三大几何难题
古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。
古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。
这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。
1.化圆为方
圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。
2.三等分任意角
用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？
3.倍立方
关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题.
由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。而倍立方则是起源于建筑的需要，这也反应了数学的发展是离不开现实社会的推动的。
三个几何难题提出后，有很多人都为之做了不懈的努力。可以说，但凡是数学史上称得上是数学家的人，都研究过这个问题。由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数，例如割圆曲线、阿基米德螺线等。但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求，因此也不算解决了三大难题。但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解，可以发现，只有冲破尺规的限制才能解决问题。正如很多事情，我们觉得无论如何也找不到解决的办法，就是因为有太多的枷锁罩在我们身上，只有打破这些桎梏，才会豁然开朗，找到一片新天地。
三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，因此一个几何量是否能用尺规作出，则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示：
1化圆为方设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?
2三等分角将三等分角的问题转化为方程的根能否用尺规作出.
3倍立方设给定的立方体的边为单位长,设边长为x的立方体的体积为2,则x满足:
x3=2.即数x=32是否能用直尺和圆规作出?
1873年,法国数学家闻脱兹尔在研究阿贝尔定律化简时,首先证明了三等分角和倍立方
是不能用尺规作图解决的;接着,1882年,德国数学家林德曼证明化圆为方问题也是不能用尺规作图解决的；1895年，德国数学家克莱因总结了前人的研究，给出三大问题不可能用尺规作图的简明证明，三大几何难题这才算彻底解决了。
尺规作图这是一个纯几何问题，但最终却是用代数的方法来解决的，这正是数形结合强有力的一个例子。三大问题的解决，其实质是人们对数与形及其变换的认识问题。到19世纪，数与形这两个数学的重要分支才算真正走到一起，并且密不可分起来。现代数学问题中，有很多也是像尺规作图一样，看上去是一个几何问题，但其本质却是一个代数问题，只有抓住其本质，才能拂去眼前的重重迷雾，找出解决问题的方法。三大难题的解决，也表示出当一个问题无论如何也找不到解决的方法，那我们就不必在一条死路上徘徊不定，而要大胆地探索，换个角度去思考问题，说不定就可以柳暗花明又一村。
在三大几何问题的探索过程中，有数不计数的数学家们前赴后继地为之努力，甚至为此耗费了一生的光阴。在其中，则有不同的表现。有的人坚信着问题一定会有解决的方法，他们认为只是还没有找到这个方法而已。有的人则在解决问题的过程中灵活变通，巧妙地增加了一些条件，以此来帮助解答。例如阿基米德在直尺上注明了两个点，解决了三等分角问题；柏拉图用了两块三角板解决了倍立方问题……还有的数学家在此基础上，探索出了一些新的数学问题与理论，例如柏拉图的学生门奈赫莫斯为了解决倍立方问题发现了圆锥曲线；在求解三等分任意角的过程中，希腊数学家相继发展了高等几何。其中有尼科梅德斯的蚌线，希皮亚斯的割圆曲线，还有阿基米德的螺线等等，这些曲线都是从运动的观点来加以认识的。其中割圆曲线发明最早，影响也最大。
但还有的人，时至今日，三大几何问题可以说是已彻底解决，他们不看这些证明，想独步古今中外，压倒所有前人的工作。他们宣称自己已经解决了三大问题中的某一个，但其实他们并不了解问题不可解的道理，并不是所有的问题都可以解决的，困难和不可能之间也并不是等同的。在事实真理面前，不能为了自己的私利，忽视真相，盲目地探索研究，结果只是做无用功，白白虚度了光阴。更全面、更深刻地了解数学，总结经验教训，探索发展规律，这是我们学习数学史的目的，也能帮助我们更好地研究数学。
古希腊的三大几何作图难题，是数学史上璀璨的一笔，在整个数学史上很难找到这三个问题一样具有经久不衰的魅力。其魅力不仅仅是体现在其问题本身，更多的是数学家们的不懈努力，希腊人的巧思，阿拉伯人的学识，西方文艺复兴时期大师们的睿智以及最终19世纪的完美解答，正是有他们一代一代的持之以恒，正是有前浪推后浪的探索研究，才会有绚丽的数学史，才会有数学的蓬勃发展。
引人入胜的千古难题 ——三大尺规作图问题 尺规作图是我们熟知的内容。尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。 公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。 任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。 正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。 古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。希腊人为解决三大几何问题付出了许多努力，后来许多国家的数学家和数学爱好者也一再向这三大问题发起攻击，可是，这三大问题却在长达2000多年的漫长岁月里悬而未决。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，似乎应该可以用尺规作图来完成，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。
