反比例函数中k 的意义 反比例函数x
k y =(k≠0)的比例系数k 的意义，除同学们熟悉的“当k >0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 的增大而减小；当k <0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大”外，还有一个非常重要的意义，即过反比例函数x
k y =(k≠0)的图像上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴所围成矩形的面积都等于k ；过反比例函数x
k y =(k≠0)图像上任意一点作x 轴(或y 轴)的垂线，且连结坐标原点，与坐标轴所围成三角形的面积都等于2k
.
探究1：若P (x ，y )为反比例函数x
k y =(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P 作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，求矩形PMON 的面积.
分析：S 矩形PMON =xy x y PN PM =?=? ∵x
k y =, ∴ xy=k, ∴ S =k . 探究2：若Q (x ，y )为反比例函数x k y =
(k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q 作QA ⊥x 轴于A (或作QB ⊥y 轴于B )，连结QO ，则所得三角形的面积为：S △QOA =
2k （或S △QOB =2k
）.（本题由同学们自己试着说明理由）
说明：当k >0时，所围成的矩形的面积为k ，三角形的面积为
2k ； 当k <0时，所围成的矩形的面积为-k ，三角形的面积为2k -
.以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.
应用举例：
例1 如图3，在反比例函数x
y 6-=（x ＜0）的图像上任取一点P ，过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，那么四边形PMON 的面积为 ．
解：S 四边形PMON =66=-=k .
例 2 反比例函数x
k y =的图像如图4所示，点M 是该函数图像上一点，MN ⊥x 轴，垂足为N.如果S △MON =2，求这个反比例函数的解析式．
解：∵S △MON =2k
=2, ∴k =4, ∴k=±4． 又∵双曲线在第二、第四象限内，∴k ＜0，
∴k=-4， ∴所求反比例函数的解析式为x
y 4-=．
专题四反比例函数中“K”与面积一:问题背景 反比例函数y＝k x 中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过 反比例函数y＝k x 图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如 图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数|k|,由此基本图形带来的衍生图形也很多，他们与K都有固定的结论。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用这些基本图形，会给解题带来很多方便。 二：基本图形 S四边形PEOF =|K| S△ABO=|K|
S△ABM=|K| S△ABC=2|K| S四边形ABCD=2|K| S△AOC=S四边形ACEF
2、如图A,B是函数y=的图象上关于O原点对称的任意两点,AC∥Y 轴,BC∥X轴,△ABC的面积记为S,则S=_________ 3、如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向X轴、Y 轴作垂线段，若S 阴影=1，则S 1 +S 2 =________
4、如图，点A是反比例函数y＝k x 图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为 点B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值 5、如图,点A在函数y=的图象上,点B在函数y＝k x (x﹥0)的图象上,连 接AB,AB垂直x轴于点M,且AM︰MB=1︰2,则 6、如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴， C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则 S ABCD
7、双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是 _____。 8、(陕西2011中考)如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行 线，分别与反比例函数y=和y=的图象交于点A和点B，若点C 是x轴上任意一点，连接AC、BC，则S△ABC=____ 。 9、如图，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=的图象上，点B在y轴上，若将△OAB沿x轴正方向平移，当点B落在反比例函数的图象上时，点A 的坐标为_____。。
反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 一般地，如图 1，过双曲线上任一点 A 作 x 轴、 y 轴的垂线 AM 、AN ，，所得矩形 AMON 的 面 积 为 ： S=AM ×AN=|x| ×|y|=|xy|. 又 ∵y= k ， x Y A ∴xy=k. N ∴ S 矩形 AMON =|k|. ∴ S AOM 1 | k | . O M X 2 这就是说，过双曲线上任一点，做 X 轴、 Y 轴的垂线，所 图 1 得矩形的面积为 |k|, 这是系数 k 的几何意义，明确了 k 的几何 意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题： 1、求函数的解析式 例 1 如图 2 所示，在平面直角坐标系中， 一次函数 y kx 1的图象与反比例函数 y 9 x 的图象在第一象限相交于点 A ．过点 A 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点 B 、 C ．如果 四边形 OBAC 是正方形，求一次函数的关系式． 解析 四边形 OBAC 是正方形及反比例函数 9 的图象 C A y x 在第一象限相交于点 A ， 则正方形 OBAC 的面积为： S ＝ xy ＝ 9，所以正方形的边长为 x O B 3，即点 A 的坐标（ 3， 3，）。 图 2 2 将点 A （3， 3，）代入直线得 y= x+1。 3 2.特殊点组成图形的面积 例 2 如图 3，点 A 、 B 是双曲线 y 3 上的点，分别经过 x 垂线段，若 则 ． S 阴影 1， S 1 S 2 解析 由 A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等， ∴ S 1+S 阴影 ＝ S 2+S 阴影 ＝ xy ＝ 3. ∵ S 阴影 1， A 、 B 两点向 x 轴、 y 轴作 y A S 1 B S 2 O x 图 3 ∴ S 1 S 2 2＋ 2＝ 4。 图 4
