3) 将上面第三个表中以施肥量为自变量k，产量为函数y，用最小二乘法拟合函数，输出a3,b3，c3的值，给出拟合误差R^2，并进行图形比较Quadratic: Compound: 《数值分析》课程实验一：插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性； 2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 3. 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系如下表，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。 (1) 用最小二乘法进行曲线拟合； (2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件： ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0,, 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0)()( (2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为 1102110] ,,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --= - 则n 次多项式 ) ())(](,,[) )(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N 差商表的构造过程： Matlab中插值拟合函数汇总和使用说明 命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点 格式 (1)yi = interp1(x,Y,xi) 返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。 若Y 为一矩阵，则按Y 的每列计算。yi 是阶数为 length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 (2)yi = interp1(Y,xi) 假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵Y 的行数。(3)yi = interp1(x,Y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1 调用 函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值； ’pchip’：分段三次Hermite 插值。对于该方法，命令interp1 调用函数pchip，用于对向量x 与y 执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形； ’cubic’：与’pchip’操作相同； ’v5cubic’：在MATLAB 5.0 中的三次插值。 对于超出x 范围的xi 的分量，使用方 法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1 将对超出的分量执行外插值算法。 (4)yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap') 对于超出x 范围的xi 中的分量将执行特殊的外插值法extrap。(5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) 确定超出x 范围的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。 例1 1. 2.>>x = 0:10; y = x.*sin(x); 3.>>xx = 0:.25:10; yy = interp1(x,y,xx); 4.>>plot(x,y,'kd',xx,yy) 例2 1. 曲线拟合的数值计算方法实验 郑发进 2012042020022 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。 插值和拟合 实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。 实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。 实验内容： 一、插值 1．插值的基本思想 ·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生； ·构造一个相对简单的函数y=P(x)； ·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ； ·用P (x)作为函数f ( x )的近似。 2．用MA TLAB作一维插值计算 yi=interp1(x，y，xi，'method') 注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 练习1：机床加工问题 机翼断面下的轮廓线上的数据如下表： x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 用程控铣床加工机翼断面的下轮廓线时 每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。 表3-1给出了下轮廓线上的部分数据 但工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位. 这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。 试完成加工所需的数据，画出曲线. 步骤1：用x0，y0两向量表示插值节点； 步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=interp1(x0,y0,x,'spline'); 步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r') grid on >> x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; >> y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; >> x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r') grid on数值分析实验插值与拟合
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