企业管理的三大核心问题及解决方法 2019/9/27 一、品质管理 如今的市场最主要的竞争逃不开品质、价格和服务，若是能做到品质佳、价格低、服务好，并远远领先其他公司，主宰市场不是梦。 很多公司为了达成生产值，产量目标，不得不投入大批的人力物力，并消耗大把的时间，反而造成了新成员低品质、多工时，低效率的状态。这是什么原因呢，下面我们一起来分析一下。 从品质管理来看： 1. 大量新进员工缺乏品质管制意识。 2. 基层干部缺乏工作教导实务经验。 3. 整体忙于目标产值追求，问题盲点即不断发生。 4. 虽然问题有分析，但是落实度很差，执行力度欠缺(说话一流，文章二流，做事三流) 5. 人的品质待教育，生产制程要改善，产品良率须提升。 内部品质管理 1. 内部品质管理包函三个层面：即产品的品质，过程的品质和人的品质(简称为现品，现场，现人)，高素质的人在最佳过程中进行研发生产，才能制造出品质优良的产品。 2. 品质决定于(人，机，料，法，环)：产品品质的好坏与生产过程中4MIE紧密相关，尤其人的品质是决定产品品质的关键。
3. 品质异常处理：要以手法分析不良因素(层别法，查检表，管制图，散布图，鱼骨图，直方图，柏拉图)，并落实矫正对策及预防措施方案。一般来说，企业里的不良因素主要是人为管理不足，物料异常等问题造成的，而人为管理失误往往是其中的最大要因。 4. 对策：以教育训练提升人的品质，并落实改善品质措施。 A：短期(立即执行) 用手法对问题进行深入的讨论和分析，并认真落实相关对策，根据原则全方位考量怎样改进。 B：中期(有效训练措施) 在中期，要实施班活动，通过关注每个岗位一周以来反应出来的品质状况，并让作业员对品质管理提出自己的问题与想法，集中他的参与感和责任心。品管圈活动中可运用脑力激荡，品质改善提案，竟赛等各类管理训练措施。 C：长期(积极教育训练) 1）不定期或按计划全面实施职前，在职，重点，机会品质教育。 2）公司举办年度品管圈竟赛，品质征文，征图，品质标语，并品质演讲等意识教育，用来凝聚形成公司全体品质意识，从而提升全员无形中的品质观念。 3）落实质量体系相关精神，教导全员质量体系是平时的作业规范，而并非是应用一时审查稽核，质量体系精神在公司内作横向及纵向全面展开，则公司全员皆为审查员。 二、生产管理
尺规作图三大几何难 题
安溪六中校本课程之数学探秘 尺规作图三大几何问题 一、教学目标 1．让学生了解尺规作图三大几何问题如何产生的？ 2．经历探索尺规作图三大几何问题如何解决的过程，进一步体会数学方法思想。 3．学生通过自主探究、合作交流体会尺规作图三大几何问题有什么教育价值？ 二、问题背景 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是
“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。或描述如下: 这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的： 1.立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 2.化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 3.三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。 三、问题探秘 1.立方倍积 关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛稜长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：「棱二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟
世界数学十大未解难题 （其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决 的问题”） 一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 三：庞加莱(Poincare)猜想
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在科学史上留下了浓浓的一笔。这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。 一.三大难题的提出 实际中存在着各种各样的几何形状，曲和直是最基本的图形特征。相应地，人类最早会画的基本几何图形就是直线和圆。画直线就得使用一个边缘平直的工具，画圆就得使用一端固定而另一端能旋转的工具，这就产生了直尺和圆规。 古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。 漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。 1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分。 2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。 3.化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。 这就是著名的古代几何作图三大难题，它们在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。 二.貌以简单其实难 从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。 其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。可是谁也想不出解决问题的办法。三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出？数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。 三.高斯的发现 历史的车轮转到了17世纪。法国数学家笛卡尔创立解析几何，为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段，解决三大难题有了新的转机。 最先突破的是德国数学家高斯。他于1777年4月30日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭。他的祖父是农民，父亲是打短工的，母亲是泥瓦匠的女儿，都没受过学校教育。由于家境贫寒，冬天傍晚，为节约燃料和灯油，父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉。高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯，在微弱的灯光下读书。他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱，15岁时被公爵送进卡罗琳学院，1795年又来到哥庭根大学学习。由于高斯的勤奋，入学后第二年，他就按尺规作图法作出了正17边形。紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数，那么正P边形就可以用尺规作图法作出，否则不能作出。 由此可以断定，正3边、5边、17边形都能作出，而正7边、11边、13边形等都不能作出。高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩，而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献。他被人们赞誉为“数学王子”。高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正17边形，以纪念他少年时代杰出的数学发现。 四.最后的胜利 解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直
