数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 —一 .幂法 1. 幕法简介： 当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幕法计算其主特征值 (按模最大) 及其特征向量。矩阵A 需要满足的条件为： ⑴I 1 I I 2|n |- 0, i 为A 的特征值 (2)存在n 个线性无关的特征向量，设为 X i ,X 2，…，X n 1.1计算过程： n 对任意向量x (0)，有x (0)八：-M —不全为0,则有 i 4 X (k 岀)=Ax (k)= = A k 岀乂。) n n A k 1 aq a 扌1 5 i =1 i =1 ■k 1 2 可见，当 1 — 1 越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有 ? "1 2算法实现 ⑶.计算x Ay,… max(x); ⑷若| ?一十：；,输出-,y,否则,转(5) (5)若N ,置k 「k 1^ -,转3,否则输出失败信息，停机. 3 matlab 程序代码 (冲1 %叫 x (k 1) [x (k) k 二 u x (k) > (k+1) 1，对应的特征向量即是 x (1).输入矩阵A ，初始向量X ，误差限 最大迭代次数N (k) 0; y (k) max(abs(x (k ))
k=1; z=0; y=x0./max(abs(x0)); x=A*y; % z相当于■ %规范化初始向量%迭代格式 b=max(x); % b相当于： if abs(z-b)
一、实验名称：用QR 算法求矩阵的特征值 二、实验目的：1、通过实验进一步熟悉掌握求矩阵特征值的QR 方法及原理。 2、理解QR 方法的计算流程。 3、能够编程实现QR 方法。 三、实验内容：给定矩阵 ??? ? ? ??=111132126A , ?? ??? ?? ? ? ?=0100098 20 087630 7654465432H ，采用QR 方法计算A 和H 矩阵的全部特征值。 四、实验要求： （1） 根据QR 算法原理编写程序求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值（要求误差＜10 5 -）。 （2） 直接用MATLAB 的内部函数eig 求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值，并与（1）的结果比较。 五、QR 方法计算矩阵特征值的程序： function [namda,time,data_na]=qr_tz(A,tol) if nargin==1; tol=1e-5; end wucha=1; time=0; while (wucha>tol)&(time<500) [q,r]=qr(A); A1=r*q; tz0=diag(A1); tz1=diag(A); wucha=norm(tz0-tz1); A=A1; time=time+1; data_na(time,:)=tz1; end namda=tz1; disp(‘特征值为’) namda disp(‘第一个特征在值’) time n1=length(data_na); n2=(1:n1)’; temp1=[n2,data_na]; subplot(2,2,1:2)
plot(date_na(:,1)) title(‘迭代次数为’) grid subplot(2,2,3) plot(data-na(:,2)) title(‘第二个特征值’)grid subplot(2,2,4) plot(data-na(:,3)) title(‘第三个特征值’) grid 六、实验结果： >> A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];[namda,time,data_na]=qr_tz(A,1e-5);特征值为 namda = 迭代次数为 time = 6 图 1
!程序说明：幂法求矩阵主特征值 !日期：2010年11月30日 PROGRAM Matrix_EigenValue PARAMETER(N=3) REAL ARR(N,N) CALL INPUT(ARR,N) CALL MATEV(ARR,N) END PROGRAM SUBROUTINE INPUT(ARR,N) REAL ARR(N,N) OPEN(1,FILE='MAT.TXT') READ(1,*)((ARR(I,J),J=1,N),I=1,N) END SUBROUTINE SUBROUTINE MATEV(ARR,N) PARAMETER(EPS=1E-7) REAL :: ARR(N,N),X(N),X1(N),MAX=0 INTEGER :: K=0,P=0 X=RESHAPE((/1,1,1/),(/3/)) WRITE(1,*) ' 迭代次数 U（规范化向量） & & MAX(V)（主特征值）' DO WHILE(P/=N) WRITE(1,'(I6,A, ENDDO K=K+1 ENDDO END SUBROUTINE 输出结果： 1 1 0.5 1 1 0.25 0.5 0.25 2 迭代次数 U（规范化向量） MAX(V)（主特征值） 0 ( 1.000000 1.000000 1.000000 ) 0.000000 1 ( 0.909091 0.81818 2 1.000000 ) 2.750000 2 ( 0.837607 0.743590 1.000000 ) 2.659091 3 ( 0.799016 0.703035 1.000000 ) 2.604701 4 ( 0.77741 5 0.680338 1.000000 ) 2.575267 5 ( 0.765108 0.66740 6 1.000000 ) 2.558792 6 ( 0.758025 0.659963 1.000000 ) 2.549406 7 ( 0.753925 0.655655 1.000000 ) 2.544003 8 ( 0.751544 0.653153 1.000000 ) 2.540876 9 ( 0.750158 0.651697 1.000000 ) 2.539060 10 ( 0.749351 0.650848 1.000000 ) 2.538003 11 ( 0.748880 0.650354 1.000000 ) 2.537387 12 ( 0.748606 0.650065 1.000000 ) 2.537028 13 ( 0.748445 0.649897 1.000000 ) 2.536819 14 ( 0.748352 0.649799 1.000000 ) 