第七章 稳恒磁场
7.1 在定义磁感应强度B 的方向时，为什么不将运动电荷受力的方向规定为磁感应强度B 的方向？
答：由于运动电荷在磁场中的受力方向与电荷运动方向有关，则不能用来描述磁场的性质，故不能规定该方向为磁感应强度的方向。
7.2 一无限长载流导线所载电流为I ，当它形成如图7.27所示的三种形状时，则o Q P B B B ,,之间的关系为
(1) o Q P B B B >> ； (2) o P Q B B B >>； (3) P o Q B B B >> ； (4) P Q o B B B ≥>。 解：a I B P πμ=
20
)(2
2120+
πμ=
a
I B Q
)(2
1200π+
πμ=
a
I B
P
Q B B B >>∴
0，故选（4）。
7.3 在同一根磁感应线上的各点，磁感应强度B 的大小是否处处相同？ 答：同一磁感应线上的各点，磁感应强度B
的大小不一定处处相等。 7.4 磁场的高斯定理??=?0s d B
表示的重要性质是什么？ 答： ??
=?0s d B
表示的重要性质是磁场是无源场，
磁感应线是无头无尾的闭合线。 7.5 如图7.28所示 ，两导线中的电流21I I ,均为5A ，对图中所示的三条闭合曲线a ，b ，c 分别写出安培环路定理式等号右边电流的代数和，并说明：
(1) 在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B 的大小是否相等？ (2) 在闭合曲线 c 上各点的磁感应强度B 是否为零？为什么？ 答：电流代数和依次为1212I I I I --,, （1）不相等。
（2）不为零，这是因为与曲线C
环绕的电流代数和
I
I
P
a
为零，只能给出B
沿C 的环量为零，C 上各点的磁感应强度是所有电流在相应点产生的，一般不为零。
7.6 在安培定律的数学表示B l Id F d
?=中，哪两个矢量始终是正交的？哪两个矢量之间可以有任意角？
答：B
F d l
Id F d
⊥⊥,l Id 与B
之间可以有任意的夹角。
7.7 如图7.29在磁感应强度B 为均匀的磁场中，与磁场方向共面的放置两个单匝
线圈，一个为圆形，另一个为三角形。两线圈的面积相同，且电流的大小和方向也相同，则下述说法中正确的是(M 代表磁力矩，F 代表磁力)
(1) 2121F F M M ==, ；(2) 2121F F M M
≠=,；
(3) 2121F F M M =≠,；(4) 2121F F M M
≠≠, 。
答：在均匀磁场中，任何闭合载流线圈整体都不受力，所以021==F F
由B m M
?= 而n s m
= 对两线也都相同。2
1M
M
=∴
故选（1）
7.8 在如图7.30所示的三种情况中，标出带电粒子受到的磁力方向： 答：（a ）不受磁力。 （b ）垂直纸面向里。 （c ）垂直纸面向外。 7.9 一电子和一质子同时在匀强磁场中绕磁感应线作螺旋线运动，设初始时刻的速度相同，则_______的螺距大；______的旋转频率大。
答：质子的螺距大；电子的旋转频率大。
7.10 如图7.31所示，将一待测的半导体薄片置于均匀磁场中。当B 和I 的方向如图时，测得霍尔电压为正。问待测样品是n 型半导体还是 p 型半导体(有两种半导
体，一种是电子导电，称为n 型半导体；另一种是带正电的空穴导电，称为 p 型半导体)？
答：是n 型半导体。
7.11 两种磁介质的磁化曲线 a ，c 如图7.32所示
(图中b 线代表H B 0μ=关系曲线)，则a 线代表_______的磁化曲线，c 线代表_______的磁化曲线。
答：a 线代表顺磁质的磁化曲线，c 线代表抗磁质的磁化曲线。
7.12 下列说法中，正确的是： (1) H 的大小仅与传导电流有关；
(2) 不论在什么介质中，B 总是与H 同向的；
(3) 若闭合回路不包围电流，则回路上各点的H 必定为零；
(4) 若闭合回路上各点的H 为零，则回路包围的传导电流的代数和必定为零。 答：（4）
7.13 为什么永久磁铁由高处掉到地上时磁性会减弱？为什么不能用电磁铁去吊运赤红的钢碇？
答：这是由于铁磁质的磁畴结构，在高温或强烈振荡下会被破坏。
* * * * * * * *
7.14 如图7.33所示，两根导线沿半径方向引到铁环上的A 、B 两点， 并在很远处与电源相连．求环中心的磁感应强度。
解：两直导线部分在O 点的磁感应强度都为零（O 是其延长线），则O 点的B 是由如图的电流
1I 和2I 产生的。电流1I 在O 点产生的磁场为：
12
1
014l r
I B πμ=
（方向垂直纸面向内）
电流2I 在O 点产生的磁场为：
22
2
024l r
I B πμ=
（方向垂直纸面向外）
又因是均匀铁环，则有：2
12
11
2l l R R I I =
=
即有 1122l I l I =
那么有： 21B B = 所以有：0210=+=B B B
7.15 如图7.34 所示，在半径R=1.0cm 的“无限长”半圆柱形金属薄片中，有电流 I = 5.0A 自下而上的通过，试求圆柱轴线上任一点 P 处的磁感应强度。
解：此问题可看成是在半圆柱面上分布的许多无限长载流直线的磁场的叠加。如
图弧元dl 对应的电流为：dl
R
dl π1
=
它在轴线上（如图P 点）产生的磁场为：
dl R
R I
dB ππμ20
=
其方向如图，据对称性分析知，总的磁感应强度只有X 方向分量，则有：
???π
πθπμ=
θθπμ=θπ
μ=
=
2
2
2
02
2
02
2
0222/][sin cos cos R
I Rd R
I dl R
I
dB B x
T R
I 5
2
7
2
010
37610
1510
14
34---?=??
