空瓶换水问题
【寄语】:空瓶换水是小学数学培优中一个非常有趣的问题。看似简单，其实不然，如果能够把这个问题研究得很通透，你就会发现非常耐人寻味。让我们用最简单最直观的方法去分析问题。最后归纳总结其乐无穷，精彩纷呈。
技巧与方法：
1.逐层分析法。2、统筹规划法。3、建模法。
例1 某班8名同学买了8瓶汽水，商店规定每3个空瓶可以换一瓶汽水，那么这8名同学最多可以喝多少瓶汽水？
解法○1：逐层分析法
8瓶汽水喝完后就剩下8个空瓶，那么这8个空瓶可以用6个空瓶换2瓶汽水，还多2个空瓶。喝完这两瓶汽水后共有4个空瓶，那么这4个空瓶又可用3个空瓶再换1瓶汽水，还多出一个空瓶。这1瓶汽水喝完后就有2个空瓶，那么我们可以借一个空瓶，换来1瓶汽水，喝完后正好可以还这个空瓶。这样一来我们一共喝了8+2+1+1＝12瓶
解法○2：统筹规划法
我们可以一开始就借一个空瓶，喝完8瓶后就有9个空瓶。9÷3＝3 3÷3＝1 8+3+1＝12 这种方法也就一开始就凑齐9瓶。
解法○3：建模法
以上两种方法在计算的时候如数据过大，换的方式复杂就会给我们解决问题带来及大的麻烦，若建立一种模式就会使问题变得非常简单。我们可以这样想，3个空瓶换1瓶汽水，1瓶汽水3元钱，那么1个空瓶就是1元钱，那么1瓶汽水我们就分为2个部分，空瓶和水空瓶1元钱水2元钱。8瓶汽水喝完后我们就剩下8个空瓶，也就是我们还有8元钱，这8元钱能够换来多少水呢？8÷2=4 所以综合算式为8+8÷2＝12也就是我们一共可以喝12瓶，通过这一种方法大大的减化了我们的计算，我们每个同学试一试就一目了然。
练习：
1.我班共买了54瓶汽水，商店规定每3个空瓶可以换1瓶汽水，那么最多可以喝多少瓶？
2.我班共买了43瓶汽水，商店规定每3个空瓶可以换1瓶汽水，那么最多可以喝多少瓶？
3.我班共买了60瓶汽水，商店规定每4个空瓶可以换1瓶汽水，那么最多可以喝多少瓶？
4.我班共买了63瓶汽水，商店规定每4个空瓶可以换1瓶汽水，那么最多可以喝多少瓶？
5.我班共买了60瓶汽水，商店规定每5个空瓶可以换2瓶汽水，那么最多可以喝多少瓶？
6.我班共买了72瓶汽水，商店规定每7个空瓶可以换2瓶汽水，那么最多可以喝多少瓶？
2 例如：x 2 3x x 2 3x 2 3x 2 2x 3x 2 2x 4x 2 5x 观察发现 2 3x 2 3x 2x 4x 2 5x 1，故可设 x 2 3x 2 3x 2 2x v ，原方程变为u 2 uv v 2 ，方程由繁变简，可得解? 第 6 讲利用换元法解方程 、方法技巧 （一） 换元法 解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的 . （二） 运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、 整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次 （三） 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的， 不同的方程就有不同的换元方 法，因此， 这种方法灵活性大，技巧性强?恰当地换元，可将复杂方程化简，以 便寻求解题的途径. 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等. 82，使方程变得易解，这是均值换元法 例如: 5 — 6 0，可使用局部换元法, x 1 ②x 2 0,变形后也可使用局部换元法，设 2x 2 ~2 x x 2 1 19 —，看着很繁冗，变形整理成 6 x 2 x 2 2 x 2 x 19 一 —时，就可使用局部换兀法 6 82 , 可设 口 x 2，方程变成 ⑤6x 4 5x 3 38x 2 5x 符合与中间项等距离的项的系数相等, 如6x 4 与6 , 5x 3与5x 系数相等，可构造 x 1换元，是倒数换元法. x ⑥x 3 2、.3x 2 3x .3 1 0 ,不易求解，若反过来看，把设 x 看作已知数, 把.3设为设t ，则方程就变成x t 2 2x 2 1 t 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法 有时根 据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简, 求解的目的
原创总结【空瓶兑换公式】 公式：购买数=总瓶数/ 空瓶数* （空瓶数—兑换瓶数）【求“购买数”时向上取整，求“总瓶数、空瓶数”时向下取整】 6个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？(A) A.131 B.130 C.128 D.127 ******************************************************************************* X=157/6*(6-1)X=130.8向上取整，得131 某旅游景点商场销售可乐，每买3瓶可凭空瓶获赠1瓶可口可乐，某旅游团购买19瓶，结果每人都喝到了一瓶可乐，该旅游团有多少人？（D） A19B24C27D28 ******************************************************************************* 冷饮店规定一定数量的汽水空瓶可换原装汽水1瓶，旅游团110个旅客集中到冷饮店每人购买了1瓶汽水，他们每喝完一定数量的汽水就用空瓶去换1瓶原装汽水，这样他们一共喝了125瓶汽水，则冷饮店规定几个空瓶换1瓶原装汽水？（A） A.8 B.9 C.10 D.11 ******************************************************************************* 郁闷了两天终于感觉有点收获，其实做这种题，即使不会也能懵出来。这种题都是极限值选项，要不选最大的、要不选最小的，其实这样的题型还是挺多的，记得以前我也发帖谈过，在不复述 如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水（ C ） A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶
合并法、换元法解二元一次方程组 （一）知识教学点 1．掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤． 2．熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）能力训练点 1．培养学生的观察分析能力; 2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯． （三）德育渗透点 消元，化未知为已知的数学思想． （四）美育渗透点 通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美． 二、学法引导 1．教学方法：引导发现法、练习法，指导法． 2．学生学法：在前面已经学过二元一次方程组的解法，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法． 三、重点、难点、疑点及解决办法 （－）重点 使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）难点 灵活运用合并法、换元法的技巧． （三）疑点 如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
四、课时安排 一课时． 五、教具学具准备 电脑 投影仪． 六、教学过程 一导 运用导学案 自主学习 （一）解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时改进方法，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组. （二）自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组 （略） 设计意图：以学生的兴趣为主，由易至难，逐层递进，逐步完成各个任务。 （三）总结 二研 合作学习 研究探讨 （一）例题解析 （1） ???-=+=+② 10y 65x ① 1056y x
（2） ???=+-=-+-② 72009)-7(2010y 9)4(2x ① 3)20092010(3)92(2y x 设计意图：合作探究，探索比较，发现规律，使每位学生参与其中，成为课堂的主人，提高解题技巧 （二）练习题 （1）???=+=+② 79y 137x ① 61713y x （2）???=+=+② 74y 1911x ① 1061119y x （3）?????-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x （4）??? ????=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图：竞赛完成，激发学习热情，巩固强化 三验 课堂小测验（略） 设计意图：对学生完成情况及时了解，及时总结，对课堂教学及时反思，对下一步的教学进行适时，适当的调整。并对学生的解题情况进行总体的评价，要本着激励的原则，使学生有成就感。
数量关系：空瓶换酒的问题 这类题经常会问到“最多(可以/可能)”喝掉多少瓶酒(这里特别需要注意：“最多可以”或“最多可能”这两个词。意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值，因为方法可以是假设的，所以这个值应该是假设的最大值。即假设在最有可能的情况下，充分利用每一个空瓶(现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶)凑合换最多的酒。 给出以下两种换法： 举个例子：3个空瓶换1瓶酒，8个空瓶(在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下)最多可以换到多少瓶酒? 第一种方法就是拿3个空瓶直接换1瓶酒，喝完就留下1个瓶。 根据第一种换法，画个示意图： 思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒。如果按上面的算法就还剩下1个空瓶没有利用。这样显然也就达不到假设的最大值。所以这个答案就不是最多可能的数。 再看第二种方法：先拿2个空瓶换1瓶酒，喝完酒就直接把瓶子留在那里。(即：喝完后不带走酒瓶) 根据第二种换法，再画个示意图： 思路：因为每次换酒喝完后，瓶子都直接留在那里了，没有带回。所以没有剩下空瓶。刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件。只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值。所以这个答案才是最多可能的数。即：8÷(3-1)=4。