2.536697 15 ( 0.748298 0.649741 1.000000 ) 2.536626 16 ( 0.748266 0.649708 1.000000 ) 2.536584 17 ( 0.748247 0.649688 1.000000 ) 2.536560 18 ( 0.748236 0.649677 1.000000 ) 2.536546 19 ( 0.748230 0.649670 1.000000 ) 2.536537 20 ( 0.748226 0.649667 1.000000 ) 2.536533 21 ( 0.748224 0.649664 1.000000 ) 2.536530 22 ( 0.748223 0.649663 1.000000 ) 2.536528 23 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536527 24 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536527 25 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536526 26 ( 0.748221 0.649661 1.000000 ) 2.536526 数值分析 幂法求矩阵A按模最大的特征值及其 特征向量 幂法的主要思想 设 n n ij R a A ?∈=)( ,其特征值为i λ ,对应特征向量为),,,1(n i x i =即 i i i x Ax λ= ),,1(n i =，且 x 1，······，x n 线性无关。求矩阵A 的主特征值及对应的特征向量。 幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量 v 0 ∈R n 且v 0≠0， 由矩阵A 的乘幂构造一向量序列： 称{ v k }为迭代向量， A 特征值中 λ1为强占优，即▕ λ1▕＞▏λ2 ▏＞······＞▏λn ▏, {x 1，x 2，······，x n }线性无关，即{x 1，x 2，······，x n }为R n 中的一 个基，于是对任意的初始向量v 0 ∈R n 且 v 0≠0有展开式。 (v 0 用{x i } 的线性组合表示) （且设01≠α） 则 当k =2,3,… 时，v k = A v k-1 = A k v ? ?? 1Av v =0 212v A Av v ==01 1 v A Av v k k k ++==) ,,1,0(n k =∑==n i i i x v 1 α)(221101n n x x x A v A v ααα+++==n n x A x A x A ααα+++=2211n n n x x x λαλαλα+++=222111) (111 +≡x k αλk ε 其中 由假设▕ λ1▕＞▏λ2 ▏＞······＞▏λn ▏，得 ，从而 即,0lim =∞→k k ε且收敛速度由比值||12λλ=r 确定。 所以有 说明，当k 充分大时，有1 11 x v k k αλ≈，或 k k v 1λ 越来越接近特征 向量 规范化幂法的算法 ①输入矩阵 A 、初始向量v (0)，误差 eps ，实用中一般取 v (0)=（1，1，···，1）T ； ②k ←1； ③计算 v (k) ←Au (k-1)； ④m k ←max{ v (k) }，m k-1 ←{ v (k-1) }； ⑤u (k) ←v (k)/ m k ； ⑥如果▕ m k - m k-1▕＜eps ，则显示特征值λ1←和对应的特征 向量x (1)，终止； ⑦k=k+1，转③。 n k n n k k x x )()(1 2122λλαλλαε++=),,2(1||1 n i i =<λλ ),,,2(0)(lim 1n i k i k ==∞→λλ111 lim x v k k k αλ=∞ →。 11x α 本科毕业设计题目：一些特殊矩阵特征值的求法与应用 作者：高英 学号： 2010012491 所属学院：金融与数学书院 专业班级：应数1002班 指导教师：赵建中职称：院长 完成时间： 2014 年 4月 10日 皖西学院教务处制 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学生签名：日期：年月日 论文版权使用授权书 本人完全了解皖西学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意皖西学院可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 (保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 学生签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月 目录 摘要 .......................................................... 错误！未定义书签。Abstract ...................................................... 错误！未定义书签。第1章绪论 .................................................. 错误！未定义书签。 1.1 课题研究背景及目的................................... 错误！未定义书签。 1.2 研究现状 (1) 1.3研究方法 (2) 1.4研究内容 (2) 第2章几类特殊矩阵的概念及主要性质............................ 错误！未定义书签。 2.1 正交矩阵............................................. 错误！未定义书签。 2.2 幂零矩阵 (2) 2.3 对称矩阵 (3) 2.4 三对角矩阵 (4) 第3章矩阵特征值的求法与应用 (4) 3.1 一般矩阵的求法与应用 (4) 3.2 特殊矩阵的求法与应用 (7) 结语 (20) 致谢 (20) 参考文献 (21) 数学建模作业 计算机学院信计1102班姜圣涛 （1）幂法求矩阵最大特征值及特征向量： 程序为： #include while(1){ max=X[0]; for(i=0;i 雅可比矩阵(Jacobi方法) Jacobi 方法 Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论 1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得 Q T AQ = diag(λ 1 ,λ 2 ,…,λ n ) (3.1) 其中λ i (i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。 