专题训练(十) 反比例函数中k 的几何意义 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 1．如图，在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y ＝3 x (x ＞0)上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点B ，点A 运动过程中△AOB 的面积将会( ) A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．先增大后减小 D ．不变 2．如图，过反比例函数y ＝2 x (x ＞0)图象上任意两点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，连接OA ，OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得( ) A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1＝S 2 — D ．S 1、S 2的大小关系不能确定 3．(鄂州中考)点A 为双曲线y ＝k x (k ≠0)上一点，B 为x 轴上一点，且△AOB 为等边三角形，△AOB 的边长为2，则k 的值为( ) A ．2 3 B ．±23 D ．±3 4．设P 是函数y ＝2 x 在第一象限的图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点为点P ′，过点P 作PA 平行于y 轴，过点P ′作P ′A 平行于x 轴，PA 与P ′A 交于A 点，则△PAP ′的面积( ) A ．随P 点的变化而变化 B ．等于1 C ．等于2 D ．等于4 % 5．如图，点A 是反比例函数y ＝k x 图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC.若△ABC 的面积为3，则k 的值是( ) A ．3 B ．－3
C ．6 D ．－6 6．(黔西南中考)如图，点A 是反比例函数y ＝k x 图象上的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足点分别为B 、C ，矩形ABOC 的面积为4，则k ＝________． 7．(陕西中考)如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x 轴，y 轴的垂线与反比例函数y ＝4 x 的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为________． 8．~ 9． (临沂中考)如图，反比例函数y ＝4 x 的图象经过直角△OAB 的顶点A ，D 为斜边OA 的中点，则过点D 的反比例函数 的表达式为________． 9．如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1，2)，点B 与点D 在反比例函数y ＝6 x (x ＞0)的图象上，则点C 的坐标为________． 10．(铁岭中考)如图，点P 是正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝k x 在第一象限内的交点，PA ⊥OP 交x 轴于点A ，△POA 的面积为2，则k 的值是________．
2016年12月07日反比例函数K的几何意义 一．选择题（共30小题） 1．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在 第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（） A．36 B．12 C．6 D．3 2．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S =2，则k的值为（） △AOB A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为（） A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6 4．如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 5．如图，反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面 积为（） A．2 B．4 C．5 D．8 6．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上， 当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 7．如图，P，Q分别是双曲线y=在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分 别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC 的面积为S3，则有（） A．S1=S2≠S3B．S1=S3≠S2C．S2=S3≠S1D．S1=S2=S3
反比例函数中与K 有关的面积问题 （经典题组训练 学案+林建华微课视频） 【知识梳理】 1.如图（1），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线段，垂足分别是点A 、B ，则矩形OAPB 的面积是. 2.如图（2），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点A ，则△APO 的面积是. 3.如图（3），这些矩形的面积相等吗？ 4.如图（4），这些三角形的面积相等吗？ 【熟练运用】 1.如图（5），点P 在反比例函数x y 3-= 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，则矩形PMON 的面积为. 2.如图（6），点P 在反比例函数x y 2= 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，则△DPO 的面积为. 3.如图（7），双曲线x y 2-=和x y 1=在x 轴上方的图像，作一平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，则△AOB 的面积为.