?=
πμ=
..，方向沿水平向右。
7.16 如图7.35所示，用一无限长的载流导线弯成直角，并与一圆形载流导线处于同一平面内，已知m 020m 050A 10A 521.,.,,====R a I I ，求圆线圈中心处的磁感应强度。
解：O 点的磁感应强度是电流1I 和2I 在O 点产生磁感强度的矢量和，1I 在O 点的磁感强度方向垂直于纸面向内，2I 在O 点的磁场方向垂直纸面向外，取向内为正，则有
)2
21(4)135cos 30
(cos 4)180cos 45(cos 41
00
1
00
01
01+
=
-+
-=
a
I a
I a
I B πμπμπμ
R
I B 22
02μ-
=
R
I a
I B B B 22
212201021μ-
+πμ=
+=∴
)(
)(..)(.T 4
7
7
10
8202
010
1022
2105
05
10
2--?-=??π-
+
??=
负号代表示磁场方向垂直纸面向外。
7.17 如图7.36所示，两线圈半径同为R ，且平行共轴放置，所载电流为I ，并同方向，设两线圈圆心之间的距离为a 。
(1) 求轴线上距两圆心连线中点O 为 x 远处的 P 点的磁感应强度；
(2) 证明当R a = (这样的线圈称为亥姆霍兹线圈)时，O 点附近的磁场最均匀(B 线与 x 轴平行)。
解：（1）圆电流在轴线上任一点P （距圆电流中心为x ）的磁感应强度为
2
/32
2
20)
(2x R
IR
B +=
μ 方向沿轴与电流成右手螺旋关系。
利用场的叠加原理得本题距两圆电流中心连线中点O 为x 远处P 点的磁感应强度为：
}
]
)(
[]
)(
{[]
)(
[])(
[////2
322
2
322
2
02
32
2
2
02
32
2
2
02
2
2
2
22
2---++++μ=
-+μ+
++μ=
x a R x a R IR x a R IR
x a R IR
B 方向沿轴线向右。
（2）当R a =时，并考虑在O 点附近（x 为小量），上结果可近似为（仅保留x 的—阶项）
R
I x x R I x x R
IR B 4523
45234524
114
112
002
32
33
2
0μ≈
++-μ=
-+
+++
?μ=
---][])
()
[(// 即当R a =时，O 点附近的磁场最均匀。
7.18 半径为 R 的薄圆盘上均匀带电，总电荷为 q ，令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线匀速转动，角速度为ω。求轴线上距盘心 x 处的磁感应强度。
解：均匀带电薄圆盘绕轴以ω转动时，就形成在薄盘上的面电流分布。电流线是绕盘轴的同心圆环，把圆环划分为宽度为dr 的一系列环带，环带的电流为：
ω
πππ=222
/
R
q rdr
dI
它在轴上距盘心为x 处的磁场为：
2
/32
2
3
2
02
/32
2
2
)
(2)
(2x r dr r R
q x r dI
r dB +=
+=
πω
μμ
方向沿轴向，那么所有这些环带电流在该点的磁场为：
])
()
([)
(///?
??
