运用排列组合知识求概率的计算
例题2：若一对黑色兔子的后代中有黑色和白色兔子，那么，在完全
显性遗传中，
⑴.第一只是黑色，第二只是黑色，第三只是黑色，第四只是白色的概率是多少？
⑵.三黑一白的概率是多少？
⑶.两黑两白的概率是多少？
分析：根据题意，作为亲代的两只兔子都是杂合子，即Bb×Bb。
那么，其后代中出现黑色个体的概率是3/4，出现白色的概率是1/4。
也就是说，每出现一只黑色兔子的概率都是3/4，每出现一只白色兔子的概率都是1/4。
解：
⑴.第一只是黑色，第二只是黑色，第三只是黑色，第四只是白色的概率是多少？
⑵.三黑一白的概率是多少？
例题3：如果，一对正常的夫妇生了一个白化病且红绿色盲的儿子。
提示：能否注意到有这样的比例：
不患病：只白化病：只红绿色盲：白化病且红绿色盲=9:3:3:1
例题4：人的肤色的深浅取决于显性基因的数目，假如决定肤色与Aa、Bb两对等位基因（独立遗传）有关，
且，显性基因的数量越多，肤色越深。预计，基因型为AaBb的夫妇所生孩子的肤色表现的可能性。
解：
利用排列组合计算概率问题 概率是数学中一个重要的概念，用来描述某个事件发生的可能性。在现实生活中，我们经常需要计算概率来做出决策或者预测结果。而排列组合是概率计算中常用的方法之一，它可以帮助我们解决各种概率问题。 一、排列组合的基本概念 排列和组合是数学中的两个概念，它们都是通过对一组元素进行选择和排列来计算概率。排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序排列，形成不同的组合。组合则是从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序，形成不同的组合。 二、排列的计算方法 排列的计算方法比较简单，可以通过以下公式来计算： P(n, m) = n! / (n-m)! 其中，P(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的可能性，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。 例如，从5个人中选取3个人进行排列，可以计算为： P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5*4*3 = 60 三、组合的计算方法 组合的计算方法稍微复杂一些，可以通过以下公式来计算： C(n, m) = n! / (m!*(n-m)!) 其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的可能性。 例如，从5个人中选取3个人进行组合，可以计算为：
C(5, 3) = 5! / (3!*(5-3)!) = 5! / (3!*2!) = 5*4 / 2 = 10 四、概率计算的实际应用 排列组合可以应用于各种实际问题中，例如： 1. 抽奖概率计算：假设有10个人参加抽奖活动，每个人的中奖概率相同，计 算其中5个人同时中奖的概率。 解答：可以使用组合的方法计算，即从10个人中选取5个人进行组合，计算 公式为： C(10, 5) = 10! / (5!*(10-5)!) = 10! / (5!*5!) = 252 所以，其中5个人同时中奖的概率为1/252。 2. 生育概率计算：假设一个家庭有3个孩子，计算其中至少有2个女孩的概率。 解答：可以使用排列的方法计算，即从3个孩子中选取2个或3个孩子进行排列，计算公式为： P(3, 2) + P(3, 3) = 3! / (3-2)! + 3! / (3-3)! = 3! / 1! + 3! / 0! = 3 + 6 = 9 所以，其中至少有2个女孩的概率为9/8。 通过以上两个实际应用的例子，我们可以看到排列组合在概率计算中的重要性 和实用性。它可以帮助我们计算各种复杂的概率问题，从而做出更明智的决策或者预测结果。 总结起来，排列组合是概率计算中的重要工具，可以帮助我们解决各种概率问题。通过掌握排列组合的基本概念和计算方法，我们可以更好地理解和应用概率理论，提高自己的数学能力和解决问题的能力。在实际生活中，我们可以利用排列组合来计算各种概率，从而做出更准确的判断和决策。
三 排列组合，概率统计 （一）排列组合 1知识点 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列 排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有排列的个数m n A 公式 m n A = ! ()! n n m - 规定0！=1 3，组合 组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有组合个数 m n C m n C = ! !()! n m n m - 性质 m n C = n m n C - 1 1m m m n n n C C C -+=+ 2 排列组合题型总结 一 直接法 1 .特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择2 5A ，其余2位有四个可供选择2 4A ，由乘法原理：2 5A 2 4A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有3 5A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有1 4A 种，余下的有2 4A ，共有1 4A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当 2）可用间接法
GAGGAGAGGAFFFFAFAF 高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用 1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =++ +. 分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =???. 2 排列数公式 ：m n A =)1()1(+--m n n n = ！ ！ )(m n n -.(n ，m ∈N * ，且 m n ≤)．规定1!0=. 3 组合数公式： m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(= ！ ！！ )(m n m n -?(n ∈N *，m N ∈， 且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10=n C . 4 二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=+++ +的展开式的系数关系： 012(1)n a a a a f +++ +=； 012(1)(1)n n a a a a f -++ +-=-；0(0)a f =。 5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋ A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B).
