位移法
1.概述
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。随后，由于钢筋混凝土结构的出现，大量高次超静定刚架逐渐增多，如果仍用力法计算将十分麻烦。于是20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。
力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，一般取静定结构为基本结构进行计算。利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。位移法的基本思路和力法相反。位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以单跨超静定梁为计算的基本单元。先设法确定出单根杆件的杆端内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。
为了说明位移法的基本概念，我们来分析图1a所示的刚架位移。
（a）原结构（b）基本结构
图1
在荷载作用下，刚架产生的变形如途中虚线所示，设结点B 的转角为
1?，根据变形协调条件可知，汇交于结点B 的BA 杆、BC 杆两杆端也该有
同样的转角1?。为了简化计算，在受弯杆件中，忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响，假设弯曲变形很小，因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。根据这些假定，B 结点就只有角位移没有线位移。这样
1b B 我们将第一步和第二步的结果叠加，得到的基本结构的变形和原结构一致。我们注意到原结构在B 点并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，所以可得
11F ＋P F 1＝0 （1）
这里的11F 是基本结构在B 点发生转角1?时，产生在附加刚臂中的反力矩。用11k 来表示基本结构在B 点处发生单位转角1?＝1时，产生在附加刚臂中的反力矩，则式（1）可以写成
01111=+?P F k （2）
式(2)我们称为位移法基本方程。11k 、P F 1我们可以用上一章学习的力法确定，然后我们可求出1?，进而求出原结构的全部内力。
由以上的分析可知，用位移法求解结构内力的要点是：
（1）位移法的基本未知量是结构的独立结点位移，如图1a 中B 点的角位移。
（2）位移法的基本方程是平衡方程，式（2）是B 点的力矩平衡方程。 （3）位移法是以单根杆件作为计算基础。 所以在位移法中我们需要解决如下问题：
（1）用力法计算出单跨超静定梁在荷载等因素作用下及杆端发生各种位移时的内力。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。 （3）如何求出基本未知量。
2．等截面直杆的转角位移方程
现在我们开始解决上一节提出的第一个问题，用力法计算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移及荷载等因素作用下的内力。
图2所示为两端固定的等截面梁，A 端角位移为A θ，B 端角位移为B θ，AB 两端相对线位移为?。
位移法中的杆端位移和杆端内力的正负号规定如下： 杆端角位移A θ和B θ以顺时针方向为正；
杆件两端相对线位移?，以使杆件产生顺时针方向转动时为正； 杆端弯矩M AB 、M BA 以顺时针方向为正；
杆端剪力F Q AB 、F Q BA 以使作用截面产生顺时针方向转动时为正。 注意杆端弯矩正负号的规定与我们通常关于弯矩的正负号规则不一样。这里的规则是针对杆端弯矩，而不是针对杆中任一截面的弯矩。当取杆件（或结点）为隔离体时，杆端弯矩是隔离体上的外力，建立平衡方程时，本章弯
矩一律以顺时针转向为正。
图2
现在我们来求解图2所示梁的杆端弯矩。取简支梁为基本结构，以杆端弯矩为多余未知力，用力法经计算得
??
?
?
???
?
-+=?-+=l i i i M l i i i M B A BA
B A AB 642624θθθθ (3) 式中l
EI
i =
为杆件的线刚度。 杆端弯矩求出以后，我们就可以用平衡条件求得杆端剪力为：
?+--
==2Q Q 1266l
i
l i l i F F B A BA AB θθ (4) 若梁除了支座位移的作用，还受到了荷载和温度变化等因素的作用，则最后的弯矩为上述杆端位移引起的弯矩叠加上荷载及温度变化等因素引起的弯矩，可得
???
????+?-+=+?-
+=F BA
B A BA F AB
B A AB M l i i i M M l
i i i M 642624θθθθ (5)
???
