半导体费米能级推导

3．杂质半导体的能带

（1）N 型半导体

如果在四价的锗(Ge)或硅(Si)组成的晶体中掺入五价原子磷(P) 或砷(As)，就可以构成N 型半导体。以硅掺磷为例，如图1－8(b)所示，五价的磷用四个价电子与周围的硅原子组成共价键，尚多余一个电子。这个电子受到的束缚力比共价键上的电子要小得多，很容易被磷原子释放，跃迁成为自由电子，该磷原子就成为正离子，这个易释放电子的原子称为施主（原子）。由于施主原子的存在，它会产生附加的束缚电子的能量状态。这种能量状态称为施主能级，用E a 表示，它位于禁带之中靠近导带底的附近。

施主能级表明，P 原子中的多余电子很容易从该能级（而不是价带）跃迁到导带而形成自由电子。因此，虽然只要掺入少量杂质，却可以明显地改变导带中的电子数目，从而显著地影响半导体的电导率。实际上，杂质半导体的导电性能完全由掺杂情况决定，掺杂百万分之一就可使杂质半导体的载流子浓度达到本征半导体的百万倍。

N 型半导体中，除杂质提供的自由电子外，原晶体本身也会产生少量的电子－空穴对，但由于施主能级的作用增加了许多额外的自由电子，使自由电子数远大于空穴数，如图1－8(b)所示。因此，N 型半导体将以自由电子导电为主，自由电子为多数载流子（简称多子），而空穴为少数载流子（简称少子）。

（2）P 型半导体

如果在四价锗或硅晶体中掺入三价原子硼(B)，就可以构成P 型半导体。以硅掺硼为例，如图1－8(c)所示，硼原子的三个电子与周围硅原子要组成共价键，尚缺少一个电子。于是，它很容易从硅晶体中获取一个电子而形成稳定结构，这就使硼原子变成负离子而在锗晶体中出现空穴。这个容易获取电子的原子称为受主（原子）。由于受主原子的存在，也会产生附加的受主获取电子的能量状态。这种能量状态称为受主能级，用E d 表示，它位于禁带之中靠近价带顶附近。受主能级表明，B 原子很容易从Si 晶体中获取一个电子形成稳定结构，即电子很容易从价带跃迁到该能级（不是导带），或者说空穴跃迁到价带。

与N 型半导体的分析同理，图1－8(c)价带中的空穴数目远大于导带中的电子数目。P 型半导体将以空穴导电为主，空穴为多数载流子（简称多子），而自由电子为少数载流子（简称少子）。

二、热平衡状态下的载流子

一个不受外界影响的封闭系统，其状态参量（如温度、载流子浓度等）与时间无关的状态称为热平衡态。下面讨论热平衡态下载流子的浓度。

根据量子理论和泡利不相容原理，半导体中电子的能级分布服从费米统计分布规律。即，在热平衡条件下，能量为E 的能级被电子占据的概率为： n f 1()1exp f E E E kT =???+????

（1－18）式中，E f 为费米能级；k =1.38×10-23J/K 为玻耳兹曼常数；T 为绝对温度。

空穴的占据概率是不被电子占据的概率，它为

p n f 1

1()1exp f f E E E kT =?=???+????（1－19）

E f 并不是一个可被电子占据的真实能级，而是一个描述电子在各能级中分布的参量。在K 0>T 时，若f E E =，则5.0)(n =E f ；若f E E <，则5.0)(n >E f ；若f E E >，则有5.0)(n

以本征半导体为例，绝对温度为零时，由于没有任何热激发，电子全部位于价带；当温度高于绝对温度时，价带的部分电子由于热激发跃迁到导带成为自由电子。价带中电子的分布可用式（1－18）来解释，价带能级低于费米能级，即E v < E f ，当T =0 时，能量为E v 的能级被电子占据的概率为100％；当温度高于绝对温度时，能量为E v 的能级被电子占据的概率小于100％。同理，可以解释导带中电子的分布和价带中空穴的分布。

可见，用费米能级E f 可以描述半导体载流子的分布。在式（1－18）中，当f exp E E kT ????????

>>1或f 5E E KT ?>时，有 f n ()exp E E f E kT ???≈????? （1－20）

对于导带能级，在室温条件下，很容易满足c f 5E E KT ?>，从而导带中电子占据的概率

同理，价带中空穴占据的概率 半导体理论进一步指出：热平衡态下，在整个导带中总的电子浓度n 和价带中的空穴浓度p 分别为

c f c exp E E n N kT ???=????? （1－23） f v v exp E E p N kT ???=????

