对数函数》教学设计
河北定州实验中学杨丽先
一、教材分析本节课是新课标高中数学必修①中第三章对数函数内容的第二课时，也就是对数函数的入门. 对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难. 而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用. 通过本节课的学习，可以让学生理解对数函的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义.
二、学情分析
大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感. 通过对指数函与指数函数的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼. 因此，学生已具备了探索发现研究对数函数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法.
三、设计思路学生是教学的主体, 本节课要给学生提供各种参与机会. 为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动.本节课我利用多媒体辅助教学, 教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性. 在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解, 很好地突破难点和提高教学效率. 让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权.
四、教学目标
1、理解对数函数的概念, 了解对数函数与指数函数的关系；理解对数函数的性质，掌握以上知识并形成技能.
2、通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．.
3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数函数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一.
4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识.
五、重点与难点
重点：（1）对数函数的概念；（2）对数函数与指数函数的相互转化.
难点：（1）对数函数概念的理解；（2）对数函数性质的理解.
六、过程设计
（一）复习导入
（1）复习提问：什么是对数函数？如何求反函数？指数函数的图象和性质如何？学生回答，并用课件展示
指数函数的图象和性质。
设计意图：设计的提问既与本节内容有密切关系，又有利于引入新课，为学生理解新知识清除了障碍，有意识地培养学生分析问题的能力。
（2）导言：指数函数有没有反函数？如果有，如何求指数函数的反函数？它的反函数是什么？设计意图：这样的导言可激发学生求知欲，使学生渴望知道问题的答案。
（二）讲授新课
（1）对数函数的概念引导学生从对数式与指数式的关系及反函数的概念进行分析并推导出，指数函数有反函数，并且y=a x（a>0且a≠1）的反函数是y=loga x，见课件。把函数y=loga x叫做对数函数，其中a>0且a≠1。从而引出对数函数的概念，展示课件。设计意图：对数函数的概念比较抽象，利用已经学过的知识逐步分析，这样引出对数函数的概念过渡自然，学生易于接受。因为对数函数是指数函数的反函数让学生比较它们的定义域、值域、对应法则及图象的关系，培养学生参与意识，通过比较充分体现指数函数及对数函数的内在联系。
（2）对数函数的图象提问：同指数函数一样，在学习了函数的定义之后，我们要画函数的图象，应如
何画对数函数的图象呢
让学生思考并回答，用描点法画图。教师肯定，我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式，描点画图。再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢？
让学生回答，画出指数函数关于直线y=x 对称的图象，就是对数函数的图象。教师总
结：我们画对数函数的图象，既可用描点法，也可用图象变换法，下边我们利用两种方法画对数函数的图象。
方法一（描点法）首先列出x,y（y=log2x，y=log x ）值的对应表，因为对数函数的定义域为x>0,因此可取x=··· , , ,1，2，4，8···，请计算对应的y 然后在坐标系内描点、画出它们的图象. 方法二（图象变换法）因为对数函数和指数函数互为反函数, 图象关于直线y=x 对称，所以只要画出y=ax的图象关于直线y=x 对称的曲线，就可以得到
y=logax. 的图象。学生动手做实验，先描出y=2x 的图象，画出它关于直线y=x 对称的曲线，它就是y=log2x 的图象；类似的从y=（）x 的图象画出y=log x 的图象,再演示课件,教师加以解释。
设计意图：用这种对称变换的方法画函数的图象，可以加深和巩固学生对互为反函数的两个函数之间的认识，便于将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质对照，但使用描点法画函数图象更为方便，两种方法可同时进行，分析画法之后，可让学生自由选择画法。这样可以充分调动学生自主学习的积极性。
（3）对数函数的性质在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本节的重点，关键在于抓住对数函数是指数函数的反函数这一要领，讲对数函数的性质，可先在同一坐标系内画出上述两个对数函数的图象，根据图象让学生列表分析它们的图象特征和性质，然后出示课件，教师补充。作了以上分析之后，再分a>1 与