+-+πωμ=
+πωμ=
R
R
R
x r dr
x
x r dr
R
q x r
dr
r R
q B 0
2
32
2
20
2
2
12
2
22
02
322
3
202
122
][x x
R x
R R q 222222
2
20-++πωμ=
7.19 氢原子处在基态(正常状态)时它的电子可看作是在半径为
cm
10
5308
-?=.a 的轨道作匀速圆周运动，速率为cm/s 10228?. ，那么在轨道中心B
的大小为
(A) T 10586-?.； (B) 13T ； (C) T 10584-?. 。 解： T
a
e B 53.12)
1053.0(10
2.210
6.710
42
10
6
19
7
2
0=?????
==
----υ
πμ ∴ 选（B ）
7.20 如图7.37所示，两平行长直导线相距 40×10-2 m ，每条导线载有电流I 1 = I 2= 20A ， 试计算通过图中斜线所示面积的磁通量(其中，l =25cm)。
解：1I 和2I 在两直线间平面上的磁场方向均垂直纸面向内，则：
?????
++?πμ=πμ=?=?=
Φs
r r r s
r r r l I ldr r I s d B s d B 211
1
21
101
01222ln
Wb
10
221
02010250201046
7
--?=+????=....ln
.
7.21 如图7.38所示是一根长直圆管形导体横截面，其内、外半径分别为 a 、b ， 导体内载有沿轴线方向的电流I ，它均匀的分布在管的横截面上。设导体的磁导率μ≈μ0， 试证明导体内部各点( a < r < b )磁感应强度的大小为：
r
a
r a b r I
B 2
22
2
0)
(2--=
πμ
证明：此场具有轴对称性。考虑b r a <<区域上的任一场点P ，以轴为心，过P 作一圆形闭合回路，据对称性并应用安培环路定理得：
∑
--=
=
)()
(22
2
2
2a r a b I
I rH πππ
由此可则得：)
()(2
2
2
2
2a b r a r I H -π-=
， r
a r a
b r I B 2
22
2
02--πμ=
)
(
7.22 如图7.39所示 一长直圆柱形导体的半径为1R ，其内空心部分的半径为2R ，其轴与圆柱体的轴平行但不重合，两轴间距为a ，且2R a >。 现有电流I 沿轴向流动，且均匀分布在横截面上。求：
(1) 圆柱形导体轴线上的B 值； (2) 空心柱内任一点的B 值。
解：本问题可看成是电流均匀分布（密度j R R e I j z
=-π=
)
(2
22
11）
的长直圆柱形导体（半径为1R ）的磁场1B
与电流均匀分布（j j j
-=-=12）的长直圆
柱形导体（半径为2R ）的磁场2B
的矢量叠加。
（1）应用安培环路定理得O 点的磁场。
02
0210B B B B o =+=
大小为 )
(2)
(2222
21
2
2
022
212
2
02
2
00R R a IR R R I
a
R a
R j B -=
-?
=
=
πμπππμππμ，方向竖直向下。
（2）空心柱内任一点的B
值 21p p p B B B +=
而据安培环路定理有：
2
10112r j B r p πμ=π 2
202
220222r j r j B r p πμ-=πμ=π
其中1r 和2r 分别是O 和'0到P 点的距离。由上式可解得
1012
jr B p μ=
，20
22
jr B p μ-=
其矢量表达式为：1012r j B p
?=
μ 2022
r j B p ?-=μ
a j r r j B B B p p p
?=-?=+=2
)(2021021μμ
所以，空心柱内是一均匀磁场，其大小为 )
(2
2
22
2
100R R I
a ja B p -?
=
=πμμ
方向竖直向下。
7.23 载10A 的一段直导线长1.0m ，位于B =1.5T 的均匀磁场中，电流与B 成300角，求这段导线所受的安培力。
解：利用安培力公式得这段导线所受的安培力为：
N
IlB B l I B l Id F 5.730sin 5.10.110sin 0
=??==?=?=
?
θ
7.24 如图7.40所示，在与均匀磁场 B 垂直的平面内，放一任意形状的导线AC ，A 、C 之间的距离为l 。若流过该导线的电流为 I ，求它所受到的磁力的大小。
解：在均匀磁场中，载流刚性线圈所受合力为零。现可假设AC 直线段与导线相连，而形成闭合载流线圈，则CDA 段和AC 直线段所受合力为零。
即： 0=+AC CDA F F ??-=?-=-=B
l I B l Id F F AC CDA
这力的大小为：IlB F =， 方向垂直AC 斜向下。
7.25 如图7.41所示，在长直导线 AB 内通以电流A 201=I ，又在矩形线圈中通以电流A 102=I ，AB 与线圈共面，且CD 、EF 都与AB 平行。已知 a =9.0cm ，b=20.0cm ，ｄ＝1.0cm ，求：
⑴ 线圈各边所受的力；
⑵ 矩形线圈所受的合力和对线圈质心的合力矩。 解：（1）在矩形线圈及直导线所在的平面内，1I 在其右侧的磁感应强度为： r
I B πμ21
01=
方向垂直该平面向里，利用安培力公式B
l Id F d
?=，首先可以看出，CF 边受力向上，
DE 边受力向下，受力大小相等。其值为：
?
