热力学统计物理第九章答案
【篇一：热力学统计物理课后习题答案】
t>8.4求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式．解：理想费米(玻色)气体的巨配分函数满足
ln?????lln1?e?????l
l
??
在弱简并情况下：
2?v2?v3/23/22
ln???g3?2m???1/2ln1?e?????ld???g3?2m???d?3/2ln1?e??? ??l
30hh0
?
??
?
????
2?v3/22?3/2
??g3?2m????ln1?e?????l
3?h
?
???
?0
?
3/2
dln1?e
??
?????l
??
?
? ?
2?vd?3/22 ??g3?2m????3/2????l
30he?1
与（8.2.4）式比较，可知
ln??
再由（8.2.8）式，得
3/23/2
??1n?h2??1?h2??
???????nkt?1??
ln???nkt?1?????v2?mkt??2?mkt?????42???42??
?
2
?u 3
?e??
n?h2?
????v?2?mkt??
3/2
?3/2
h2???n????? ????e???
??v?t?2?mkt?
?
n
?n v
3/23/2
??1?n?h2????n?n?h2??
???????p?ln??kt?1???nkt?1???????v2?mkt?t2?mkt?t???? ???42????42??
8.10试根据热力学公式 s?熵。
解：(8-4-10)式给出光子气体的内能为u?
cv??u?
dt及光子气体的热容量c???，求光子气体的v?t
??t?v
?2k4
15c3?
4vt-------（1） 3
?u4?2k4)v?vt3---------（2）则可以得到光子气体的定容热容量为cv?(33?t15c?
根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
s??[
cv?p
dt?()vdv]?s0----------（3） t?t
取积分路线为（0，v）至（t，v）的直线，即有
t4?2k44?2k423
s?vtdt?vt----------------（4） 3333?015c?45c?
其中已经取积分常量s0为零。
8.试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象．
1d???d?
?n (1)
v?e?/ktc?1
1/2
对于一维和二维理想玻色气体，由第六章习题可知分别有：
2l?m?
一维：d???d????
h?2??
d???
2?l2
md??? 二维：d???d??2h
解：0k时电子的最大能量
?2?2n???0???3??
2m?v?
2/3
?1.055?10??3?
?
?342?31
2
2?9.1?10
?5.9?1028
?
2/3
?8.9?10?19j?5.6ev
202?8.9?10?19j6?1
最大速率 v? ??1.4?10m?s?31
m9.1?10
2n??0?2
??5.9?1028?2/38.9?10?19?2.1?1010pa
5v5
8.15试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。
0k时的简并压 p?
????
证明：根据式子（8-5-4），绝对零度下自由电子气体中电子动量大小的分布为 f=1p?pf
f=0ppf-----------（1）
其中pf是费米动量，即0k时电子的最大动量。因此电子的平均动量为
8?v3h?8vh3
??
pf
0pf
14pf
3
??pf--------------（2） 134
p2dppf
3p3dp
3p3
??f?vf---------------（3） m4m4
因此电子的平均速率为?
8.20假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n．试求0 k时二维电子气体的费米能量、
内能和简并压．
4?l2
d???d??2md?
h
所以0k时电子的最大能量由下式确定：
??0?
?
4?l2
??n 2h
h2nh2
???0???n 2
4?ml4?m
内能
4?l2
u?0??2m
h
2
??0?
?
4?l2?2?0?1?4?ml2?212
????0? ?d??2m?n??0?n?2??22?hn?2h
对于二维电子气体，v＝l2
1?2???2?12222
?l???n?n?2??n?n??xyxy?2m2m?l??
???
????v
?
?1
?l??l?1
?2???2nx2?ny2???v?2?????vv?2m?
??
所以0k时的简并压p???al
l
?u1??l
??all??n??0? ?vvv2l
8.22试根据热力学公式 s?
cv
?tdt及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。
解：根据式（8-5-19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为
?2kt
--------------(1) cv?nk
2?(0)
根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
s??[
cv?p
dt?()vdv]?s0-----------(2) t?t
取积分路线为（0，v）至（t，v）的直线，即有
?2nk2t?2kt
-------------(3) s?dt?nk?02?(0)2?(0)
其中已取积分常量s0为零。
8.23试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，从而求电子气体的压强、内能和熵。
解：根据式（8-1-13），自由电子气体巨配分函数的对数可表达为 ln????lln1?e
l
?