【拓展提升】 1.如图（8），过反比例函数x y 2= （x ＞0）图像上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得（ ） A. S 1＞S 2 B. S 1＝S 2 C. S 1＜S 2 D. S 1与S 2 的大小不确定 2.如图（9），A 、B 是函数x y 1= 图像上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC 垂直x 轴于点C ，BD 垂直x 轴于点D ，如果四边形ADBC 的面积分别为S ，则（ ） A. S ＝1 B. 1＜S ＜2 C. S ＞2 D. S ＝2 【知识归纳】
反比例函数k 的几何意义专项练习 1、如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B （20 ,53 - ），D 是AB 边上的一点.将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式 是 . 2、如图，点P 在反比例函数的图象上，过P 点作PA ⊥x 轴于A 点，作PB ⊥y 轴于B 点，矩形OAPB 的面积为9，则该反比例函数的解析式为 . 3、如图, 如果函数y=－x 与y=x 4 - 的图像交于A 、B 两点, 过点A 作AC 垂直于y 轴, 垂足为点C, 则△BOC 的面积为___________. 4、如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数()1 0y x x =>的图象上，则点E 的坐标是( ) 5、反比例函数x k y = 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为（ ） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4 6、如图，A 、B 是反比例函数y ＝x 2 的图象上的两点．AC 、BD 都垂直于x 轴，垂足分别为C 、D ．AB 的延长线交x 轴于点E ．若C 、D 的坐标分别为(1，0)、(4，0)，则ΔBDE 的面积与ΔACE 的面
积的比值是( )． A ．2 1 B ．4 1 Ｃ．8 1 D ．16 1 7、如图，A 、B 是函数2 y x = 的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > 8、如图，直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 9、如图，双曲线)0(＞k x k y =经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为 A ．x y 1= B ．x y 2 = C ． x y 3= D ．x y 6 = 10、如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是 双曲线3 y x = （0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， OAB △的面积将会 A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小 斜边OB 11、如图，已知双曲线)0k (x k y ＞=经过直角三角形OAB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________． 13、如图，点A 、B 是双曲线3 y x = 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂O B C A x y O A B
反比例函数K的几何意义及应用 一、指导思想与理论依据 义务教育数学（7-9年级）教学指导意见（2012年版）提到：数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下的生动活泼地、主动地、富有个性地学习；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展。基于此认识本课设计围绕反比例函数中K的几何意义解决简单的图形面积问题为中心，通过情景引入─小组探究─典例分析─反思整合─自我提高等一系列活动，采用以“递进探究法”为主，类比法、变式教学法、分组合作交流法、多媒体辅助教学等多种方法相结合，充分关注学生的个性差异，因材施教，由易到难突出重点。引导学生通过观察、思考、探索、交流，获得解决反比例函数与图形面积问题的技能，意在帮助学生理顺知识体系，归纳解题要点及方法。教学中注重师生双边活动、小组交流突破难点，激发不同层次的学生积极参与数学思维活动，而学生更可借助互联网上资源进行二次学习与拓展，充分发挥学生的主体作用。及时评价学生的创新思维，让学生建立起自信心，逐次营造“会学”、“乐学”的氛围来达成本课教学目标。 二、教学背景分析 北师大版九年级上册第五章反比例函数是在学完平面直角坐标系和一次函数的基础上再加深的函数知识学习，教材只安排6个课时掌握其概念、图象和性质，以及用反比例函数分析和解决实际问题等抽象的新知。大部分学生实在有点吃不消，而反比例函数的图象与几何图形往往结合紧密，如何识别图象中信息来解决数学问题对初学反比例函数的九年级学生来说是一大难点，也是近几年各省市中考数学试题中的热点方向。而这类以反比例函数为背景的图形面积题型在教材中没有系统呈现，但在教辅资料、考题中常见，学生在解此类题型由于缺乏方法而颇感吃力，但它的掌握又直接影响到后续的二次函数的学习及中学会考。我结合平时教学并参考了网上资源而设计了本节课，作为此章知识学习的拓展和补充， 三、教学目标设计 知识与能力目标： 1、了解反比例函数式中的K的几何意义。 2、理解反比例函数与图形面积的内在联系。 3、掌握运用数形结合法双向解决反比例函数与图形的面积数学问题。 过程与方法目标： 1、通过探索反比例函数与图形面积的内在联系，理解反比例函数表达式的中K的几何意义。 2、在解决问题的过程中，体会数形结合思想在数学应用中的重要地位。 3、经历探索反比例函数与图形面积的内在联系，体会函数的思想与建模的思想在数学问题中的运用。 情感态度与价值观： 1、在小组交流学习活动中学会与人合作获得成功的体验，培养学生的合作意识和乐于探究的良好品质。 2、在探究活动中培养学生学会观察、分析、归纳的能力，培养学生数学类比和数学建模思想。感悟数形结合思想方法。 3、在问题变式中感受函数图象的简洁美，激发学生学数学的兴趣。欣赏和感悟，体验数学的价值。 四、教学重点、难点 教学重点：探索反比例函数式中的K与图形的面积联系。 教学难点：分析图象中信息来确定K与图形面积的关系。 五、教学方法：递进探究法类比法，合作交流法，变式教学法，多媒体辅助教学法
