§2.6 对数与对数函数
1．对数的概念
如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么
①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M
N
＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④n
a M m log ＝n m log a M .
(2)对数的性质
①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式
①换底公式：log b N ＝log a N
log a b
(a ，b 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. (√)
(2)2log510＋log50.25＝5. (×)
(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. (√)
(4)log2x2＝2log2x. (×)
(5)当x>1时，log a x>0. (×)
(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a
C．a>c>b D．a>b>c
答案 D
解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1
log23
，
b＝log510＝1＋log52＝1＋1
log25
，
c＝log714＝1＋log72＝1＋1
log27
，显然a>b>c.
3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则() A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C ．2lg x ·lg y
＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y
答案 D
解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y ＝2lg(xy )．故选D.
4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．
答案 (－1
2
，＋∞)
解析 函数f (x )的定义域为(－1
2，＋∞)，
令t ＝2x ＋1(t >0)．
因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，
t ＝2x ＋1在(－1
2
，＋∞)上为增函数，
所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－1
2
，＋∞)．
5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ????
13＝0，
则不等式f (x 8
1log x )>0的解集为________________．
答案 ????0，1
2∪(2，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 由f ????13＝0，得f ???
?－13＝0. ∴f (x 8
1log )>0?x 8
1log <－13或x 8
1log >1
3
?x >2或0 2， ∴x ∈??? ?0，1 2∪(2，＋∞). 题型一 对数式的运算 例1 (1)若x ＝log 43，则(2x －2－ x )2等于 ( ) A.94 B.54 C.103 D.43 (2)已知函数f (x )＝? ???? log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 31 2)的值是 ( ) A ．5 B ．3 C ．－1 D.7 2 思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x ＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))； f (lo g 31 2)可利用对数恒等式进行计算． 答案 (1)D (2)A 解析 (1)由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3， 2－x ＝ 33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43 . (2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 31 2＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3. 所以f (f (1))＋f (log 31 2 )＝2＋3＝5. 思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式． 已知函数f (x )＝????? (12)x ，x ≥4， f (x ＋1)，x <4， 则f (2＋log 23)的值为________． 答案 1 24 解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4， 所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(1 2 )log 23 ＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质 例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是 ( ) (2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)， b ＝f (log 2 13)，c ＝f (0.2 －0.6 )，则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．c B ．c C ．b D ．a 思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象； (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 2 13＝－log 23＝－log 49， b ＝f (log 2 13)＝f (－log 49)＝f (log 49)， log 47 32＝2>log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数， 故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f (0.2－0.6) 13) 思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等； (2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想． (1)已知a ＝21.2，b ＝????12－0.8 ，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c B ．c C ．b D ．b (2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2 解析 (1)b ＝????12－0.8 ＝20.8<21.2＝a ， c ＝2log 52＝log 522 (2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴????? b －1＝1b ＝a ，即????? b ＝2 a ＝2 . 题型三 对数函数的应用 例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )． (1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数， x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <3 2. 又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪????1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数， ∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴????? 3－2a >0 log a (3－a )＝1，即??? a <32 a ＝32 ， 故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． 已知f (x )＝log 4(4x －1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性； (3)求f (x )在区间[1 2，2]上的值域． 解 (1)由4x －1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0 －1<24x －1， 因此log 4(14x －1) －1)，即f (x 1) (3)f (x )在区间[1 2 ，2]上递增， 又f (1 2 )＝0，f (2)＝log 415， 因此f (x )在[1 2 ，2]上的值域为[0，log 415]． 利用函数性质比较幂、对数的大小 典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a D ．a A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b (3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b >a >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．a >c >b 思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的 大小； (2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 310 3的大小即可，可以利用中 间值或数形结合进行比较； (3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解． 解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知： log 23.4>log 310 3 >log 43.6. 方法二 ∵log 3 103>log 33＝1，且10 3 <3.4， ∴log 310 3 ∵log 43.6 3 >1， ∴log 43.6 3. ∴log 23.4>log 310 3 >log 43.6. (3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时， [xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0 温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 方法与技巧 1．对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论． 2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． 失误与防范 1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)． 2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、 图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别． 3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值 A 组 专项基础训练 一、选择题 1 ．函数y ＝ 2－x lg x 的定义域是 ( ) A ．{x |0 B ．{x |0 C ．{x |0 D ．{x |0 答案 D 解析 要使函数有意义只需要??? 2－x ≥0 x >0 lg x ≠0 ， 解得0 ∴定义域为{x |0 ( ) 答案 A 解析 ∵y ＝lg|x －1|＝????? lg (x －1)，x >1 lg (1－x )，x <1 . ∴A 项符合题意． 