?++πμ=πμ=?=
=F
C
a
d d
DE CF d a
d I I dr r I I B l d I F F ln
222101022 N
10
2910102010
25
7
--?=????=.ln
CD 边受力向左，FE 边受力向右，其大小分别为：
N d
I b
I F CD 4
7
1
0210
801.0/2.0102010
22--?=????==πμ
N
a d I b
I F EF 4
7
1
02108.0)09.001.0/(2.0102010
2)
(2?=+????=+=-πμ
（2） 矩形线圈CDEF 所受的合力为：
N
F F F EF CD 4
4
10
2.710
)8.08(--?=?-=-=，合力的方向向左。
由于此矩形线圈的四个边所受之力的方向在线圈平面内，所以矩形线圈对质心的力矩为零，即M =0。
7.26 由细导线绕制成的边长为a 的n 匝正方形线圈，可绕通过其相对两边中点的铅直轴旋转，在线圈中通一电流I ，并将线圈放于水平取向的磁感应强度为B 的匀强磁场中。求当线圈在其平衡位置附近作微小振动时的周期T 。设线圈的转动惯量为J ，并忽略电磁感应的影响。
解： 线圈的磁矩为：nI a m 2= 方向沿线圈平面法线且与电流成右手螺旋关系，
则在磁中的磁力矩为 B
m M
?= 大小为 ?sin mB M =
由于在平衡位置附近θ很小，θθ=?
sin θ=∴mB M
由转动定律得： 22
dt
d J
JB mB θθ-=-=
其中负号表示θ增加的方向与β方向相反。上式可写为即：
0222
=+θωθdt
d 其中 J
mB =
2
ω
其通解为： )sin(δ+ωθ=θt 0 那么振动振期 nIB
a J mB
J f T 2
2221π
=?
π=ωπ==
7.27 一电子在B= 20×10-4 T 的磁场中沿半径 R=2.0cm 的螺旋线运动，螺距h=5.0cm ，如图7.42所示．求：
(1) 这个电子的速度；
(2) 磁场 B 的方向如何？ 解：（1）利用 qB
m h θ
υπcos 20=
及 2
2)
2(cos R h h πθ+=
得：
2
2
022)
(R h m
qB π+π=
υ
1
62
2
22
31
4
191057710
02143210
0510
19143210
201061------??=???+???????=
s
m .)
..().(...
（2）电子受到的洛仑兹力为：
B
e f
?-=υ 这力充当了向心力。从电子运动的
螺线方向就可判断，磁场方向沿螺线轴向上。
7.28 如图7.43所示为磁流体发电机的示意图。将气体加热到很高温度(如 2500K 以上)使之电离(这样一种高度电离的气体叫做等离子体)，并让它通过平行板电极P 、N 之间，在这里有一垂直纸面向里的磁场B ，设气体流速为υ，电极间距为d ，试求两极间产生的电压，并说明哪个电极是正极。
解：电离子的气体（即等离子体）在磁场中受到洛仑兹力
B
q f
?=υ
由此式可以判知，正电荷向下运动，这样在两极上就
有正负电荷堆集形成电源。这电源上为正极，下为负极。设两极间这时有电场为E ，则在平衡时有：B e eE υ=
从而得两极间电压为：Bd Ed U υ==
7.29 有两个半径分别为1R 和2R 的“无限长”同轴圆柱面，两圆柱面间充以相对磁导率为r μ的均匀磁介质，当两圆柱面通以相反的电流I 时，试求：
⑴ 磁介质中任意点P 的磁感应强度В； ⑵ 圆柱面外任意点Q 的磁感应强度В。
解：由于沿轴向是“无限长”同轴载流面，故沿轴向不同点磁感应强度的分布是相同的。现任选一个垂直于轴的平面进行讨论。在这个平面上，设坐标原点在该面与轴的交点上，据轴对称性，选以坐标原点为心，过场点的圆作为环路，应用安培环路
定理 ?∑=
?L
I l d H
（1）在介质中，∑=I I ， 则有 I rH =π2
r
I H π2=
， r
I
H B r r πμμμμ200=
= 方向与电流成右手螺旋关系。
（2）圆柱面外，∑=0I 则圆轴外， 0==H B
7.30 一个闭合的环形铁芯上绕有300匝的线圈，平均周长为0.45m ，如果需要在铁芯中产生0.90T 的磁感强度，试求在下列两种情况下各自所需的电流强度。(1) 铁芯材料为铸铁；(2) 铁芯材料为硅钢片。
（已知铸铁在B=0.90T 时，H=0.90×105 A ·m-1；硅钢片在B=0.90T 时，H=2.6×102A ·m-1。）
解：铁心内的磁场强度为：45
.03002I r
NI H ==
π
（1）铸铁铁心)1090.0,90.0(15-??==m A H T B 时有：5
10
90.045
.0300?=I
解之得所需的电流强度为：
A I 13510
35.1300
45
.01090.02
5
=?=??=
（2）硅钢片铁心)106.2,90.0(12-??==m A H T B 时有：2
10
6.245
.0300?=I
解之得所需的电流强度为：
A I 39.0300
45
.0106.22
=??=
由此结果可以看出，在线圈中要获得同样的磁感应强度，铁心不同，线圈中所须的电流不同。