专题十反比例函数中k的几何意义及应用研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数 k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x 轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积 S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。 所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成 的矩形面积为常数。从而有。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。现举例说明。 应用一：比较面积大小 例1、如图2，在函数（x>0）的图象上有三点A、B、C。过这三点分别向x轴、y轴作垂线。过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为，则（）。 A、 B、 C、 D、
解：根据反比例函数中k的几何意义可知。所以 。故选D。 应用二：求面积 例2、若函数与函数的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（）。 A、1 B、2 C、k D、 分析：如图3，若先求出A、C两点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂烦琐。若能利用反比例函数中k的几何意义来解，则快刀斩乱麻。 解：由反比例函数图象关于原点成中心对称知O为AC中点。根据反比例函 数中k的几何意义，有：。 又△ABO与△BOC是等底等高的三角形， ∴。故选A。 应用三：确定解析式 例3、如图4，反比例函数与一次函数的图象相交于A点，过A点作AB⊥x轴于点B。已知，直线与x轴相交于点C。求反比例函数与一次函数的解析式。
解：由反比例函数中k的几何意义知，故。又反比例函数图象的一支在第二象限，所以。从而可知，两个函数的解析式分 别为和。
教学目标： （一）知识与技能 1．理解和掌握反比例函数 （k ≠0）中k 的几何意义 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题 （二）过程与方法 1.让学生自己尝试在 的图象上任取一点P(x 、y)，过P 点分别向X 轴、Y 轴作垂 线，从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形成的矩 形与三角形的面积与k 的关系。 2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。 （三）情感态度与价值观 培养学生自主探究，合作交流的精神。 学情分析： 知识基础：本节课学习前，学生已经具有了函数概念的知识积累，在上一节课的学习中，学生已经掌握了反比例函数的概念。 学习方法：学生已经积累的学习函数的方法有：画图象，观察图像归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变换趋势等。学生喜欢用探究式的学习方式，通过自己的分析来体验知识间的内在联系。 能力水平：处在这个年龄段的学生多数可以熟练的进行抽象逻辑思维，但其辩证逻辑思维的能力水平还较低。另外，学生参与活动的积极性高，但仍然缺乏合作交流等方面的能力。 教学重点、难点： 1．重点：理解并掌握反比例函数 （k ≠0）中k 的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题 2．难点：学会从图象上分析、解决问题 教学过程： （一）创设情境、导入新课 1、反比例函数的解析式是什么？如何确定比例系数K 的值？ 2、反比例函数的比例系数K 能决定什么？ 反比例函数的比例系数K 除了能确定图像位置和增减性外还能确定什么呢？ x y 6 =x k y x k y =
1.如图,点P 是反比例函数图象上的一点,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是. x y o M N p 3 -=∴k . 3||k |,|k S 矩形P m O n =∴=, ,四象限图像在二又Θ. 3 x y -=∴解析式为由题意得： 本节课我们来探究反比例函数的比例系数K 的几何意义。 （二）新课探究 活动1：议一议 如图，已知点P 是反比例函数 的图象上任 意一点，过P 点分别向X 轴、Y 轴作垂线， 垂足分别为M 、N ，那么四边形OMPN 的面积是多 少？△OMP 的面积是多少？ 1、学生讨论时出现的问题是OM 应如何表示，教师给予及时点拔，使问题得以解决。 2、学生板演解题过程，教师给予纠正。 师提问：如果解析式中的k=-3呢？所形成的矩形及三角形的面积又是多少？学生计算后 进上步归纳总结反比例函数 （k ≠0）中k 的几何意义。 师板书：反比例函数 （k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积 ，△OMP 的面积S= ∣xy ∣= ∣k ∣ 活动2：例题讲解 本例1设计的目的是让学生根据矩形的面积确定K 值，学会逆向思考问题。如果以解答题的形式出现，学生不会写格式，这时需要老师规范书写格式。在格式上注意两点地方： （1）设出反比例函数图像上的一点P （a,b ），利用点的横坐标的绝对值表示边OM ，点的纵坐标的绝对值表示边ON ，这样矩形的面积就可以用点P 横纵坐标乘积的绝对值来表示。 （2）设出反比例函数的解析式根据图像的位置确定好K 的正负方便之后的取舍，将点P （a,b ）代入所设的解析式建立K 与ab 的关系。 x y 6 =x k y =2 1 21x k y = k xy S ==