? （1－24）式中，2/32*e c 22????????=h kT m N π称为导带有效状态密度，3/2*p v 222m kT N h π??=??????称为价带有效状态

密度，*e m 为自由电子的有效质量，*p m 为自由空穴的有效质量，h 为普朗克常数。

下面分析和计算热平衡态下本征半导体、N 型半导体和P 型半导体的载流子浓度和它们

c f n c ()exp E E f E kT ???≈????? （1－21） f

v p c ()exp E E f E kT ???≈????? （1－22）

的费米能级分布。

（1）本征半导体

本征半导体中，自由电子和空穴都是由于共价键破裂而产生的，所以自由电子浓度n i 等于空穴浓度p i ，并称之为本征载流子浓度，用n i 或者p i 表示。

由式（1－23）和式（1－24），本征载流子浓度

式中，E fi 表示本征半导体的费米能级。所以，本征载流子浓度

式中，E g = E c －E v 为半导体的禁带宽度。

由式（1－25）～（1－26），得到本征半导体的费米能级： ????????+=++=e *p i c v v c fi ln 43ln 21)(21m m kT E N N kT E E E （1－28）

式中的E i 为中间能级，处于禁带中间位置。对于硅、锗等半导体材料，**p e /0.5~1m m =；对

砷化镓则**p

e /7.4m m =。式（1－28）的第二项很小，可以忽略。因此本征半导体的费米能级E

f 位于禁带中线处，大体上与E i 重叠，如图1－9(a)所示。

此外，由式（1－23）～（1－26）式，还可以得到：

从（1－29）式可得到如下重要结论：

①在每种半导体中平衡载流子的电子和空穴浓度乘积与费米能级无关；

②在一定的温度下，该乘积由材料的禁带宽度决定；

③对一定的半导体材料，该乘积只决定于温度T ，与材料所含杂质无关。

（a ） （b ） （c ）

图1－9 本征和掺杂半导体中的费米能级

（a ）本征半导体；（b ）N 型半导体；（c ）P 型半导体

c fi i c exp E E n N kT ???=????? （1－25） i fi v v exp E E p N kT ???=????? （1－26）

()()()1/21/2i i i i c v g exp /2n p n p N N E kT ===? （1－27）

()()i i c v g exp /np n p N N E kT ==? （1－29）

（2）N 型半导体

N 型半导体中，导带中的自由电子浓度高于本征半导体的电子浓度。室温下施主原子基本上都电离，此时导带中的电子浓度

d i d N p N n ≈+= （1－30）

式中，N d 为N 型半导体中掺入的施主原子浓度。

由式（1－29）和式（1－30）得到空穴的浓度为： d 2i N n p = （1－31）

式中，n i 为本征半导体浓度。利用式（1－23）和式（1－31）

，得到N 型半导体中的电子浓度 c

fn d c exp E E n N N kT ???=?????＝ （1－32）

利用式（1－25）和（1－32）

，N 型半导体的费米能级为： i d i i d fi fn ln ln n N kT E n N kT E E +≈+=（1－33）

由上式可见：N 型半导体中的费米能级位于禁带中央以上；掺杂浓度愈高，费米能级离禁带中央愈远，愈靠近导带底，如图1－9(b)所示。

（3）P 型半导体

同理，可得到在P 型半导体室温下价带中的空穴浓度p 和电子浓度n 分别为：

a i a N n N p ≈+= （1－34）

式中，N a 为P 型半导体中掺入的受主原子浓度。

a 2i N n n = （1－35）P 型半导体的费米能级

i a i fp ln n N kT E E ?= （1－36）

由上式可知：P 型半导体费米能级位于禁带中央位置以下；掺杂浓度愈高，费米能级离禁带中央愈远，愈靠近价带顶，如图1－9(c)所示。

三、半导体对光的吸收

1．吸收定律

一束光入射在半导体上，有多少能量被吸收是由材料本身的性质和入射光波长决定的。如图1－10(a)所示，当光垂直入射到半导体表面时，进入到半导体内的光功率为

Φ(x )=Φ0(1－r )e -αx （1－37）

这就是吸收定律。式中，Φ0为入射光功率；Φ(x )为距离入射光表面x 处的光功率；r 为反射率，是入射光波长的函数，通常波长愈短反射愈强；α为的吸收系数，与材料、入射光波长

导带、价带、禁带、费米能级

（1）导带conduction band： 导带是由自由电子形成的能量空间。即固体结构内自由运动的电子所具有的能量范围。 对于金属，所有价电子所处的能带就是导带。 对于半导体，所有价电子所处的能带是所谓价带，比价带能量更高的能带是导带。在绝对零度温度下，半导体的价带(valence band)是满带(见能带理论)，受到光电注入或热激发后，价带中的部分电子会越过禁带(forbidden band/band gap)进入能量较高的空带，空带中存在电子后即成为导电的能带——导带。 势能动能：导带底是导带的最低能级，可看成是电子的势能，通常，电子就处于导带底附近；离开导带底的能量高度，则可看成是电子的动能。当有外场作用到半导体两端时，电子的势能即发生变化，从而在能带图上就表现出导带底发生倾斜；反过来，凡是能带发生倾斜的区域，就必然存在电场（外电场或者内建电场）。 （2）价带与禁带： 价带（valence band）或称价电带，通常是指半导体或绝缘体中，在0K时能被电子占满的最高能带。对半导体而言，此能带中的能级基本上是连续的。全充满的能带中的电子不能在固体中自由运动。但若该电子受到光照，它可吸收足够能量而跳入下一个容许的最高能区，从而使价带变成部分充填，此时价带中留下的电子可在固体中自由运动。 禁带，英文名为：Forbidden Band 常用来表示价带和导带之间的能态密度为零的能量区间。禁带宽度的大小决定了材料是具有半导体性质还是具有绝缘体性质。半导体的禁带宽度较小，当温度升高时，电子可以被激发传到导带，从而使材料具有导电性。绝缘体的禁带宽度很大，即使在较高的温度下，仍是电的不良导体。无机半导体的禁带宽度从～，π-π共轭聚合物的能带隙大致在～,绝缘体的禁带宽度大于。