2012年中考数学压轴题分类解析 专题7：几何三大变换相关问题 授课老师：黄立宗 典型例题选讲： 例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对 应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的 条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形． 例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE ①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）； （3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）． 例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线 OP与该抛物线交点的个数。 巩固练习 1、（2012黑龙江大庆）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0). （1）结合坐标系用坐标填空． 点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称
尺规三大作图问题 尺规作图是我们熟知的内容。尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。直尺和圆规所能的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、圆点、作一条直线与一个圆的交点。 公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。 任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。 正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。
领导者落实决策时常遇到的三大问题 于领导者来说，只有在愿意花费时间用心去努力工作的情况下，才能最终达到熟能生巧的目标。 最近，金宝汤公司前首席执行官道格·科南特在与梅特·内尔高合着的新书《接触点》中就利用本人亲自经历的一起事件对该观点进行了清晰明确的全面说明。2008年的时间，由于全球经济危机初露端倪，这让科南特开始产生公司内部员工将会受到消极影响的担心；因此，他作出决定，亲自前往基层各单位进行工作视察，并将行程设定为从管理办公室到装卸码头在内的公司全部运营区域。在这些地方，他与广大基层员工展开面对面的交流，了解他们心中的实际想法。通常情况下，他选择利用计步器来设定目标；具体来说，就是每天都要走完一万步。 当然，怀疑论者也可能会提出这样的问题：“对于财富五百强公司的首席执行官来说，难道真的就没有比这更重要的事情要做了么？＂在这种情况下，正确答案也许真的就是确实没有！今年的早些时间科南特正式宣布退休，此时的他已经被认为属于全美范围内最受尊敬和（爱戴）的首席执行官之一。实际上，他所做的工作远远不止走访和交流这么简单；在他的领导下，金宝汤公司从危机中成功地走了出来，并继续着保持高速发展的态势。 从我个人所了解到的实际情况来看，科南特展示出的行为就非常类似最优秀领导者会选择的正确做法。这类领导者都非常明白，除非了解到其它人内心深处的实际想法，否则就不能让执行者心悦诚服地接受安排的任务。因此，对于领导者来说，作出决定前必须认识到周围其它人会表现出来的具体反应情况；只有实现这一点，才能在确定实际发展方向的时间获得来自所有人的支持。 在《接触点》一书中，科南特与内尔高提出了一种被称作“头、心和手”的执行模式。具体来说，就是领导应当利用逻辑、情感以及个人承诺等方面的多种措施来落实作出的决策。 毕竟，当涉及到实际落实领导决策这一问题上，人们是无法滥竽充数的。这时间，只有努力开展工作，才属于真正正确的答案。科南特与内尔高就引用了温顿?马萨利斯在《年轻爵士乐音乐家指南：行路信集》一书中所提出的观点：“在选择职业的时间，人们不能够仅仅依靠对于游戏的热爱而冲动决策。这种爱只会让人变得非常愚昧，用屁股而不是大脑来进行思考。” 现在，具体到领导者来说，当涉及到领导力相关问题的时间，也将会面临着同样的挑战。在这里，问题的关键并不在于口头说要做的事情是什么，而是实际在做的事情是什么。因此，现在的问题就变成了怎样才能做到这一点？对于广大领导者来说，这就意味着深入思考下面列出的三大问题：公司真正需要的究竟是什么？我们可以利用另一个问题来回答该问题。这就是：究竟怎样做才能保证员工可以获得成功？对于领导者来说，确保员工拥有可以履行公司所赋予任务而必备的工具、资源和管理措施就属于不可推卸的天然职责。
2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题13：几何三大变换问题之对称 一、选择题 1.（2004年浙江绍兴4分）如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD等于【】 A．108°B．144°C．126°D．129° 【答案】C。 【考点】矩形的性质，折叠对称的性质。 【分析】展开如图：五角星的每个角的度数是： 0 180 36 5 。 ∵∠COD=3600÷10=360，∠ODC=360÷2=180， ∴∠OCD=1800－360－180=1260。故选C。 2.（2004年浙江湖州3分）小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是【】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】剪纸问题，折叠对称的性质，正方形的性质。 【分析】按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个等腰直角三角形，展开得：剪去的为一正方形，且顶点在原正方形的对角线上。故选D。 3.（2007年浙江绍兴4分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是【】