0 设计意图：这种讲法既严谨又直观易懂，还能让学生主动参与教学过程，对培养学生的创新能力有帮助学生易于接受易于掌握,而且利用表格,可以突破难点。 由于对数函数和指数函数互为反函数， 它们的定义域与值域正好互换， 为了 揭示这两种函数之间的内在联系，列出指数函数与对数函数对照表（见课件） 设计意图：通过比较对照的方法 ,学生更好地掌握两个函数的定义、图象和性质， 认识两个函数的内在联系提高学生对函数思想方法的认识和应用意识。 （三） 巩固练习 1. 求下列函数的定义域： 1)y log (5 x)(2x 3) (2)y log a x 2 (3)y lg(4 x) 2. 利用单调性比较下列两个数的大小 （四）纳小结强化思想 引导学生对主要知识进行回顾， 使学生对本节有一个整体的把握， 因此，从 三方面进行总结： 对数函数的概念、 对数函数的图象和性质、 比较对数值大小的 方法。 课后反思：美好的时光总是短暂的请学生总结自己有何收获和体验，并交流。 log a 29 1 31 log a 29 32 对数函数》教学设计河北定州实验中学杨丽先 对数函数及其性质 尤溪五中 开课班级：高一（3）开课时间：2019.10.24 一、教材分析 本节教材的地位和作用：基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 二、三维目标 1．知识与技能： （1）理解对数函数的概念； （2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法： （1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力； （2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力； （3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养； 3．情感、态度与价值观： 在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。 三．教学重难点 重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。 难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。 四、教学过程： 然后由学生讨论完成下表：（空白表，由学生填） 函数 log a y x = 的图象 特征函数 log a y x = 的性质 图象都位于y轴的右方 高中数学对数函数教案 数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想， 注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生 已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程， 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又 是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数 图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找 出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 一.对数函数的概念 1.定义：函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故 有着相同的限制条件. 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质. 《对数函数》教学设计 一、教材分析 本小节选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材-数学（基础模块上册）》第四章，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计 教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结 （一）熟悉背景、引入课题 1．让学生看材料： 如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……， 课题：4.2.3 对数函数的图象和性质 【教学目标】 1. 初步了解对数函数的性质，并初步运用对数函数的性质解决诸如比较大小等简单问题； 2. 在用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，并探索对数函数的性质的过程中，发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养； 3. 类比指数函数的研究过程，让学生经历设计对数函数图象和性质的研究内容方法、步骤并实施，再次提升和丰富了函数的图象和性质研究的基本思想和基本活动经验. 【教学重点】 了解对数函数的图象和性质并能初步应用. 【教学难点】 抽象、概括出对数函数性质（底数a 对对数函数图象变化的影响)． 【教学过程】 教学流程：明确思路→感知图象→发现性质→尝试应用→归纳小结→布置作业 （一） 回顾经验、明确思路 教师导语：对于具体的函数，我们一般按照“概念—图象—性质—应用”的过程进行研究.前面我们学习了对数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质.回顾指数函数的研究过程，你能说说我们要研究哪些内容？研究方法又是什么？ 师生活动：教师引导学生类比指数函数的学习，共同商议、制定研究对数函数的图象和性质的内容、方法以及步骤. 【设计意图】：从初中到现在，学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，可以通过类比的方法研究学习，从而明确了对数函数的图象与性质的研究内容、方法以及步骤，为接下来的学习建立先行组织者. （二）尝试画图、形成感知 教师导语：在明确了探究方向后，下面请同学们按照“数学实验活动探究卡”的步骤进行探究活动. 