????+?+--=+?+--=F QBA
B A BA Q F QAB
B A QAB F l i l i l i F F l
i l i l i F 2212661266θθθθ (6)
F AB
M 、F
BA M 为单跨超静定梁在荷载和温度变化等因素作用下的杆端弯矩，也称固端弯矩，它们也能用力法求出。F
QAB F 、F
QBA F 为单跨超静定梁在
荷载和温度变化等因素作用下的杆端剪力。式（5）是两端固定梁的杆端弯矩的一般计算公式，通常称为转角位移方程。注意，我们这里只研究等截面直杆。
对于一端固定，一端铰支的梁，如图3所示，其转角位移方程可由式（5）导出。当A 端发生转角位移A θ且B 端相对于A 端发生了正的相对线位移?时，由力法知识可以求得：
??
?
??
=?-=0
33BA A AB M l i i M θ (7) 用平衡条件求得杆端剪力为：?+-
==2Q Q 33l
i
l i F F A BA AB θ
(8)
图3
对于一端固定、另一端滑动支座的梁，图4所示。当A 端发生转角位移A θ，由力法知识可以求得：
?
??
-==A BA A AB i M i M θθ (9)
杆端剪力为：0Q Q ==BA AB F F
图4
为了以后计算方便，我们将单跨超静定梁在不同情况下的杆端弯矩和剪力值列在表1和表2。
当杆端内力仅由一个单位杆端位移（即位移等于1）引起，所得的杆端内力称为等截面直杆的刚度系数。刚度系数只与杆件的材料性质、截面尺寸及几何形状有关，因此也称为形常数。
当杆端内力仅由荷载作用引起时，所得的杆端力，与杆件所受荷载的形式有关，所以又称为载常数。
常用的载常数见下表。固端弯矩用F AB M 、F BA M 表示，固端剪力用F Q AB F 、F Q BA F 表示。
q
F P
3.位移法的基本概念
现在我们开始解决第一节提出的第二个问题，确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。
我们由上一节知道，如果结构上每根杆件两端的角位移和线位移都已知，那么全部杆件的内力就可以由转角位移方程求出。所以，在位移法中，基本未知量是独立的结点角位移和结点线位移。
3.1位移法的基本未知量
由于在同一刚结点处，各杆端的转角都相同，因此每个刚结点只有一个独立的角位移。对于固定支座，它的角位移等于零或者是已知的支座位移值。对于铰结点或铰支座处各杆端的角位移，由于铰结点的弯矩等于零，角位移不是独立的，因此不需要选作基本未知量，但注意组合结点也应看成是独立的结点角位移。例如，图5a所示的刚架，它有B、C两个独立的结点角位移。
（a）原结构(b) 铰结体系
(c)基本结构
图5
结点的线位移一般都包括水平方向线位移和竖直方向线位移。我们计算时通常忽略受弯杆件的轴向变形，假设弯曲变形是非常微小的，这样就可以认为受弯直杆两端之间的距离在变形后仍然保持不变。从几何组成分析的角度来看，每一根受弯杆件就相当于一个约束。图5a所示的刚架，三根柱子的长度保持不变，所以结点B、C、E都没有竖直方向的位移。又水平方向横梁的长度也保持不变，所以结点B、C、E具有相同的水平线位移，刚架只有一个独立的结点线位移。
独立的结点线位移的数目还可以用下述方法来确定：
把结构中所有的刚结点和固定支座都改为铰结，然后作该铰结体系的几何组成分析，使铰结体系成为几何不变体系所需增加的链杆数就等于原结构的独立结点线位移的数目。
例如图5a所示结构，铰化后的体系如图5b所示。经几何组成分析可知，此铰化体系为几何可变体系，需增加一根链杆才能使其成为几何不变体系，我们可以在E点增加一根水平链杆约束就可变为几何不变体系。因此，原结构中独立的结点线位移数目是1。
在确定位移法的基本未知量时，我们考虑了支座和结点以及杆件的连接情况，因此就满足了结构的几何条件即支承约束条件和变形连续条件。3.2位移法的基本结构