（经典题组训练 学案+林建华微课视频） 【知识梳理】 1.如图（1），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线段，垂足分别是点A 、B ，则矩形OAPB 的面积是 . 2.如图（2），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点A ，则△APO 的面积是 . 3.如图（3），这些矩形的面积相等吗？ 4.如图（4），这些三角形的面积相等吗？ 【熟练运用】 1.如图（5），点P 在反比例函数x y 3-= 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，则矩形PMON 的面积为 . 2.如图（6），点P 在反比例函数x y 2= 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，则△DPO 的面积为 . 3.如图（7），双曲线x y 2-=和x y 1=在x 轴上方的图像，作一平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，则△AOB 的面积为 . 【拓展提升】 1.如图（8），过反比例函数x y 2= （x ＞0）图像上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得（ ）
A. S 1＞S 2 B. S 1＝S 2 C. S 1＜S 2 D. S 1与S 2 的大小不确定 2.如图（9），A 、B 是函数x y 1 图像上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC 垂直x 轴于点C ，BD 垂直x 轴于点D ，如果四边形ADBC 的面积分别为S ，则（ ） A. S ＝1 B. 1＜S ＜2 C. S ＞2 D. S ＝2 【知识归纳】
反比例函数-反比例函数系数k的几何意义 一．选择题（共30小题） 1．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的 =9．则k的值是（） 延长线交x轴于点C，若S △AOC A．9 B．6 C．5 D．4 2．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x 轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（） A．B．C．D．12 3．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF 和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（） A．B．+1 C．D．2
4．如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO=90°，反比例函数y=经过另 =3，则k=（） 一条直角边AC的中点D，S △AOC A．2 B．4 C．6 D．3 5．如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=的图象经过点Q，若S△BPQ=S△OQC，则k的值为（） A．﹣12 B．12 C．16 D．18 6．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y= 图象上一点，AO的延长线交函数y=的图象交于点C，CB⊥x轴，若△ABC的面积等于6，则k的值是（） A．B．2 C．3 D．4 7．如图，平面直角坐标系中，点M是x轴负半轴上一定点，点P是函数y=﹣，（x＜0）上一动点，PN⊥y轴于点N，当点P的横坐标在逐渐增大时，四边形PMON
反比例函数比例系数k的几何意义 知识梳理： 如图所示，过双曲线)0 ( k ≠ =k x y上任一点) , (y x P作x轴、y轴的垂 线PM、PN,垂足为M、N，所得矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|. , y x k = ∴| |k S k xy= =，。 反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”S= 2 1 │k│ 反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”S=│k│ 这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的 面积为常数|k|。这是系数k几何意义,明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便。 典例精析 专题一K值与面积直接应用 例1：已知如图，A是反比例函数 k y x =的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（） A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6 变式练习1：如图，点P是反比例函数 6 y x =图象上的一点，则矩形PEOF的面积是．
