八大分布期望和方差
当讨论统计学里的发现时，最基本也是最重要的就是八大分布，这一系列重要
分布包括正态分布、指数分布、对数正态分布、伽马分布、贝塔分布、卡方分布、正交分布以及负指数分布。它们的作用是描述统计数据的变化，因此在数学概念、统计推断、机器学习和真实应用中非常重要。
其中，期望是一类随机变量的期望中心，它是描述一组变量期望值的一维度量。一个分布的期望通常可以定义为特定条件下事件发生的概率乘以该事件的可能取值数目的加和，也就是均值。
另一方面，方差是一种二维描述，它表示分布中变量值距离各自的期望大小的
一种度量。方差定义为分布中变量值与其期望之差的平方值的期望和。方差可以帮助我们识别变量间的相关性，也可以有助于正确估计参数。
介绍了期望和方差的定义，接下来介绍八大分布的期望和方差。
1.正态分布：正态分布的期望是变量的均值，而方差则是一个常数的平方。
2.指数分布：指数分布的期望是变量的平均值，方差是变量的平均值的平方。
3.对数正态分布：对数正态分布的期望是变量的自由参数个数，方差是变量的
自由参数个数的平方。
4.伽马分布：伽马分布的期望是变量的期望值，方差是变量的期望值的平方。
5.贝塔分布：贝塔分布的期望是变量的平均值，方差是变量的平均值的平方。
6.卡方分布：卡方分布的期望是变量的特征参数的平方，方差是变量的特征参
数的二次方。
7.正交分布：正交分布的期望是变量的均值，方差则是一个常数的平方。
8.负指数分布：负指数分布的期望是变量的均值，方差是变量均值的平方。
以上就是八大分布期望和方差的大致情况了。从上述讨论可以看出，期望与方
差是遵循某种特定公式的，而这两个概念也是人们在分布情况的基本分析上的重要指标。期望和方差的定量分析对正确估计概率和识别变量间的相关性非常重要，并且在实际应用中也发挥了重要作用。
概率分布的期望与方差 概率分布是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量可能取得各个值的概率。在概率分布中，期望和方差是两个关键的统计量，它们能够量化随机变量的中心位置和离散程度。本文将介绍期望和方差的概念及计算方法，并通过实例进行解释。 期望 期望是概率分布的均值，用于衡量随机变量的平均值。对于离散随机变量而言，期望的计算方法如下： 假设X是一个离散随机变量，它的取值范围是{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分别是{p1, p2, ..., pn}。那么X的期望（记为E[X]）可以通过如下公式计算： E[X] = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn 这个公式表示，将随机变量的每个取值乘以对应的概率，再将结果相加即可得到期望。举个例子来说，假设有一个骰子，它的每个面的点数是{1, 2, 3, 4, 5, 6}，出现的概率都是1/6。那么这个骰子的期望就是： E[骰子] = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6) = 3.5 因此，这个骰子的期望值为3.5，表示在长期观察中，每次掷骰子所得点数的平均值为3.5。
方差 方差是概率分布的离散程度，用于衡量随机变量的扩散程度。对于离散随机变量而言，方差的计算方法如下： 假设X是一个离散随机变量，它的取值范围是{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分别是{p1, p2, ..., pn}。那么X的方差（记为Var[X]或σ^2）可以通过如下公式计算： Var[X] = (x1 - E[X])^2 * p1 + (x2 - E[X])^2 * p2 + ... + (xn - E[X])^2 * pn 其中E[X]表示随机变量X的期望。这个公式表示，将随机变量的每个取值与期望的差的平方乘以对应的概率，再将结果相加即可得到方差。方差的平方根又称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。 继续以前面的骰子为例，这个骰子的期望值为3.5。我们可以计算出该骰子的方差如下： Var[骰子] = (1 - 3.5)^2 * (1/6) + (2 - 3.5)^2 * (1/6) + (3 - 3.5)^2 * (1/6) + (4 - 3.5)^2 * (1/6) + (5 - 3.5)^2 * (1/6) + (6 - 3.5)^2 * (1/6) ≈ 2.92因此，这个骰子的方差约为2.92，表示掷骰子所得点数的离散程度较高。 结语 期望和方差是概率分布中重要的统计量，能够量化随机变量的中心位置和离散程度。通过计算期望和方差，我们可以更好地理解概率分布的特征，并对随机事件进行分析和判断。在实际应用中，期望和方
常见分布的期望和方差Last revision on 21 December 2020
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ =? ? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2 = ++22的概率密度为：22226 (,)(,)(4)(9) f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分 布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。 7、两个独立随机变量之和的概率密度： ()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞ -∞ -∞ =-=-? ? 其中Z ＝X ＋Y
常见分布的期望和方差
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
概率与统计中的期望与方差 在概率与统计中，期望与方差是两个重要的概念。它们用来描述和 度量随机变量的特征及其在概率分布中的分布情况。本文将详细介绍 期望与方差的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。 一、期望的定义与计算 期望是随机变量取值与其概率的加权平均。对于离散型随机变量， 其期望的计算公式为： E(X) = Σ x ⋅ P(X=x) 其中，X为随机变量，x为X的取值，P(X=x)为X取值为x的概率。 例如，假设某班级有5个学生，分别考了90、80、70、60和50分，他们的概率分别为1/5，1/5，1/5，1/5，1/5。那么他们的数学成绩的期 望值为： E(X) = (90⋅1/5)+(80⋅1/5)+(70⋅1/5)+(60⋅1/5)+(50⋅1/5) = 70 对于连续型随机变量，期望的计算需要使用积分。设随机变量X的 概率密度函数为f(x)，则期望的计算公式为： E(X) = ∫xf(x)dx 二、方差的定义与计算 方差是随机变量与期望之差的平方与其概率的加权平均。对于离散 型随机变量，方差的计算公式为：