活动（1）自主探究：用描点法画出对数函数x y 2log =的图象. 师生活动：由于描点法作图时列举点的个数的限制，学生对对数函数的图象特征缺乏直观感受．教师借助几何画板作出对数函数x y 2log =图象，验证猜想． 教师追问1：在同一个坐标系中，如何画出对数函数x y 2 1log =的图象？ 对数函数的图像和性质 一、教学内容分析： 1、对数是学生在高一刚刚接触到的新概念，不易理解，计算的形式具有一定的复杂性. 2、以对数作为基础的对数函数是高中函数学生最不易掌握的函数类型。 3、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。 二、学生分析： 1、学生从初中到高一年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。 2、学生对于信息技术的使用有一定的熟练程度（主要指作函数图象）。 3、学生在学习了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法，因此，选择这节课让学生自主研究对数函数的性质。 学生可以选择描点作图的方法来研究对数函数的图像与性质，也可以选择使用教学软件来研究函数的图像与性质，还可以通过研究指数函数反函数的方法来研究对数函数的图像和性质等。 三、教学目标： 1、会画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 2、对于函数的性质与函数图像的形态之间的关系有一个初步的整体的理解，体会研究函数性质的过程中数形结合、分类讨论归纳的数学思想方法在研究问题过程中的体现。 3、培养学生对问题进行质疑的意识，培养学生在学习的过程中交流的习惯。 四、教学重点： 1、了解对数函数的定义； 2、理解研究函数图像和性质的方法； 3、能准确画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 4、利用对数函数的性质初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等。 五、教学难点： 1、对数函数图像的准确作图； 2、准确得到对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些简单的问题。 六、教学活动： 对数函数及其性质 一、教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》（人教A版）《2.2.2对数函数及其性质》共3课时，本节课是第1课时。 本节课主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。 二、学生学习情况分析 1．有利条件 本节课是在学生学完了对数及其运算、并初步接触了一些对数应用问题的基础上进行的，同时前面指数函数的研究也为本课学习提供了范例，这些都是学生学习本节课的有利条件。 2．不利条件 学生初中也已经学习过整数指数幂及其运算，因些学生对指数函数的学习有一定的基础可寻。但对数和对数函数，对学生来说都是新知识，对学生来说更抽象和陌生，同时前面3节课的大量的对数运算公式的学习，也可能使学生对本节课的学习产生一些为难情绪。克服不利因素的关键是紧紧抓住指数与对数的联系，利用它们在形式上的相互转化，并结合函数的概念进行教学。 三、教学目标分析 课标要求：初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 1．知识与技能目标 ⑴理解指数函数与对数函数的内在关系； ⑵掌握对数函数的概念、图象和性质； 2．过程与方法目标 ⑴能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质. ⑵通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，体会对数函数是一类重要的函数模型. 3．情感、念度与价值观目标 在指数函数与对数函数相互类比与转化的学习中，体会转化的转想和对立统一的辩证关系。 四、教学重点、难点分析 重点：对数函数的定义、图象和性质 难点：对数函数概念的理解，底数a的范围对对数函数图象、性质的影响. 突破难点的关键：从指数函数与对数函数联系的角度来引出和分析对数函数的概念，发挥数形结合的直观特点，进行操作、猜想的验证，在学生原有的知识基础上来进行本节课的教学。 五、教学与学法分析 1．教法分析： 本节课的教学要紧紧抓住指、对数的相互转化和指数函数的概念图象与性质，利用类比的方法，充分利用学生在指数函数学习中产生的正牵移，给学生更多的自主探索空间。为了给学生认识理解对数函数的图象提供更加形象、直观、清晰的材料，还要让学生亲自动手画 教学设计------对数函数及其性质（1） 石家庄二中王大芬 一、教材分析 本节既是重点又是难点，对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。因此可采用类比的方法教学。但是对数函数与指数函数相比所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 针对学生的实际情况，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 2．通过图像掌握对数函数的性质，并能运用它解决简单问题； 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计 教学流程：背景材料→ 引出课题 → 函数图象→ 函数性质 →问题解决→归纳小结 （一）熟悉背景、引入课题 如图1材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4 个 ……， （1）分裂次数n 与细胞个数y 的函数关系是： （2），如果大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，试问这种细胞经过多少次分裂？