变式练习2：如图：点A在双曲线 k y x =上，AB丄 x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k= ． 变式练习3：如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上:△ABP 的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________． 变式练习4：如图反比例函数4 y x =-的图象与直线 1 3 y x =-的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC △的面积为（） A．8 B．6 C．4 D．2 变式练习5：如图，A、B为双曲线 x 12 - y=上的点，AD⊥x轴于D,BC⊥y轴于点C，则四边形ABCD的面积为。 A B P x y O A O B C x y
反比例函数K 的几何意义专题 一、授课目的：让学生理解反比例函数的概念及几种等价形式；能够快速绘出给定反比例函数的图像；掌握反比例函数的性质（对称性，变化趋势等），并应用解决数学问题（如比较函数值大小，求对称点坐标等）。 重点掌握反比例函数)0(k ≠=k x y 中的比例系数k 的几何意义。 二、考点分析：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现， 常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察。所以，应该引起广大学生的重视。反比例函数中k 的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计算大题中进行考察。灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。（请学生思考，图中三角形OEF 的面积和系数k 的关系。） 2.反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数y=k x 的图象时,应注意自变量x 的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点. 例题1 (2003·三明)函数y=1 x -(x>0)的图象大致是( ) 例题2 (2003·宜昌)函数y=kx+1与函数y=k x 在同一坐标系中的大致图象是( ) y O x A y O x B y O x C y O x D y O x A y O x B y O x C y O x D
3.反比例函数y=k x 中k 的意义 注意:反比例函数y= k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=k x (k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │. 例题1：如图，P 、C 是函数x 4 y = （x>0）图像上的任意两点，过点P 作x 轴的垂线PA,垂足为A ，过点C 作x 轴的垂线CD,垂足为D ，连接OC 交PA 于点E ，设⊿POA 的面积为S1,则S1= ,梯形CEAD 的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1 S2, ⊿POE 的面积S3和梯形CEAD 的面积为S2的大小关系是S2 S3. 例题1图 例题2图 例题3图 例题2：如图所示，直线l 与双曲线)0(k y >= k x 交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S1，⊿BOD 的面积S2，⊿POE 的面积S3的大小： 。 例题3：如图所示，点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线)0x (k >= x y 上,且x2-x1=4,y1-y2=2;分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 。 4.常考题型精选 1．如果x x >，且0 反比例Ｋ的几何意义 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 反比例函数比例系数k的几何意义 知识梳理： 如图所示，过双曲线)0 ( k ≠ =k x y上任一点) , (y x P作x轴、y轴的垂 线PＭ、PN,垂足为M、Ｎ,所得矩形ＰMON的面积S=PM?ＰN=｜y|?｜ ｘ|. , y x k = ∴| |k S k xy= =，。 反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”Ｓ= 2 1 │k│ 反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”Ｓ=│k│ 这就说明,过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得到的矩形的面积为常数|k|。这是系数k几何意义，明确了k的几何意义,会给解题带来许多方便。 典例精析 专题一K值与面积直接应用 例１:已知如图，A是反比例函数 k y x =的图象上的一点,ＡＢ丄x轴于点B，且△AＢＯ的面积是3，则k的值是（) A、3 B、﹣3 ? C、6?Ｄ、﹣6 变式练习1:如图,点P是反比例函数 6 y x =图象上的一点,则矩形PＥOF的面积是. 变式练习2: 如图:点A在双曲线 k y x =上, ＡB丄x轴于Ｂ，且△AOB的面积Ｓ△AOB=2,则ｋ=. 变式练习3:如图，A是反比例函数图象上一点,过点A作AB⊥y轴于点B，点Ｐ在x轴上:△AB Ｐ 的面积为2，则这个反比例函数的解析式为__＿_＿__＿＿___＿＿. 变式练习4:如图反比例函数4 y x =-的图象与直线 1 3 y x =-的交点为Ａ，B，过点Ａ作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC △的面积为(） A．８?? B.6 C.