位移法求解超静定结构时，每一根杆件都可以看成是一根单跨超静定梁，所以位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变成单跨超静定梁。为此，我们可以在每个刚结点上都假想加上一个附加刚臂，这个附加刚臂能阻止刚结点的转动，但是不能阻止刚结点的移动。同时我们加上附加链杆，阻
止结点的线位移。如图5a所示刚架，在刚结点B、C处分别加上一个附加刚臂，在E结点处加上一根水平附加链杆，那么原结构的每一根杆件都变成了两端固定或者一端固定一端铰支的梁，原结构的基本结构如图5c所示，基本结构就是单跨超静定梁的组合体。
图6a所示的刚架，横梁EI无穷大，在外力作用下，横梁只能平移不能转动，所以柱顶结点A、B只能作水平移动，角位移等于零。将原结构中所有刚结点和固定支座都改为铰支，得铰化后的体系如6 b所示。经几何组成分析可知，此铰化体系为几何可变体系，需增加一根链杆才能使其变为几何不变体系，所以我们可在A点或B点增加一根水平链杆即可变为几何不变体系。因此，原结构独立结点线位移是1，可得到基本结构如图6c。
(a) (b) (c)
图 6
图7a所示排架，将其变成铰结体系图7b 所示，需要增加两根附加链
上面介绍的确定独立的结点线位移的方法，是以受弯支杆变形后两端距离不变的假设为前提的。对于需要考虑轴向变形的链杆或者对于受弯曲杆，两端的距离不能看作是不变的，因此，图8所示结构，其独立的结点线位移数目是2而不是1。
图8
综上所述，位移法的基本体系是在原结构上直接引入与基本未知量相应的约束(刚臂或附加链杆)后，所得到的结构。位移法的基本结构是将基本体系上原结构的作用去掉后得到的结构。
4．位移法的典型方程
下面我们开始研究如何建立位移法的基本方程。
图9a所示刚架，各杆长度都为l，均布荷载大小为q，各杆EI相同并
?和结点B的水且为常数。用位移法计算的基本未知量是结点A的角位移
1
?。在结点A加上附加刚臂限制A点转动，在结点B加上水平附加平位移
2
链杆限制B点水平线位移，得到基本结构如图9b所示，基本体系如图9c 所示。
(a)原结构 (b)基本结构
(c)基本体系
图 9
为了让基本体系转化成原结构，我们让基本体系上的附加刚臂发生转角
1?，同时附加链杆产生水平线位移2?，基本体系中各结点和杆件就都取得
了与原结构中各结点和杆件完全相同的变形值。为了让基本体系的内力和原结构相同，在结点位移和荷载共同作用下基本体系的附加刚臂上的反力矩和附加链杆中的反力都应该等于零。设由1?、2?和荷载所引起的附加刚臂上的反力矩分别为11F 、12F 和P F 1，所引起的附加链杆上的反力分别为22F 、21F 和P F 2（图10a ，b ，c ）
。根据叠加原理，可得
(a) 结点位移1?单独作用 (b) 结点位移2?单独作用 (c)荷载单独作用
图10
?
??
=++=++002222111211P P F F F F F F (10)
设11k 、21k 为基本结构在单位结点位移11=?单独作用（02=?）下，
在附加刚臂和附加链杆中分别产生的约束力矩和约束力；12k 、22k 为基本结构在单位结点位移12=?单独作用（01=?）下，在附加刚臂和附加链杆中分别产生的约束力矩和约束力。则式(10)可改写为：
?
??
=+?+?=+?+?00P 2222121P 1212111F k k F k k (11)
这就是具有两个基本未知量的位移法典型方程。它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每一个附加约束上的附加反力矩和附加反力应等于零。因此，它实质上是反映原结构的静力平衡条件。
对于有n 个独立结点位移的结构，相应的在基本结构中需要加入n 个附加约束，根据每个附加约束的附加反力矩或者附加反力都应为零的平衡条件，同样可以建立具有n 个基本未知量的位移法典型方程：
???