(完整版)费米能级理解

能带结构是目前采用第一性原理(从头算abinitio)计算所得到的常用信息，可用来结合解释金属、半导体和绝缘体的区别。能带可分为价带、禁带和导带三部分，导带和价带之间的空隙称为能隙，基本概念如图1所示。 1. 如果能隙很小或为0,则固体为金属材料，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电；而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。

2. 能带用来定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点。价带（valenc e band），或称价电带，通常指绝对零度时，固体材料里电子的最高能量。在导带（conduction band）中，电子的能量的范围高于价带（v alence band），而所有在传导带中的电子均可经由外在的电场加速而形成电流。对于半导体以及绝缘体而言，价带的上方有一个能隙（b andgap），能隙上方的能带则是传导带，电子进入传导带后才能再固体材料内自由移动，形成电流。对金属而言，则没有能隙介于价带与传导带之间，因此价带是特指半导体与绝缘体的状况。 3. 费米能级(Fermi level)是绝对零度下电子的最高能级。根据泡利不相容原理，一个量子态不能容纳两个或两个以上的费米子(电子)，所以在绝对零度下，电子将从低到高依次填充各能级，除最高能级外均被填满，形成电子能态的“费米海”。“费米海”中每个电子的平均能量为（绝对零度下）为费米能级的3/5。海平面即是费米能级。一般来说，费米能级对应态密度为0的地方，但对于绝缘体而言，费米能级就位于价带顶。成为优良电子导体的先决条件是费米能级与一个或更多的能带相交。 4. 能量色散（dispersion of energy）。同一个能带内之所以会有不同能量的量子态，原因是能带的电子具有不同波向量（wave vector），或是k-向量。在量子力学中，k-向量即为粒子的动量，不同的材料会有不同的能量-动量关系（E-k relationship）。能量色散决定了半导体

费米能级位置

什么是Fermi能级？为什么Fermi能级可以处于禁带中间？为什么本征半导体的Fermi能级位于禁带中央？为什么n型半导体的 Fermi能级位于导带底附近？Fermi能级随着温度和掺杂浓度的改变 而如何变化？ Fermi能级(E F)是一个非常重要的物理概念，它在半导体电子学中起 着极其重要的作用。 (1) Fermi能级的概念: 在固体物理学中，Fermi能量(Fermi energy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系的化学势，或 者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量------ Fermi粒子所 占据的最高能级的能量。 另一方面，按照Fermi-Dirac统计，在能量为E的单电子量子态 上的平均电子数为： 式中的T为绝对温度，k为玻尔兹曼常数，E F是该Fermi-Dirac 分布 函数的一个参量(称为化学势)。在绝对零度下，所有能量小于E F的量子 态都被电子占据，而所有能量大于E F的量子态都是空着 的，则作为化学势的参量E F就是电子所占据的最高量子态的能量，因此 这时系统的化学势也就与费米能量一致。从而，往往就形象地把费米能量

和化学势统称之为Fermi能级。虽然严格说来，费米能级是指无相互作用的Fermi粒子系统在趋于绝对零度时的化学势，但是在半导体物理电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来使用，所以也就不再区分费米能级和化学势了。 在非绝对零度时，电子可以占据高于E F的若干能级，则这时Fermi 能级将是占据几率等于50%的能级。处于Fermi能级附近的电子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重要的作用。 （2）Fermi能级的含义： 作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF,具有决定整个系统能量以及载流子分布的重要作用。 ①在半导体中，由于Fermi能级（化学势）不是真正的能级，即不一定是允许的单电子能级（即不一定是公有化状态的能量），所以它可以像束缚状态的能级一样，可以处于能带的任何位置，当然也可以处于禁带之中。 对于金属，其中的自由电子在k空间中将填充成一个球体，称为Fermi球；Fermi能量也就是Fermi球面对应的能量，该能量可以采用Fermi球的半径Fermi半径k F来表示为 式中的h是Dirac常数，m是自由电子的质量。因此，金属中的