第七章 恒定磁场 1．均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通 过S 面的磁通量的大小为 （ B ） (A) B r 22π． (B) B r 2π． (C) 0． (D) 无法确定的量． 2．载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 2 )通有相同电流I ．若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为（ D ） (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 3．如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从 a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B 沿图中闭合路径L 的积分??L l B d 等于（ D ） (A) I 0μ． (B) I 03 1 μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ． 4．在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A 1 = 2 A 2，通有电流I 1 = 2 I 2，它们所受的最大磁力矩之比M 1 / M 2等于（ C ） (A) 1． (B) 2． (C) 4． (D) 1/4． 5．如图所示，无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，当通以电流I 时，则在圆心O 点的磁感强度大小等于 （ D ） (A) R I π20μ； (B) R I 40μ； (C) )11(40π+R I μ； (D) )1 1(20π -R I μ。
6．如图所示，处在某匀强磁场中的载流金属导体块中出现霍耳效应，测得两底面M 、N 的电势差为 V V V N M 3103.0-?=-，则图中所加匀强磁场的方向为（ C ） （A ）、竖直向上； （B ）、竖直向下； （C ）、水平向前； （D ）、水平向后。
习题 7-7一条无限长直导线在一处弯折成半径为R 的圆弧，如图7.7所示，若已知导线中电流强度为I,试利用比奥—萨伐尔定律求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O 处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O 处的磁感应强度。 解（1）如图7.6所示，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O 位于直线电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。 根据比奥—萨伐尔定律，半圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向内。半圆弧在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向里。 （2）如图7.6（b ）所示，同理，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O 位于电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。 根据毕奥—萨伐尔定理，1/4圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向内，1/4圆弧电流在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向里。 7-8 如图7.8所示，有一被折成直角的无限长直导线有20A 电流，P 点在折线的延长线上，设a 为5cm ，试求P 点磁感应强度。 解 P 点的磁感应强度可看作由两段载流直导线AB 和BC 所产生的磁场叠加而成。AB 段在P 点所产生的磁感应强度为零，BC 段在P 点所产生的磁感应强度为p163(7-5) 式中120,,2 r a π θθπ= == 。所以 方向垂直纸面向里。 7-9 如图7-9所示，用毕奥—萨伐尔定律计算图中O 点的磁感应强度。 解 圆心 O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成， AB 段在P 点所产生的磁感应强度为 式中1200,,26 r r π θθ== = ，所以 方向垂直纸面向里。 同理，DE 段在P 点所产生的磁感应强度为 圆弧段在P 点所产生的磁感应强度为 O 点总的磁感应强度为 方向垂直纸面向里。 7-10 如图7.10所示，两根长直导线沿半径方向接到粗细均匀的铁环上的A 、B 两点，并与很远处的电源相接，试求环中心O 点的磁感应强度。 解 因为O 点在两根长直导线上的延长线上，所以两根长直导线在O 点不产生磁场，设第一段圆弧的长为1l ，电流强度为1I ，电阻为1R ，第二段圆弧长为2l ，电流强度为2I ，电阻为2R ，因为1、2两段圆弧两端电压相等，可得 电阻1 R S ρ =，而同一铁环的截面积为S 和电阻率是相同的，于是有 由于第一段圆弧上的任一线元在O 点所产生的磁感应强度为
第七章 稳恒磁场章节测试题 一、选择题： 1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为（ ） (A) 22r πB ． (B) 2r πB ． (C) 0． (D) 无法确定的量． 2、电流由长直导线1沿切向经a 点流入一个电阻均匀的圆环，再由b 点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线上电流强度为I ，圆环的半径为R ，且a 、b 和圆心O 在同一直线 上．设长直载流导线1、2和圆环中的电流分别在O 点产生的磁感强度为1B 、2B 、3B ，则圆心处磁感强度的大小 （ ） (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0，但021=+B B ，B 3 = 0． (C) B ≠ 0，因为B 1≠ 0、B 2≠ 0，B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3 = 0，但021≠+B B ． 