《测量平差》学习辅导
第一章测量平差及其传播定律
一、学习要点
（一）内容：
测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其
传播规律。
（二）基本要求：
1．了解测量平差研究的对象和内容；
2．掌握偶然误差的四个概率特性；
3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；
4．了解权的定义与常用的定权方法；
5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率
二、复习题
（一）名词解释
1．偶然误差
2．系统误差
3．精度
4．单位权中误差
（二）问答题
1．偶然误差有哪几个概率特性?
2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?
（三）计算题
σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，d
σ。
σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s
三、复习题参考答案 （一）名词解释
1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。 （二）问答题
1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，
则定义：22
0i
p σσ=，称为观测值L i 的权。权与方差成正比。常用的定权方法有距
离丈量的权，水准测量高差的权，同精度观测值的算术平均值的权，导线测量角度闭合差的权，三角高程测量高差的权。 （三）计算题
解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7m
2
22500d s σσ=
m mm d s 1.0100)2.0(500500±=±=±⨯==σσ 最后写成：S=11.7±0.1m
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
一、学习要点 （一）内容：
必要观测元素定义；多余观测个数；平差的数学函数模型及最小二乘原理（条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差）；函数模型线性化。
（二）基本要求：
1．了解平差的基本概述及目的；
2．了解平差的数学模型与最小二原理平差的基本概念。 （三）重点：测量平差的数学模型和最小二乘原理 （四）难点：最小二乘原理 二、复习题 （一）名词解释 1．必要观测元素 2．最小二乘原理 （二）问答题
1．简单概述测量平差的任务？
2．请简要列出四种基本平差方法的数学模型。 三、复习题参考答案 （一）名词解释
1．必要观测元素：把能够唯一的确定一个几何模型所必要的元素称为必要观测元素。
2．最小二乘原理：由极大似然估计求得的V 值满足条件：min =PV V T ，此即最小二乘原理。 （二）问答题
1．答：测量平差的任务主要有两个：求观测值的平差值和衡量评查结果的精度。
2．答：四种基本平差模型如下 条件平差：)(,00A AL W W A +-==-∆其中
间接平差： d L l l X B -=-=∆其中,。
附有参数的条件平差：0),(0=-+∆+-=W X B A A AL W 附有限制条件的间接平差：0,,=--=∆-=W X C l X B d L l 。
第三章 条件平差
一、学习要点
（一）内容：条件平差的原理；利用最小二乘原理求解法方程；条件方程列立（水准网、三角网及测边网）；精度评定（单位权中误差、平差值协因数、平差值函数的协因数）；附有参数的条件平差的平差原理与精度评定。 （二）基本要求：
1．了解条件平差原理及方法，掌握条件平差的计算步骤； 2．了解条件平差的精度评定；
3．了解附有参数的条件平差的相关概念知识；
（三）重点：条件平差与附有参数的条件平差原理与精度评定，条件方程； （四）难点：平差原理，精度评定 二、复习题 （一）问答题
1．简述条件平差的计算步骤。 2．精度评定包括哪些内容？ （二）计算题
三角形三个内角作同精度的的观测，得观测值：L1=42°12′20″，L2= 78°09′09″，L3=59°38′40″。试按条件平差求三个内角的平差值。
三、复习题参考答案 （一）问答题
1．答：（1）根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r 。
(2)根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 。
(3)解算法方程，求出联系数K 值。
(4)将K 值代入改正数方程式，求出V 值，并求出平差值
(5)为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。
2.答：精度评定包括单位权方差20σ 和单位权中误差0σ 的计算、平差值函数)(L f F =的协因数FF Q 及其中误差F σ
的计算等。 （二）计算题
解：本题有一个条件式，其平差条件为0180321=︒-++L L L
，以
i
L ˆ及i i i v L L +=的值代入上式得条件方程09321=+++v v v 式中"=︒-++=9180)(321L L L w ，条件方程用矩阵表示为[]09111321=+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡v v v ，即A=[]111。因为观测值精度相同，设其权1321===p p p ，则观测值的权阵P 为单位阵，即P=I 。故法方程为31===-T T aa AA A AP N ,法方程为093=+a k ，
解得3-=a k ,带入改正数计算公式得[]T
333"-"-"-===K A K QA V T T ，可
见，各角的改正数为平均分配其闭合差，由此可得各角平差值为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡"'︒"'︒"'︒=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡373859060978171242ˆˆˆ321
321321v v v L L L L
L L 。
第四章 间接平差
一、学习要点 （一）内容：
间接平差的原理；利用最小二乘原理求解法方程；误差方程列立（水准网、三角网及测边网）；精度评定（单位权中误差、平差值协因数、平差值函数的协因数）。
（二）基本要求；
1．了解间接平差原理及方法，掌握间接平差的计算步骤； 2．了解间接平差的精度评定； （三）重点：间接平差原理，精度评定 （四）难点：间接平差法求平差值，精度评定 二、复习题 （一）计算题
在下图所示的水准网中，A 、B 、C 为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： 1h = +1.003m ， 2h = +0.501m ， 3h = +0.503m ， 4h = +0.505m ； 1S =1km ，
2S =2km ， 3S =2km ， 4S =1km 。已知 A H =11.000m ， B H =11.500m ，
C H =12.008m ，试用间接平差法求 1P
及 2P 点的高程平差值。
三、复习题参考答案 （一）计算题
解：1.按题意知必要观测数 t =2，选取 1P