排列组合与概率计算 在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。 一、排列 排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。 对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性： P(n,r) = n! / (n-r)! 其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。 举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。根据排列公式可得： P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120 所以，共有120种不同的放法。 二、组合
组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。 对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组 合公式来计算不同的组合可能性： C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!) 举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不 同的组合？这就是一个组合问题。根据组合公式可得： C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84 所以，共有84种不同的组合方式。 三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。 例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2 张红心和3张黑桃的概率是多少？ 首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。根据排列公式，总共有： P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960 其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑 桃的不同排列数量。根据排列组合的原理，可以计算出：
高考排列组合、概率知识点总结及典型例题 排列组合知识点总结： 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①m m n c -=n n c ；②111-m n c --+=m n n n c c ；③1 1-k n kc -=k n nc ； 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若12 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四、二项式定理. 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项； ② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列 展开. ⑵二项展开式的通项. n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组 合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于 从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+
概率 事件与概率 随机事件的概率 A 随机事件的运算 B 两个互斥事件的概率加法公式 C 古典概型 古典概型 B 几何概型 几何概型 B ⑴事件与概率 ①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别． ②了解两个互斥事件的概率加法公式． ⑵古典概型 ①理解古典概型及其概率计算公式． ②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． ⑶随机数与几何概型 ①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义． 板块一：排列组合综合 （一）知识内容 排列与组合综合题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． 排列组合问题可以培养：分类讨论思想，转化思想和对称思想等数学思想等； 具体的解题策略有： ①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分类策略；③先选后排策略； ④正难则反，等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略； ⑥间隔问题插空处理的策略；⑦分排问题直排处理的策略． 高考要求 第5讲 排列组合在概率计算中的应用 知识精讲