A．向右平移7格 B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称 C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称 D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格 【答案】D。 【考点】轴对称和平移变换。 【分析】观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格。故选D。 4.（2008年浙江台州4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移， 我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换 ．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结 合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换 ．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是【】 A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行 【答案】B。 【考点】新定义，轴对称变换和平移变换的性质。 【分析】观察图形，因为进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的； 对应点连线是不可能平行的，D是错误的； 由对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分。故选B。 5.（2011年浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，
数学史上的三大几何问题 一、立方倍积 关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛棱长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗， 使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：「稜二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟疫仍不见消灭。人们困扰地再去问神，这次神回答说：「你们所做的祭坛体积确是原来的二倍，但形状却并不是正方体了，我所希望的是体积二倍，而形状
仍是正方体。」居民们恍然大悟，就去找当时大学者柏拉图（Plato）请教。由柏拉图和他的弟子们热心研究，但不曾得到解决，并且耗费了後代许多数学家们的脑汁。而由于这一个传说，立方倍积问题也就被称为提洛斯问题。
数学史上的三大几何问题 二、化圆为方 方圆的问题与提洛斯问题是同时代的，由希腊人开始研究。有名的阿基米得把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r，圆周就是2πr，面积是πr2。由此若能作一个直角三角形，其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r，则这三角形的面积就是(1/2)(2πr)(r)=πr2与已知圆的面积相等。由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。但是如何作这直角三角形的边。即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长，这问题阿基米德可就解不出了。 我们都知道化圆为方是由古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯提出的，但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解决自己提出的问题。 实际上，这个化圆为方问题中的正方形的边长是圆面积的算数平方根。我们假设圆的半径为单位1，那么正方形的边长就是根号π。 直到1882年，化圆为方的问题才最终有了合理的答案。德国数学家林德曼（Lindemann,1852~1939)在这一年成功地证明了圆周率π=3.1415926......是
几何问题解题思路 数量关系技巧包含了数学运算技巧和数字推理技巧两大部分，公务员考试数学运算是最为考生所头疼，其所占分值高并且难度也高。今天中公教育为考生整理了数量关系答题技巧中的几何问题解题思路，希望对考生有所帮助！ 中公教育为考生整理了几何问题考点的解题思路和技巧，望考生注意以下几个方面。 第一个方面，几何基本公式： 三角形的面积=底×高÷2，长方形(正方形)的面积=长×宽，梯形的面积=(上底+下底)×高÷2，圆形的面积=π×半径的平方，长方体(正方体)的面积=长×宽×高，圆柱体的体积=底面积×高，圆锥体的面积=底面积×高÷3。 第二个方面，几何问题的“割补平移”思想。 中公教育提醒考生，当看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。 第三个方面，几何极限理论。 平面图形：①周长一定，越趋近于圆，面积越大，②面积一定，越趋近于圆，周长越小； 立体图形：①表面积一定，越趋近于球，体积越大，②体积一定，越趋近于球，表面积越小。 实战例题： 【例题】半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中AB弧与AD弧为四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方米？ A.25
B.10+5л C.50 D.55 【中公教育解析】如下图：连接BD，作矩形BDMN，将下面的四分之一圆弧的半径画出来，可见该部分面积分为彩色的两部分。上面部分是半圆，下半部分是矩形面积减去2个四分之一圆，即矩形面积减半个圆形面积二部分之和，正好是矩形面积，即10×5=50平方厘米。故答案为C。 最新招考公告、备考资料就在辽宁事业单位考试网 https://www.doczj.com/doc/d61166196.html,/liaoning/