分裂次数y 就是要得到的细胞个数x 的函数,即x y 2log =； 图 1 1.引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：形如函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数， 【课题】4. 4 .1对数函数的图像及其性质 【教材内容解析】 1，“对数函数的图像及其性质”是中等职业教育课程改革国家规划新教材，第四章“指数函数和对数函数”一章中的重点内容。此前，学生已对函数、定义域、值域等相关概念及函数的单调性、奇偶性等函数性质有了一定了解和掌握。同时本节课又是在刚刚学习了对数与指数函数后，对对数函数的进一步学习。也是让学生进一步体会研究函数的方法，即“概念---图像---性质--应用”的过程。同时，为后面函数的学习做好铺垫。 2，“对数函数”是基本初等函数之一，对数函数的知识在其他章节和其他学科中有着广泛应用。同时，对数函数作为常用的数学模型在解决社会生活问题（统计、规划）中也有着广泛的应用。本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的数学基本技能。同时，本节课对对数函数的性质研究不仅反映出对数函数与指数函数的关系，同时也蕴含了函数、数形结合等数学思想，也是高考的重点内容之一。 【学生学情分析】 1，心理生理上：中职一年级的学生已入校两个月，现处于相对稳定的时期，所以在学习情绪和学习态度上也相对稳定。加之，新入学不久，学生渴望知识和学习的情绪也都空前高涨，主动积极，不畏艰难。 2，知识上：从初中到现在学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，加之对数与指数的关系学生已明白，可以通过类比的方法研究学习，同时对数函数的应用不管在数学上、生活中都应用广泛。所以，自然就激发了学生学习本节课的热情与兴趣。 【教学目标】 知识目标： （1）了解对数函数的图像及性质特征； （2）掌握对数函数的单调性，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对数函数和指数函数的性质的理解。 能力目标： 观察对数函数的图像，总结对数函数的性质，培养观察能力. 情感目标： （1）体味对数函数的认知过程，树立严谨的思维习惯； （2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】 （1）对数函数的图像及性质； （2）对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小。 【教学难点】 底数a对对数函数性质的影响。 【教学设计】 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？ 答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称. 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？ 答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？ 答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？ 答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f － 1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？ 答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1 3 x; (3)y ＝????23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R). (2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y ＝????13x (x ∈R). (3)y ＝????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2 3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3 x －1 (x ∈R,x≠1). 《对数函数》优秀教案 一、教材分析 对数函数是在学习指数函数、对数的基础上引入的，由此我制定了这样的教学目标。 1、通过指数与对数的联系，掌握对数函数的概念、图象、性质并能简单应用。 2、在教学过程中，通过数形结合、分类讨论等数学思想方法，发展学生的逻辑思维能力，提高他们的信息检查和整合能力。 教学重点：对数函数的概念、图象和性质． 教学难点：由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。 二、指导思想和教学方法 利用多媒体辅助教学，通过讨论启发学生归纳对数函数的概念图像及性质，同时在教学中渗透“类比联想”、“数形结合”及“分类讨论”的数学思想方法。 三、教学过程 1、提出问题 我们来看下上节课的2.1.2的例8：截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？ 1999年底，我国人口约13亿； 经过1年（即2000年），人口数为13+13*1%=13*（1+1%)(亿） 经过2年（即2001年），人口数为13*（1+1%）+13*（1+1%）*1%=13*（1+1%）2（亿） 经过3年（即2002年），人口数为13*（1+1%）2+13*（1+1%）2*1%=13*(1+1%)3（亿） 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 所以经过x 年，人口数为y=x %)11(*13+=x 01.1*13（亿） 当x=20时，1601.1*1320≈=y （亿） 所以经过20年后我国人口数最多为16亿。 