3、一电荷为q 的粒子在均匀磁场中运动，下列哪种说法是正确的？（ ） (A) 只要速度大小相同，粒子所受的洛伦兹力就相同． (B) 在速度不变的前提下，若电荷q 变为-q ，则粒子受力反向，数值不变． (C) 粒子进入磁场后，其动能和动量都不变． (D) 洛伦兹力与速度方向垂直，所以带电粒子运动的轨迹必定是圆． 4、如图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大（ ） (A) 区域Ⅰ （B ）区域Ⅱ （C ）区域Ⅲ （D ）区域Ⅳ 5、若一平面载流线圈在磁场中既不受力，也不受力矩作用，这说明：（ ） (A) 该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向平行． (B) 该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向平行． (C) 该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向垂直． (D) 该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向垂直． 二、 填空题 1、如图所示，两导线中的电流1I 和2I 均为8A ，对图中所示的三条闭合曲线a 、b 、c ，则： （1）a B dl =? b B d l =? c B d l =? Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
第7章 恒定磁场 三、计算题 1. 边长为2l 的正方形导体框载有电流I ．求正方形轴线上离中心O 为x 处的磁感应强 度B 和磁场强度H ． 2. 如T7-3-2图所示，一无限长载流直导线载有电流I ，在一处弯成半径为R 的半圆弧．求 此半圆弧中心O 点的磁感应强度B ． 3. 两共轴载流线圈，半径分别为1R 和2R ，电流分别为1I 和2I ，电流流向如T7-3-3图所示．两线圈中心1O 和2O 相距为l 2，联线的中心为O ．求轴线上离O 点为r 处的磁感应 强度B ． 4. 如T7-3-4图所示，表面绝缘的细导线密绕成半径为R 的平面圆盘，导线的一端在盘心，另一端在盘边缘，沿半径单位长度上的匝数为n ．当导线中通有电流I 时，求离圆盘中 心距离x 处P 点的磁感应强度B ． 5. 如T7-3-5图所示，宽度为d 的“无限长”直导体薄片通有从下到上的电流I ，电流在导体横截面上均匀分布．图中P 点为通过导体片中线并与导体片面垂直的平面上的一点， 它与导体片的距离为r ．求P 点的磁感应强度B ． 6. 如图，一半径为R 的带电塑料圆盘，其中有一半径 为r 的阴影部分均匀带正电 荷，面电荷密度为σ+，其余 O x P I l 2 1 O 1R 2R 1 I 2 I 2 O O l l T7-3-1图 T7-3-2图 T7-3-3图 b O R I T7-3-4图 T7-3-5图 I P d r I P R x T7-3-7图 + B ???????????? - K L
部分均匀带负电荷，面电荷密度为σ-．当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，问R 与r 满足什么关系? 7. 星际空间里某区域内存在一均匀磁场B ，其大小为 高斯5 100.1-?．一电子在此磁场中运动，其速度沿磁场B 方向的分量为1%c ．当电子沿磁场方向前进了一光年时，它绕磁力线转 了多少圈? 8. 图7-3-7所示的结构中，两水银杯与一个带开关K 的电源相联结；上部分是一质量为m 的一段导线弯成了 形，上面一段长度为L ，置于垂直向里的均匀磁场B 中，下端也分别插入到两水银杯中．开关K 接通时，上面的的导线就会跳起来，设导线跳起的高度为h ，求通过导线的电量． 9. 一“无限长”直线电流1I 旁边有一段与之垂直且共面的电流2I ，载流2I 的导线长度为L ，其一端离“无限长”直线电流的距离也是L ．试求电流1I 作用在电流2I 上的磁场力． 10. 一线圈由半径为m 2.0的41圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流A 2，把它放在磁感应强度为T 5.0的均匀磁场中(磁感应强度B 的方向如T7-3-10图所示)．求： (A) 线圈平面与磁场垂直时，圆弧? AB 所受的磁力； (B) 线圈平面与磁场成 60角时，线圈所受的磁力矩． 11. 电流均匀地流过无限大平面导体薄板，面电流密度为j ，设板的厚度可以忽略不计，试用毕奥----萨伐尔定律求板外的任意一点的磁感应强度． 12. 如T7-3-12图所示，一半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转，试求圆筒内部的磁感应强度． 13. 带电刚性细杆CD ，电荷线密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)，求： (1) O 点的磁感应强度o B ； (2) 磁矩m P ； (3) 若b a >>，求o B 及m P ． 14. T7-3-14图为两条穿过y 轴且垂直于x —y 平面的平行长直导 T7-3-8图 2 I 1I L L T7-3-6图 R ω O r C D O B I T7-3-10图 j T7-3-11图 O a b C D ω T7-3-13图 x P a a O y x I .I ? T7-3-14图 R σ T7-3-12图 ω