Var(X) = Σ (x-E(X))^2 ⋅ P(X=x) 以前述班级的数学成绩为例，计算方差的公式为： Var(X) = (90-70)^2⋅1/5+(80-70)^2⋅1/5+(70-70)^2⋅1/5+(60- 70)^2⋅1/5+(50-70)^2⋅1/5 = 200 对于连续型随机变量，方差的计算公式为： Var(X) = ∫(x-E(X))^2⋅f(x)dx 三、期望与方差的应用 1. 在概率分布的分析中，期望与方差是两个重要的指标，可以反映变量的集中程度和分散程度。在进行随机变量的比较和评价时，可以通过比较期望和方差来判断其优劣。 2. 在统计学中，期望和方差是重要的参数估计工具。通过对样本数据进行统计分析，可以估计总体的期望和方差，从而对总体进行推断和预测。 3. 在实际问题中，期望和方差有着广泛的应用。例如，在金融领域中，可以利用期望和方差来度量投资产品的风险和回报；在工程领域中，可以通过期望和方差来评估产品的质量和可靠性。 总结：期望和方差是概率与统计中重要的概念，用于度量和描述随机变量的特征。期望表示随机变量取值的平均水平，而方差表示随机变量取值偏离期望的程度。通过期望和方差的计算和分析，可以帮助我们更好地理解和应用概率与统计理论。
知识归纳 1．随机变量 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 随试验结果的不同而变化，那么变量X 叫做随机变量． (2)如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型 随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量X 所有可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表 X 的分布列也可简记为： P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n . (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 （3）E (X )＝x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平 （4）D (X )＝∑i ＝1n [x i －E (X )]2p i ＝(x 1-E ξ) 2 p 1+(x 2-E ξ)2p 2+…+(x n -E ξ)2p n 为随机变量X 的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小． 方差D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，记作σ(X )． 高三第一轮复习 离散型随机变量及其概率分布
（5）设a，b 是常数，随机变量X，Y 满足Y＝aX＋b， 则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X) 3．二点分布 如果随机变量X的分布列为 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p) 4．超几何分布 设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时 的概率P(X＝m)＝ k n k M N M n N C C C - - (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)， 称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布． 5．条件概率 设A、B为两个事件，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件 概率，公式：P(B|A)＝P(A∩B) P(A) . 任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1 如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 6．事件的独立性 如果事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，则P(B|A)＝P(B)，这时称事件A与B相互独立． 如果事件A与B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B)， 对于n个事件A1、A2、…、A n，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件是否发生的影响，则称这n个事件A1、A2、…、A n相互独立． 如果事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都相互独立7．独立重复试验与二项分布
期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞ =1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a ， 如果i i i p a ∑∞ =1 =∞，则数学期望不存在。[]1 定义2期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…， n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的