半导体费米能级推导

3．杂质半导体的能带 （1）N 型半导体 如果在四价的锗(Ge)或硅(Si)组成的晶体中掺入五价原子磷(P) 或砷(As)，就可以构成N 型半导体。以硅掺磷为例，如图1－8(b)所示，五价的磷用四个价电子与周围的硅原子组成共价键，尚多余一个电子。这个电子受到的束缚力比共价键上的电子要小得多，很容易被磷原子释放，跃迁成为自由电子，该磷原子就成为正离子，这个易释放电子的原子称为施主（原子）。由于施主原子的存在，它会产生附加的束缚电子的能量状态。这种能量状态称为施主能级，用E a 表示，它位于禁带之中靠近导带底的附近。 施主能级表明，P 原子中的多余电子很容易从该能级（而不是价带）跃迁到导带而形成自由电子。因此，虽然只要掺入少量杂质，却可以明显地改变导带中的电子数目，从而显著地影响半导体的电导率。实际上，杂质半导体的导电性能完全由掺杂情况决定，掺杂百万分之一就可使杂质半导体的载流子浓度达到本征半导体的百万倍。 N 型半导体中，除杂质提供的自由电子外，原晶体本身也会产生少量的电子－空穴对，但由于施主能级的作用增加了许多额外的自由电子，使自由电子数远大于空穴数，如图1－8(b)所示。因此，N 型半导体将以自由电子导电为主，自由电子为多数载流子（简称多子），而空穴为少数载流子（简称少子）。 （2）P 型半导体 如果在四价锗或硅晶体中掺入三价原子硼(B)，就可以构成P 型半导体。以硅掺硼为例，如图1－8(c)所示，硼原子的三个电子与周围硅原子要组成共价键，尚缺少一个电子。于是，它很容易从硅晶体中获取一个电子而形成稳定结构，这就使硼原子变成负离子而在锗晶体中出现空穴。这个容易获取电子的原子称为受主（原子）。由于受主原子的存在，也会产生附加的受主获取电子的能量状态。这种能量状态称为受主能级，用E d 表示，它位于禁带之中靠近价带顶附近。受主能级表明，B 原子很容易从Si 晶体中获取一个电子形成稳定结构，即电子很容易从价带跃迁到该能级（不是导带），或者说空穴跃迁到价带。 与N 型半导体的分析同理，图1－8(c)价带中的空穴数目远大于导带中的电子数目。P 型半导体将以空穴导电为主，空穴为多数载流子（简称多子），而自由电子为少数载流子（简称少子）。 二、热平衡状态下的载流子 一个不受外界影响的封闭系统，其状态参量（如温度、载流子浓度等）与时间无关的状态称为热平衡态。下面讨论热平衡态下载流子的浓度。 根据量子理论和泡利不相容原理，半导体中电子的能级分布服从费米统计分布规律。即，在热平衡条件下，能量为E 的能级被电子占据的概率为： n f 1()1exp f E E E kT =???+???? （1－18）式中，E f 为费米能级；k =1.38×10-23J/K 为玻耳兹曼常数；T 为绝对温度。 空穴的占据概率是不被电子占据的概率，它为

费米能级位置

什么就是Fermi能级？为什么Fermi能级可以处于禁带中间？为什么本征半导体的Fermi能级位于禁带中央？为什么n型半导体的Fermi能级位于导带底附近？Fermi能级随着温度与掺杂浓度的改变而如何变化？ Fermi能级(E F)就是一个非常重要的物理概念,它在半导体电子学中起着极其重要的作用。 (1)Fermi能级的概念: 在固体物理学中,Fermi能量(Fermi energy)就是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量;也就就是在绝对零度时,处于基态的Fermi粒子体系的化学势,或者就是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量——Fermi粒子所占据的最高能级的能量。 另一方面,按照Fermi-Dirac统计,在能量为E的单电子量子态上的平均电子数为: 式中的T为绝对温度,k为玻尔兹曼常数,E F就是该Fermi-Dirac分布函数的一个参量(称为化学势)。在绝对零度下,所有能量小于E F的量子态都被电子占据,而所有能量大于E F的量子态都就是空着的,则作为化学势的参量E F就就是电子所占据的最高量子态的能量,因此这

时系统的化学势也就与费米能量一致。从而,往往就形象地把费米能量与化学势统称之为Fermi能级。虽然严格说来,费米能级就是指无相互作用的Fermi粒子系统在趋于绝对零度时的化学势,但就是在半导体物理电子学领域中,费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来使用,所以也就不再区分费米能级与化学势了。 在非绝对零度时,电子可以占据高于E F的若干能级,则这时Fermi 能级将就是占据几率等于50%的能级。处于Fermi能级附近的电子(常称为传导电子)对固体的输运性质起着重要的作用。 (2)Fermi能级的含义: 作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF,具有决定整个系统能量以及载流子分布的重要作用。 ①在半导体中,由于Fermi能级(化学势)不就是真正的能级,即不一定就是允许的单电子能级(即不一定就是公有化状态的能量),所以它可以像束缚状态的能级一样,可以处于能带的任何位置,当然也可以处于禁带之中。 对于金属,其中的自由电子在k空间中将填充成一个球体,称为Fermi球;Fermi能量也就就是Fermi球面对应的能量,该能量可以采用Fermi球的半径——Fermi半径k F来表示为