2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a ij ) n×n ,Q交矩阵, 记B=Q T AQ=(b ij ) n×n , 则 Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。 1 矩阵的旋转变换 设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵 易见 V ij (φ)是正交矩阵, 记 注意到B=V ij A的第i,j行元素以及的第i,j列元素为 可得 ≠0，取φ使得则有 如果a ij 对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。 设由式(3.4) 可得 这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可 知，对角元素的平方和单调增加。 2. Jacobi方法 通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。计算过程如下 1)令k=0, A(k) =A 2) 求整数i,j, 使得 3) 计算旋转矩阵 4) 计算A(k+1) 5) 计算 6) 若E(A(k+1))<ε, 则 为特征值， 幂法求矩阵最大特征值 摘要 在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题，而在某些工程、物理问题中，通常只需要求出矩阵的最大的特征值（即主特征值）和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，运用幂法则可以有效的解决这个问题。 幂法是一种计算实矩阵A的最大特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单。对于稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢。 用java来编写算法。这个程序主要分成了三个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块。其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。 关键词：幂法；矩阵最大特征值；j ava；迭代 POWER METHOD TO CALCULATE THE MAXIMUM EIGENV ALUE MATRIX ABSTRACT In physics, mechanics and engineering technology of a lot of problems in math boil down to matrix eigenvalue problem, and in some engineering, physical problems, usually only the largest eigenvalue of the matrix (i.e., the main characteristics of the value) and the corresponding eigenvectors, the eigenvalue problem for solution, using the power law can effectively solve the problem. Power method is A kind of computing the largest eigenvalue of real matrix A of an iterative method, its biggest advantage is simple.For sparse matrix is right, but sometimes very slow convergence speed. Using Java to write algorithms.This program is mainly divided into three most: the first part for matrix can be converted to linear equations;The second part is the eigenvector of the maximum;The third part is the exponentiation method of function block.Its basic process as a power law function block by calling the method of matrix can be converted to linear equations, then after a series of validation and iteration to get the results. Key words: Power method; Matrix eigenvalue; Java; The iteration 幂法反幂法求解矩阵大小特征值及其对应的特征向量 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 一.幂法 1. 幂法简介： 当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21 ≥≥≥> (2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程： i n i i i u x x αα,1 ) 0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有 1 11111221 12111 1 1 11 1 011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k n i i k i i n i i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈? ? ????+++======∑∑ 可见，当||1 2 λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)11 11)11111λαλαλ=??????==+++(k )(k k (k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。 