通过以上的规律，总结出空瓶换酒的公式。A代表多少个空瓶可以换一瓶XX，B代表有多少个空瓶，C代表通过多少个空瓶可以换一瓶XX，最多能喝到多少瓶XX。公式为：B÷(A-1)=C。 给大家提供以下几个例题来利用公式解决问题。 例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( ) A. 4瓶 B. 5瓶 C. 6瓶 D. 7瓶 【解析】C 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。故选C。 例题2：某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可换一瓶啤酒，张伯伯家买了24瓶啤酒，那么他家前后共能喝掉多少瓶啤酒?( ) A. 30瓶 B. 32瓶 C. 34瓶 D. 35瓶 【解析】B 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，张伯伯24瓶啤酒喝完后，24个空瓶可以换24÷(4-1)=8瓶，所以他家前后共能喝掉24+8=32瓶啤酒。故选B。 例题3：5个汽水空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶?( ) A. 129瓶 B. 128瓶 C. 127瓶 D. 126瓶 【解析】A 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，设他们至少买汽水x 瓶。则换回汽水x÷(5-1)瓶，根据题意有：x+ x÷(5-1)=161，解得：x=128.8。所以他们至少买129瓶汽水。故选A。 【总结】通过上面3个例题的学习，告诉大家，在学习的过程中，善于归纳总结公式，合理利用公式来解决问题，在节约时间的同时，也提高了正确率，达到与一反三的效果。
知识点：方程解的情况及换元法 1．一元二次方程的根的情况是. A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 7．不解方程,判别方程x2+4x+2=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 不解方程,判断方程5y+1=2y的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 用换元法解方程时, 令= y,于是原方程变为. A.y-5y+4=0 B.y-5y-4=0 C.y-4y-5=0 D.y+4y-5=0 10. 用换元法解方程时,令= y ,于是原方程变为. A.5y-4y+1=0 B.5y-4y-1=0 C.-5y-4y-1=0 D.-5y-4y-1=0 11. 用换元法解方程()2-5()+6=0时，设=y，则原方程化为关于y的方程是 . A.y2+5y+6=0 B.y2-5y+6=0 C.y2+5y-6=0 D.y2-5y-6=0
[数算]空瓶换饮料问题的最快求解公式 6个空瓶能换1瓶汽水，要喝157瓶汽水（有一部分是用喝过的空瓶换的）至少要买多少瓶汽水？ 157÷6×5=130.83（向上取整）=131 X=A÷N×(N-1) （向上取整） 如改为:每瓶饮料1元钱，131元最多能喝到多少瓶饮料，则为：131÷5×6=157.2（向下取整）=157 A=X÷(N-1)×N （向下取整） 用这种算法既快又准，不擅长算此类题目的朋友只需记住公式即可从容应对，原本会算的朋友可以快速得出答案（15秒以内），节约时间。行测的要求是又准又快，数学运算题不仅要会做而且要熟练，对一些常考类型的题目进行一般性的总结对可以在保证正确率的前提下提高解题速度，是我们复习时应该注意的内容。希望这个简单的总结对考友们有所帮助。 分享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一。其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够
做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。有条件的朋友可以到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的一个网站，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸。
综合解一元二次方程— 换元法 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例解析】 例1．用适当方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣3=0 （2）16（x+5）2﹣9=0 （3）（x2+x）2+（x2+x）=6． 例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法 （1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可； （3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可． 解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49， ∴x===， ∴x1=3，x2=﹣； （2）整理得，（x+5）2=， 开方得，x+5=±， 即x1=﹣4，x2=﹣5， （3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6， 因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0， 解得t1=2，t2=﹣3． ∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解）， ∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2． 例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5