４? D.２ 变式练习５：如图,A、B为双曲线 x 12 - y=上的点,AD⊥ｘ轴于D，BC⊥y轴于点C,则四边形AＢCD的面积为。 A B P x y O A O B C x y 《反比例函数中K 的几何意义专题复习》 老店一中 张晓彦 【教学目标】 一、知识与技能 1、掌握反比例函数k 的几何意义，灵活利用它解决数学问题。 二、过程与方法 1、让学生自己尝试在 的图象上任取一点A(x 、y)，过A 点分别向X 轴、Y 轴作垂线，从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形成的矩形与三角形的面积与k 的关系。 2、通过函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。 三、情感态度与价值观 通过对图像的研究，培养学生自主探究，合作交流的精神，训练学生语言组织能力和分析、解决问题的能力。 【教学重点、难点】 1、重点：理解并掌握反比例函数 （k ≠0）中k 的几何意义；并能利用它解决一些数学问题。 2、难点：从反比例函数图象上分析、解决问题。 【教学辅助工具】 多媒体 导学案 【教学过程】 一、“猜谜”导课 k y x =x k y = 师：今天我们做一件有意思的事儿，“猜谜语”。如果你有正确答案，请迅速举手示意：1、我家有一个总管K， 2、我有一双胞胎，它们从来没有交集； 3、它们的住宿全凭管家做主。（课件显示） 你猜出来了吗？ 生1：反比例函数 。。。。。 师：对，大家很聪明，那么我们今天就来研究一下这个总管K到底有管些什么？（课件显示本节课题：反比例函数中K的几何意义专题复习） 二、学习目标 1、掌握反比例函数k的几何意义，灵活利用它解决数学问题。 2、通过函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。 （学生默读学习目标，做到心中有数） 三、自主学习，检测自我 1、如图，反比例函数 2 y x =的图像上有一点() 1,2 A： AM x ⊥轴，AN y ⊥轴，则矩形AMON 2、如图，反比例函数 2 y x =-的图像上有一点A AM x ⊥轴，AN y ⊥轴，则矩形AMON的面积。 3、如图，反比例函数 k y x =的图像上有一点(, A a AM x ⊥轴，AN y ⊥轴，则矩形AMON x 反比例函数中k 的意义 反比例函数x k y =(k≠0)的比例系数k 的意义，除同学们熟悉的“当k >0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 的增大而减小；当k <0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大”外，还有一个非常重要的意义，即过反比例函数x k y =(k≠0)的图像上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴所围成矩形的面积都等于k ；过反比例函数x k y =(k≠0)图像上任意一点作x 轴(或y 轴)的垂线，且连结坐标原点，与坐标轴所围成三角形的面积都等于2k . 探究1：若P (x ，y )为反比例函数x k y =(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P 作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，求矩形PMON 的面积. 分析：S 矩形PMON =xy x y PN PM =?=? ∵x k y =, ∴ xy=k, ∴ S =k . 探究2：若Q (x ，y )为反比例函数x k y = (k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q 作QA ⊥x 轴于A (或作QB ⊥y 轴于B )，连结QO ，则所得三角形的面积为：S △QOA = 2k （或S △QOB =2k ）.（本题由同学们自己试着说明理由） 说明：当k >0时，所围成的矩形的面积为k ，三角形的面积为 2k ； 当k <0时，所围成的矩形的面积为-k ，三角形的面积为2k - .以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关. 应用举例： 例1 如图3，在反比例函数x y 6-=（x ＜0）的图像上任取一点P ，过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，那么四边形PMON 的面积为 ． 解：S 四边形PMON =66=-=k . 例 2 反比例函数x k y =的图像如图4所示，点M 是该函数图像上一点，MN ⊥x 轴，垂足为N.如果S △MON =2，求这个反比例函数的解析式． 解：∵S △MON =2k =2, ∴k =4, ∴k=±4． 又∵双曲线在第二、第四象限内，∴k ＜0， ∴k=-4， ∴所求反比例函数的解析式为x y 4-=． 反比例K的几何意义 反比例函数比例系数k 的几何意义 知识梳理： 如图所示，过双曲线)0(k ≠=k x y 上任一点 ),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂 足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积 S=PM ?PN=|y|?|x|. ,y x k =Θ ∴||k S k xy ==，。 反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”S=21 │k │ 反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”S=│k │ 这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。 