咱们上节课的例题，我们能从关系式x y 01.1*13=中，算出任意一个年头x 的人口总数，那反之，如果问，哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿，该如何解决？ 上述问题实际上就是从x x x 01.113 30,01.11320,01.11318===，...中分别求出x ，即已知底数和幂的值，求指数这是我们这节课将要学习的对数函数问题， 通过我们学习的对数表示方法，咱们可以把上面的式子表示成：x y =01.1log ，其中 2.2.2对数函数及其性质（一） 隆湖中学教师 李江华 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数函数的概念； 2． 对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求 1． 理解对数函数的概念； 2． 掌握对数函数的图象、性质； 3． 培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图象、性质． 教学难点 对数函数的图象与指数函数的关系． 教学过程 一、复习引入： 1、指对数互化关系： b N N a a b =?=log 2、 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质． 3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示． 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞． 学生思考问题：为什么对数函数概念中规定?1,0≠>a a 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4 》教案设计《对数函数及其性质1 本节是学习指.一、教案分析1、教案内容教案内容为对数函数的概念、图象及性质数、指数函数和对数的后继内容，根据描点法，作出对数函数的图象以及得到相应的对数对数函数既是指数函数的反函数，也是高中乃至以后的数学学习中应用极为广泛.函数性质有利于进一步加深对函数.的重要初等函数之一，其研究方法以及研究的问题具有普遍意义、学生学习情.2思想方法的 理解，为进后面一步探究函数的综合应用起到承上启下的作用况分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，学生在学习过程中，仍保留着初中生许多由于函数概.学习特点，能力发展正处于 形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教案要求较低，学生运算能力较弱，教师必须认识到这一点，教案中要有控制的拔高，. 这双重问题增加了对数函数教案的难度但是只要让学生类比指数函数的研究方法，通过课件演示，通过数形结合，.关注学习过程a1)a?a?0且?ylogx (取不同值时反映出不同函数图象，并让学 生观中，让其感受a察、发现、归纳出图象的特征、函数图象的规律.3、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教案首先要挖掘其与指数的联系，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，改变学生的学习方式.4、教案目标4.1知识技能 （1）掌握对数函数的概念、图像及性质.（2）应用对数函数性质，掌握求简单对数型函数定 义域的方法；（3）掌握三种简单的分别比较对数、真数和底数大小的方法.4.2过程与方法利用指数函数以及性质导出对数函数概念和相应的函数，在学习和应用对数函数性质的过程中，着重数学思想方法的培养.（1）类比的思想.指数函数和对数函数概念和性质的类比.（2）对称的思想.底数互为倒数的两个对数函数关于横轴对称. （3）数形结合思想.通过函数图像研究函数的代数性质，以及通过函数表达式探究函数的几何性质，学习和领会图形语言与符号语言之间的相互转化，并能运用这些语言表达有关函数的性质.（4）分类讨论的思想.根据对数函数的底数大于1或小于1的不同情况进行讨论，初步了解分类的原则，体会分类讨论的思想.4.3情感、态度和价值观通过指数函数类比引入对数函数的概念，揭示数学类比和对称的思想，使学生感受到数学中的对称美.同时使学生了解对数函数的概念来 自于实践，激发学生学习的兴趣，增强应用数学的意识. 二、教案方法与策略根据本节课的教材特点以及学生的实际情况，尝试运用“问题探究式” 教案法.采取“设问引入—类比构建—探究反馈”的方式，力图通过创设问题情境、分析问题和 解决问题的一系列过程，组织学生主动参与、主动探究有关问题，形成以学生为中心的各种形式的探索性学习活动.引导学生步步深入地参与到课堂教案活动中来，尝试探求将问题“一般化” 的方法.三、教案手段 多媒体辅助教案.利用计算机绘图的快速显示等特点对某些对数函数几何性质进行再现，运用直 观认识、操作确认、思辨论证等方法，充分提高课堂效率.四、学习指导1、学情分析 本节内容是在学习了指数、指数函数图象及其性质和对数的基础上，进一步学习对数函数图象及其性质.因此，在学生的认知结构中已有指数和指数函数及其性质和对数的知识结构，通过类比、探究等学习活动，学习对数函数图象及其性质.2、学习方式与策略2.1 设置一系列的教案活动，让学生在探究过程中，培养学生自主学习、独立思考的.自主学习． 能力.充分发挥学生学习的主动性、自觉性，在问题的解决过程中，学习分析问题、解决问题的 方法，形成良好的学习习惯和思维方式，提高学生的自学和迁移能力. 五、教案过程 2.2.2对数函数及其性质（第一课时）教案 一、教学目标 知识目标：使学生理解对数函数的定义并了解其图象的特点.能力目标：培养学生动手操作的能力以及自主探究数学问题的素养.情感目标：培养学生勇于探索和创新的精神以及优化他们的个性品质.