?????l
?
4?v3/2
?3?2m???1/2ln1?e?????ld?h0
??
??
4?v
?3
h
?2m????????
3/2??
?x
1/2
ln1?e???xldx----------------(1)
??
其中第二步用了（6-2-17）式，第三步做了变数变化??=x
将上式的积分分为两段：
4?vln??3
h
?2m????????
3/2??
[?x
1/2
ln1?e
?
???xl
?dx??x
??
??
1/2
ln1?e???xldx]---------------(2)
??
在第一个积分中将对数函数改写为
ln1?e???xl?lne???xl?ln1?e??xl??(??x)?ln1?e??xl??(??x)?ln1 ?e??
其中 ???(??x) 。在第二个积分中作变数变换 ????x，（2）式可改写为
??????????
4?v
ln??3
h
??
?2m????????
3/2
54
[(??)?i1?i2]---------------(3) 15
其中i1?
?ln?1?e?(????)
??l
d?
??
i2?
??l
ln1?e(????)d?------------------(4) ?0 ??
在低温 ???
??
?
kt
??1 的情形下， i1和i2 可近似为 ??l
i1?i2??ln1?e
??(??)
d??(??)
?????
0n?1
(?1)n?1?n?
ed? n
?(??)
?
n?1
?
(?1)n?2
----------------（5） ?(??)2
12n
16?v
于是ln??
15h3
?2m????????
3/2
5?2
(??)(1?)-------------（6）
8?2
3/2
根据费米统计中热力学量的统计表达式可得
?8?v?2m?
????ln??3???3h????
2
?
(??)(1?)-------------（7） 2
8?
u??
?3ln??ln?-------------（8） ??2?
p?
1?1
ln??ln?-------------（9） ??v?v
??5
ln???ln?)?k(ln???)------------（10） ????2
u?k(ln???
由于在低温下 ???
?
kt
??1 ，作为第一级近似可以略去式（7）中的第二项而有 3/2
?8?v?2m?
????ln??3???3h????
(??)
?2?(0)2n即???------------------（11） (3?)??
2mvkt
计及（7）式的第二项，可将（7）式改写为
222
?2??n??2n2
???(3?)?(1?2)?(3?)?(1?) 2
2mv2mv8?12?
再将上式中第二项的 ?? 用第一级近似代入，得 ???
?(0)
kt
{1?
?2
kt2
]}------------------（12）
12?(0)[
[
或???(0){1?
?2
kt2
]}------------------（13）
12?(0)
（13）式与（8-5-17）一致。
用式（7）除式（6），并将（12）式代入可将 ln? 表示为，t，?(0) 的函数
2?(0)?2kt2?2kt22?(0)5?2kt2 ln??{1?[]}{1?[]}?{1?[]}-(14)
5kt12?(0)2?(0)5kt12?(0)
代回式（8），（9），（10）即得
35?2kt2
u?(0){1?[]}----------------(15)
512?(0)
【篇二：热力学与统计物理课后答案 - 副本】
ass=txt>选用教材：汪志诚主编，高等教育出版社
第一章热力学的基本规律
1.1 试求理想气体的体胀系数?，压强系数?和等温压缩系数kt。
1??p?1nr1? ???p??t?vpvt
金属丝的截面积。一般来说，?和y是t的函数，对￡仅有微弱的依
赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端
固定。试证明，当温度由t1降至t2时，其张力的增加为：?
￡??ya??t2?t1?。
解：由f?￡?l，t? ，l，t??0，可得：￡?￡
??￡???￡?微分为：d￡???dl???dt，由题意可知：
dl?0。 ??l?t??t?l
即：d￡???aydt，积分得：?￡?-?ay(t2-t1)
1.7 在25℃下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为：
v?18.066?0.715?10?3p?0.046?10?6p2cm3.mol?1。如果保持温
度不变，将1 mol的水从1 pn加压至1000 pn，求外界所作的功。解：将体积与压强的关系简记为：v?a?bp?cp2，求导可得：
dv??b?2cp?dp 温度不变，将1 mol的水从1 pn加压至1000 pn，此过程中外界所作的功为： ??
vbpb2?1??1
w???pdv???p?b?2cp?dp???bp2?cp3?1000?33.1j.mol1vapa3? 2?