、 2P 两点高程 1ˆX 、 2ˆX 为参数，取未知参数的近似值为 )(003.1210
1m h H X A =+=、
)(511.12302m h H X C =+=，令2km 观测为单位权观测，则 2,1,1,24321====P P P P
。 2．根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下
)(ˆ)
(ˆ)(ˆˆ)(ˆ01414023230102221201111B C A H X h x v H X h x v X X h x x v H X h x
v +--=+--=+--+-=+--=
代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有
2ˆ0ˆ)7(ˆˆ0ˆ142321211-=-=--+-=-=x
v x v x x v x
v
可得 B 、 P 和 l 矩阵如下
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=01101101
B 、 ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=20
00
010********
2
P 、 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2070l
3．由误差方程系数 B 和自由项 l 组成法方程 0ˆ=-Pl B x
PB B T T
得 0711ˆˆ211521=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x
解得 )(7.27.17115112917112115ˆˆ1
21m m x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 4. 解算法方程，求出参数 x
ˆ，计算参数的平差值 x X X ˆˆ0+=； )(5083.120047.12)(7.27.1)(511.12003.12ˆˆˆˆ21020121
m m m m x x X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
5．由误差方程计算 V ，求出观测量平差值 V h h +=∧
；
第五章 附有限制条件的条件平差
一、学习要点 （一）内容：
附有限制条件的条件平差的原理；利用最小二乘原理求解法方程；误差方程列立；精度评定（单位权中误差、平差值协因数、平差值函数的协因数）；各种误差方法的共性和特性。 （二）基本要求：
1．了解附有条件的间接平差的方法； 2．掌握精度评定。
3．个性及平差结果的统计性质有深刻认识，并能应用其结论分析测量平差问题
（三）重点：附有限制条件的条件平差原理；精度评定 （四）难点：精度评定；对基础方程模型含义的理解。
第六章 误差椭圆
一、学习要点 （一）内容：
点位误差定义；误差曲线及在任意方向上的误差；误差曲线；误差椭圆；误差椭圆图形的绘制；相对误差椭圆参数；E 、F 、Φ的计算。 （二）基本要求：
1．了解点位误差的含义；
2．了解误差椭圆的内容，了解误差椭圆的绘制。
（三）重点：点位误差，位差极大值E 和极小值F,误差椭圆概念及绘制。 （四）难点：误差椭圆的绘制 二、复习题 （一）问答题
何为误差椭圆？误差椭圆绘制需要哪些要素？ （二）计算题
在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即[]11
ˆT X X Y =，平差后得到ˆX 的协因数阵为ˆˆ0.250.150.150.75XX Q ⎡⎤=⎢
⎥
⎣⎦
，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=， （1）计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差； （2）计算P 1点误差椭圆三要素E E F ϕ、、； （3）计算P 1点在方位角为90方向上的位差。 三、复习题参考答案 （一）问答题
答：点位误差曲线虽然有许多用途，但它不是一种典型曲线，作图不太
方便，因此降低了它的实用价值。但其总体形状与以E 、F 为长短半轴的椭圆很相似，而且可以证明，通过一定的变通方法，用此椭圆可以代替点位误差曲线进行各类误差的量取，故将此椭圆称点位误差椭圆（习惯上称误差椭圆），E ϕ、E 、
F 称为点位误差椭圆的参数。故实用上常以点位误差椭圆代替点位误差曲线。
为绘制某一点（以第i 点为例）的误差椭圆，必须计算各点误差椭圆
i F E 、、i Ei ϕ，要计算着三个量，必须知道各点的yi x x i
i
i Q 、、i
i y y x Q Q 以及0ˆσ
。 （二）计算题
（1）ˆˆˆ1.52
x y p cm cm σ
σ
σ===，， . （2） 1.540.79E E cm F cm ϕ===74.5或254.5，，
（3）90ˆ 1.5cm ψσ
==
测量平差模拟试题一
一、填空题（10×2分）
1． 、 、 是引起测量误差的主要来源。
2．测量平差的两个主要任务是 和 。
3．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm ，d σ的量测中误差
σ=±0.2mm ，则该两点实地距离S 的中误差s σ为 。
4．如下图，其中A 、B 、C 为已知点，观测了五个角，若设L1、L5观测值的
平差值为未知数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为 。
二、名词解释（4×5分） 1．系统误差
2．平均误差
3．必要观测元素
4．误差椭圆
三、问答题（4×10分）
1．观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？
2．权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?
3．精度评定包括哪些内容？
4．何为误差椭圆？误差椭圆绘制需要哪些要素？
四、计算题（2×10分）
1．设X 为独立观测值L 1、L 2、L 3的函数3217
4
7271L L L X -+=
，已知L 1、L 2、L 3的中误差mm 12,3321===σσσ及mm mm ，求函数的中误差X σ。
2．三角形三个内角作同精度的的观测，得观测值：L1=42°12′20″，L2=78°09′09″，L3=59°38′40″。试按条件平差求三个内角的平差值。
测量平差模拟试题二
一、填空题
1．根据观测误差对测量结果影响的性质不同，可以把测量中出现的误差分为 、 、 三类。
2．通常规定 作为偶然误差的极限值限∆，并称为极限中误差。
3．设X 为独立观测值L 1、L 2、L 3的函数3217
4
7271L L L X -+=
，已知L 1、L 2、L 3的中误差mm 12,3321===σσσ及mm mm ，则函数的中误差X σ为 。
4．测量平差的两个主要任务是 和 。
5．为绘制某一点（以第i 点为例）的误差椭圆，必须计算各点误差椭圆元素 、 、 。
二、名词解释 1．偶然误差
2．单位权中误差
3．最小二乘原理
4．必要观测元素
三、问答题
1．偶然误差有哪几个概率特性?
2．请简要列出四种基本平差方法的数学模型。
3．权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?