概率分布（数学期望，平均值，方差，标准差）2018 展开全文 我们已经了解概率的基础，概率中通常将试验的结果称为随机变量。随机变量将每一个可能出现的试验结果赋予了一个数值，包含离散型随机变量和连续型随机变量。 掷硬币就是一个典型的离散型随机变量，离散随机变量可以取无限个但可数的数值。而连续变量相反，它在某一个区间内能取任意的数值。时间就是一个典型的连续变量，1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。 既然随机变量可以取不同的值，统计学家就用概率分布描述随机变量取不同值的概率。相对应的，有离散型概率分布和连续型概率分布。 对于离散型随机变量x，定义一个概率函数叫f(x)，它给出了随机变量取每一个值的概率。 拿出一个骰子，掷到6的概率是f(6) = 1/6，掷到1和6的概率则是f(1)+f(6) = 1/3。 数学期望（均值） 理解一： 在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。其公式如下： xk ：表示观察到随机变量X的样本的值。 pk : 表示xk发生的概率。 数学期望反映的是平均水平。通过它，我们能够了解一个群体的平均水平（比如说，一个班平均成绩８０）。但另外一个方面，它所包含的信息也是十分有限的，首先是个体信息被压缩了，其次如果单纯看期望的话，是看不出样本的数量。（平均成绩为８０，在１人班
和１００人班的含义是不一样的） 通过这个问题想说明，在刻画群体特征的时候，多个数字特征配合才能达到效果。（上面的例子：可以是期望 + 数量） 理解二： 在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和 严格的定义如下： 2.数学期望的含义 这个很重要，我们一定要明白概念的含义，联系到实际的应用场景中表达的真正意义，数学期望的存在是为了表达什么？ 答：反映随机变量平均取值的大小 3.数学期望（均值）和算术平均值（平均数）的关系（期望和平均数的关系） 谈谈我对于这两个概念的理解 （1）平均数是根据实际结果统计得到的随机变量样本计算出来的算术平均值，和实验本身有关，而数学期望是完全由随机变量的概率分布所确定的，和实验本身无关。以摇骰子为例，假设我们摇4次骰子，摇出的结果依次为5,5,6,4。设摇出的结果为随机变量X,，则X在这次实验中的平均数(5+5+6+4)/4= 5.而X的期望呢？和这次的实验本身无关，只和X的概率分布有关。X的概率分布如下： 则 E(X) = 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6 = （1+2+3+4+5+6）*1/6 = 3.5 实验的多少是可以改变平均数的，而在你的分布不变的情况下，期望是不变的。 （2）我们可以从概率和统计的角度给出理解 先给出结论，摘自知乎： 如果我们能进行无穷次随机实验并计算出其样本的平均数的话，那么这个平均数其实就是期望。当然实际上根本不可能进行无穷次实验，但是实验样本的平均数会随着实验样本的增多越来越接近期望，
方差与期望 期望公式： 方差公式： 方差=E(x²)-E(x)²，E(X)是数学期望。 在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。 概率论简介： 期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的数。 期望值可能与每一个结果都不相等。换句话说，期望值是该变量输出值的加权平均。期望值并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。 赌博是期望值的一种常见应用。例如，美国的轮盘中常用的轮盘上有38个数
字，每一个数字被选中的概率都是相等的。 赌注一般押在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以获得相当于赌注35倍的奖金（原注不包含在内），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。 考虑到38种所有的可能结果，然后这里我们的设定的期望目标是“赢钱”，则因此，讨论赢或输两种预想状态的话，以1美元赌注押一个数字上，则获利的期望值为：赢的“概率38分之1，能获得35元”，加上“输1元的情况3 7种”，结果约等于-0。 0526美元。也就是说，平均起来每赌1美元就会输掉0。0526美元，即美式轮盘以1美元作赌注的期望值为负0。0526美元 扩展资料： 在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。 统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大） 若X的取值比较集中，则方差D（X）较小，若X的取值比较分散，则方差D （X）较大。因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。
随机变量的数字特征 一、数学期望E（x)的性质： 性质一：常数C，E（C)=C; 性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)； 性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)； 性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ） 二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]² 性质一：C为常数，则D(C)=0； 性质二：X为随机变量，C为常数，则 D(CX)=C²D(X) D(X±C)=D(X) 性质三：X，Y为相互独立随机变量 Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y) 当X，Y不相互独立时： D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y); 关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？ 证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得 COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]} =E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y) =E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]