（二）典例分析： 【例1】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： ⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？ ⑵上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？ ⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ ⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？ 【例2】用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【例3】将4个小球任意放入3个不同的盒子中， ⑴若4个小球各不相同，共有多少种放法？ ⑵若要求每个盒子都不空，且4个小球完全相同，共有多少种不同的放法？ ⑶若要求每个盒子都不空，且4个小球互不相同，共有多少种不同的放法？ 【例4】将7个小球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空， ⑴若7个小球完全相同，共有多少种不同的放法？ ⑵若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？
排列组合及其概率 排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。 解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。下面通过例题逐个掌握： 一、相邻问题---捆绑法不邻问题---插空法 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。 【例题1】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法? 二、插板法 一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只对分成的份数有要求。 【例题2】把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法? A.190 B.171 C.153 D.19 三、特殊位置和特殊元素优先法 对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。 【例题2】从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种? A.120 B.240 C.180 D.60
四、逆向考虑法 对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题，我们就要学会间接的方法。 正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体? A.70 B.64 C.61 D.58 五、分类法 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步， 保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 【例题3】五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 A.120种 B.96种 C.78种 D.72种 知识点训练 1、丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位， 丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种? A.6 B.12 C.9 D.24 2、马路上有编号为l ，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其 中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求 满足条件的关灯方法共有多少种? A.60 B.20 C.36 D.45 3、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可组成多少个不同的四位数? A .300 B.360 C.120 D.240 4、10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法? A.45 B.36 C.9 D.30 5、六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数? A.120 B.64 C.124 D.136 概率知识要点分析： 1. 随机事件的概率 事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率n m 总接近于某个常数， 在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）。 由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 2. 当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式： P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥） 3. 对立事件的概率计算公式：P （A ）+P （A ）=1。