4．如何利用纵横坐标协因数计算点位误差？
四、计算题
1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm ，d σ的量测中误差
σ=±0.2mm ，求该两点实地距离S 及中误差s σ。
2．在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即[]11
ˆT X X Y =，平差后得到ˆX 的协因数阵为ˆˆ0.250.150.150.75XX
Q ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=， （1）计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差；
（2）计算P 1点误差椭圆三要素E E F ϕ、、；
（3）计算P 1点在方位角为90方向上的位差。
测量平差模拟试题一答案
一、填空题
1．仪器、观测者、外界条件。
2．求观测值的平差值、衡量评查结果的精度。
3．m
1.0
4．2、3、4、1
二、名词解释
1．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
2．平均误差：在一定观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。
3．必要观测元素：把能够唯一的确定一个几何模型所必要的元素称为必要观测元素。
4．误差椭圆：点位误差曲线虽然有许多用途，但它不是一种典型曲线，作图不太方便，因此降低了它的实用价值。但其总体形状与以E、F为长短半轴的椭圆很相似，而且可以证明，通过一定的变通方法，用此椭圆可以代替点位误差曲线进行各类误差的量取，故将此椭圆称点位误差椭圆。
三、问答题
1．答：可以分为三类：偶然误差，系统误差和粗差。
偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
粗差：粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所可能出现的最大误差还要大的误差，通俗的说，粗差要比偶然误差大上好几倍。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，
则定义：22
0i
p σσ=，称为观测值L i 的权。权与方差成正比。常用的定权方法有距
离丈量的权，水准测量高差的权，同精度观测值的算术平均值的权，导线测量角度闭合差的权，三角高程测量高差的权。
3．答：精度评定包括单位权方差2
0σ 和单位权中误差0σ 的计算、平差值函数)(L f F =的协因数FF Q 及其中误差F σ
的计算等。
4．答：点位误差曲线虽然有许多用途，但它不是一种典型曲线，作图不太方便，因此降低了它的实用价值。但其总体形状与以E 、F 为长短半轴的椭圆很相似，而且可以证明，通过一定的变通方法，用此椭圆可以代替点位误差曲线进行各类误差的量取，故将此椭圆称点位误差椭圆（习惯上称误差椭圆），E ϕ、E 、
F 称为点位误差椭圆的参数。故实用上常以点位误差椭圆代替点位误差曲线。
为绘制某一点（以第i 点为例）的误差椭圆，必须计算各点误差椭圆
i F E 、、i Ei ϕ，要计算着三个量，必须知道各点的yi x x i
i
i Q 、、i
i y y x Q Q 以及0ˆσ
。 四、计算题
1．.解：因为L 1、L 2、L 3是独立观测值，故有
mm
9.0,84.01491644949491)7
4
()72()7
1
(X 2
3
22222122==⨯+⨯+⨯=-++=σσσσσ从而X 2．解：本题有一个条件式，其平差条件为0180321=︒-++L L L
，以
i
L ˆ及i i i v L L +=的值代入上式得条件方程09321=+++v v v 式中"=︒-++=9180)(321L L L w ，条件方程用矩阵表示为[]09111321=+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡v v v ，即A=[]111。因为观测值精度相同，设其权1321===p p p ，则观测值的权阵P
为单位阵，即P=I 。故法方程为31===-T T aa AA A AP N ,法方程为093=+a k ，解得3-=a k ,带入改正数计算公式得[]T
333"-"-"-===K A K QA V T T ，可
见，各角的改正数为平均分配其闭合差，由此可得各角平差值为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡"'︒"'︒"'︒=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡373859060978171242ˆˆˆ321
321321v v v L L L L
L L 。
测量平差模拟试题二答案
一、填空题
1．偶然误差、系统误差、粗差。 2．三倍中误差 3． 0.9mm
4．求观测值的平差值、衡量评查结果的精度。 5．位差的极大值E 、位差的极小值F 和Ei ϕ。 二、名词解释
1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
3．最小二乘原理：由极大似然估计求得的V 值满足条件：min =PV V T ，此即最小二乘原理。
4．必要观测元素：把能够唯一的确定一个几何模型所必要的元素称为必要观测元素。 三、问答题
1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误
差的数学期望为零。
2．答：四种基本平差模型如下
条件平差：)(,00A AL W W A +-==-∆其中 间接平差： d L l l X B -=-=∆其中,。
附有参数的条件平差：0),(0=-+∆+-=W X B A A AL W 附有限制条件的间接平差：0,,=--=∆-=W X C l X B d L l
3．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则
定义：22
0i
p σσ=，称为观测值L i 的权。权与方差成正比。常用的定权方法有距离
丈量的权，水准测量高差的权，同精度观测值的算术平均值的权，导线测量角度闭合差的权，三角高程测量高差的权。
4．答：待定点的纵横坐标的方差是按下式计算的：
yy y
y xx x
x Q p Q p 2
020
22
020
211σσσσσσ====，根据2
22yp xp p σσσ+=可求得点位方差：
)1
1(
)(20202y
x yy xx p p p Q Q +=+=σσσ，进而可求得点位中误差 y
x yy xx p p p Q Q 1100+=+=σσσ 四、计算题
1．解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7m
2
22500d s σσ=
m mm d s 1.0100)2.0(500500±=±=±⨯==σσ 最后写成：S=11.7±0.1m
2．解：（1
）ˆˆˆ1.5x y p cm σ
σ
σ===，，
. （2） 1.540.79E E cm F cm ϕ===74.5或254.5，， （3）90ˆ 1.5cm ψσ
==
国土信息与测绘工程系教案（首页） 班级：课程：误差理论与测量平差授课日期：年月日第周A.提出问题，导入新课 如何处理带有误差的观测数据，即如何建立各种模型，采用何种原则进行数据处理。 第四章平差的数学模型与最小二乘原理 B.授课章节名称：第四章平差数学模型与最小二乘原理 教学要点： 1、观测数、必要观测数、多余观测数 2、函数模型和随机模型 重点： 1、各种函数模型的建立 2、最小二乘原理 难点： 1、针对问题如何建立数学模型 2、最小二乘原理的理论依据 C.教学过程设计 测量平差概述 条件平差法
间接平差法 附有参数的条件平差法 具有约束条件的间接平差法 平差的随机模型 函数模型的线性化 最小二乘原理 作业题布置 第九讲和第十讲 第四章平差的数学模型与最小二乘原理 同学们，我们学习了误差理论的基本概念。那么如何处理观测数据、在处理数据中遵循何种原则？ 本次课程我们将简要地叙述这一问题。 §4.1 测量平差概述 在大地测量中，求定一些点的高程－建立水准网（点间的高差、点的高程元素），求定某些点的坐标－建立平面控制网或3维测量网（角度、边长、边的方位角或者点的2维、3维坐标等元素）。 为了测定一个集几何模型，并不需要测定所有元素的大小，只需要知道其中部分元素就可以了，其它元素可通过它们来确定。例如 ?的形状 1、ABC ?的形状和大小 2、ABC 3、水准网 存在以下概念： 1、必要观测次数t（个数和类型）