2 算法实现 . ,, 3,,1 , ).5() 5(,,,,||).4();max(,).3() (max(;0,1).2(,).1()() () (停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←= ←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k 3 matlab 程序代码 5.1.1 雅克比矩阵及其行列式的几何意义 因为雅克比矩阵如此重要且有趣，我们把它单列一节讨论，并放在矩阵的 行列式的几何意义后面。 说实在的，解说雅克比矩阵及其行列式的几何意义，是应一位网友的希望而作。先前的五章在网上发布以后引起了不少哥们的关注，大多是共鸣及鼓励的话。一位网友哥们说（大意是），你除了内容有些凌乱外细节写得还不错，是下了一番功夫……，不知以后写不写雅克比行列式的几何意义等等。嘿嘿，您的给力评论使俺很受鼓舞。就像在学校里，老师先表扬说你的作业写得不错，有进步，我再给你出个优等生的题目吧。因此，俺就把这事记下了，先把题目列在目录里防止忘了。 当写到这一节时才知道这个题目确实有点难度啊，又下了很大的功夫，才觉得这件事通顺了。至此俺才发现，老师出的这个题目太有目光了，雅克比矩阵简直就是线性代数和微积分的纽带，是把非线性问题转换为线性问题的有力工具之一啊。有时看到一点微分几何的内容，也觉得和微分几何颇有渊源（宽恕俺没学过微分几何）。 兹写作业在此，希望再次得到老师的表扬哦： 5.1.1雅克比矩阵及其行列式的几何意义 话说有一个函数方程组，是由n个函数组成，每个函数也有n个自变量：。。。。。。。。。。。。。。。。。 这个函数组有两个意义可以解释，一个解释它是一个映射，点被映射成； 另外的一个解释就是坐标变换的意思，如果你把这个函数组代到一个以为自变 量的某方程中，即相当于把某方程的原坐标系被替换成坐标系。这两个解释本 质是一回事，是同一件事情的从不同角度的看法。坐标系不动，一个点被变换到 另一个点；这等价于说点不动，一个坐标系被代换到另一个坐标系。 下面我们将从其坐标变换的解释角度来分析。 一般情况下，这个函数方程组不是线性方程组，它的图形多是高维曲线、曲 面类的。稍详细一点说，每一个函数是个超维曲面，n个超维曲面组合在一起交 割成超维曲线。不过猛地看起来蛮像线性方程组的样子，心里于是就有了把它弄 成线性方程组的冲动：弄成线性的可以使用矩阵、行列式啊什么的，可以和线性 变换联系起来，多有几何意义啊。 速度分析---雅可比矩阵---关节速度与末端速度的映射关系 雅克比矩阵的获得方法：位置关系求导；矢量积法；微分变换法 雅克比的性质： 6 x n 的偏导数矩阵，前3行为末端线速度传动比，后3行为末端角速度传动比。行数=机器人在操作空间的维数，列数n=关节数。 雅克比的应用： 1、判断奇异状态：|J|=0 2、雅克比矩阵的奇异值分解，将雅可比矩阵分解出对角阵（对角元素为奇异值），对角阵和雅可比矩阵具有相同的秩。 3、条件数，定义式（文献）根据是否满自由度划分，和奇异值存在关系：条件数是最大和最小奇异值的比值。条件数k ≥1，当k=1时，操作臂所具有的形位称为各向同性，灵巧性最高，各奇异值相等。 4、最小奇异值，可用来作为控制所需关节速度上限的指标（限定式见文献）。 5、运动灵巧性指标，条件数的倒数。 附件1：矢量积法 矢量积的方法是whitney 基于运动坐标系概念于1972年提出的求解机器人运动雅克比矩阵的方法。末端抓手的微分移动和微分转动分别用d 和δ表示，线速度和角速度分别用v 和w 表示。 对于移动关节i 的运动，它在末端手抓产生于z1轴相同方向的线速度，且 0i i v z q w ?? ??=???????? 因此得到雅可比矩阵的第i 列 0i i Z L ?? =???? (移动关节i) 对于转动关节i 的运动，它在终端抓手上产生的线速度为矢量积0 ()i i n i v z p q =?，产生 的角速度为i i w z q = 。 因此，雅可比矩阵的第i 列为 ()00i i i i n i n i i i Z R P Z P J z Z ??????==? ????????? 式中，?表示矢量积符号，0 i n P 表示末端抓手坐标的原点相对坐标系{i}的位置在基座标系{0} 的表示，0 i n P = ( )0 i i n R P ,Zi 是坐标系{i}的Z 轴单位方向，它是用坐标系表示的。 附件2：微分变换法 速度可以看成是单位采样时间内的微分运动。因此，操作速度与关节速度之间的额关系 数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量附Matlab程序 矩阵的特征值与特征向量的计算 摘要 物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。 幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。其基本思想是任取一个非零的初始向量。由所求矩阵构造一向量序列。再经过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。 反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。然后经过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。 关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法 THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIX ABSTRACT Physics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and 幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量 幂法 设A n 有n 个线性相关的特征向量v 1，v 2，…，v n ，对应的特征值λ1，λ2，…，λn ，满足 |λ1| > |λ2| ≥ …≥ |λn | (3.2.1) 1. 