利用排列组合解决概率问题排列组合在解决概率问题中的应用 概率问题是概率论中的重要分支，是研究随机事件发生的可能性大小及其规律的学科。在实际生活和工作中，我们时常需要利用概率来解决一些实际问题。而排列组合是计算概率问题中必不可少的工具之一。本文将从排列、组合和排列组合的应用三个方面，来详细介绍在概率问题中如何利用排列组合来解决问题。 一、排列 首先我们来说排列。排列是将若干个对象按一定的顺序排成一列的不同方法数。比如小学班中选出3人来排队，有多少种不同的排队方法？我们可以先算出第1个人有3种选择，第2个人有两种选择，第3个人有1种选择，所以一共有3×2×1=6种不同的排队方法。这就是一个典型的排列问题。 一般地，从n个不同元素中任取m个，按一定顺序排成一列的不同排列数，记作A(n, m)，有公式： A(n, m) = n! / (n-m)! 其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×⋯×2×1，0!=1； (n-m)!表示n-m的阶乘。 二、组合
其次我们来说组合。组合是从若干元素中任取m个元素，不考虑元素之间的顺序排列，共有多少种不同的选择方式。比如小学班中选出3人来合影，有多少种不同的合影方式？我们可以先算出一共有10种选择，即从10人中选出3人的不同组合数，即C(10,3)=120，所以一共有120种不同的合影方式。 一般地，从n个不同元素中任取m个元素的不同组合数，记作 C(n,m)，有公式： C(n,m)=n! / (m!(n-m)!) 其中，阶乘同排列中的定义。 三、排列组合的应用 最后我们来说排列组合在概率问题解决中的应用。下面我们分别从两个方面来介绍。 (1) 案例分析 比如有10个整数，其中6个为1，4个为2。从这10个整数中任选3个整数，求其中至少有2个整数为1的概率。我们可以分别计算3个整数中有2个为1的概率，和3个整数中全部为1的概率。其中至少2个为1的概率为： C(6,2)×C(4,1)+C(6,3)=57 C(10,3)
高中数学排列组合与概率的综合应用题解析 与求解 在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和技巧。排列组合主要涉及对对象的选择和排列，而概率则是研究事件发生的可能性。在解决实际问题时，这两个概念常常会结合起来使用。本文将通过具体的题目来说明如何应用排列组合与概率的知识解决综合应用题。 题目一：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，其中至少有1个男生。求这样的小组的可能数。 解析：这是一个典型的排列组合问题，我们需要从10个男生中选出至少1个男生，再从8个女生中选出剩下的2个人。根据排列组合的知识，我们可以得出解题步骤如下： 1. 选出1个男生的可能数：C(10, 1) = 10 2. 从8个女生中选出2个人的可能数：C(8, 2) = 28 3. 将步骤1和步骤2的结果相乘，得到最终的结果：10 * 28 = 280 所以，这样的小组的可能数为280。 通过这个题目，我们可以看到排列组合的应用，以及如何将多个步骤结合起来求解问题。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。 题目二：某班有10个男生和8个女生，从中随机选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有1个男生的概率。 解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：
1. 满足条件的小组数：根据题目一的解析，我们已经知道满足条件的小组数为280。 2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。 3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：280 / 816 ≈ 0.343。 所以，这样的小组中至少有1个男生的概率约为0.343。 通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。 题目三：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有2个男生的概率。 解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下： 1. 满足条件的小组数：从10个男生中选出2个人的可能数为C(10, 2) = 45，再从8个女生中选出1个人的可能数为C(8, 1) = 8。将这两个结果相乘得到满足条件的小组数：45 * 8 = 360。 2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。 3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：360 / 816 ≈ 0.441。 所以，这样的小组中至少有2个男生的概率约为0.441。 通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。 综上所述，排列组合与概率在高中数学中是两个重要的概念和技巧。通过具体的题目，我们可以看到它们在解决实际问题时的应用。掌握排列组合与概率的知识
排列组合概率题解题技巧 排列组合概率题解题技巧有哪些?怎么样解决这类问题?下面是小编为大家整理的关于排列组合概率题解题技巧，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 排列组合概率题解题技巧 1.排列、组合、概率与错位公式 2.排列组合概率解题思路——分类法 3.例题1：繁琐的计算导致正确率变低 4.例题2：通过选项思考暴力的可能性 5.例题3：极为简单，一半做错的题 6.例题4：分不同情况考虑安排方案 7.例题5：分不同情况考虑安排方案 8.例题6：理解排列组合题的关键 一、排列、组合、概率与错位公式 「数量关系」板块中的「排列、组合、概率」方面的题目每年必考、国考省考都会考，而此类题的难度一般较高，因此掌握它们的解题方法是非常有必要的。 总体来说，此类题目的公式非常简单，大致只有三个半，即排列公式、组合公式、概率公式和错位排列公式。 (1)排列公式 A(总个数，选出排列的个数) 特点是每个个体有「排列」的独特性，谁先选、谁后选会影响结果。 例如5个人选3个排队，5个项目选3个先后完成，两种情况的运算均为： A(5，3)=5×4×3=60种方式 (2)组合公式 C(总个数，选出组合的个数) 特点是每个个体没有「排列」的独特性，谁先选、谁后选都不影