2020年4.24公务员联考《行测》空瓶换水解题 秘籍 空水瓶换水问题在公务员考试行测中属于数学运算中的统筹问题。统筹问题必然是行政职业测试的重要内容，测试考生系统全面地筹 划安排能力。空水瓶换水问题的解法又是复杂而又多样的。 例1、如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉 水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水()。(2006年国家公务员考试行 测真题) A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶 解法(一)：4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，有15个矿泉水 空瓶不交钱最多可以喝矿泉水呢?可以按一下三步进行考察： 第一步：15个矿泉水空瓶=12个矿泉水空瓶+3个矿泉水空瓶。 12个矿泉水空瓶可换3瓶水，喝完水后有多出三个空瓶，加上原来 剩下的3个矿泉水空瓶，目前还有6个矿泉水空瓶。 第二步：6个矿泉水空瓶=4个矿泉水空瓶+2个矿泉水空瓶，4个矿泉水空瓶可换1瓶矿泉水，喝完又剩下1个空瓶。总共还有3个 矿泉水空瓶。 第三步：3个矿泉水空瓶貌似不可以再换了，但在市场经济如此 发达的今天，借贷关系则在生产、生活中相当普遍。因此此时可以 借一个空瓶，加上原来剩下的3个矿泉水空瓶，可以换一瓶矿泉水，喝完水后再把空瓶换掉。因此15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝 矿泉水5瓶。答案选C。 解法(二)：空水瓶换水问题成为行测考试中的经典题型，但以上解法并不能满足行测考题的速度原则。因为如果原题中的矿泉水空 瓶的数量很大的话，则此解法暴露其弊端。
该题中条件“4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水”可写成恒等式的形式： 4个矿泉水空瓶=1瓶矿泉水=1个矿泉水空瓶+1个水(1个水指只是一瓶水而不包括瓶子) 两边消去1个矿泉水空瓶而得： 3个矿泉水空瓶=1瓶水 再用15除以3得5。则15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水5瓶。答案选C。 第二种解法才是在行测考题中比较实用的方法。 例2、“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒?(2009年浙江公务员考试行测真题) A.296瓶 B.298瓶 C.300瓶 D.302瓶 解法(一)：张先生在活动促销期间共喝掉的347瓶“红星”啤酒中，有一部分是张先生自己花钱买的，还有另一部分是张先生用空瓶换的。则正面对347这个数据的处理显出其难度，在行测考题中正面解决比较麻烦的试题可以用代入法来解决。 7个空瓶换1瓶啤酒可转化为：6个空瓶=1个啤酒(一个啤酒指只是一瓶啤酒二不包括酒瓶)先带入A选项：296÷6=49……2，用296+49=345，不符合题意。再代入选项B：298÷6=49……4，用298+49=347(瓶)，符合题意。此题选B。 解法(二)：张先生在活动促销期间共喝掉的347瓶可以看成都是张先生花钱买的。347瓶啤酒喝完后还剩下347个空瓶， 347÷7=49……4，也就是说此时张先生可以换得49瓶啤酒，为了保证张先生只喝了347瓶，把换来的49瓶啤酒退给卖方，张先生实际买的啤酒瓶数为：347-49=298(瓶)，答案选B。
行测技巧：解答空瓶换水问题 在做行测题目经常会遇到空瓶换水这类问题，大部分考生都喜欢用常规方法一点一点换，这么做虽然可以做出来，但是有两个弊端：错误率高且浪费时间。所以今天带大家系统看下这类题目，总结出一些很简单的方法，以达到做此类题即快又准的目的。 首先我们来看一下，空瓶换水常考的两种题型：一是有N个空瓶，问可以免费喝多少瓶水;二是有N个人，保证每个人都要喝到一瓶水，问最少需要买多少瓶。针对这两类题型，每类都有其固定的做题思路，我们逐个分析。 1、N个空瓶，可以免费喝多少瓶水。 比如：已知5个空瓶可以换一瓶水，现在有44个空瓶，问可以免费喝几瓶水。按照一般的思路，我们肯定直接算，44÷5=8瓶水……4个空瓶，8+4=12个空瓶，还可以接着换，12÷5=2瓶水……2个空瓶，2+2=4个空瓶，不够5个所以不能换了，但如果想的够仔细的话，可以考虑再借一个空瓶，这样又可以换得一瓶水，喝完杯中水之后，将瓶子还给别人，此时可以达到利益的最大化。因此能换8+2+1=11瓶水。这样做当然最终也得出了正确答案，但是很明显较慢较复杂。 现在就告诉大家一个非常不错的方法。由题意可得，5个空瓶=1瓶水，即5个空瓶=1水+1个空瓶，所以相当于4个空瓶可以免费喝一份水，所以44个空瓶可以喝到44÷4=11瓶水。注意：此11瓶水仅仅包括瓶中的水，不包括空瓶。 这就是现在我们做空瓶换水问题的常规解法，这样做就不容易遗漏，正确率也极高。
2、N个人，最少买几瓶。 比如：已知4个空瓶可以换一瓶水，现在全班37个同学出去游玩，问作为班长，最少买几瓶就可以保证大家每个人都能喝到一瓶水? 这类题，需要和生活结合在一起考虑。大家都清楚，如果在现实生活中，作为班长，我们买水肯定不能先买一些，让这些人赶紧喝掉，喝完收集空瓶子再拿去换水，换来的水再发给还没喝到水的那些同学，如果真这样办事情的话，那班长肯定会被赶下台的。而我们一贯的做法都是，先一下子买够全班人喝的，每人一瓶，等大家都喝完了，收集大家的空瓶，看看抵几瓶水，少给这几瓶水的钱即可。所以针对上述问题，班长肯定一下买37瓶，大家喝完产生37个空瓶，37÷4=9……1，意味着37个空瓶抵9瓶水，同时还会余下1个空瓶，所以我们可以少付9瓶水的钱，而余下这1个空瓶抵不了水，所以没用。因此最少需要花钱买37-9=28瓶水即可。