二、教学重点、难点与关键 重点：掌握对数函数的概念及其图象，使学生能初步自觉地、有意识地利用图象 研究对数函数的性质.难点：理解和掌握对数函数的概念，图象特征，区分01a <<和1a >不同条件下的性质. 关键：认识底数a 与对数函数图象之间的关系. 三、教学过程 （一）创设情境，导入新课 由§2.2.1的例题6（即考古学家是如何估算出土文物或古遗址的年代）引入，让学生利用计算器计算并填写下表. 学生填写完毕后，引导他们观察上表，让他们体会“对每一个碳14的含量P 的取值,通过对应关系，生物死亡年数t 都有唯一的值与它对应，并且对不同的P 值，也都有不同的t 值与它对应，从而t 是P 的函数”. （二）对数函数的概念 1、对数函数的定义函数x log y a =(0>a 且1≠a )称为对数函数.定义域：),0(+∞.2.例题1：求下列函数的定义域。 （1）() 2x log y a = （2）()x log y a -=4 （三）分组讨论，得出对数函数图象及其性质 1、学生分成几个小组并分发第一张表格（印有直角坐标系）；然后引导学生通过常规方法（即列表、描点、连线成图）画出四个具体的对数函数x log y 2=、x y 21log =、x y 3log =以及 x y 3 1log =的图象. 生物的死亡年数t 0.001 0.01 0.1 0.3 0.5 碳14的含量P 课题：对数函数的图像和性质（第一课时） 一、教材内容解析 1、“对数函数的图像与性质”是普通高中课程标准实验教科书必修1（北师大版）第三章“指数函数和对数函数”一章中的重点内容。此前，学生已对函数、定义域、值域等相关概念及函数的单调性、奇偶性、对称性等函数性质有了很深刻的了解和掌握。同时本节课又是在刚刚学习了对数函数的概念和对数函数与指数函数互为反函数的关系后，对对数函数的进一步深入学习。也是让学生进一步体会研究函数的方法，即“概念---图像---性质--应用”的过程。同时，为后面函数的学习做好铺垫。 2、“对数函数”是基本初等函数之一，对数函数的知识在其他章节和其他学科中有着广泛应用。同时，对数函数作为常用的数学模型在解决社会生活问题（统计、规划）中也有着广泛的应用。本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的数学基本技能。同时，本节课对对数函数的性质研究不仅反映出对数函数与指数函数的关系，同时也蕴含了函数、数形结合等数学思想，也是高考的重点内容之一。 二、学生学情分析 1、心理生理上：高一年级的学生已入校两个月，现处于相对稳定的时期，所以在学习情绪和学习态度上也相对稳定。加之，新入高一不久，学生渴望知识和学习的情绪也都空前高涨，主动积极，不畏艰难。 2、知识上：从初中到现在学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，加之对数函数与指数函数的关系学生已明白，可以通过类比的方法研究学习。 三、教学目标设置 （一）教学目标 1、知识与技能：掌握对数函数的图像与性质，并且在掌握性质的基础上能进行必要的应用。同时培养学生数形结合的思想及观察、分析、归纳的思维过程。 对数函数及其性质教学设计 三亚市第四中学邓影 课题：对数函数及其性质 使用教材：人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）》 第二章第2.2.2节第一课时 一、教材分析 1．本节教材的地位和作用 基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 2．教学重难点 重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。 难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生实际情况及其认知结构心理特征制定教学目标如下： 1．知识与技能： （1）理解对数函数的概念； （2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法： （1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力； （2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力； （3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养； 3．情感、态度与价值观： 在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。 三、教法学法 1.教学方法 建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。 高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟. 在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式 ．．．”教学方法。将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。其理论依据为建构主义学习理论。它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。 2. 学法指导 新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。 3. 教学手段 本节课我选择计算机辅助教学。增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务． 4.教学流程 对数函数优秀教案 《对数函数》优秀教案 一、教材分析 对数函数是在学习指数函数、对数的基础上引入的，由此我制定了这样的教学目标。 1通过指数与对数的联系，掌握对数函数的概念、图象、性质并能简单应用。 2、在教学过程中，通过数形结合、分类讨论等数学思想方法，发展学生的逻辑思维能力，提高他们的信息检查和整合能力。 