2、实际观测次数 n 3、多余观测次数 t n r -= §4.2 测量平差的数学模型 在日常生活和科学研究中，时常见到很多模型，一般主要有实物的模拟模型和数学模型。 测量平差的数学模型包括：函数模型和随机模型 一、条件平差法 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。 在具体测量问题中，实际观测次数 n ，必要观测次数 t ，则多余观测次数 t n r -=，那么可建立t n r -=个条件方程，即： 0)~(=L F i ，),,2,1(r i = 这里 ?????? ? ??=n L L L L ~~~~21 ，??????? ??=n L L L L 21，??????? ?????=?n 21；?+=L L ~ 线性方程的情况下，是 0~1 01=+???r n n r A L A 011=+????r n n r W A ，)(1 011????+=r n n r r A L A W 条件平差的自由读是多余观测数t n r -=，即条件方程的个数。 二、间接平差法 选择几何模型中t 个独立量为平差的参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n 个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称为参数平差法。 在具体测量问题中，实际观测次数 n ，必要观测次数 t ，则多余观测次数 t n r -=。选择t 个函数独立的参数)~,,~,~(21t X X X 后，可有 )~(~1X F L n =? 这里
1、测量学的研究内容：测定和测设。 2、测定：将地面上客观存在的物体通过测量的手段将其测成数据或图形。 3、测设：就是将测量的手段标定在地面上。 4、水准面：静止的水面。 5、大地水准面：水准面与静止的平均海水面相重合的闭合水准面。 6、铅垂线：重力方向线，是测量工作的基准线。 7、地球椭球面是测量工作的基准面。 8、地物：地面上人造或天然固定的物体：地貌：地面高低起伏形态。 9、测量上常用坐标系：天文、大地、高斯平面直角、独立平面直角。 10、绝对高程：地面点沿铅垂线到大地水准面的距离。相对高程：某点到任意水准面的距离。 11、高差：地面上两点之间高程差。 12、半径为10km范围内面积为320km2之内可以用水平面代替水准面时距离产生的误差可忽略不计；测距范围的100km2时，用平面代替水准面时对角度的影响可忽略不计；在高程测量中即使很短的距离也不可忽略。 13、测量工作的原则：a由整体到局部、由控制到碎部；b步步检核。14、测量的基本工作：测角、量边、测高程。15、测绘的基本工作：确定地面点的基本位置。 16、施工测量包括：建筑物施工放样、建筑物变形监测、工程竣工测量。 17、高程测量：测量地面上各点高程的工作。18、水准测量的实质：测量地面上两点之间的高差，是利用水准仪所提供的一条水平视线来实现的。19、高差计算方法：高差法、仪高法。 20、水准仪按构造可分为：微倾式、自动安平、数字水准仪，及水准尺和尺垫。 21、DS3构造：望远镜、水准器，基座。22、水准仪轴线之间的几何条件：a圆水准器轴平行于竖轴b十字丝横丝垂直于竖丝c水准管轴平行于视准轴。23、尺垫的作用：减少水准尺下沉和标志转点。24、水准尺的使用：粗平、瞄准、精平、读数。 24、水准点的分类：永久性和临时性。25、测站的检核方法：双面尺法和双仪高法。 26、水准路线检核方法：闭合水准路线、附合水准路线、支水准路线、水准网。 27、误差：仪器误差，观测误差、外界条件的影响。 28、角度测量：水平角和竖直角测量。29、经纬仪：光学和电子经纬仪。 30、DJ6：基座、水平度盘、照准部（望远镜、竖直度盘、水准管、读数显微镜） 31、经纬仪的使用步骤：对中、整平、瞄准、读数。32、水平角测量方法：测回法，方向观测法。33、距离测量常用的方法：钢尺直接、视距法、电磁波、卫星测距。 34、钢尺量距的误差：定线、尺长、温度测定、钢尺倾斜、拉力不均、钢尺对准、读数。 35、视距测量：利用望远镜内的视距装置配合视距尺根据几何光学和三角测量原理，同时测定距离高差的方法。 36、全站仪功能：角度测量、距离测量、坐标及高程测量、特殊测量功能。 37、直线定向：选择一个标准方向再根据直线与标志方向之间的关系确定该直线方向。 38、测量常用的标准方向线：真子午线、磁子午线、坐标纵轴方向。 39、误差来源：测量仪器、观测者、外界环境条件。 40、测量误差的种类：粗差、系统误差、偶然误差。 41、系统误差：在相同条件下，在某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差。 42、偶然误差：在相同条件下，在某量进行的一系列观测中，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，但大量的误差却具有一定统计规律。 43、偶然误差的特性：a在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限度，即偶然误差是有界的；b绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；c绝对值相等的正负误差出现的个数大致相等；d偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加趋与零。 44、控制测量：在一定区域内为地形测图和工程测量建立控制网，所进行的测量工作。
➢绪论 ➢测量平差理论 ➢4种基本平差方法 ➢讨论点位精度 ➢统计假设检验的知识 ➢近代平差概论 ✧绪论 §1-1观测误差 测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。 一、误差来源 观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面： 1. 测量仪器； 2. 观测者； 3. 外界条件。 二、观测误差分类 1. 偶然误差 定义，例如估读小数； 2. 系统误差 定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距； 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。 3. 粗差 定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标 §2-1 正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。 一、一维正态分布 §2-2偶然误差的规律性
2. 直方图 由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。 3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线） 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性 第三章协方差传播律及权 在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别 又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。 现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。 §3— 1 数学期望的传播
第五章 测量误差及测量平差 §5.1 测量误差概述 一、测量误差的概念 某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差 异，说明观测中存在误差。 观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。 X l i i -=? （i =1、2、……、n ） X 为真值。 二、研究测量误差的目的 分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求 出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。 三、测量误差产生的原因 1.测量仪器因素 2.观测者的因素 3.外界条件的因素 测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合 起来称为测量观测条件。 等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。 非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。 四、测量误差的分类 1.系统误差 在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现 出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。 其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。 2.偶然误差 在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定， 表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然 误差。 偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正 数来消除或减弱其影响。因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶 然误差影响了观测结果的精确性。 五、减少测量误差的措施 对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。 对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。