换元法解方程 西安市第八十五中学江树基 换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的．换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等． 解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧． 一、分式方程 分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设 ∴（y-1）2=0，解得y=1． 经检验，x 1，x 2 都是原方程的根． 分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x． 解：设y=x2+2x，则原方程可化为 即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3．
x2＋2x=-3，无实数解． 例3 解方程 分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x2＋2x＋10． 解：设y=x2＋2x＋10，则原方程可化为 解得y =9x，y2=-5x. 1 由x2＋2x＋10=9x，解得x =5，x2=2． 1 由x2＋2x＋10=-5x，解得x =-5，x4=-2． 3 经检验知，它们都是原方程的解． 注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的． 二、无理方程 两边立方，并整理得 y3-2y2＋3y=0，即y（y2-2y＋3）=0， ∴y=0或y2-2y＋3=0，无解． 经检验知x=-1是原方程的解． 可设两个未知数，利用韦达定理解． 原方程为m＋n=1，又∵（m＋n）3=m3＋n3＋3mn·（m+n）=4+3mn=1，∴mn=-1．
一元二次方程中的整体思想（换元法） 一、内容概述 所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。最具体的代表就是换元法的运用。 二、例题解析 初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。 （一）换元法在解方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。 1.利用倒数关系换元 例1 解分式方程：224343x x x x +=-- 分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。但是若稍加整理成2243403x x x x -+ +=-，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单了。 解：移项整理得 2243403x x x x -+ +=- 设23x x y -=，则原方程可化为440y y ++= 去分母得2440y y ++= 解得122y y ==- 当2y =-时，232x x -=- 解得11x = 22x = 经检验：11x = 22x =是原方程的根 所以，原方程的根为11x = 22x = 练习1 103 =
空瓶换水问题在公务员考试行测中属于数学运算中的统筹问题。统筹问题必然是行政职业测试的重要内容，测试考生系统全面地筹划安排能力。空瓶换水问题是这样一类问题，说几个空瓶子可以换一瓶水，告诉同学们有几个空瓶子，问可以喝到几瓶水，很多同学拿到这类问题，往往就是一步一步去换，按部就班地来做这种题，可是这样往往需要很多时间才能够把题目解出来，而且最后还会遇到一个小问题。空水瓶换水问题的解法又是复杂而又多样的。下面中公教育专家就带领大家用几种简便的方法来做一下这类题： 例 1. 四个空的矿泉水瓶子可以换一瓶矿泉水喝，小明有十五个空的矿泉水瓶子，那么小明最多能喝几瓶水? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 中公解析：同学们往往会这样解这道题目，那就是15个空瓶子可以拿出12个空瓶子来换3瓶水，还剩3个空瓶子，把那3瓶水喝掉就可以再加3个空瓶子，现在有6个空瓶子，再拿出4个换一瓶水，剩2个空瓶子，把水喝掉，一共就有
了3个空瓶子，这时怎么办呢?我们可以借一个空瓶子过来，就有了四个空瓶子，我们换一瓶水然后把水喝掉，把瓶子还掉就可以了。但是这样做很是繁琐，很浪费时间，并且最后这个瓶子还是需要借的，很多同学想不到这点，所以这种做法并不是很合适的做法。那我们应该怎么做呢?我们可以这样思考，4个空瓶子=1瓶水，我们把这一瓶水分成1个空瓶子和1份水，所以4个空瓶子=1个空瓶子+1份水，那么等式左边的空瓶子和等式右边的空瓶子可以消掉，就变成了3个空瓶子=1份水，所以有3个空瓶子就可以喝1份水，所以有15个空瓶子就可以喝掉5瓶水，选择C选项。 例2.“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒? A.296瓶 B.298瓶 C.300瓶 D.302瓶 中公解析：解法一.张先生在活动促销期间共喝掉的347瓶“红星”啤酒中，有一部分是张先生自己花钱买的，还有另一部分是张先生用空瓶换的。则正面对347这个数据的处理
换元法 在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法. 1.10)3)(4(22+++-+x x x x 2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x 3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x 4.90)384)(23(22-++++x x x x 5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++ 6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x 7.4482--a a 8.yz z y x 2222+-- 9. 644+x 10. 2214176y xy x -- 11. 581337622-++--y x y xy x 12.1433181892022-+--+y x y xy x 13. 2820152-+--y x xy x 14.12)2)(1(22-++++x x x x