1.1 0 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达
到外界压强p0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界
交换热量之前，它的内能u与原来大气中的u0之差为u?u0?p0v0，其中v0是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度
和体积。
解：假设气体冲入小匣之前的状态为（p0，v0,t0），内能是u0。
气体冲入小匣后的状态为（p0，v,t），这时的内能为u；外界对气
体所做的功为：p0dv0。由热力学第一定律：?u?q?w，q?0，可得：?u?u0????p0dv0 v00
即： u?u0?p0v0 （证毕），
理想气体的内能： u?u0??cv?t?t0?，由物态方程：p0v0??rt0 ???du?pdv??dv?证明：cn???????cv??p? （1）
dt?dt?n??n?dt?n
由理想气体的物态方程 pv?rt，可得：pdv?vdp?rdt （2）
以及理想气体多方过程 pvn?c，可得：pnvn?1dv?vndp?0
pndv?vdp?0（3），用（2）式减（3）式可得：pdv?pndv?rdt，
rr?dv? （4），将（4）式代入（1）式可得：cn?cv?
（5） ???1?n?dt?n1?np
cp
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n?cn?cp
cn?cv 。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。解：由热力
学第一定律：du?? ，对于理想气体：du?cvdt，而??pdv ， ?cndt。代入可得：cvdt?cndt?pdv
即：?cn?cv?dt?pdv （1），理想气体的物态方程：rt?pv（2）
由（1）式和（2）式可得：(cn?cv)
将理想气体物态方程的全微分： dtdv?r（3） tvdpdvdtdt?? ，代
入（3）式，消去， pvtt可得(cn?cv)dpdvc?cp?(cn?cp)?0：令：n?n pvcn?cv
即：dpdv?n?0，若cn，cp，cv都是常量，则积分得：pvn?c pv
证明了该过程是多方过程。
1.17温度为0℃的1 kg水与温度为100℃的恒温热源接触后，水温
达到100℃。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使
整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0℃升至100℃？已知水的
比热容为4.18 j?g?1?k?1。
解：为了求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。其
温度分布在0℃
与100℃之间。令水依次从这些热源吸收热量，使水温由0℃升至100℃。在这可逆过程中，水的熵变为：
373?s
水??mcpdtt273?mcpln373373?103?4.18?ln?1304.6j?k?1
273273
这一过程中水所吸收的总热量q为：
q?mcp?t?1000?4.18??373?273??4.18?105j
为求热源的熵变，假设热源向温度比100℃略低的另一热源放出热
量q。在这可逆过程中，热源的熵变为：?s热源
4.18?105??j?k?1??1120.6j?k?1， 373
整个系统的总熵变为：?s总??s水??s热源?184j?k?1。为使水温
从0℃升至
100℃而整个系统的熵保持不变，将水逐个与温度分布在0℃与100℃之间的一系列热源接触。这一系列热源的熵变之和为：
?s热
源???mcpdt373373??mcpln??1000?4.18?ln??1304.6j?k?1
273t273273373
整个系统的总熵变为：?s总??s水??s热源?0
1.18 10 a的电流通过一个25 ?的电阻器，历时1 s。（i）若电阻器
保持为室温27℃，试求电阻器的熵增加值。（ii）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27℃，电阻器的质量为10 g，比热容cp为0.84j?g?1?k?1，问电阻器的熵增加为何？
解：（i）以t，p为状态参量，该过程是等压过程，如果电阻器的
温度也保持为室温27℃不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持
不变。
（ii）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的热量q将全部被电阻器吸收使其温度由t1升为t2，即：i2rt?mcp?t2?t1?。
【篇三：热力学统计物理_第四版_汪志诚_课后答案】xt>1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数??。
解：已知理想气体的物态方程为
pv?nrt,（1）
由此易得
??