一、 正误判断（正确“T ”，错误“F ”每题1分，共10 分）。 1．已知两段距离的长度及中误差分别为128.286m ±4.5cm 与218.268m ±4.5cm ，则其真误差与精度均相同（ ）。 2．如果X 与Y 的协方差0xy σ=，则其不相关（ ）。 3．水准测量中，按公式i i c p s =（i s 为水准路线长）来定权，要求每公里高差精度相同（ ）。 4．可用误差椭圆来确定待定点与待定点之间的某些精度指标（ ）。 5．在某一平差问题中，观测数为n ，必要观测数为t ，参数个数u ＜t 且不独立，则该平差问题可采用附有参数的条件平差的函数模型。（ ）。 6．由于同一平差问题采用不同的平差方法得到的结果不同，因此为了得到最佳平差结果，必须谨慎选择平差方法（ ）。 7．根据公式() 222220cos sin 0360E F θσθθθ=+≤≤得到的曲线就是误差椭圆（ ） 。 8．对于特定的平面控制网，如果按间接平差法解算，则误差方程的个数是一定的（ ）。 9．对于同一个观测值来说,若选定一定权常数0σ，则权愈小，其方差愈小，其精度愈高（ ）。 10．设观测值向量,1 n L 彼此不独立，其权为()1 ,2,,i P i n =，12(,, ,)n Z f L L L =，则有 2 22 1122 111 1 Z n n f f f P L P L P L P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）。 二、填空题（每空2分，共24分）。 1、设对某三角网进行同精度观测，得三角形角度闭合差分别为：3秒，-3秒，2秒，4秒，-2秒，-1秒，0秒，-4秒，3秒，-2秒，则测角中误差为 秒。 2、某平差问题函数模型)(I Q =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=-=--=+-+=--0 ˆ0306051 5 4 43 1 2 1x v v v v v v v v ，则该 函数模型为 平差方法的模型；=n ，=t ，=r ，=c ， =u 。 共 4 页第 1 页 3、已知观测值向量21 L 的协方差阵为⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡--=3112LL D ，协因数51 12-=Q ，试求观测值的
第一章思考题（2006） 1。1观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？ 1.2 观测误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测结果有什么影响？试举例说明. 1。3用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号： （1）尺长不准确； （2）尺不水平; （3）估读小数不准确; （4）尺垂曲； 尺端偏离直线方向。 1.4 在水准了中,有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号: （1）视准轴与水准轴不平行；
（2） 仪器下沉; （3） 读数不准确； 水准尺下沉。 1.5 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？ 第二章思考题 2。1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角'"450000α=作12次 同精度观测，结果为: '"450003 '"450004 '"450000 '" 455958 '" 455959 '" 455959 '"450006 '"450003 设a 没有误差，试求观测值的中误差。 2.2 已知两段距离的长度及中误差分别为300。465m ±4。5cm 及660。894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等?他们的精度是否相等？ 2.3 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为： 第一组:3，—3,2，4,—2，—1，0，—4，3，-2 第二组：0，—1，—7，2，1,—1，8，0,-3，1 试求两组观测值的平均误差1ˆθ、2 ˆθ和中误差1ˆσ、2ˆσ,并比较两组观测值的精度。 2.4 设有观测向量1 221 []T X L L =,已知1ˆL σ =2秒,2ˆL σ=3秒,122ˆ2L L σ=-秒，试写出其协方差阵22XX D 。
1、什么是观测量的真值？ 任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。 2、什么是观测误差？ 观测量的真值与观测值的差称为观测误差。 3、什么是观测条件？ 仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。 4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？ 根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。 5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。 6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？ 观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。 7、怎样消除或削弱系统误差的影响？ 一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。 8、测量平差的任务是什么？ ⑴求观测值的最或是值（平差值）； ⑵评定观测值及平差值的精度。 第二章：误差理论与平差原则 1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？ ⑴列表法； ⑵绘图法； ⑶密度函数法。 2、偶然误差具有哪些统计特性？ (1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。 (2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。 (3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。 (4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。 3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？ ⑴制定测量限差的依据； ⑵判断系统误差(粗差)的依据。 4、什么叫精度？ 精度指的是误差分布的密集或离散的程度。 5、观测量的精度指标有哪些？ (1) 方差与中误差； (2) 极限误差； (3) 相对误差。
6、极限误差是怎样定义的？ 在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。通常取三倍中误差为极限误差。当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。 7、误差传播律是用来解决什么问题的？ 误差传播律是用来求观测值函数的中误差。 8、应用误差传播律的实际步骤是什么？ (1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式),,,(21n x x x f z =； (2) 根据函数表达式写出真误差关系式 n n x x f x x f x x f z ???++???+???= ? 2211； (3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。 9、水准测量的高差中误差与测站数及水准路线长度有什么关系？ 当各测站的观测精度相同时，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比；当各测站的距离大致相等时，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。 10、什么是单位权？什么是单位权中误差？ 权等于1时称为单位权，权等于1的中误差称为单位权中误差。 11、应用权倒数传播律时应注意什么问题？ 观测值间应误差独立。 12、观测值的权与其协因数有什么关系？ 观测值的权与其协因数互为倒数关系。 13、怎样计算加权平均值的权？ 加权平均值的权等于各观测值的权之和。 证明：n n L P P L P P L P P P PL x ] [][][][][2211+++== 应用权倒数传播律，有： ][1][1)][(1)][(1)][(122122221 21P P P P P P P P P P P P P P P n n n x =+++= +++= 故：][P P x =