导带、价带、禁带.费米能级

【半导体】 （1）导带conduction band 导带是由自由电子形成的能量空间。即固体结构内自由运动的电子所具有的能量范围。 对于金属，所有价电子所处的能带就是导带。 对于半导体，所有价电子所处的能带是所谓价带，比价带能量更高的能带是导带。在绝对零度温度下，半导体的价带(valence band)是满带(见能带理论)，受到光电注入或热激发后，价带中的部分电子会越过禁带(forbidden band/band gap)进入能量较高的空带，空带中存在电子后即成为导电的能带——导带。 势能动能：导带底是导带的最低能级，可看成是电子的势能，通常，电子就处于导带底附近；离开导带底的能量高度，则可看成是电子的动能。当有外场作用到半导体两端时，电子的势能即发生变化，从而在能带图上就表现出导带底发生倾斜；反过来，凡是能带发生倾斜的区域，就必然存在电场（外电场或者内建电场）。 （2）价带与禁带 价带（valence band）或称价电带，通常是指半导体或绝缘体中，在0K 时能被电子占满的最高能带。对半导体而言，此能带中的能级基本上是连续的。全充满的能带中的电子不能在固体中自由运动。但若该电子受到光照，它可吸收足够能量而跳入下一个容许的最高能区，从而使价带变成部分充填，此时价带中留下的电子可在固体中自由运动。 禁带，英文名为：Forbidden Band 常用来表示价带和导带之间的能态密度为零的能量区间。禁带宽度的大小决定了材料是具有半导体性质还是具有绝缘体性质。半导体的禁带宽度较小，当温度升高时，电子可以被激发传到导带，从而使材料具有导电性。绝缘体的禁带宽度很大，即使在较高的温度下，仍是电的不良导体。无机半导体的禁带宽度从0.1～2.0eV，π-π共轭聚合物的能带隙大致在1.4～4.2eV,绝缘体的禁带宽度大于4.5eV。 （3）导带与价带的关系： “电子浓度=空穴浓度”，这实际上就是本征半导体的特征，因此可以说，凡是两种载流子浓度相等的半导体，就是本征半导体。 注意：不仅未掺杂的半导体是本征半导体，就是掺杂的半导体，在一定条件下（例如高温下）也可以转变为本征半导体。

费米能级的相关知识

费米能级是绝对零度时电子的最高能级. 自由粒子的波函数是平面波,波动方程是f(r)=(1/V^0.5)*Exp(i k*r) k是平面波波矢,电子能量是E=(hk)^2/2m (这个h是除以2PI后的那个普朗克常数,原来表示此量的符号太不好找了) 可以看出,电子对于取不同的k时,可以处在不同能量状态. 下面引入k空间,尽量理解. 一般用周期性边界条件,f(x y z)=f(x+L y z)=f(x y+L z)=f(x y z+L )确定k的取值kx=(2PI/L)Nx ky=(2PI/L)Ny kz=(2PI/L)Nz Nx Ny Nz是整数,因此把k看作空间矢量,在k空间中,k只能取一个个分立的点.你可以想象以kx ky kz3个方向建立坐标系,因为Nx Ny Nz是整数,kx ky kz只能取到一个个点.就比如Nx是整数,永远不会有kx=(2PI/L)*0.4处被取到. 每个点代表一种k的取值,前面有说过,每个k都对应电子的不同能量状 态,E=(hk)^2/2m ,这些能量状态也因为k的分立取值而只能分立出现,就是能级. 把电子放在k空间的各个点上,代表电子处在那个k值的状态,也对应一个能量状态,即处在该能级上. 因为泡利不相容原理,每个态上只可以放2个电子,(自旋相反)不会有第3个跟他们在同一个状态(k空间的各个点)上. 现在有一个总共有N个电子的体系,各个电子都处于什么状态哪?粒子总是先占据能量小的能级,从kx=0ky=0kz=0开始(显然这时候能量最小,不过这个模型有点局限,你不必理了)kx=0ky=0kz=1.....kx=33 ky=34 kz=34.....反正越来越大,越来越往能量更大的高能级上添.最后第N个电子会处在最高能级上(能量最大),这个能级就是费米能级.（我的问题：这个意思也就是说一个原子最外层电子所在的能级就是费米能级？要是能级没有被填满呢？ 注意: 1 不在绝对零度的话,电子填充能级不是仅仅由泡利不相容原理决定,因此费米能级是绝对零度时,电子的最高能级. 2 通常宏观体系的电子数N很大,电子填充能级时,在k空间的占据态,也就是可以处在的那N/2的点,会形成一个球形,称为费米球.这很好想象,粒子总是先占据能量小的能级,离(0 0 0)越近的能级(哪个点)先占据,最后被占据的点肯定不会有"支出去"的,而是程球形.这个球面叫费米面,有时也说费米面上的能级是费米能级.我前面说"第N个电子会处在最高能级上(能量最大),这个能级就是费米能级"是为了理解方便,实际上第N个电子,不见得比N-1的能级高了,简单的看 kx=0ky=0kz=1和kx=0ky=1kz=0和kx=1ky=0kz=0不是能量一样吗?当离(0 0 0)很远后,这种k不同但能量一样或近似一样的点会更多,形成一个近似的球面--费米面.一般就认为费米面上的能级就是最高能级--费米能级. 3 从费米分布函数角度解释也可以,费米分布函数给出了不在绝对0度的情况下各个能级被占据的几率,费米能级是本征态占据几率1/2的态对应能级在绝对0度的极限.你可以看黄昆先生的固体物理. 4 对于f(x y z)=f(x+L y z)=f(x y+L z)=f(x y z+L )确定k的取值,可以自己计算一下.波动方程只是为了得出能级概念,并不需要注意,解法可以去看量子力学.