3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 2 1-，则 ( ) A ．x B ．z C ．z D ．y 答案 D 解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52 2 . ∵z ＝e 2 1- ＝ 1e >14＝12 ，∴1 2 综上可得，y 4． A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C ?a >1或－1 5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C.????0，1 3 D ．(3，＋∞) 答案 D 解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6． 7．已知函数f (x )＝????? 3x ＋1 ，x ≤0，log 2 x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是 ________________． 答案 {x |－1 解析 当x ≤0时，3x ＋1>1?x ＋1>0，∴－1 综上所述，x 的取值范围为－1 8．若log 2a 1＋a 2 1＋a <0，则a 的取值范围是____________． 答案 ???? 12，1 解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0 2 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 2 1＋a <0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意． 综上所述，a ∈???? 12，1. 三、解答题 9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解 (1)要使函数f (x )有意义． 则????? x ＋1>0，1－x >0， 解得－1 (3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1 >1，解得0 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0 10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－1 8， 求a 的值． 解 由题意知f (x )＝1 2 (log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18 . 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－3 2. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数， ∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13 ， ＝2?[2,8]，舍去． 若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12 ， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－3 2 ＝22∈[2,8]，符合题意， ∴a ＝12 . B 组 专项能力提升 1．设f (x )＝lg ??? ?2 1－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 A 解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x 1－x ，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x <1，∴－1 2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f (13) B ．f (12) C ．f (12) 3 ) D ．f (2) 3) 答案 C 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大， ∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12) 3 ) 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________. 答案 16 解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8， f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝lo g a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 2 2 015 ＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16. 4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0 (2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在 b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0. (1)解 由f (x )＝1得，lg x ＝±1， 所以x ＝10或1 10 . (2)证明 结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)， 从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1. 又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1 b ≠b )． (3)证明 由已知可得b ＝(a ＋b 2)2， 得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1 b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1 b 2＋b 2＋2－4b ， 因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0. 5．已知函数y ＝log 2 1 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围． 解 函数y ＝log 2 1 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 2 1t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成． 因为函数y ＝log 2 1t 在区间(0，＋∞)上单调递减， 而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2 )上单调递减， 故函数y ＝log 2 1 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2 ]上单调递增． 又因为函数y ＝log 2 1 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数， 所以????? 2≤a 2， (2)2－2a ＋a ≥0， 解得? ???? a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)． 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10>< 第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 第八节 对数与对数函数 [知识能否忆起] 1．对数的概念 (1)对数的定义： 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N . (2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1. ③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b log c a . 推广log a b ＝1 log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . (3)对数的运算法则： 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝n m log a M . 2．对数函数的概念 (1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称． 3．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 当x >1时，y >0当0 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值 高考数学专题：对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1) (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 2011届高考数学专题复习 专题2——指数函数、对数函数、幂函数（理科） 1．（2007北京文、理，5分）函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（ ） A ．(0)+∞， B ．(19]， C ．(01)， D ．[9)+∞， B ；[解析] 函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，。 [考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题。 2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，， ()()()1()() f x f y f x y f x f y ++= -．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x = B ．()sin f x x = C ．2()log f x x = D ．()tan f x x = B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=， C 满足()()()f xy f x f y =+，而D 满足()()()1()() f x f y f x y f x f y ++= -，B 不满足其中任何一个等式。 [考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。 3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（ ） A ．（ln2）2 B ．ln （ln2） C ．ln 2 D ．ln2 D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2 指数运算和指数函数 1. 根式的性质 (1)正整数指数捋：a n = g ?a ? a ............. c i(n G N*) s --------- v -------- ' n ⑵零指数幕=1(GH 0) (3)负整数指数幕a'p =厶@北0.〃丘N*) a p m __ (4) 正分数指数幕 a n 二“> 0,加,” w N*,口〃 > 1) -- 1 (5) 负分数指数幕 a n =一丁(a >0,ww N*,月力>1) a" (6) 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕无意义 3. 有理指数幕的运算性质 (3) (ab)r = a r a s ,(a > 0,& > 0, r G Q) 4.指数函数定义：函数y = a x (a>0^a^l)叫做指数函数。 5.指数函数的图象和性质 y = a x 0 < c? < 1 日> 1 图 象 V y 二 a% 1 (0,1) y y=i y=a x 丿 y-i (0,1) X x 性 质 定义域 R 值域 (0 , +8) 定点 过定点(0, 1),即* = 0时，y - 1 (1) 自〉1,当 x > 0 时，y > 1；当力 V 0 时，0 v y < L (2) 0 < < 1,当 x>0 吋，0 < y < 1；当 xvO 时，y>l 。 