基本思想 因为{v 1，v 2，…，v n }为C n 的一组基，所以任给x (0) ≠ 0，∑==n i i i v a x 1)0( —— 线性表示 所以有 ])( [)(2111111 1)0(∑∑∑∑====+====n i i i k i k n i k k i i n i i k i n i i i k k v a v a v a v A a v a A x A λλλλ 若a 1 ≠ 0，则因11 <λλi 知，当k 充分大时 A (k )x (0) ≈ λ1k a 1v 1 = cv 1 属λ1的特征向量 另一方面，记max(x ) = x i ，其中|x i | = ||x ||∞，则当k 充分大时， 111111*********)0(1)0()max()max()max()max()max()max(λλλλλ==≈---v a v a v a v a x A x A k k k k k k 若a 1 = 0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v 1方向上的分量不为0，迭代下去可求得λ1及对应特征向量的近似值。 2. 规范化 在实际计算中，若|λ1| > 1则|λ1k a 1| →∞，若|λ1| < 1则| λ1k a 1| → 0都将停机。 须采用“规范化”的方法 ???? ?==+)()1()() ()()max(k k k k k Ay x x x y ， k = 0，1，2，… 定理3.2-1 任给初始向量0)0(≠x 有，?????==∞→∞ →特征值 特征向量1)(11)()max(lim )max(lim λk k k k x v v y 证明： 第4章 速度运动学——雅可比矩阵 在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。 雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。 1.角速度：固定转轴情形 k θ ω =（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ 是角度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵 一个n n ?的矩阵S 被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T ,我们用)3(so 表示所有 33?反对称矩阵组成的集合。 如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33?的反对称矩阵具有下述形式： ???? ? ?????---=0001 2 13 23s s s s s s S 如果T z y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式： ???? ????? ?---=000 )(x y x z y z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质 1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3 R ，α、β为标量 2）p a p a S ?=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ?表示向量叉乘 3）)()(Ra S R a RS T =，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。 4）对于一个n n ?的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T 旋转矩阵的导数 )(θθ SR R d d = 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。 3.角速度：一般情况 )())(()(t R t w S t R = ，其中，矩阵))((t w S 是反对称矩阵，向量)(t w 为t 时刻旋转坐标系相对于固定坐标系上的点p 。 4.角速度求和 假定我们有112010...-=n n n R R R R ，则00,00)(n n n R S R ω= ，其中 0,104 ,303 ,202,10 1,01,10134,30323,20212,10101,00,0......n n n n n n n R R R R ----+++++=+++++=ω ω ω ωωωωωωωω （0 2,1ω表示对应于1 2R 导数的角速度在坐标系0000z y x o 中的表达式） 5.移动坐标系上点的线速度 v r o Rp S o p R p +?=+=+=ωω 110)( 其中，1 Rp r =是从1 o 到p 的向量在坐标系0000z y x o 的姿态中的表达式，v 是原点1o 运 求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 （1）输入矩阵A 、初始向量)0(μ ，误差eps ； （2）1?k ； （3）计算)1()(-?k k A V μ； （4）)max (,) max ()1(1)(--??k k k k V m V m ； （5）k k k m V /)()(?μ； （6）如果eps m m k k <--1,则显示特征值1λ和对应的特征向量)1(x ),终止； （7）1+?k k ,转（3） 注：如上算法中的符号)max(V 表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input["系数矩阵A="]; u=Input["初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input["误差精度eps ="]; nmax=Input["迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k m0=m1; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; Print["k=",k," 特征值=",N[m1,10]," 误差=",N[t,10]]; Print[" 特征向量=",N[u,10]]]; If[k ≥nmax,Print["迭代超限"]] 说明：本程序用于求矩阵A 按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵A 、迭代初值向量)0(μ、精度控制eps 和迭代允许最大次数max n ，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出max n 次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。 程序中变量说明 a:存放矩阵A ； u:初始向量)0(μ和迭代过程中的向量)(k μ及所求特征向量； v:存放迭代过程中的向量)(k V ； m1:存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值； nmax:存放迭代允许的最大次数； eps:存放误差精度； fmax[x]: 给出向量x 中绝对值最大的分量； k:记录迭代次数； t1:临时变量； 注：迭代最大次数可以修改为其他数字。 