阅读文献三大问题 阅读文献存在的问题可以归纳为三个：坐不住，记不住，想不开。 一：坐不住 坐不住，指的是不喜欢看文献。为什么我们喜欢看小说，看电视剧，却不喜欢看文献呢？首先是因为看文献难，其次是因为看小说、电视剧更有趣，而看文献却枯燥乏味。 1.通过大量阅读使看文献成为自己擅长的事情。人们总是对自己擅长的事情感兴趣，当大量阅读文献之后，积累了某一领域的基础知识，领悟到了阅读文献的方法，再去看文献难度降低很多，就容易静下心来读了。一开始看文献，好比跑马拉松，很痛苦；熟练了之后，好比散步，很轻松。此外，在某一领域内阅读了一定量的文献之后，对该领域变得熟悉起来，而熟悉也可以增强兴趣。 2.带着问题看文献。问题一旦提出，就有了回答的需求。带着问题看文献，满足了自己回答问题的需求，而需求得到满足就会导致快乐，所以带着问题看文献会更有兴趣。需要注意的是，提出问题之后，不要马上看文献，而要冥思苦想一段时间。这就如同人在不是很饿时吃饭没胃口，如果饿了一天之后，随便吃什么都觉得很好吃。冥思苦想的阶段，就好比忍饥挨饿的阶段，可以很好地“酝酿兴趣”。 3.树立明确的目标。例如，一天看一篇文献，或者一周精读一篇文献。树立目标之后，就有了看文献的动力。如果能找到同学和自己树立同样的目标，相互监督、交流，则效果会更好。 二、记不住 精简记忆内容，抓重点，舍次要。把文献精简为一句话，几句话，或者很短的一段话。对于重要文献，定期的复习很重要。向别人介绍文献内容 马臻老师曾经在《解答读者问题——读文献等》的博文中说过：“好的文献至少要读三遍。做试验前读一遍，实验中读一遍，写文章时再读一遍。”这个建议很好。做试验前看过的文献，可能在做实验中就会忘记，也可能没有注意到对自己有用的细节，在做实验中再看，往往有新的发现。 读文献当然不可能啥都记住的，很多细节问题（如这个峰、那个峰）大多记不住，也不必都记住。但是关键在于领会：（1）这篇文章研究了什么东西？（2）为什么要做这个研究？（3）得到了什么关键结果和论断？如果你要开展后续研究的话，还可以思考（4）这篇文章有什么不足？怎样开展后续研究？ 三、想不开 1.本文有多重要，为什么？判断研究重要性的能力是科研鉴赏力的主要构成。经典文献，可以作为“重要研究”的阳性对照。看一篇经典文献，“这篇文献重要吗？”，回答一定是肯定的。“这篇文献为什么重要？”，才是重点思考的问题。只有弄清楚了重要的原因，在分析将来的文献时，才能准确判断出其重要性。所以，阅读文献，应该从经典文献开始，并弄清楚经典文献重要的原因。 2.作者为什么能想到这个选题？我能够想到吗？决定科研人员水平的关键就是选题。选题关注三点：创新性，重要性和可行性。选题一旦确定，怎样设计实验证明就都是技术活了，选题才是艺术。 3.本文解决了什么问题，提出了什么新的问题？ 4.本文对自己课题有何启发？创造力的关键就是建立联系。看完一篇文献，一定要与自己做的课题或者将来打算做的东西联系起来，问自己：本文对我的课题有何启发？哪些地方可以为我所用？ 5.将来的发展方向是什么？高水平的科学家可以准确的预测未来，并根据对未来的预测
2019年高考数学二轮复习平面几何考察的 三大问题 平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是平面几何考察的三大问题。 几何三大问题是: 1.化圆为方-求作一正方形使其面积等於一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍立方-求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢?若已知圆的半径为1则其面积为(1)2=，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为，也就是用尺规做出长度为1/2的线段(或者是的线段)。 三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90。、180。三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢?例如60。，若能三等分则可以做出20。的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了(注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。/18=20。)。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。 第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼(公元前276年~公元前195
年)曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。 这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。 1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼(Linderman)也证明了的超越性(即不为任何整数系数多次式的根)，化圆为方的不可能性也得以确立。 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼
几何三大难题 如果不知道远溯古希腊前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就. Herm??nn Weyl § 1 问题的提出和解决 数学的心脏 数学是由什么组成的公理吗定义吗定理吗证明吗吗公式吗诚然，没有这些组成部分数学就不存在，它们都数数学的必要组成部分，但是，它们中间的任一个都不是数学的心脏.数学家存在的主要理由就是提出问题和解决问题.因此，数学的真正组成部分是问题和解.两千多年以来，数学就是在解决各种问题中进行的. 那么，什么样的问题是好问题呢对此希尔伯特有一段精彩的论述：“要想预先正确判断一个问题的价值是困难的，并且常常是不可能的；因为最终的判断取决于科学从该问题获得的收益，虽说如此，我们仍然要问：是否存在一个一般准则，可以借以鉴别好的数学问题，一个老的法国数学家曾经说过：一种数学理论应该这样清晰，使你能向大街上遇到的第一个人解释它.在此以前，这一理论不能认为是完善的.这里对数学理论所坚持的清晰性和易懂性，我想更应该把它作为一个数学问题堪称完善的要求.因为清楚地、易于理解的问题吸引着人们的兴趣，而复杂的问题却使我们望而却步.” “其次，为了具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但却不能是完全不可解决的，使我们白费力气.在通向哪隐藏的真理的曲折道路上，它应该是指引我们前进的一盏明灯，最终以成功的喜悦作为我们的报偿.” 在数学史上这样的例子是不胜枚举的.本章介绍的几何作图三大问题就是最着名的问题之一. 希腊古典时期数学发展的路线 希腊前300年的数学沿着三条不同的路线发展着.第一条是总结在欧几里得得《几何原本》中的材料.第二条路线是有关无穷小、极限以及求和过程的各种概念的发展，这些概念一直到近代，微积分诞生后才得以澄清.第三条路线是高等几何的发展，即园和直线以外的曲线以及球和平面以外的曲面的发展.令人惊奇的是，这种高等几何的大部分起源于解几何作图三大问题. 几何作图三大问题 古希腊人在几何学上提出着名的三大作图问题，它们是： ( 1) 三等分任意角. ( 2) 化园为方：求作一正方形，使其面积等于一已知园的面积.
