3.1.1 直线的倾斜角与斜率教案
一、教学目标
（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。理解直线倾斜角的唯一性。理解直线斜率的存在性。斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。
（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点
重点：直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。
难点：用代数方法推导斜率的过程。
三、教学方法
计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程
（一）创设情境，揭示课题
问题1、（出示幻灯片）给出的两点相同吗？
从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。
从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）
问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？
由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式
（1）已知直线上两点
（2）已知直线上一点和直线的方向（倾斜角、倾斜程度）
问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）
以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。
选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？
（教师引导学生选取不同的方向来描述角）。
数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）
1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x 轴相交时，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角［，叫做直线I的倾斜角。
教师引导学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。
（i）⑵⑶⑷
学生容易忽略与x 轴平行的直线，补出图（4）,问倾斜角在哪儿？ 如何规定？
规定：当直线I 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为 0。自然有倾斜 角的范围是［0，180）
这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 : 与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直 线，其倾斜角不相等。
以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 一条直线的倾斜程度。
（二）巩固旧知，弓I 入新知
生活中，我们都有过爬坡、爬梯的体验，对于斜坡的倾斜程度， 可以用什么量来反映？（坡角与坡度）
初中对坡度是如何定义的？
升高量 前进量
当坡角「增大时，坡度如何变化？
当坡角:=90与0时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别 是什么？
坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线 的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。
2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条
坡度（比） （即坡角〉的正切值）
直线的斜率。即k = tan : （:? = 90 ）
问题4、当：为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角.上）
■> - 180 -是锐角）
k = tan ；；二tan（ 180 - J = - ta
如：倾斜角，120，则斜率k (3)
问题5、当〉在［0 ，180 ）内变化时，斜率k如何变化?
0 ° < a v 90 ° a = 90 °90 °< 口< 180 ° a = 0 °
k >0k不存在k <0k =0
问题6、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？
倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。
（三）尝试推导，深化认识
两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系问题7、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P i （x i, y i）, P2 （X2, y2）且x i = X2，能否用R、R的坐标来表示直线斜率k?
（学生活动）：随意在坐标系下画两点P i 、R 及直线P i P 2,探究各种 图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。 教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中， 类似升高量，前进 量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。
解：设直线P i P 2倾斜角为:G -90 ）当直线P i P 2方向向上时，过 点R 作x 轴的平行线，过点P 2作y 轴的平行线，两线交于点 Q 则点 0为（X 2，y i ）
（1） 当〉为锐角时，〉一QPR ，x i ：：： X 2，m
在 RMP.,P 2Q 中，ta= tanZQR F 2 =皿—* > 0
PQ x 2 -x i
（2） 当。为钝角时，□ =i80‘-日（设 N QRP,二日）,X i c x ?,屮 5
tan ： =tan(i80 -- -ta
x
x
在 RUP 1P 2
Q 中，tan 日=至=- * = QR x 2 — x 1
ta n ：—上 比V 0 （可让学生分组推导） X ? - X "
同理，当直线P2R1方向向上时，无论〉为锐角或钝角，也有
tan ，即 k X 2 —X " x 2 —X " 思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与 P i 、P 2这两点坐标顺 序有关系吗？
2、 当直线垂直于X 轴或y 轴时，上述结论适用吗？
3、 斜率公式使用时应注意什么问题？
(四) 例题讲解、强化认知
例1. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜
率。
(1) a =45° ( 2) - =30° (3) :=120° (4) = 135° (5) ： =1500
例2. 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),
求直线AB, BC, CA 的斜率,
并判断它们的倾 斜角是钝角还是锐角. 例3.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为 1，-1，2及-3的直线.
（五）巩固练习、内化知识
1.如图，若图中直线I "、12、13的倾斜角和斜率分别是 ：-i/'2/'3和匕、k 2、k 3，则（
）
4. 直线过点（2,2 ）和点（-1,-1），直线倾斜角:-
y 2 - ％ X 2 -X"
(A)
：:- 2 ：： ： 3,k 3 ：： k 1 < k 2 （B ） :? 1 ：：： ? 2 :：：〉3, k 2 ：：： k^ ： k 3 (C) -^1 -J 3 " -J 2, k 3 ：：' k 2 ： k 1
2.若 A ( 3, -2 ), A . 1
B （-9，4），C
（X ， 0）三点共线，贝U x 的值为（ C. 0 D. 7 3. 若直线的斜率为 ，则倾斜角「
） （D ） 〉1 ：：： >3 八 2,k
1
6. 已知A(x, -2) , B(3, 0),且k AB，求x 的值。
2
7. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。
(1)C(18,8), D(4,_4) (2) P(0,0),Q(-1, .一3) (3) A(1,2), B(0,2)
(六)反思小结，概括提炼(同学们这节课有何收获？)
1、明确了确定直线位置的几何要素。
2、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率)，知道了求斜率的
两种方法(定义法、坐标法) k = tan〉二y i
X2 _ X1
3、经历了代数方法刻画斜率的过程，感受了数形结合与分类讨论
的数学思想
(七)作业布置
(1)必做题：课本89页习题3.1A组1、2、3、4
(2)选做题：课本90页习题3.1B组5、6