15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x 17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1. 五.待定系数法 1. 192256112--x x 2.744272234+---x x x x 3.156234+-+-x x x x 六.因式定理 余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于 除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即
空瓶换汽水类似问题讨论 1. 某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒，某人买回10瓶啤酒，则他最多可以喝到（）瓶啤酒？A 13 B 14 C 15 D16 2. 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？ 类似的问题，本人认为自己的方法不错，为了攒些人品，故与大家商榷。 第一题：“用3个空瓶再换回1瓶啤酒”，假设啤酒一瓶3元，则空瓶相应的1元，而真正的酒就只值2元，“某人买回10瓶啤酒”意味着花去人民币3*10=30元， 故而“最多可以喝到（）瓶啤酒”等于30/2=15瓶。 第二题：同理” “5个空瓶可以换1瓶汽水”由题意，假设1瓶汽水5元，空瓶则1元，真正的汽水只值4元，“某班同学喝了161瓶汽水” 则一共真正汽水的钱是：161*4； 而买整个汽水（真正的汽水加空瓶）需要5元，所以“他们至少要买汽水多少瓶”则等于(161*4)/5=(161/5) *4=(32*4）....余1，此时就可算出（32*4+1=129） 这里利用下面几题解释下，我的方法没有公式快，如果记不住公式的或考到时不确定公式的，可以学习下。例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( ) A. 4瓶 B. 5瓶 C. 6瓶 D. 7瓶 解析】C 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。故选C 以上是其他同学的求解。 我认为，由题意可知，空汽水瓶的价钱是1元，汽水加瓶是3元，所以“小李有12个空汽水瓶”等于小李有12元钱，问题是“最多可以换几瓶汽水”，就是小李可以喝几瓶汽水，所以汽水（真正的汽水不加瓶）的数目=总共的钱/汽水的钱=12/2=6 例题2：某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可换一瓶啤酒，张伯伯家买了24瓶啤酒，那么他家前后共能喝掉多少瓶啤酒?( ) A. 30瓶 B. 32瓶 C. 34瓶 D. 35瓶 【解析】B 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，张伯伯24瓶啤酒喝完后，24个空瓶可以换24÷(4-1)=8瓶，所以他家前后共能喝掉24+8=32瓶啤酒。故选B。
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例解析】 例1．用适当方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣3=0 （2）16（x+5）2﹣9=0 （3）（x2+x）2+（x2+x）=6． 例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可； （3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可． 解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49， ∴x===， ∴x1=3，x2=﹣； （2）整理得，（x+5）2=， 开方得，x+5=±， 即x1=﹣4，x2=﹣5， （3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6， 因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0， 解得t1=2，t2=﹣3． ∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解）， ∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．
用换元法解各种复杂方程 用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。 [内容综述] “换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。 [问题精讲] 1.在中学课程中,只要求学生会解一些特殊的高次方程,最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。对于这类方程,可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程。例1，解方程(x 2+1)2=x 2+3 分析:思路1：以x 2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x 2+1。 思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x 2 进行换元。 