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二次函数基础知识梳理

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，

而b c ，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2

=+的性质：

y ax c

上加下减。Array 3. ()2

=-的性质：

y a x h

左加右减。

4.()2

=-+的性质：

y a x h k

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标

()h k ，；

⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

四、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者

通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ??

?，其中2424b ac b h k a a -=-=

，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点

画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

六、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

>-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a

，顶点坐标为2424b ac b a

a ??-- ???，．当2

b x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函

数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

九二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

十、二次函数图象的对称十一、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.

图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的

12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离

21AB x x =-=

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；

当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

十二、二次函数的应用

1．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 ( )

A ．y=(m －1) 2x 2

B ．y=(m+1) 2x 2

C ．y=(m 2+1)x 2

D ．y=(m 2－1)x 2

2.已知二次函数y=（m+1）x 2有最大值，则m 的取值范围是_____．

3.抛物线y=1

－5x 2的对称轴为_______，顶点坐标为______．

4.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（） A ．1x =

B ．1x =-

C ．3x =-

D ．3x =

5.已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；

6.抛物线()232

=x y +5，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而

减小，函数有最值 .

7．已知二次函数y=x 2－2x －3的函数值y<0，则x 的取值范围为______．

8.已知二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c(a ≠0)，其中a 、b 、c 满足a －b ＋c ＝0和9a ＋3b ＋c ＝0，则该二次函数的对称轴为直线_______．

9.二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-，

D ．(14)-，

10.抛物线y=8x 2+2mx+m-2的顶点在x 轴上，则顶点坐标是( )

A ．(4，0)

B ． C. D ．(0，)

11. 不论x 取何值，二次函数y =－x 2+6x +c 的函数值总为负数，则c 的取值范围为 .

12．已知x 、y 都是正实数，且满足4x 2＋4xy ＋y 2＋2x ＋y －6＝0，则x （1－y ）的最小值为．

13.若直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝?????x 2（x ≤2）4x （x ＞2）的图像恒有三个不同的交点，

则常数m 的取值范围是___________。

14．已知函数y ＝(a －2) x 2＋4x －1与x 轴有交点，则a 的取值范围是 ( ) A ．a >－2 B ．a >－2且a ≠2 C ．a ≥－2 D ．a ≥－2且a ≠2

15.若二次函数m x x y ++=22的图像与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是

______________。

16.已知函数y=x2－2x+k的图象经过点（1

，y

），（

，y

），则y

与y

的大小关

系为（）

A．y

1>y

B．y

C．y

D．不能确定

17.抛物线y＝－x2＋6x－12经过平移得到y＝－x2，则平移方法是 ( )

A．向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度

D．向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度

18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则以下结论：①a+b+c<0；②a

—b+c>1；③abc>0；④4a—2b+c<0；⑤c—a>1，其中正确结论的序号是 ( ) A．①② B．①③④

C．①②③⑤ D．①②③④⑤

19．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(一2，0)、(x，0)，且1

<2，

与y轴正半轴的交点在(0，2)的下方．下列结论：①4a－2b+c=0；②a

③2a+c>0；④2a－6+1>0．其中正确结论的个数是__________．

20. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2)，且与x轴交点的横坐标分

别为x1，x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，（a<0 ，顶点在第二象限)下列结论：

①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b2+8a＞4ac.

其中正确的有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

21．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；

④OA?OB=﹣．其中正确结论的序号是______．

22．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y

1），（﹣1，y

），（1，

0），且y

1＜0＜y

，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x

的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x

，使

得x

=﹣，其中结论错误的是______（只填写序号）．

23．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：

①abc＜0

②b2﹣4ac＞0

③4b+c＜0

④若B（﹣，y

1）、C（﹣，y

）为函数图象上的两点，则y

＞y

⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，

其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______．

24．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：

①0abc <；②20a b +=；③240ac b -<；④30a c +<；⑤2a b am bm +>+（m 为不等于1的任意实数）；

⑥若221122ax bx ax bx +=+，且12x x ≠，则122x x +=．其中正确结论的序号为．

25．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：

则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－2的根是．

26．已知一次函数y 1=kx+m （k ≠0）和二次函数y 2=ax 2+bx+c （a ≠0）的自变量和对应函数值如表：

当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是（） A ．x ＜﹣1 B ．x ＞4 C ．﹣1＜x ＜4 D ．x ＜﹣1或x ＞4

27．已知关于x 的函数y=ax 2+x+1(a 为常数)． (1)若函数的图象与x 轴恰好有一个交点，求a 的值．

(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．

28.已知函数()9232

+--=x y .

（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x= 时，抛物线有最值，是 .

（3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小.

（4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离；（5）求出该抛物线与y 轴的交点坐标；

（6）该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？

29．如图，抛物线y＝1

x2－x＋a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点

在直线y＝－2x上．

（1）求a的值；

（2）求A，B的坐标；

（3）以AC，CB为一组邻边作□ABCD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由．

30.已知抛物线2

=++与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,O是坐标

y x bx c

原点，点A的坐标是(-l,0)，点C的坐标是(0,-3).在第四象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE x

⊥轴，垂足为E，交BC于点F.设点D的横坐标为m.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)连接AC,AF，若ACB FAB

∠=∠，求点F的坐标;

(3)在直线DE上作点H，使点H与点D关于点F对称，以H为圆心,HD为

半径作⊙H，当⊙H与其中一条坐标轴相切时，求m的值.

初中数学二次函数专题复习教案

初中数学二次函数专题复习教案〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。〖大纲要求〗 1．理解二次函数的概念; 2．会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3．会平移二次函数y=a ｘ2 （ａ≠0)的图象得到二次函数y=a(ax ＋ｍ)２ +k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与ｘ轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。内容 (1）二次函数及其图象如果y=ａx 2+ｂx+c （a,b ，c 是常数，a ≠0),那么,ｙ叫做x 的二次函数。二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线ｙ＝ａx 2 +bx ＋c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=,当a>0时，抛物线开口向上,当ａ<0时,抛物线开口向下。抛物线y ＝a （x+h)2+ｋ(a ≠０)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=－h. 〖考查重点与常见题型〗 1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y ＝（m-2)ｘ2＋m ２－m-2额图像经过原点, 则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝k ｘ＋ｂ的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2+ｂx －1的图像大致是（） y 0 -1 x

史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识 1.定义：一般地，如果y ax2bx c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y ax2的性质（1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y ax2的图像与a的符号关系. ①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a0）. 3.二次函数y ax2bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. b 2a4ac b4a 224.二次函数y ax bx c用配方法可化成：y a x h k的形式，其中h22，k. 25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ax2；②y ax2k；③y a x h； ④y a x h k； ⑤y ax2bx c. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y ax2b4ac b bx c a x2a4a22b4ac b（），对称轴是直线x，∴顶点是. 2a2a4a 2b2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线 x h. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 - 1 - 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y ax2bx c中，a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2bx c的对称轴是直线 x b2a

二次函数基本知识点梳理及训练(最新)

① 二次函数考点一一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式；②x 的最高次数是2；③二次项系数a ≠0. 2．二次函数的三种基本形式一般形式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)；顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)；交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1 、x 2 是图象与x 轴交点的横坐标．考点二二次函数的图象和性质

考点三二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系考点四任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：考点五 1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式． 3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式考点六二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系． ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围． (1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是() A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4) (2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为() A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2 (3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是() ②

二次函数知识点汇总(全)

二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）

3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有

二次函数知识点梳理

初三年级数学—二次函数的基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -．

二次函数知识点总结59889

二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成c m x b m x a y ++++=)()(2 （或 c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而

全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质（1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0