《测量平差》复习题 1、观测误差产生的原因有哪些？ 2、观测条件包括哪些？观测条件与观测质量之间的关系是什么？ 3、根据误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为 和 两类。 4、在相同的观测条件下，对同一个量进行了若干次观测，这些观测值的精度是否相同？误差小的观测值比误差 大的观测值的精度高吗，为什么？ 5、测量平差所要研究的内容是对仅带有 误差的观测值进行适当的处理。 6、测量平差的任务是 和 。 7、真误差通常用符号 表示，其表达式可写为△= 。 8、偶然误差的四个特性。 9、精度的含义。 10、常用的衡量精度的的标准有 、 、 。 11、中误差的计算式即估值为[]n ??± =σ n 和△分别表示什么含义？ 12、中误差的计算（如P 8例1）。 13、在我国统一采用 作为衡量精度的标准，通常用L ±δ的形式来表示某值及其 。 14、 与 的比值称为相对中误差。 15、已知观测值S=500.000m ±10㎜，试求观测值S 的相对中误差。 16、已知S 1=500.000m ±20㎜，S 2=1000.000m ±20㎜，试说明：它们的中误差是否相等？它们的精度是否相同？ 17、设观测两个长度，结果分别为S 1=500.000m ±20㎜，S 2=800.000m ±25㎜。试计算两个长度的和及差的相对 中误差，并比较和与差哪个精度高？ 18、误差传播定律即协方差传播律的公式1、3及应用（例1、2、3）。 19.在一个三角形中观测了两个角度，其值分别为α=30o20′22″±4″， β=60o24′18″±3″，试求第三个角度γ的角值及其中误差σγ。 20、如图1所示的四边形中，独立观测α、β、γ三内角，它们的中误差分别为3.0″、4.0″、5.0″，试求： （1） 第四角的中误差； （2） F=α+β+γ+δ的中误差。 21．如图所示，A ，B ，C 为水准点。已知A 点高程H A =165.470M,设观测A ，B 间的高差为h 1=10.235m,其中误差为 ±4mm ；设观测B ，C 间的高差中误差为h 2=12.580，其中误差为± 5mm ，试求A ，C 点间高差及其中误差。 22、角度观测一测回的中误差为6″，为使最后结果的中误差不超过3″，问该角度应至少观测多少测回？ 23．某一水平角施测了五个测回，现在知道每一测回的观测中误差σ=±39″，试求其五个测回平均值的中误差σx . 24、误差传播定律是用来解决什么问题的？ 25、试述应用误差传播定律的实际步骤。 26、A 、B 两点间观测高差的中误差σhAN =D σ公里中δ公里的含义以及D 的单位。
《测量平差》课程教学大纲 授课对象：交通土建专业总学时：32 学分： 一、课程目的和任务 测量平差是应用最小二乘法原理处理各种观测数据的理论和计算方法的一门技术基础课。 。通过本课程的学习，使学生较系统地掌握各类工程控制网测量平差的理论、方法及其在实践中的应用，加深对最小二乘原理的理解，巩固和深化矩阵代数和概率统计的知识，提高逻辑思维能力，从而为后续专业课程的学习以及日后从事工程控制测量工作奠定一定的理论基础。 二、课程教学基本要求 本课程是一门理论与实践并重的课程，其特点是概念性、理论性强，公式推导与数字计算复杂，所涉及到的数学知识较多，并与普通测量学联系紧密。选修者应具备高等数学、线性代数和普通测量学方面的知识，并对概率统计知识有一定的了解，在学习中提倡多思考勤动手，既要弄清基本理论，又要动手实际计算，理论与实践相结合学好这门课程。 具体要求如下： 1. 掌握测量误差基本理论知识，能熟练运用协方差传播律求观测值函数的中误差； 2. 掌握单个未知量等精度或不等精度观测时，该量最或然值的
求法及观测精度的评定； 3. 能熟练运用条件平差法和间接平差法进行水准网、三角网基本图形的平差计算； 4. 对测边网、边角网、附合三角网平差计算的原理与方法有一定程度的了解；熟悉条件平差、间接平差高斯约化法的矩阵表达形式，并能在有关公式推导中加以运用。 三、教学内容 本课程较详细的介绍了测量误差的基本理论，突出了精度的概念和误差传播等基本知识。对直接平差、条件平差和间接平差等经典平差方法作了系统阐述，并用矩阵代数的知识导出了相应的矩阵运算发方法。 主要内容分为以下几部分： （一）、测量误差理论的基本知识最小二乘原理，观测误差产生的原因、分类及偶然误差的特性，精度衡量的标准，误差传播律，测量平差的原则和任务。 （二）、直接平差 1、等精度观测时未知量（仅一个）最或然值的求法及精度评定。 2、不等精度观测时未知量（仅一个）最或然值的求法及精度评定。 （三）、条件平差 1、各观测值平差值的计算 1) 条件式个数的确定，条件式的列立与线性化；
条件方程 （一）、水准网 1、水准网的分类及水准网的基准 分为有已知点和无已知点两类。 要确定各点的高程，需要1个高程基准。 2.水准网中必要观测数t的确定 有已知点：t等于待定点个数 无已知点：t等于总点数减一 3、水准网中条件方程的列立方法 列条件方程的原则：1、足数； 2、独立；3、最简 （1）、先列附合条件，再列闭合条件 （2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一 （3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件 在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简原则。 边角网条件方程 单一附合导线的条件方程 一个方位角条件
两个坐标条件 纵坐标条件为 所以纵坐标条件方程为： 纵坐标条件方程的最终形式为：
GPS基线向量网三维无约束条件平差 1.GPS基线向量网的观测值 2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t 3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立 GIS数字化数据采集中，折角均为90°的N边形的条件方程 直角条件：
小结： 一、条件平差及其目的 二、条件平差的原理 三、总结了条件平差的步骤（1）根据具体问题列条件方程式；（2）组成法方程式， （3）解法方程； （4）计算改正数V， （5）求观测值的平差值 （6）检核 （7）精度评定
附有参数的条件平差
小结 1、为了某种需要，选择参数； 2、每选一个参数，就增加一个条件方程，选择u 个参数，就增加u 个条件方程； 3、条件方程的总数c=r+u ； 4、单位权中误差的计算公式不变； 5、求平差值函数的中误差时，应将平差值函数分别对观测值的平差值和参数求偏导数。
《误差理论与测量平差基础》课程学习指南 2011.09 一、课程学习目标 通过学习牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，熟悉三种控制网平差的全过程，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。 二、课程知识结构 本课程由两大部分内容组成，即误差理论和测量平差基础。误差理论部分是研究误差来源以及处理方法、研究偶然误差的统计性质、误差分布、误差的传播以及衡量精度的指标等。测量平差基础部分处理带有偶然误差的观测值，求出待求量的最佳估值，并评定测量成果的精度。课程学习内容分细为七块，即，误差理论、测量平差原理、测量平差方法、测量平差计算、点和线的位置误差、假设检验、近代测量平差等。学习的层次可分为:理论、原理、方法、应用四个层次，其中，平差原理、平差方法、平差计算为测量平差学习的核心内容。 三、基本要求 1、基本知识部分： 1)误差理论部分 ✧了解观测误差产生的原因； ✧掌握误差分类及其处理方法； ✧掌握偶然误差的统计特性以及误差分布； ✧掌握衡量精度的绝对指标和相对指标； ✧了解测量平差的任务和内容。 ✧掌握求函数的协方差阵（协因数阵）的方法。