7章练习题 1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线 方向单位矢量n 与B 的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ． (C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2 B cos α． 2、如图所示，电流I 由长直导线1经a 点流入由电阻均匀的导线构 成的正方形线框，由b 点流出，经长直导线2返回电源(导线1、2的延长线均通过O 点)．设载流导线1、2和正方形线框中的电 流在框中心O 点产生的磁感强度分别用 1B 、2B 、3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0、B 3≠ 0，但 0321=++B B B ． (C) B ≠ 0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3= 0，但021≠+B B ． 3、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 4、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电 流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上．图(A)～(E)哪一条曲 线表示B －x 的关系？ ［ ］ B x O R (D) B x O R (C) B x O R (E)
第七章稳恒电流 1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线 方向单位矢量n 与B 的夹角为? ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) ?r 2B ． . (B) 2??r 2B ． (C) -?r 2B sin ?． (D) -?r 2B cos ?． 2、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上．图(A)～(E)哪一条曲线表示B －x 的关系？ ［ ］ 3、如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接 到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B 沿图中闭合路径L 的积分 L l B d 等于 (A) I 0 ． (B) I 03 1 ． (C) 4/0I ． (D) 3/20I ． 4、如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动 或平动．线框平面与大平板垂直．大平板的电流与线框中电流方 向如图所示，则通电线框的运动情况对着从大平板看是： (A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动． (C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． 5、在一根通有电流I 的长直导线旁，与之共面地放着一个长、宽各为a 和b 的矩形线框，线框的长边与载流长直导线平行，且二者相距为b ，如图所示．在此情形中，线框内的磁通量? =______________． n B S O B x O R (A) B x O R (B) B x O R (D) B x O R (C) B x O R (E) x 电流 圆筒 I I a b c d 120° I 1 I 2 b b a I
第七章 稳恒磁场 §7-1 磁感应强度 磁场的高斯定理 一、磁场 1、磁场：运动电荷或电流周围也有一种场，称为磁场。 2、磁场的主要表现 （1）力的表现：磁场对运动电荷或载流导体有作用力。 （2）功的表现：磁场对载流导体能做功。 3、实验表明：磁场与电场一样，既有强弱，又有方向。 二、磁感应强度 为了描述磁场的性质，如同在描述电场性质时引进电场 强度时一样，也引进一个描述磁场性质的物理量。 下面从磁场对运动电荷的作用力角度来定义磁感应强度。 设E 、V 、F 为电荷电量、速度、受磁场力。实验结果为： 1、q F ∝，V F ∝； 2、F 与V 同磁场方向夹角有关，当V 与磁场平行时，F =0；当V 与磁场垂直时， max F F =。如V 、磁场方向在x 、y 轴上，则max F 在z 轴上。 可知，qV F ∝max ，可写成：BqV F =max 。 可知：B 是与电荷无关而仅与O 点有关即磁场性质有关的量。 定义：B 为磁感应强度， 大小：qV F B max =， 方向：沿V F ?max 方向（规定为沿磁场方向）。 说明：（1）B 是描绘磁场性质的物理量，它与电场中的E 地位相当。 （2）B 的定义方法较多，如：也可以从线圈磁力矩角度定义等。
（3）SI 制中，B 单位为T （特斯拉）。 三、磁力线 在描述电场时，引进了电力线这一辅助概念，在描述磁场中，我们也可以引进磁力线这一辅助概念。 1、B ：方向，某点磁力线切向方向为B 的方向。 大小，规定某处磁力线密度=B 。 设P 点面元s d 与B 垂直，m d Φ为s d 上通过的磁力线数，则磁力线密度ds d m Φ，即 有： B ds d m =Φ， 可知：B 大处磁力线密；B 小处磁力线疏。 2、磁力线性质 （1）磁力线是闭合的。这与静电场情况是截然不同的。磁场为涡旋场。 （2）磁力线不能相交，因为各个场点B 的方向唯一。 四、磁通量 定义：通过某一面的电力线数称为通过该面 的磁通量，用m Φ表示。 1、B 均匀情况 (1)平面S 与B 垂直，如图所示，可知 （根据磁力线密度定义） BS m =Φ （7-1） （2）平面S 与B 夹角θ，如图所示，可知： )n S S (S B cos BS BS m =?===⊥θΦ 2、B 任意情况 如图所示，在S 上取面元ds ，ds 可看成平面， ds 上B 可视为均匀，n 为s d 法向向量，通过ds 的 磁通量为 （7-2）