第一章 准费米能级

第一章准费米能级：非平衡态的电子与空穴各自处于热平衡态--准平衡态,可以定义E Fn、E Fp分别为电子和空穴的准费米能级。 细致平衡原理：在稳态下，各种能级上的电子和空穴数目应该保持不变。 间接复合的四个过程：a：电子被复合中心俘获；b：复合中心上的电子激发到导带；c：空穴被复合中心俘获；d空穴的产生 PN结空间电荷区的形成过程：载流子的扩散和漂移 当N型和P型材料接触时，在P型中的空穴向N型一边扩散，在N型中的电子向P型区扩散。由于电子和空穴的扩散，在互相靠近的N侧和P侧分别出现了没有载流子补偿的，固定的施主离子和受主离子—空间电荷。空间电荷建立了一个电场—空间电荷区电场，也叫内建电场。内建电场沿着抵消载流子扩散趋势的方向，它使载流子向与扩散运动相反的方向漂移。在热平衡时，载流子的漂移运动和扩散运动达到动态相平衡，使得净载流子流为零。结果，建立一个确定的空间电荷区。 肖特基势垒的形成过程：电子将从半导体渡越到金属，使半导体表面出现未被补偿的离化施主的正电荷，金属表面则积累负电荷，同时二者的费米能级拉平。金属表面的负电荷是多余出来的导电电子，占据很薄一层。半导体中施主浓度比金属中电子浓度低几个数量级，所以半导体中的正电荷占据较厚的薄层，在半导体表面形成空间电荷层。 欧姆接触：定义为这样一种接触，它在所使用的结构上不会添加较大的寄生阻抗，且不足以改变半导体内的平衡载流子浓度使器件特性受到影响。 异质结定义：由两种基本物理参数（如禁带宽度）不同的半导体单晶材料组成的结。 异质结的特性：（1）异质结的高注入比；（2）异质结的超注入现象；（3）异质结对载流子和光的限制；（4）异质结的“窗口效应” 异质结的窗口效应：两种半导体在一起形成异质结时，由于禁带宽度不同，对光波的吸收波长也不同，即光响应不同。只有在光子能量处于Eg1

费米能级与金属接触势差

费米能级设计及金属的接触势差 哈尔滨工业大学材料科学与工程学院(1091900416) 摘要：由量子电子理论，对Fermi-Dirac 分布函数推导出费米能级的计算公式，得出费米能级依赖于电子密度n ，进而对费米能级进行设计。接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高,应用公式推导从而得出金属接触势差与费米能级的关系。 关键词：费米能级；电子密度；金属接触势差 费米能级是指对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级；也可以理解为绝对零度时金属中电子的化学势。金属接触势差为两种不同的金属相互接触时在它们之间产生的电势差。 一、 费米能级及费米能级的设计 自由电子气服从Fermi-Dirac 统计分布规律，满足下式： (,)f E T = ()/1 1E kT e μ-+ 它表示温度在T 的热平衡石，能量处于E 的电子态被电子所占据的概率。K 为波尔兹曼常数，T 为热力学温度，μ为化学势，定义为： μ=,( )T V F N ?? 表示温度T 和压力V 一定是，体系自由能F 与电子数目N 的变化率。在分布函数中，μ是一个决定电子在各能级分布的函数，它与N 的关系满足： 1/2 3/2 2 2 ()/0 2(,)()( ) 21E kT V m E dE N f E T g E dE e μπ ∞∞-= = +? ? 当T=0K 时，体系处于基态，也就是体系能量的最低函数，分布函数为： 1,(0) 0,(0) (,){lim E E T f E T μμ<>→= μ（0）为T-=0体系的化学势。可见能量大于μ（0）的轨道是空的，而能量小于μ（0）的轨道被电子所填满。由于Pauli 不相容原理，每个轨道只能容纳自旋相反的两个电子，所以电子只能按照能量从低到高的规律填充在各轨道中。μ（0）为基态时电子能量最高的轨道。通常称为Fermi 面。由公式0 ()()N f E g E dE ∞ = ? ()F E N E dE = ? = 1 20 ()F E C E d E ?