解法一：原方程可化为(x 2+1)2-(x 2+1)-2=0，设x 2+1=y 得y 2-y-2=0， 解得 y 1=2，y 2=-1，x 2+1=-1无实根， 由x 2+1=2解得x 1=1，x 2=-1。 解法二：由原方程得x 4+x 2-2=0，设x 2=y （解题熟练时，这一换元过程也可以不写出） 得y 2+y-2=0，解得y 1=1，y 2=-2，x 2=-2无实根， 由x 2=1解得x 1=1，x 2=-1。 注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。例如在牛刀小试题1中，可以设4x 2+2=y ，则原方程化为y 2+y-12=0；也可以设4x 2+1=y ，则原方程化为y 2+3y-10=0（选C ），（还可以设4x 2=y 等等，学生可以自己练习）。但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。 2.解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。这时经过变形，原方程的某个整式部分常可表示为新元的平方。 例2，解方程051356222=-----x x x x 分析：为使原方程中出现形式相同的部分，可以将其变形为 03135)13(222=------x x x x 。 解：设y x x =--132，则原方程可以化为2y 2-5y-3=0 解得（不符合算术根的定义，舍去。） 由3132=--x x 得x 1=5，x 2=-2，经检验是原方程的根。
空瓶换水问题，根据题目类型分为两种解题方法。一个是正面求解的类型，要求题目必须给出一开始购买的量，问最后喝到的量;另一个是反面求解的类型，要求题目必须给出最后喝到的量，问一开始购买的量。 例1.某班8名同学买了8瓶汽水，商店规定每3个空瓶可以换一瓶汽水，那么这8名同学最多可以喝多少瓶汽水? 解析：这是第一种形式，给出一开始购买的量，问最后喝到的量。8瓶汽水喝完后就剩下8个空瓶，那么这8个空瓶可以用6个空瓶换2瓶汽水，还多2 个空瓶。喝完这两瓶汽水后共有4个空瓶，那么这4个空瓶又可用3个空瓶再换1瓶汽水，还多出一个空瓶。这1瓶汽水喝完后就有2个空瓶，那么我们可以借一个空瓶，换来1瓶汽水，喝完后正好可以还这个空瓶。这样一来一共就喝了8+2+1+1=12瓶。 这是我们分析出来的，但是大家可以看到这样来求解是非常麻烦的，也容易出错，那怎么办呢?其实只要大家能掌握它的本质就可以了。而空瓶换水的本质就是问你几个空瓶能够换到瓶子里的水，和大家一起寻找一下它的本质。 3个空瓶换1瓶汽水，为了分析方便，我们把一瓶汽水分成两个部分，空的瓶子，和瓶子里面的水，所以就有 3个空瓶=1瓶汽水=1个空瓶+1个水约去左右两边相同的部分 2个空瓶=1个水即：每当有2个空瓶能喝到里面的一个水 现在一共买了8瓶汽水，则有 8瓶汽水=8个空瓶+8个水=4个水(换的)+8个水=12个水 所以综合算式，最终能喝到12个水。这一方法减化了我们的计算量，求解过程更加清晰明了。 第二种类型： 例2.门口的商店贴出告示说，每10个空瓶可以换3瓶啤酒，张三一共喝了123瓶啤酒，且其中一部分是喝完以后换的，问张三一开始买了多少瓶啤酒? A.87 B.92 C.84 D.78 解析：这是第二种形式，给出最后喝到的量，问一开始购买的量。那这种题目要怎么做呢?要先找它的等量关系部分。题目中说10个空瓶可以换3瓶啤酒，可以得到这样一个等式：10空瓶 = 3瓶酒=3个酒 + 3个空瓶左右约去3个空瓶，就能得到 7空瓶 = 3 酒 也就是说，现在每当有7个空瓶就能换2瓶酒，但你现在手里有这7个空瓶吗?没有，要想得到7个空瓶去交换，是不是就先要买到7瓶酒?所以我们先买7瓶，看能喝到多少瓶。 7瓶酒=7个空瓶+7个酒=3个酒+7个酒=10个酒 换句话说就是，每买了7瓶酒，就能喝到10个酒
2020云南公务员考试行测空瓶换水问题 2020云南公务员考试公告什么时候会发布?云南省考什么时候考试?近期云岭先锋发布了消息：云南省2020年考试录用公务员公共科目笔试将于8月22日举行，招录公告预计在7月上旬通过“云岭先锋”网站发布。今天给大家带来行测空瓶换水问题，希望对大家有帮助。 相信很多同学在备考行测的过程中会遇到空瓶换水问题，其实我们从字面的意思很容易就可以分辨出这类题目，针对这类题目如果掌握了一些方法之后解决起来就并没有那么复杂了，下面就跟着中公教育一起来学习一下空瓶换水问题吧。 首先我们来看一道母题： 例1：若12个矿泉水空瓶可以免费换1 瓶矿泉水，现有101个矿泉水空瓶，最多可以免费喝到几瓶矿泉水? A.8瓶 B.9瓶 C.10瓶 D.11瓶 【答案】B。中公解析：拿到这个题目按照我们之前的思路可能会这样子来做题，101÷12=8···5，这时可以喝8瓶水，然后我们喝掉8瓶水之后手里就有8个空瓶子，再加上之前剩余的5个空瓶子，一共有13个空瓶子，在这时就又可以用其中的12个空瓶子去换1瓶水，所以总共可以喝到8+1=9瓶水。这样子解题当然是没问题的，但如果我们以后遇到这样的问题都是一步一步进行推导，整个解题速度比较慢而且容易出错。下面我们来学一种简单的解题方法：题
目当中的交换规则是12个空瓶换1 瓶水，即12空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水，即11空瓶=1份水。101÷11≈9.2，向下取整，这时最多可以喝到9瓶水，这种题目属于空瓶换水里最基本的一类题目，多个空瓶换一瓶水。这个题目学会了之后我们来看下面这道题目。 例2：若12个矿泉水空瓶可以免费换5瓶矿泉水，现有101个矿泉水空瓶，最多可以 免费喝到几瓶矿泉水? A.70 B.72 C.74 D.76 例3：六个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了213瓶汽水，其中一些是用喝后的空瓶 换来的，那么，他们至少要买多少瓶汽水?