典例精析 专题一 K 值与面积直接应用 例1：已知如图，A 是反比例函数k y x =的图象上 的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是 3，则k的值是（） A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6 变式练习1：如图，点P是反比例函数6 y =图象 x 上的一点，则矩形PEOF的面积是． 变式练习2：如图：点A在双曲线k =上，AB y x 丄x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k= ． 变式练习3：如图，A是反比例函数图象上一点， 过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上:△ABP 的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 ______________． 变式练习4：如图反比例函数4y x =-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线 与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC △的面积为（ ） B ．6 C ．4 D ．2 变式练习5：如图，A 、B 为双曲线x 12-y =上的点，AD ⊥x 轴于D,BC ⊥y 轴于点C ，则四边形ABCD 反比例函数中K的几何意义 一、选择题 1、如图，P（x，y）是反比例函数y=的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（） A、不变 B、增大 C、减小 D、无法确定 2、已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（） A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6 3、反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的 直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（） A、B、2 C、3 D、1 4、双曲线y=与y=在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的 直线分别交双曲线于A，B两点，连接OA，OB，则△AOB的面积为（） A、1 B、2 C、3 D、4 5、如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值（） A、等于2 B、等于 C、等于 D、无法确定 6、如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（） A、B、 C、D、 7、反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（） A、﹣1 B、 C、1 D、2 8、如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y=的图象过点A，则k=（） A、3 B、﹣ C、﹣3 D、﹣6 9、如图，双曲线y=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（） A、B、C、D、 《反比例函数中的“K ”值》教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 反比例函数中“K ”的探究 2.内容解析 例函数是继一次函数、二次函数又进一步学习的一基础函数，反比例函数的 概念的给出也只是描述性的说“形如)0(≠=k x k y 函数，总感觉有点不通透，而 反比例函数的图像、位置、性质也由K 值来决定，况且近些年中考反比例中已知K 值求面积，已知面积求K 的值或函数解析式的考查越趋频繁，故作此探究.希望能为中考学子带来一点浅益.基于以上初衷，我确定本课的教学重点是通过探 究、理解并掌握反比例函数形如)0(≠=k x k y 函数K 的几何意义. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）理解并掌握反比例函数中∣K ∣的几何意义； （2）能灵活运用∣K ∣的几何意义求图形面积； 2.目标解析 达成目标（1）的标志是：过双曲线上任意一点P(x,y)向x 、y 轴分别作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于K 达成目标（2）的标志是：能够独立完成目标检测当中相应的变式拓展训练. 三、教学问题诊断分析 在探究反比例函数的几何意义与K 的关系时会遇到这样的问题： （1）过反比例函数图像上点P(x,y)作x 、y 轴分别作垂线段后所围成的矩形 、y 轴分别作垂线段后所围成的矩形面积还会相等？，存怀疑心态. 基于以上分析，本节课的难点：对x 的理解以及学会从图形与图象上分析信息. 四、教学支持条件分析 根据本课的内容的特点，为了更加直观形象地突破重难点，借助多媒体课件，使实例背景更形象、更逼真，使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，为更好的实现教学目标服务. 五、教学设计 1.复习旧知 兴趣引入 问题1：我们学习了哪函数？ 师生活动：教师提出问题，了解学生对反比例函数知识的掌握情况. 教师追问1：反比例函数的解析式是什么？，比例系数是什么？ 师生活动：学生回答)0(≠=k x k y ；比例系数是K. 教师追问2：反比例函数的比例系数K 怎样确定或者说能确定什么？反比例K的几何意义
反比例函数中K的几何意义专题复教案
反比例函数中k的意义
反比例K的几何意义
反比例函数中K的几何意义
反比例函数中的“K”值
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