=D(X)-D(Y) 三、常用函数期望与方差： ⑴（0-1）分布： ①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导一维随机变量期望与方差 二维随机变量期望与方差 协方差 1.一维随机变量期望与方差： 公式： 离散型： E（X）=∑i=1->nXiPi Y=g（x） E（Y）=∑i=1->ng（x）Pi 连续型： E（X）=∫-∞->+∞xf（x）dx Y=g（x） E（Y）=∫-∞->+∞g（x）f（x）dx 方差：D（x）=E（x2）-E2（x） 标准差：根号下的方差 常用分布的数学期望和方差： 0~1分布期望p 方差p（1-p） 二项分布B（n，p）期望np，方差np（1-p） 泊松分布π（λ）期望λ方差λ
几何分布期望1/p ,方差（1-p）/p2 正态分布期望μ，方差σ2 均匀分布，期望a+b/2,方差（b-a）2/12 指数分布E（λ）期望1/λ,方差1/λ2 卡方分布，x2（n）期望n 方差2n 期望E（x）的性质： E（c）=c E（ax+c）=aE（x）+c E（x+-Y）=E（X）+-E（Y） X和Y相互独立： E（XY）=E（X）E（Y） 方差D（X）的性质： D（c）=0 D（aX+b）=a2D（x） D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）X和Y相互独立： D（X+-Y）=D（X）+D（Y） 2.二维随机变量的期望与方差： 3.协方差：Cov（X，Y）： D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）
协方差： Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y） 相关系数： ρxY=Cov（X，Y）/X的标准差*Y的标准差ρxY=0为X与Y不相关 记住：独立一定不相关，不相关不一定独立。协方差的性质： Cov（X，Y）=Cov（Y，X） Cov（X，C）=0 CoV（X，X）=D（X） Cov（ax+b，Y）=aCov（X，Y）
期望与方差的概念及计算 概率统计是应用最广泛的数学分支之一。其中，期望和方差是两个极为重要的统计量。他们体现了随机变量的特征和性质，为我们理解数据的特征提供了帮助。本文将着重介绍期望和方差的概念及其计算方法。 一、期望的概念及计算 期望，又称数学期望，是一个随机变量的平均值，其表现了样本空间中各种结果的权重平均值。我们可以根据随机变量的取值和概率来求期望。对于离散型随机变量，期望的计算公式为： E(X)=∑xiPi 其中，xi是随机变量取得的各个值，Pi是相应的概率。将每个xi乘以其对应的Pi，再求和，就可以得到该离散型随机变量的期望。 对于连续型随机变量，期望的计算公式为：
E(X)= ∫xf(X)dx 其中，f(X)是随机变量的概率密度函数。同样，我们需要将随 机变量的每个取值乘以该取值的密度函数值，再在整个样本空间 上对其进行积分，即可得到该连续型随机变量的期望。 二、方差的概念及计算 方差是随机变量与其期望之间偏离程度的一个度量。方差越大，说明随机变量分布的波动范围越大。方差的公式为： Var(X)= E[(X- μ)2] = E(X2)- [E(X)]2 其中，μ是随机变量的期望值。这个公式看起来比较复杂，我 们可以简单地理解为：计算随机变量的每个取值与期望的距离的 平方，再将这些平方值加起来，再除以总共的取值个数，就得到 了方差的值。那么，如何计算每个取值与期望的距离呢？
我们可以借助离差的概念来处理这个问题。离差，指的是随机变量每个取值与其期望值的差值。利用离差的概念，我们可以将方差公式写为如下形式： Var(X)= ∑ (xi-μ)2Pi 同样，对于连续型随机变量，其方差的计算公式为： Var(X)= ∫ (x-μ)2f(X)dx 三、期望和方差的性质 期望和方差是随机变量与概率密度函数之间的一个重要关系。它们有以下几个基本性质： 1. 常数的期望等于这个常数。 2. 线性组合的期望等于各个随机变量的期望的线性组合。 3. 期望的加法分配律。
离散型随机变量的分布列、数学期望、方差 一． 离散型随机变量：若随机变量可能的取值可以按一定次序一一列出，这样的随机变 量叫做离散型随机变量；若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。 二． 离散型随机变量的分布列、数学期望、方差 1． 设离散型随机变量ξ可能的取值为12,,,, i x x x ，ξ取每一个值()1,2,i x i =的概率为 i p ，列表如下： 叫做随机变量ξ的概率分布，简称分布列。 有如下性质： （1）()011,2, i p i ≤≤= （2）121i p p p ++++= 2．数学期望：1122i i E x p x p x p ξ=++++叫做离散型随机变量ξ的数学期望，简称期望。反映离散型随机变量ξ取值的平均水平。 若a b ηξ=+，则E aE b ηξ=+。 3．方差：()()()2 2 2 1122i i D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-+ +-+ 叫做离散型随机变量ξ的方 叫做离散型随机变量ξ的标准差，记作σξ 若a b ηξ=+，则2D a D ηξ=。 方差反映随机变量ξ的取值与平均值的离散情况。即稳定性。 三．几个典型的分布 1．二项分布：n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数(),B n p ξ，p 是一次试验A 发 生的概率，设1q p =-。则 ()()()();,0,1, ,k k n k n n P k b k n p P k C p q k n ξ-===== 2、几何分布：独立重复试验中事件A 第一次发生时的试验次数ξ服从几何分布，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。 ()()11,2, k P k q p k ξ-===
期望-方差公式
期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1 <∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a ， 如果i i i p a ∑∞ =1 =∞，则数学期望不存在。[]1 定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的