单调性 在斤上是减函数 在斤上是增函数 对称性 y = a x 和y = a~x 关于y 轴对称 ?指数函数定义 (1)当n 为奇数时，有”泗=a d,(d > 0) 一 (3)负数没有偶次方根 2.幕的有关概念 (4)零的任何止次方根都是零 (1) a r ? a s = a r+5,(a > 0,r,5G Q) ⑵(N )' = a rs , (a > 0,r,5G Q) (2)当n 为偶数时, 课时规范练 A 组 基础对点练 1．lg 51 000－823＝( ) A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4 解析：lg 51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175. 答案：B 2．设函数f (x )＝???1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1， x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 解析：由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－ 2)＋f (log 212)＝9.故选C. 答案：C 3．函数y ＝1log 2（x －2） 的定义域是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(2，3)∪(3，＋∞) D ．(2，4)∪(4，＋∞) 解析：要使函数有意义，应满足?????x －2＞0，log 2（x －2）≠0， 即?????x ＞2，x －2≠1， 解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C 4．设a ＝? ?? ??1213，b ＝log 132，c ＝log 123，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞a D ．c ＞a ＞b 解析：∵b ＝－log 32∈(－1，0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝? ????1213＞0，∴a ＞b ＞c ，选A. 答案：A 5．(2019·焦作模拟)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为 {y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( ) 解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示． 故选B. 答案：B 6．(2019·吉安模拟)如果log 12x ＜log 12 y ＜0，那么( ) A ．y ＜x ＜1 B ．x ＜y ＜1 C ．1＜x ＜y D ．1＜y ＜x 解析：因为y ＝log 12 x 在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1. 答案：D 7．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10. 答案：10 8．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． 解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝23 2，结合对数函数图象(图略)，知 提高篇 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数 姓名： 学校： 指数函数 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． (4)正分数指数幂：m n a ＝______ (a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)； (5)负分数指数幂：m n a ＝_____＝______ (a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)； (6)0的正分数指数幂等于_____,0的负分数指数幂___________． 指数函数的图象和性质 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1) 图象 0＜a ＜1a ＞1 图象 特征 在x 轴______，过定点_____ 1.函数y ＝0.3|x |(x ∈R)的值域是 A ．R ＋ B ．{y |y ≤1} C ．{y |y ≥1} D ．{y |0＜y ≤1} 2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 A ．a ＞1，b ＜0 B ．a ＞1，b ＞0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0 3.．函数y ＝32x －1－127 的定义域是________． 4.(2013·泰安模拟)已知实数a ，b 满足等式2a ＝3b ，给出下列五个关系式中：①00且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 6. ．若函数f (x )＝a |x －1|(a >0，a ≠1)满足f (3)＝19 ，则函数f (x )的单调递增区间为________． 第五节指数与指数函数 【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，3，10， 1 2 ， 1 3 的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式的性质 (1)( n a)n＝a． (2)当n为奇数时， n a n＝a． (3)当n为偶数时， n a n＝|a|＝ ?? ? ??a （a≥0） －a （a＜0） . (4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a m n＝ n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a－ m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质： ①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)； ②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域R 值域(0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]1 2－(－1)0结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 解析：[(－2)6]12－(－1)0＝(26)1 2－1＝8－1＝7. 答案：B 3．已知函数f(x)＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A. (1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0) 解析：由a 0＝1知，当x －1＝0，即x ＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1，5)． 答案：A 4．(2016·唐山一模)函数f(x)＝2－x －2的定义域是________． 解析：由题意可得：2－x －2≥0，∴2－x ≥2，∴－x ≥1，∴x ≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]． 浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：指数与指数函数 教材分析： 本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质 在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 学情分析： 学生基础较为薄弱，大部分学生知道运算性质，但是运用却不灵活。关键是对知识理解的不够透彻。只有在理解的基础上，通过运算，才能使学生熟练掌握本节知识。 教学目的： 1.理解分数指数幂的概念. 2.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 教学重点： 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点：对分数指数幂概念的理解. 教学过程： 一、知识梳理： 1．根式的定义 2．根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =a. ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=? ??<-≥)0() 0(a a a a . ⑶根式的基本性质： n m np m p a a =， （a ≥0） 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 3．引例：当a ＞0时 ①5 102 5 52510 )(a a a a === ②3 124 334312 )(a a a a === ③3 23 3 3 23 2 )(a a a == 2.2.1第一课时 对数的概念教案 1．对数的概念： 定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 例如：1642= ? 216log 4= ; 100102=?2100log 10= 2421 = ?2 12log 4= ; 01.0102=-?201.0log 10-= 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ， 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）， 2）01log =a ， 3）1log =a a ， 4）对数恒等式：N a N a =log ③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）. ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a a N N m m a 1）1log log =?a b b a ， 2）.log log b m n b a n a m = （要注意以上公式中字母取值范围）。对数运算是函数一章中的难点，又是学好对数函数的基础，要学好它，必须具备： 1. 有指对数互化的意识 由于对数的定义是建立在指数基础上的，所以它们之间有密切关系，因此在处理指数或对数运算时，往往将它们相互转化。 例1. 已知n 3log ,m 2log a a ==，求n 3m 2a -的值。 一、复习引入： 1、指对数互化关系： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数 对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞ 2．对数函数的图象 由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象关于直线x y =对称因此，我们只要画出和x a y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质 4 3 2 1 -1-2 -3 -6 -4 -2 246 01 1 A 4 3 2 1 -1-2 -3 -2 246 1 1 3．对数函数的性质 由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见P87 表 a>1 0 过点（1，0），即当x=1时，y=0 )1,0(∈x 时 0高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
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