3、例题与实验 例1. 用幂法求矩阵???? ? ??---=9068846544 1356133A 的按模最大的特征值及其相应特征向量，要求误差410- 第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定．常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理８·1 设矩阵Ａn ×n 有n 个线性无关的特征向量X ｉ（ｉ=1,２,…,n)，其对应的特征值λi (ｉ ＝1,2，…，n)满足 ｜λ１|＞|λ2｜≧…≧|λn ｜ 则对任何ｎ维非零初始向量Z ０，构造Ｚk ＝ AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Ｚk )ｊ表示向量Z k 的第ｊ个分量。 证明 : 只就λｉ是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = １,2,…,n)用X ｉ(ｉ = 1,2,…，n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2Ｘ2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2） 由矩阵特征值定义知ＡＸi =λi X i (i=1,２, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (８.3） 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8．４) 将(8.３）与(8．4)所得Ｚk 及Z k-１的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,２,…，n ）得 Jacobi 方法 Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论 1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得 Q T AQ = diag(λ 1,λ 2 ,…,λ n ) 其中λ i (i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。 2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a ij ) n×n ,Q交矩阵, 记B=Q T AQ=(b ij ) n×n , 则 Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。 1 矩阵的旋转变换 设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵 易见 V ij (φ)是正交矩阵, 记 注意到B=V ij A的第i,j行元素以及的第i,j列元素为 可得 如果a ij ≠0，取φ使得则有 对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。 设由式 可得 这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由可知，对角元素的平方和单调增加。 2. Jacobi方法 通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。计算过程如下 1)令k=0, A(k) =A 2) 求整数i,j, 使得 3) 计算旋转矩阵 4) 计算A(k+1) 5) 计算 6) 若E(A(k+1))<ε, 则 为特征值， Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T 的各列为相应的特 征 向量；否则，k+1=>k Stewart平台雅可比矩阵分析 赵慧[1]张尚盈[2] [1]武汉科技大学机械自动化学院 430081 Email: [2]华中科技大学数字制造及设备技术国家重点实验室 430074 Email: 摘要：雅可比矩阵是对Stewart平台进行分析时的重要变量，通过对其的分析和计算，可以得到平台速度和液压缸速度之间的关系，得到平台承载与各液压缸出力之间的关系，可以判断液压缸的可控性，可以得到各自由度之间的运动耦合情况。因此，导出雅可比矩阵，并对其物理意义进行诠释和深刻理解非常重要。本文通过Stewart平台的运动学分析，推导出雅可比矩阵的公式，并通过仿真结果对其物理意义进行验证。 关键词：Stewart平台，运动学分析，雅可比矩阵 1 引言 随着科技的发展以及人们对未知世界探索的需求，Stewart平台在飞行模拟器、空中交会对接(RVD)仿真技术[1]、虚拟轴机床、力－扭矩传感器、装配机械手等领域有广泛的应用。其中液压驱动Stewart平台由于具有快速、高精度、大负载和结构紧凑等特点而受到青睐 [2]。 Stewart平台是一个典型的多变量和本质非线性的复杂系统。对Stewart平台运动学和动力学进行研究，是设计、分析和控制Stewart平台的基础。雅可比矩阵是在对Stewart平台进行运动学动力学分析过程中产生和定义的矩阵，具有重要的物理意义，本文将对其实质展开论述，并用仿真结果来验证。 2 Stewart平台描述 2.1 坐标系建立 如图1所示，Stewart平台的主体部分由上平台（Platform）、下平台（Base）以及六个液压缸组成。静止不动的下平台与可动作的上平台分别通过上、下胡克铰与液压缸的两端相连。选取体坐标系{}P— O X Y Z在上平台上，坐 p p p p幂法求矩阵A按模最大的特征值及其特征向量
一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)
数学建模 用幂法 和法 根法求特征值特征向量
雅克比矩阵知识介绍
幂法求矩阵最大特征值
幂法反幂法求解矩阵大小特征值及其对应的特征向量
雅可比矩阵
速度雅克比矩阵分析
数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量附Matlab程序
幂法是求方阵最大特征值及对应特征向量
速度运动学雅可比矩阵
求矩阵特征值算法及程序
第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法
雅克比矩阵
Stewart平台雅可比矩阵分析
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