2)测量平差基础部分 ✧掌握测量平差的数学模型（包括函数模型和随机模型）概念； ✧掌握间接平差、条件平差以及附有限制条件的条件平差函数模型建立方法； ✧了解最小二乘准则及其最小二乘估计的统计特性。 ✧掌握基本平差原理、平差计算公式以及精度评定方法。 2、理论联系实际部分 1）掌握三角网、导线网、GPS网间接平差时误差方程式建立、条件平差时条件式建立方法、观测值权阵确立方法。 2）平差计算：分组平差原理、高斯约化原理。 3）掌握点位（误差椭圆）、直线元位置误差的计算。 3、近代平差部分 掌握秩亏自由网平差原理及其平差计算公式。 四、学习建议 1、开始学习前预习高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识。 2、对公式推导过程要有清晰的认识，熟悉各种平差方法中基本向量之间的关系，且明辨 公式中的符号所对应的向量。 3、每一个知识点均需做一定的习题，巩固课堂理论知识； 4、所有平差方法学习之后，同一算例采用不同方法求解，得出一致结果。据此总结和归 纳各种平差方法的异同点。 五、各章学习重点、难点以及学习方法 第1章测量误差理论 学习目的：了解测量误差的来源和性质，掌握各种误差处理方法。掌握协方差、协因数传
一、名词解释 1、偶然误差； 2、真误差； 3、 精度； 4、准确度； 5、权； 6、单位权中误差； 7、必要观测； 8、多余观测； 9、最或然值；10、坐标平差；11、函数模型；12、随机模型；13、统计假设检验；14、显著水平；15、区间估计；16、点估计。 二、填空题 1、判断下列情况是偶然误差还是系统误差。 （1）钢尺测距中尺长不准确是（ ），钢尺垂曲（ ），估读不准确（ ）。 （2）水准测量中水准仪视准轴与水准轴不平行（ ），读数不准确（ ）。 2、设观测值、真误差、观测值的真值、观测值的平差值、观测值改正数分别表示为：L 、 ∆、L 、ˆL 、V 。则有： ()E L = （ ）；()E ∆=（ ）；()E L = （ ）；ˆ()E L =（ ）； ()E V =（ ） ；()D L =（ ）；()D ∆=（ ）；()D L =（ ）； ˆ()D L =（ ）；ˆLV D =（ ） 。 3、设Y k X T =，Z hX =，则有； YY D =（ ）；ZZ D =（ ）；YZ D = （ ）； YY Q = （ ）；ZZ Q =（ ）；ZY Q =（ ）。 4、同精度独立观测值12,,,N L L L 的算术平均值为L ，各观测值的权为1。其平均值方差为（ ），中误差为（ ），权为（ ）。 5，在附有限制条件的条件平差函数模型中字母c 的含义（ ）； u 的含义（ ）；s 的含义（ ）；t 的含义（ ）；r 的含义（ ）。 5、观测值L 的平差值ˆL 具有最优性，表现在（1）ˆL 是L 的（ ）估计量；（2）ˆL 的方差具有（ ）；ˆL 具有（ ）性。 6、常用的假设检验方法有：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 三、计算、证明题 1、设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角123,,L L L ，其中误差为σ。试求将三 角形闭合差分配后的各角123 ˆˆˆ,,L L L 的协方差阵。
计算题 1、如图，图中已知A 、B 两点坐标，C 、D 、E 为待定点，观测了所有内角，试用条件平差的方法列出全部条件方程并线性化。 解：观测值个数 n =12，待定点个数t =3，多余观测个数r =n -2t =6 ① 图形条件4个： ② 圆周条件1个： ③ 极条件1个： 3、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。 用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差； 高差观测值/m 对应线路长度/km 已知点高程/m h 1= -1.348 h 2= 0.691 h 3= 1.265 h 4= -0.662 h 5= -0.088 h 5= 0.763 1 1 1 1 1 1 H A =23.000 H B =23.564 C B =23.663 3、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4； 选D 、E 平差值高程为未知参数2 1ˆˆX X 、 则平差值方程为： 则改正数方程式为： 取参数近似值 255.24907.2220221011=+==++=h H X h h H X B B 、 令C=1，则观测值的权阵： 组法方程0ˆ=-W x N ，并解法方程： 求D 、E 平差值： 2）求改正数：
则单位权中误差为： 则平差后D 、E 高程的协因数阵为： 根据协因数与方差的关系，则平差后D 、E 高程的中误差为： 4、如图，在三角形ABC 中，同精度观测了三个内角：4000601'''︒=L ，5000702'''︒=L ，7000503''''︒=L ，按间接平差法列出误差方程式。 解：必要观测数t =2，选取1L 、2L 的平差值为未知数1ˆX 、2ˆX ，并令101L X =、20 2L X =， 则 5、如图为一大地四边形，试判断各类条件数目并列出改正数条件方程式。 解：观测值个数n =8，待定点个数t =2，多余观测个数42=-=t n r 3个图形条件，1个极条件。 6、如下图所示，为未知P 点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线）， A 、 B 为已知点。 1）试在误差曲线上作出平差后PA 边的中误差，并说明； 2）试在误差椭圆上作出平差后PA 方位角的中误差，并说明； 3）若点P 点位误差的极大值E ＝5mm ，极小值F ＝2mm ，且︒=52F ϕ,试计算方位角为102º的PB 边的中误差。 解：1）在误差曲线上作出平差后PA 连接PA 并与误差曲线交点a ，则Pa 2）在误差椭圆上作出平差后PA 作垂直与PA 方向的垂线Pc ，作垂直与Pc 垂足为c 点，则Pc 长度为平差后PA 则平差后PA 方位角的中误差： 3）因为︒=52F ϕ 则：︒=142E ϕ 则：︒-=︒-︒=-=ψ40142102E ϕα
测量平差课程教学内容及方法革新 随着社会人才结构的需求和经济发展的现状，以及社会主义现代化建设中对高技能人才的需要，国家对高等职业教育逐渐重视并制订了相关政策扶持。1996年，全国人大通过并颁布了《中华人民共和国职业教育法》，从法律上确定了高职教育在我国教育体系中的地位。1999年全国教育工作会议的召开，中央提出"大力发展高等职业教育";的工作要求，我国高职教育进入了蓬勃发展的历史新阶段。 高职教育与本科教育的侧重点不同，本科教育是使学生在充足的学习时间（一般4年）培养学生具有坚实的理论基础和完善的知识体系，而高职教育所培养的人才就是符合市场和就业需求的技能型的人才，市场需要什么样的人才，应该具备哪些能力，高职教育人才培养就应该以此作为出发点去考虑，因此理论知识的考核以"必需、够用";为准则，在办学过程中应该更加重视对学生动手能力和职业技能的培养。 "411三阶段";人才培养模式应运而生，甘肃建筑职业技术学院自2007年开始实行，成效显著。测绘专业毕业生基础技能过硬、就业率在省内高校一直位居前列，深受用人单位的好评。"411";中的"4";指4个学期进行专业基础课程的教育此为第一阶段；"1";学期进行综合实训，针对测量任务进行综合实训，将前面一阶段所学各门专业课程知识使用在一起；最后一个"1";指最后一学期顶岗实训。通过这三阶段培养，使学生适应就业的要求，具备岗位所需的职业技能。在"411三阶段";人才培养模式的要求下，为适应就业动态性、发展性要求，培养学生的岗位的目的性、学习能力、操作能力和适应发展能力，我们对工程测量技术专业的非常重要、难度也比较大的专业课《测量平差》进行了改革。 1课程特点
《测量平差》教案 第五章 条件平差 第一节 条件平差原理 一、条件方程和改正数条件方程 列出用观测值真值和真误差表示的条件平差函数模型 导出用按最小二乘准则求得的观测值平差值和观测值改正数表示的条件平差的函数模型 () 1 ,1 ,0ˆr r L F =——条件方程 01 ,1 ,,=-r n n r W V A ——改正数条件方程 ()L F W -=——改正数条件方程常数项（闭合差）计算式 举例（单三角形函数模型的建立） 二、条件方程的纯量表达式和矩阵表达式 r 个条件方程的纯量表达式： ()()( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫===0ˆ,,ˆ,ˆ0ˆ,,ˆ,ˆ0ˆ,,ˆ,ˆ21212211n r n n L L L F L L L F L L L F 线性化后得改正数条件方程 ⎪⎪⎭ ⎪ ⎪⎬⎫=-+++=-+++=-+++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a 其中 ()()()⎪⎪⎭ ⎪ ⎪⎬⎫-=-=-=n r r n b n a L L L F w L L L F w L L L F w ,,,,,,,,,21212211 令 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢ ⎢⎢⎢⎣⎡=n n n r r r b b b a a a A 212 1 2 1, ⎥⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r r w w w W 211,, ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡= n n v v v V 211, 则改正数条件方程及其闭合差计算的矩阵表达式分别为 0=-W AV