第七章 稳恒磁场习题 7-1 一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量为多少？ 解：取平面S ’与半球面S 构成闭合曲面，根据高斯定理有 0m mS mS ΦΦΦ'=+= 2cos mS mS r E ΦΦπα'=-=- 球面外法线方向为其正方向 7-2 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，它们在点O 的磁感应强度各为多少？ 08I R μ垂直画面向外 0022I I R R μμπ- 垂直画面向里 00+42I I R R μμπ垂直画面向外 7-3 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。 解： 如图所示，圆心O 点磁场由直电流∞A 和∞B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但∞A 和∞B 在O 点产生的磁场为零。且 θ -πθ==21221R R I I 电阻电阻 1I 产生1B 方向⊥纸面向外π θπμ2) 2(2101-=R I B 2I 产生2B 方向⊥纸面向里πθ μ22202R I B = ∴1) 2(2121=-=θ θπI I B B 有0210=+=B B B 7-4 如图所示，已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为6.0×10－5 T 。如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流有多大？流向如何？（已知圆 电流轴线上北极点的磁感强度() R I R R IR B 24202 /32220μμ= +=）
解：90 42 1.7310A RB I μ= =? 方向如图所示 7-5 有一同轴电缆，其尺寸如题图所示．两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感应强度：（1）r
第七章 练习题 1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ． (C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2B cos α． 2、如图所示，电流I 由长直导线1经a 点流入由电阻均匀的导线构成的正方形线框，由b 点流出，经长直导线2返回电源(导线1、2的延长线均通过O 点)．设载流导线1、2和正方形线框中的电 流在框中心O 点产生的磁感强度分别用 1B 、2B 、3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0、B 3≠ 0，但0321=++B B B ． (C) B ≠ 0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3= 0，但021≠+B B ． 3、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 4、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上．图(A)～(E)哪一条曲线表示B －x 的关系？ ［ ］ 5、如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强 度B 沿图中闭合路径L 的积分??L l B d 等于 (A) I 0μ． (B) I 03 1μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ． I B x O R (D ) B x O R (C ) B x O R (E ) 电流筒
第七章 稳恒磁场 7.1 在定义磁感应强度B 的方向时，为什么不将运动电荷受力的方向规定为磁感应强度B 的方向？ 答：由于运动电荷在磁场中的受力方向与电荷运动方向有关，则不能用来描述磁场的性质，故不能规定该方向为磁感应强度的方向。 7.2 一无限长载流导线所载电流为I ，当它形成如图7.27所示的三种形状时，则o Q P B B B ,,之间的关系为 (1) o Q P B B B >> ； (2) o P Q B B B >>； (3) P o Q B B B >> ； (4) P Q o B B B ≥>。 解：a I B P πμ= 20 )(2 2120+ πμ= a I B Q )(2 1200π+ πμ= a I B P Q B B B >>∴ 0，故选（4）。 7.3 在同一根磁感应线上的各点，磁感应强度B 的大小是否处处相同？ 答：同一磁感应线上的各点，磁感应强度B 的大小不一定处处相等。 7.4 磁场的高斯定理??=?0s d B 表示的重要性质是什么？ 答： ?? =?0s d B 表示的重要性质是磁场是无源场， 磁感应线是无头无尾的闭合线。 7.5 如图7.28所示 ，两导线中的电流21I I ,均为5A ，对图中所示的三条闭合曲线a ，b ，c 分别写出安培环路定理式等号右边电流的代数和，并说明： (1) 在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B 的大小是否相等？ (2) 在闭合曲线 c 上各点的磁感应强度B 是否为零？为什么？ 答：电流代数和依次为1212I I I I --,, （1）不相等。 （2）不为零，这是因为与曲线C 环绕的电流代数和 I I P a