教学重点：对数函数的概念、图象和性质. 教学难点：由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。 二、指导思想和教学方法 利用多媒体辅助教学，通过讨论启发学生归纳对数函数的概念图像及性质，同时在教 学中渗透“类比联想”、“数形结合”及“分类讨论”的数学思想方法。 三、教学过程 1、提出问题 我们来看下上节课的2.1.2的例8:截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%那么经过20年后，我国人口数最多为多少？ 1999年底，我国人口约13亿； 经过1 年（即2000年），人口数为13+13*1%=13*（1+1%）（亿） 经过2 年（即2001 年），人口数为13* （1+1% +13* （1+1% *1%=13* （1+1% 2（亿） 2 2 a 经过3 年（即2002 年），人口数为13* （1+1% +13* （1+1% *1%=13*（1+1%）（亿）00 000000 000000 00000 所以经过x年，人口数为y=13*（1 1%）x=13*1.01x（亿） 当x=20 时，y 13*1.012016 （亿） 所以经过20年后我国人口数最多为16亿。 咱们上节课的例题，我们能从关系式y 13*1.01x中，算出任意一个年头x的人口总数，那反之，如果问，哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿，该如何解决？ 上述问题实际上就是从18 1.01x,20 1.01x,^° 1.01x，...中分别求出x，即已知底 13 13 13 数和幕的值，求指数这是我们这节课将要学习的对数函数问题， 2.8(第一课时 对数函数的定义、图象和性质) 教学目的： 1．了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系； 2．会求对数函数的定义域； 3．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。 教学重点：对数函数的定义、图象、性质 教学难点：对数函数与指数函数间的关系. 教学形式：计算机辅助教学 教学过程： 一、复习引入： 对于函数y =x 2，根据对数的定义，可以写成对数的形式，就是y x 2log = 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log = 由反函数概念可知， x y 2log =与指数函数x y 2=互为反函数。 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数。 对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞。 2．对数函数的图象 由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象关于直线x y =对称。因此，我们只要画出和x a y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质。 3．对数函数的性质 先回顾指数函数 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质。 三、例题： 例1求下列函数的定义域：[（1）—（3） 课本P83例1] （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -= （4）2x x y lg(2322)=-+?- 解：（4）2x x x 23220,122,0x 1-+?->∴<<∴< 对数 教学目的：（1）理解对数的概念； （2）能够说明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转化． 教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化 教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 一、引入课题 1． （对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要 性； 设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神． 2． 尝试解决本小节开始提出的问题． 二、新课教学 1．对数的概念 一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ） ，记作： N x a log = a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 说明：○ 1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 思考：○ 1 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ； ○ 2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备． 两个重要对数： ○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2． 对数式与指数式的互化 x N a =log ? N a x = 对数式 ? 指数式 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 例1．（教材P 73例1） 巩固练习：（教材P 74练习1、2） 设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．公开课教案《对数函数及其性质》
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