费米能级

费米能级就一个由费米子组成的微观体系而言，每个费米子都处在各自的量子能态上。现在假想把所有的费米子从这些量子态上移开。之后再把这些费米子按照一定的规则（例如泡利原理等）填充在各个可供占据的量子能态上，并且这种填充过程中每个费米子都占据最低的可供占据的量子态。最后一个费米子占据着的量子态即可粗略理解为费米能级。虽然严格来说，费米能等于费米子系统在趋于绝对零度时的化学势；但是在半导体物理和电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴化学势的代名词。一般来说，“费米能级"这个术语所代表的含义可以从上下语境中判断。费米子可以是电子、质子、中子（自旋为半整数的粒子）对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。费米能级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。费米能级在半导体物理中是个很重要的物理参数，只要知道了他的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。它和温度，半导体材料的导电类型，杂质的含量以及能量零点的选取有关。将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。 1. 费米能级不是一个真正存在的能级。它只是用于衡量一个系统的能级水平。 2. 对于一个系统来说，处处的费米能级相同。对于两个系统合并成为一个系统，则费米能级也会趋于处处相同（会有净电荷的流动）。- 3. 费米能级描述了各个能级上电子分布的概率。 4. 费米能级随着温度和掺杂浓度而变化。具体来说如下： a. 对于N型半导体费米能级在禁带中央以上；掺杂浓度越大，费米能级离禁带中央越远，越靠近导带底部 b. 对于P型半导体费米能级在禁带中央以下；掺杂浓度越大，费米能级离禁带中央越远，越靠近价带顶部 在固体物理学中，Fermi能量(Fermi energy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi 粒子体系的化学势，或者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量——Fermi粒子所占据的最高能级的能量。 对于绝缘体和半导体，Fermi能级则处于禁带中间。特别是本征半导体和绝缘体，因为它们的的价带是填满了价电子（占据几率为100%）、导带是完全空着的（占据几率为0%），则它们的Fermi能级正好位于禁带中央（占据几率为50%）。即使温度升高时，本征激发而产生出了电子-空穴对，但由于导带中增加的电子数等于价带中减少的电子数，则禁带中央的能级仍然是占据几率为50%，所以本征半导体的Fermi能级的位置不随温度而变化，始终位于禁带中央。

费米子和费米能级

1、费米子(fermion)： 自旋为半整数的粒子。比如电子、质子、中子等以及其反粒子。 在一组由全同粒子组成的体系中，如果在体系的一个量子态（即由一套量子数所确定的微观状态）上只容许容纳一个粒子，这种粒子称为费米子。或者说自旋为半整数（1/2，3/2…）的粒子统称为费米子，服从费米-狄拉克统计。费米子满足泡利不相容原理，即不能两个以上的费米子出现在相同的量子态中。轻子，核子和超子的自旋都是1/2，因而都是费米子。自旋为3/2，5/2，7/2等的共振粒子也是费米子。中子、质子都是由三种夸克组成，自旋为1/2。奇数个核子组成的原子核。因为中子、质子都是费米子，故奇数个核子组成的原子核自旋是半整数。 基本费米子分为2类：夸克和轻子。而这2类基本费米子，又分为合共24种味（flavour）： 12种夸克：包括上夸克(u)、下夸克(d)、奇夸克(s)、粲夸克(c)、底夸克(b)、顶夸克(t)，及它们对应的6种反粒子。[1] 12种轻子：包括电子(e-)、μ子(μ-)、τ子(τ-)、中微子（即中微子）νe、中微子νμ、中微子ντ，及对应的6种反粒子，包括3种反中微子。 2、玻色子： 是依随玻色-爱因斯坦统计，自旋为整数的粒子。玻色子不遵守泡利不相容原理，在低温时可以发生玻色-爱因斯坦凝聚。 玻色子包括： 胶子-强相互作用的媒介粒子，自旋为1，有8种; 光子-电磁相互作用的媒介粒子，自旋为1，只有1种。这些基本粒子在宇宙中的―用途‖可以这样表述：构成实物的粒子(轻子和重子)和传递作用力的粒子(光子、介子、胶子、w和z玻色子)。在这样的一个量子世界里，所有的成员都有标定各自基本特性的四种量子属性：质量、能量、磁矩和自旋。 3、波色子和费米子是物质世界的两种存在，波色子和费米子正好和中国古代的 阴阳太极思想一致，即阴物质是波色子，是物质存在的基础，阳物质是费米子，是物质存在的形式，我们现实世界存在就是以阴物质存在的基础而表现出阳物质形式。 4、费米能级： 对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。费米能级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。 在半导体物理中，费米能级是个很重要的物理参数，只要知道了它的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。它和温度，半导体材料的导电类型，杂质的含量以及能量零点的选取有关。 n型半导体费米能级靠近导带边，过高掺杂会进入导带。p型半导体费米能级靠近价带边，过高掺杂会进入价带。 将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。