分式方程增根与换元法解分式方程 1．若关于x的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数a的值的总和为（） A．﹣6 B．﹣30 C．﹣32 D．﹣38 2．关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣6且m≠2 B．m＞6且m≠2 C．m＜6且m≠﹣2 D．m＜6且m≠2 3．若数a使关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程﹣=2有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 4．若分式方程=a无解，则a的值为（） A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1 5．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4 6．若关于x的方程=1﹣无解，则k的值为（） A．3 B．1 C．0 D．﹣1 7．关于x的分式方程有增根，则m的值为（） A．0 B．﹣5 C．﹣2 D．﹣7 8．解方程会产生增根，则m等于（） A．﹣10 B．﹣10或﹣3 C．﹣3 D．﹣10或﹣4 9．关于x的方程有增根，那么a=（） A．﹣2 B．0 C．1 D．3
10．用换元法解方程组时，如设=u，=v，则将原方程组可 化为关于u和v的整式方程组（） A．B．C．D． 11．用换元法解分式方程﹣=5时，设=y，原方程变形为（） A．2y2﹣5y﹣3=0 B．6y2+10y﹣1=0 C．3y2+5y﹣2=0 D．y2﹣10y﹣6=0 12．已知﹣x2=2+x，则代数式2x2+2x的值是（） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或6 13．已知x为实数，且，那么x2+9x的值为（） A．1 B．﹣3或1 C．3 D．﹣1或3 14．已知x为实数，且﹣（x2+x）=2，则x2+x的值为（） A．0 B．1 C．2 D．x2 15．解方程﹣=2时，如果设=y，则原方程可化为关于y的整式方程是（） A．3y2+2y+1=0 B．3y2+2y﹣1=0 C．3y2+y+2=0 D．3y2+y﹣2=0 16．若1﹣+=9，则的值是（） A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．±3 17．用换元法解方程时，设x+=y，则原方程可化为（）A．y2﹣2y﹣3=0 B．y2﹣2y﹣1=0 C．y2﹣y﹣1=0 D．y2﹣2y+3=0 18．若关于x的方程有增根，则m的值是 三．解答题（共11小题） 19．若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．
空瓶换酒的问题 这类题经常会问到“最多(可以/可能)”喝掉多少瓶酒(这里特别需要注意：“最多可以”或“最多可能”这两个词。意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值，因为方法可以是假设的，所以这个值应该是假设的最大值。即假设在最有可能的情况下，充分利用每一个空瓶(现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶)凑合换最多的酒。 给出以下两种换法： 举个例子：3个空瓶换1瓶酒，8个空瓶(在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下)最多可以换到多少瓶酒? 第一种方法就是拿3个空瓶直接换1瓶酒，喝完就留下1个瓶。 根据第一种换法，画个示意图： 思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒。如果按上面的算法就还剩下1个空瓶没有利用。这样显然也就达不到假设的最大值。所以这个答案就不是最多可能的数。 再看第二种方法：先拿2个空瓶换1瓶酒，喝完酒就直接把瓶子留在那里。(即：喝完后不带走酒瓶) 根据第二种换法，再画个示意图：
思路：因为每次换酒喝完后，瓶子都直接留在那里了，没有带回。所以没有剩下空瓶。刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件。只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值。所以这个答案才是最多可能的数。即：8÷(3-1)=4。 通过以上的规律，总结出空瓶换酒的公式。A代表多少个空瓶可以换一瓶酒，B代表有多少个空瓶，C代表最多能换多少瓶酒。公式为：B÷(A-1)=C。 给大家提供以下几个例题来利用公式解决问题。 例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( ) A. 4瓶 B. 5瓶 C. 6瓶 D. 7瓶 【解析】C 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。故选C。 例题2：某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可换一瓶啤酒，张伯伯家买了24瓶啤酒，那么他家前后共能喝掉多少瓶啤酒?( ) A. 30瓶 B. 32瓶 C. 34瓶 D. 35瓶 【解析】B 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，张伯伯24瓶啤酒喝完后，24个空瓶可以换24÷(4-1)=8瓶，所以他家前后共能喝掉24+8=32瓶啤酒。故选B。 例题3：5个汽水空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶?( ) A. 129瓶 B. 128瓶 C. 127瓶 D. 126瓶 【解析】A 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，设他们至少买汽水x 瓶。则换回汽水x÷(5-1)瓶，根据题意有：x+ x÷(5-1)=161，解得：x=128.8。所以他们至少买129瓶汽水。故选A。 其实也可以这样解答：161÷5=32···1，161－32=129 【总结】通过上面3个例题的学习，告诉大家，在学习的过程中，善于归纳总结公式，合理利用公式来解决问题，在节约时间的同时，也提高了正确率，达到举一反三的效果。