1??v?nr1
??,（2） ??
v??t?ppvt
??
1??p?nr1
??,（3） ??
p??t?vpvt
?t??
1??v??1??nrt?1??????????.（4） v??p?t?v??p2?p
1.2 证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述积分求得：
如果??,?t?
1
t1
，试求物态方程。 p
解：以t,p为自变量，物质的物态方程为
v?v?t,p?,
其全微分为
??v???v?
dv??dt???dp. （1） ?
?t?p??p??t
全式除以v，有
dv1??v?1??v???dt???dp. ?vv??t?pv??p?t
根据体胀系数?和等温压缩系数?t的定义，可将上式改写为
1
dv
??dt??tdp. （2） v
上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 lnv????dt??tdp?.（3）
若??,?t?
1t1
，式（3）可表为 p
?11?
lnv???dt?dp?. （4）
p??t
选择图示的积分路线，从(t0,p0)积分到?t,p0?，再积分到（t,p），相应地体
积由v0最终变到v，有
ln
vtp
=ln?ln, v0t0p0
即
pvp0v0
， ??c（常量）
tt0
或
pv?
式（5）就是由所给??,?t?实验数据。
2
（5） c. t
1t1
求得的物态方程。确定常量c需要进一步的p
1.3 在0?c和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为
?5?1?7
??4.85?10k和?t?7.8?10pn?1?.和?t可近似看作常量，今使铜块加热至10?c。
问：
（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？
?解：（a）根据1.2题式（2），有
dv
??dt??tdp. （1） v
上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dv，温度差dt和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dt的关系为 dp?
?
dt. （2） ?t
在?和?t可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得
p2?p1?
?
?t?t?. （3） ?t21
将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。但是应当强调，只要初态?v,t1?和终态?v,t2?是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。
将所给数据代入，可得
4.85?10?5
p2?p1??10?622pn. ?7
7.8?10
因此，将铜块由0?c加热到10?c，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn
（b）1.2题式（4）可改写为
?v
???t2?t1???t?p2?p1?. （4） v1
将所给数据代入，有
3
?v
?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100v1 ?4.07?10?4.
因此，将铜块由0?c加热至10?c，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.07?10?4倍。
1.4 简单固体和液体的体胀系数?和等温压缩系数?t数值都很小，在一定温度范围内可以把?和?t看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为
v(t,p)?v0?t0,0???1???t?t0???tp??.
解: 以t,p为状态参量，物质的物态方程为
v?v?t,p?.
根据习题1.2式（2），有
dv
??dt??tdp. （1） v
将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在?和?t可以看作常量的情形下，有
ln
v
???t?t0???t?p?p0?, （2） v0
或
v?t,p??v?t0,p0?e
??t?t0???t?p?p0?
.（3）
考虑到?和?t的数值很小，将指数函数展开，准确到?和?t的线性项，有
v?t,p??v?t0,p0???1???t?t0???t?p?p0???. （4）
如果取p0?0，即有
v?t,p??v?t0,0???1???t?t0???tp??. （5）
1.5 描述金属丝的几何参量是长度l，力学参量是张力j，物态方程
是
f?j,l,t??0
实验通常在1pn下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为
4
??
1??l??? l??t?j
等温杨氏模量定义为
y?
l??j??? a??l?t
其中a是金属丝的截面积，一般来说，?和y是t的函数，对j仅有
微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金
属丝两端固定。试证明，当温度由?1降至?2时，其张力的增加为 ?j??ya??t2?t1?
解：由物态方程
f?j,l,t??0 （1）
知偏导数间存在以下关系：
??l???t???j?
????????1. （2） ?t?j??j??l??l?t
所以，有
??j???l???j?
????????
??t?l??t?j??l?t
a
（3） ??l??y
l
???ay.
积分得
?j??ya??t2?t1?.（4）
与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差
?j?j?l,t2??j?l,t1?
就满足式（4），与经历的过程无关。
1.6一理想弹性线的物态方程为
?ll2?0
j?bt??2?,
?l0l?
5