响结果。 例如5个人选3个参加比赛，5个项目选3个于今年内完成(不要求完成顺序)，则运算均为： C(5，3)=C(5，2) =5×4÷(1×2)=10种方式 注意C(5，3)一般要转换为C(5，2)，其原因是： C(5，3)=5×4×3÷(1×2×3)=5×4÷2，中间要约去3，因此可能会多花两三秒钟，故要尽量节约时间。 注：排列组合公式很好记忆，由于公考中考察的「排列组合概率」题的数值不会很大，因此在实际考试中，直接在纸上用笔列草稿即可：总数×(总数-1)×(总数-2)×…… 一直让相乘数字的个数达到「选出的个数」，即为排列公式; 再从1开始乘，乘到「选出的个数」，用排列公式得出的结果除以该数即为「组合公式」。 关于「排列组合」，最标准的公式如下： 这两个公式很优美，不过大家实际做题时没必要这么列，毕竟公考中的n和m都不会很大，一边列公式一边约分(尤其是对于组合公式)即可。 只要熟练掌握「排列组合」公式，理解两者的不同，就很容易解出答案。 (3)概率公式 发生某情况的概率=发生该情况的个数/总情况的个数 概率公式极为简单，也很好理解，而「总情况个数」一般也能快速得出，此类题的解题关键是「发生该情况的个数」。 (4)错位排列公式 此类公式只能算「半个公式」，因为它基于排列组合公式，但公式的步骤又很难理解，而且它虽然在公考中出现过，但出现次数极少，因此大家只要记住它的描述和数值即可。 错位排列的描述为「全部错位」，例如： 一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封
数学中的排列组合与概率计算排列组合与概率计算是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、计算机科学等。本文将介绍排列组合与概率计算的基本概念和方法，并探讨它们在实际问题中的应用。 一、排列组合的基本概念 1.1 排列 排列是从一组元素中选取若干元素按一定顺序排列的方式。对于n 个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，可以表示为P(n,m)。排列的计算公式为： P(n,m) = n! / (n-m)! 其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。 1.2 组合 组合是从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，可以表示为C(n,m)。组合的计算公式为： C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!) 二、概率计算的基本原理 概率是用来描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。概率计算基于排列组合的
概念和原理，通过对事件的样本空间和事件的发生情况进行计数和分析，来得出事件发生的概率。 2.1 样本空间 样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。例如，掷一枚 普通的硬币，它的样本空间包括正面和反面两个可能的结果。 2.2 事件 事件是样本空间的子集，表示我们关心的某种结果。例如，掷一枚 硬币出现正面是一个事件。 2.3 概率 概率是事件发生的可能性。对于一个随机试验和事件，概率的计算 公式为： P(A) = n(A) / n(S) 其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的发生情况数，n(S)表示样本空间的元素个数。 三、排列组合与概率计算的应用 排列组合和概率计算在各个领域都有广泛的应用。下面以几个具体 的例子说明它们的具体应用。 3.1 组合在概率计算中的应用
利用排列组合计算概率的练习题在数学中，排列组合是一种十分重要的概念，特别是在概率计算中。通过掌握排列组合的知识和技巧，我们可以解决各种与概率有关的问题。本文将通过一些练习题来展示如何利用排列组合计算概率。 练习题1：从10个不同的球中，随机取3个，计算取出的球至少有 一个是红色的概率。 假设我们用R表示红色球，用B表示蓝色球，那么我们可以列出所有可能的组合： RBB, RBR, RRB, RRR, BBB, BBR, BRB, BRR 共有8种可能的组合。其中，有3种组合至少有一个红色球，它们是：RBB, RBR和RRR。因此，取出的球至少有一个是红色的概率为 3/8。 练习题2：一副扑克牌共有52张牌，从中随机取5张，计算取到的 牌全为黑桃的概率。 在一副扑克牌中，有13张黑桃牌。我们需要计算从13张黑桃牌中 选取5张的可能性，以及从52张牌中选取5张的可能性。 首先，我们计算从13张黑桃牌中选取5张的可能性，即13选5。 这个可以通过排列组合公式来计算：13! / (5! * (13-5)!) = 1287。 接下来，我们计算从52张牌中选取5张的可能性，即52选5。也 可以使用排列组合公式来计算：52! / (5! * (52-5)!) = 2598960。