费米能级位置

什么是Fermi能级为什么Fermi能级可以处于禁带中间为什么本征半导体的Fermi能级位于禁带中央为什么n型半导体的Fermi能级 位于导带底附近Fermi能级随着温度和掺杂浓度的改变而如何变化Fermi能级(E F)是一个非常重要的物理概念，它在半导体电子学中起着极其重要的作用。 (1) Fermi能级的概念: 在固体物理学中，Fermi能量(Fermi energy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系的化学势，或 者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量--------- F ermi粒子所占据的最高能级的能量 另一方面，按照Fermi-Dirac统计，在能量为E的单电子量子态上 的平均电子数为： 式中的T为绝对温度，k为玻尔兹曼常数，圧是该Fermi-Dirac分布函 数的一个参量(称为化学势「在绝对零度下，所有能量小于E F的量子态都被 电子占据，而所有能量大于E F的量子态都是空着的， 则作为化学势的参量E F就是电子所占据的最高量子态的能量，因此这时系 统的化学势也就与费米能量一致。从而，往往就形象地把费米

能量和化学势统称之为Fermi能级。虽然严格说来，费米能级是指无相互作用的Fermi粒子系统在趋于绝对零度时的化学势，但是在半导 体物理电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来使用，所以也就不再区分费米能级和化学势了。 在非绝对零度时，电子可以占据高于E F的若干能级，则这时Fermi 能级将是占据几率等于50%的能级。处于Fermi能级附近的电子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重要的作用。 （2）Fermi能级的含义： 作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF,具有决定整个系统能量以及载流子分布的重要作用。 ①在半导体中，由于Fermi能级（化学势）不是真正的能级，即不一定是允许的单电子能级（即不一定是公有化状态的能量），所以它可以像束缚状态的能级一样，可以处于能带的任何位置，当然也可以处于禁带之中。 对于金属，其中的自由电子在k空间中将填充成一个球体，称为Fermi 球；Fermi能量也就是Fermi球面对应的能量，该能量可以采用Fermi球的半径-------------- Fermi半径k F来表示为 式中的h是Dirac常数，m是自由电子的质量。因此，金属中的 Fermi能级也就是导带中自由电子填充的最高能级。p F=~h k F称为Fermi动量，V F= h k F/m称为Fermi速度。一般，金属的Fermi能量约为~

导带价带禁带费米能级

导带价带禁带费米能级 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

（1）导带conduction band： 导带是由自由电子形成的能量空间。即固体结构内自由运动的电子所具有的能量范围。 对于金属，所有价电子所处的能带就是导带。 对于半导体，所有价电子所处的能带是所谓价带，比价带能量更高的能带是导带。在绝对零度温度下，半导体的价带(valence band)是满带(见)，受到光电注入或热激发后，价带中的部分电子会越过禁带(forbidden band/band gap)进入能量较高的空带，空带中存在电子后即成为导电的能带——导带。 势能动能：导带底是导带的最低能级，可看成是电子的势能，通常，电子就处于导带底附近；离开导带底的能量高度，则可看成是电子的动能。当有外场作用到半导体两端时，电子的势能即发生变化，从而在能带图上就表现出导带底发生倾斜；反过来，凡是能带发生倾斜的区域，就必然存在电场（外电场或者内建电场）。 （2）价带与禁带： 价带（valence band）或称价电带，通常是指半导体或绝缘体中，在0K 时能被电子占满的最高能带。对半导体而言，此能带中的能级基本上是连续的。全充满的能带中的电子不能在固体中自由运动。但若该电子受到光照，它可吸收足够能量而跳入下一个容许的最高能区，从而使价带变成部分充填，此时价带中留下的电子可在固体中自由运动。

禁带，英文名为：Forbidden Band 常用来表示价带和导带之间的能态密度为零的能量区间。禁带宽度的大小决定了材料是具有半导体性质还是具有绝缘体性质。半导体的禁带宽度较小，当温度升高时，电子可以被激发传到导带，从而使材料具有导电性。绝缘体的禁带宽度很大，即使在较高的温度下，仍是电的不良导体。无机半导体的禁带宽度从～，π-π共轭聚合物的能带隙大致在～,绝缘体的禁带宽度大于。 （3）导带与价带的关系： “电子浓度=空穴浓度”，这实际上就是本征半导体的特征，因此可以说，凡是两种载流子浓度相等的半导体，就是本征半导体。 注意：不仅未掺杂的半导体是本征半导体，就是掺杂的半导体，在一定条件下（例如高温下）也可以转变为本征半导体。 空穴，载流子：价带中的许多电子（价电子）并不能导电，而少量的价电子空位——空穴才能导电，故称空穴是载流子。空穴的最低能量——势能，也就是价带顶，通常空穴就处于价带顶附近。 禁带宽度：价带顶与导带底之间的能量差，就是所谓半导体的。这就是产生本征激发所需要的最小平均能量。 施主与受主：对于掺杂半导体，电子和空穴大多数是由杂质来提供的。能够提供电子的杂质称为施主；能够提供空穴的杂质称为受主。施主的能级处在靠近导带底的禁带中；受主的能级处在靠近价带顶的禁带中。实际上未掺杂半导体的费米能级在价带和导带的中央附近。n型半导体的费米能级在导带底附近，而p型在价带顶附近。