()L F W -= 三、基础方程 按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为()T r b a r k k k K =1 ,，称为联系数向 量。组成函数 ()W AV K PV V T T --=Φ2， 对其求导整理得改正数V 的计算公式 K QA K A P V T T ==-1——改正数方程 当P 为对角阵时，改正数方程的纯量形式为 ()n i k r k b k a v r i b i a i p i i ,,2,1, 1 =+++= 改正数条件方程与改正数方程联立，称为条件平差的基础方程。此时，方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。 四、基础方程的解 将改正数方程代入改正数条件方程，得 0=-W K AQA T ， 令 T T aa A AP AQA N 1-==， 得 0=-W K N aa ——联系数法方程 秩()() ()r A R AQA R N R T aa ===,即aa N 是个r 阶的满秩方阵，由此解出 W N K aa 1 -= 当P 为对角阵时，法方程的纯量形式为 [][][][][][][][][] ⎪⎪⎭ ⎪ ⎪⎬ ⎫=-+++=-+++=-+++000r r p rr b p br a p ar b r p br b p bb a p ab a r p ar b p ab a p aa w k k k w k k k w k k k 解出K ，将其代入改正数方程，求出改正数V ，在按V L L +=ˆ可求得平差值。 五、条件平差步骤及示例
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 测量平差复习题及答案 一、综合题 1．已知两段距离的长度及中误差分别为cm m5.4 465 . 300±及cm m5.4 894 . 660±，试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？ 答：它们的真误差不一定相等；相对精度不相等，后者高于前者。 2．已知观测值向量 ⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ = 2 1 21L L L 的权阵为 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 3 1 3 1 3 2 LL P ，现有函数2 1 L L X+ =， 1 3L Y=,求观测值的权1L P ，2L P ，观测值的协因数阵XY Q。 答： 1 2/3 L P=； 2 2/3 L P=；3 XY Q= 3．在下图所示三角网中，A．B为已知点，4 1 ~P P为待定点，已知3 2 P P 边的边长和方位角分别为0 S 和0 α ，今测得角度14 2 1 , , ,L L LΛ和边长 2 1 ,S S，若按条件平差法对该网进行平差：（1）共有多少个条件方程？各类条件方程各有多少个？ （2）试列出除图形条件和方位角条件外的其它条件方程（非线性条件方程不要求线性化）答：（1）14216,6,10 n t r =+===，所以图形条件：4个；极条件：2个；边长条件：2个；基线条件：1个；方位角条件：1个 （2）四边形 14 ABPP的极条件（以 1 P为极）： 34131 241314 ˆˆˆˆ sin()sin sin 1 ˆˆˆˆ sin sin sin() L L L L L L L L + ⋅⋅= + 四边形 1234 PP P P的极条件（以 4 P为极）：
第二章全章共分5节，是本课程的重点内容之一。 重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。 难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。 要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。 第三章全章共分7节，是本课程的重点内容之一。 重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。 难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。 要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系； 能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量 实践中去，解决各类精度评定问题。 第四章全章共分5节。 重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。 难点：函数模型的线性化，随机模型。 要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；对于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。 第五章全章共分4节，是基本测量平差方法之一。 重点：条件平差的数学模型,平差原理,基础方程及其解以及精度评定问题。 难点：各种不同类型的控制网（水准网，测角网和测边网）中，必要观测数——t 的确定，非线性条件方程线性化，以及求平差值非线性函数的中误差。 要求：通过本章的学习，能牢固掌握并能推导条件平差全部的公式；能熟练地列出各种控制网中的条件方程并化为线性形式；并求出平差值、单位权中误差和平差 值函数的中误差。 第六章全章共分3节，是基本测量平差方法之一。 重点：附有参数的条件平差数学模型，平差原理，基础方程及其解。 难点：各种不同类型的控制网中，条件方程个数——c 的确定，函数模型的建立。
《测量平差》 学习辅导 第一章测量平差及其传播定律 一、学习要点 （一）内容： 测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。 （二）基本要求： 1．了解测量平差研究的对象和内容； 2．掌握偶然误差的四个概率特性； 3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律； 4．了解权的定义与常用的定权方法； 5．掌握协方差传播率。 （三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。 （四）难点：协方差、协因数传播率 二、复习题
（一）名词解释 1．偶然误差 2．系统误差 3．精度 4．单位权中误差 （二）问答题 1．偶然误差有哪几个概率特性? 2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些? （三）计算题 1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm， σ的量测中误差σ=±0.2mm，求该两点 d 实地距离S及中误差 σ。 s 三、复习题参考答案 （一）名词解释 1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。 2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这
种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。 3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。 4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。 （二）问答题 1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。 2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：2 20i p σσ=，称为 观测值L i 的权。权与方差成正比。常用的定权方 法有距离丈量的权，水准测量高差的权，同精度观测值的算术平均值的权，导线测量角度闭合差的权，三角高程测量高差的权。 （三）计算题 解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7m