所以，取到的牌全为黑桃的概率为1287 / 2598960，约为0.000495。 练习题3：一个由0和1组成的4位数，以及一个由1和2组成的3位数，它们的百位、十位、个位各位上的数字都不相同，计算两个数 相加等于300的概率。 我们需要计算满足条件的组合有多少种，以及总的组合有多少种。 首先，我们计算满足条件的组合数。对于由0和1组成的4位数， 百位不能为0，但可以为1，十位、个位不能为0或1，所以满足条件 的组合数为1 * 2 * 1 * 1 = 2。 对于由1和2组成的3位数，百位和十位不能为1，所以满足条件 的组合数为1 * 1 * 1 = 1。 因此，两个数相加等于300且满足条件的概率为2 / (2 * 1) = 1/2。 通过以上三个练习题，我们可以看到排列组合在计算概率中的应用。掌握了排列组合的知识和技巧，我们能够更加准确地计算各种概率问题，解决各类实际问题。因此，学习和理解排列组合的概念对于数学 的学习和应用具有重要意义。 通过以上练习题的讲解，相信大家对于利用排列组合计算概率有了 更深入的理解。希望本文对于大家的学习有所帮助。
排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元 素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---2221 10.其中第r+1
利用排列组合解决概率问题的技巧在数学领域中，概率论是一门涉及到研究随机现象的科学。在日常 生活中，概率论也经常被用来解决一些实际的问题。而对于我们来说，掌握概率计算的技巧可以让我们更便捷地解决问题。本篇文章将分享 利用排列组合解决概率问题的技巧，一起来看看吧。 一、概率初步 在深入探讨如何利用排列组合解决概率问题之前，我们需要先了解 一些概率论的基础知识。概率的计算基于一个简单的基本规则：当每个事件的发生都是互相独立且等可能发生时，我们可以通过以 下公式计算概率： P(A) = 某个事件符合要求的可能性 / 所有事件的可能性 其中P(A)表示事件A发生的概率。 例如，当我们掷一个骰子，得出点数为1的概率是1/6，这个计算 公式就适用。总计可能发生的结果数为6个，而骰子上有且只有一个1，所以事件发生的可能性为1。因此，得出点数为1的概率为1/6。 二、什么是排列组合？ 排列组合是数学中用于计算的两种基本方法之一，经常被用来解决 概率问题。以下简单介绍一下排列组合的基本概念。
排列：在数学中，排列表示从n个不同元素中取出r个元素进行排列，共有多少种不同的排列方式。排列通常用P(n,r)表示。计算排列的 方程式如下： P(n,r) = n! / (n-r)! 其中，n!表示n的阶乘，即n(n-1)(n-2)……2*1。 当n=4，r=2时，公式计算结果为 P(4,2) = 12。 组合：组合是从n个不同的元素中选择r个元素形成集合的所有方 式的总数。组合通常用C(n,r)表示。用公式计算组合的方法如下所示：C(n,r) = (n!) / [(n-r)!*r!] 当n=4，r=2时，公式计算结果为C(4,2)=6。 排列组合有很多实际应用，例如在某场比赛中，有8名选手参赛， 那么前3名的排名方式有多少种？用排列计算即为P(8,3)=8*7*6=336。另一个例子，在班级内，有10名同学，其中5名男生和5名女生，如 果随机选择两名同学，他们俩都是男生的概率是多少？用组合计算即 为C(5,2)/C(10,2)=10/45。 三、通过上述排列组合的基本概念我们可以解决一些基本的概率问题，但是更多的实际问题需要基于排列组合可能产生的复杂计算来解决。以下我们将通过一些案例来了解如何利用排列组合解决这些问题。 1、取球问题
概率与排列组合事件的排列与组合计算 概率与排列组合是数学中的重要概念之一，它们在实际生活和各个 学科中都有广泛的应用。本文将探讨概率与排列组合事件的排列与组 合计算方法，介绍其定义、公式以及应用案例。通过对这些知识的学习，我们能够更好地理解和应用概率与排列组合，提高问题解决能力。 一、概率的基本概念和计算方法 概率是研究随机事件发生的可能性的数学方法。在概率计算中，我 们关注事件的发生与否，用一个数值来表示事件发生的可能性大小。 概率的计算方法包括古典概率和统计概率两种方式。 1.1 古典概率 古典概率又称为理论概率，它是指在具有相同可能性的基本事件中，某个事件发生的概率。计算古典概率的方法是利用事件的排列与组合。 1.2 统计概率 统计概率又称为实验概率，它是通过实验或观察得到的频率进行估计。统计概率的计算方法是通过大量实验或观察，得到事件发生的频率，从而估计出概率。 二、排列与组合的基本概念和计算方法 排列与组合是排列数学中的两个重要概念，它们用于计算事件的不 同排列与组合情况。 2.1 排列
排列是从n个不同的元素中取出m个元素进行排列，其中n≥m。排列的计算方法是通过先后顺序进行排列，即需要考虑元素的顺序。 2.2 组合 组合是从n个不同的元素中取出m个元素进行组合，其中n≥m。组合的计算方法是不考虑元素的顺序，只考虑元素的选择。 三、概率与排列组合的应用案例 概率与排列组合的应用非常广泛，以下是几个典型的应用案例。 3.1 抽奖活动中奖概率的计算 在抽奖活动中，我们可以利用概率计算的方法来计算某个人获奖的概率。假设有10个人参加抽奖，共有3个奖品，我们可以通过排列的计算方法计算出中奖概率。 3.2 出生日期相同的概率计算 在一个班级或者一个团体中，我们可以利用概率计算的方法来计算两人生日相同的概率。假设一个班级有30个学生，我们可以通过组合的计算方法计算出生日相同的概率。 3.3 排队的排列计算 在排队的场景中，我们可以利用排列的计算方法来计算不同的排队方式。假设有5个人排队，我们可以通过排列的计算方法计算出不同的排队方式数量。