320国道 ． 5 题 ． 学习必备 欢迎下载 一、尺规基本作图归纳 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作角的平分线； 4、作线段的中垂线； 5、已知三边,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形; 6、已知底边和底边上的高作等腰三角形； 7、过直线上一点作直线的垂线； 8、过直线外一点作直线的垂线. 题 1、如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定 这个圆形零件的半径. 2、 如图:107 国道 OA 和 320 国道 OB 在某市相交于点 O,在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D,现要修建一个货站 P ,使 P 到 OA 、OB 的距离相等且 PC=PD ,用尺规作出货站 P 的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论) A D A 107国道 C C B O B 3、 三条公路两两相交，交点分别为 A ，B ，C ，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加 油站地址有几种情况？ B A A O A C B C 4、 过点 C 作一条线平行于 AB ； 5、过不在同一直线上的三点 A 、B 、C 作圆 O ； 6、过直线外一点 A 作圆 O 的切线。 二、几何画图：1 只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图: 1）画等腰三角形 ABC 的对称轴: 2)画∠AOB 的对称轴 2 有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径 并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法. 3 某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计至少三种不同 的方案，分别画在下面正方形图形上（用尺规作图或画图均可，但要尽可能准确些、美观些） 4 某村一块若干亩土地的图形是ΔABC ，现决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供至少两 种分法。要求：画出图形，并简要说明分法。 5.如图所示，在正方形网格上有一个三角形 ABC.①作△ABC 关于直线 MN 的对称图形(不写作法)； ②若网格上的最小正方形的边长为 △1.求 ABC 的面积. M P A A 甲 乙 丙 丁 C C B D Q B C A B 6 题 7 题 N 6 如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形” 如图（一） 中四边形 ABCD 就是一个“格点四边形”． ①求图中四边形 ABCD 的面积；②在图中方格纸上画一个格点△EFG ，使△EFG 的面积等于四边形 ABCD 的面积且为
世界近代三大数学难题：哥德巴赫猜想 哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。 猜想提出 1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了著名的哥德巴赫猜想：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和，即77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，可以表示成461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。例子多了，即发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和。” 1742年6月30日欧拉给哥德巴赫回信。这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。 研究途径 研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题。 殆素数
三大几何难题 古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。 古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。 这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。化圆为方 圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。 三等分任意角 用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？ 倍立方 关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题. 由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。而倍立方则是起源于建筑的需要，这也反应了数学的发展是离不开现实社会的推动的。 三个几何难题提出后，有很多人都为之做了不懈的努力。可以说，但凡是数学史上称得上是数学家的人，都研究过这个问题。由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数，例如割圆曲线、阿基米德螺线等。但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求，因此也不算解决了三大难题。但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解，可以发现，只有冲破尺规的限制才能解决问题。正如很多事情，我们觉得无论如何也找不到解决的办法，就是因为有太多的枷锁罩在我们身上，只有打破这些桎梏，才会豁然开朗，找到一片新天地。 三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，因此一个几何量是否能用尺规作出，则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示： 1化圆为方设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?