?
?
??
=+?+???+?+???????=+?+???+?+?=+?+???+?+?000P 2211P 22222121P 11212111n n nn n n n n n n F k k k F k k k F k k k (12)
式中：ij k ——基本结构在单位结点位移1=?j 单独作用下，附加约束i 中产生的约束力（=i 1、2、…、n ；=j 1、2、…、n ）；
P i F ——基本结构在荷载单独作用下，附加约束i 中产生的约束力
（=i 1、2、…、n ）。
ij k 称为系数项，P i F 称为自由项。
系数ii k (j i =)称为主系数，它的方向总是与所设的位移方向一致，所以其值恒大于零；系数ij k (j i ≠)，称为副系数， P i F 称为自由项，系数项和自由项的值可大于零，可小于零，或等于零。由反力互等定理可知
ij k =ji k
系数ij k 可由杆件的形常数求得，自由项P i F 可由杆件的载常数求得。因为在位移法典型方程中，每个系数都是由单位位移引起的附加约束的反力（或反力矩），结构的刚度越大，这些反力（或反力矩）的数值也越大，所以这些系数又称为结构的刚度系数，位移法典型方程又称为结构的刚度方程，位移法也称为刚度法。
在求解位移法方程时，计算结果为正，说明实际结点位移的方向与所设方向一致；计算结果为负，说明实际结点位移的方向与所设方向相反。
结点位移求出后，可利用叠加原理求出各杆杆端弯矩和杆端剪力：
P 2211M M M M M n n +?++?+?= (13) QP Q 22Q 11Q Q F F F F F n n +?++?+?= (14)
弯矩求出后也可利用静力平衡条件求杆端剪力和轴力，进一步即可作出内力图。
现在我们借助形常数和载常数表，作出图9b 所示基本结构的1M 、
2M 和P M 图，如图11a 、b 、c 所示。
(a)
图1M (b)图2M (c)图P M
(d) (e) (f)
(g) (h) (i)
图11
对于刚臂上的反力，可分别在1M 、2M 和P M 图取结点A 为隔离体，如图11d 、e 、f 所示。由力矩平衡方程0=∑A M ,求得
i k 711=，l i k 612-=，12
2
1ql F P =
对于附加链杆上的反力，可以分别在1M 、2M 和P M 图中取柱顶以上横梁部分为隔离体,如图11g 、h 、i 所示。由表2查出各杆端剪力，由力的平衡方程0=∑x F ， 求得
l i k 621-
=，22215l
i k =，22ql
F P -= 将系数和自由项代入位移法典型方程式（12），
012
672
21=+?-?ql l i i
02156221=-?+?-
ql
l
i l i 解方程组，求出i
ql 276721=?，i ql 2332=?
然后可用叠加原理求出各杆端弯矩，作出结构的弯矩图（略）。
所以位移法计算的基本步骤可归纳如下：
（1）确定原结构的基本未知量。
（2）在原结构中加入附加约束得到基本结构。
（3）列出位移法典型方程。
（4）绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。
（5）将系数和自由项代入典型方程，求出基本未知量。
（6）按叠加法作出原结构的弯矩图。
同济大学朱慈勉结构力学第7章位移法习题答案 7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。 (a) (b) (c) 1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移 (d) (e) (f) 3个角位移，1个线位移2个线位移3个角位移，2个线位移 (g) (h) (i) 一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移
7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。 (a) 解：（1）确定基本未知量和基本结构 有一个角位移未知量，基本结构见图。 Z 1M 图 2 13 ql p M 图 （2）位移法典型方程 11110 p r Z R += （3）确定系数并解方程 i ql Z ql iZ ql R i r p 240 3 1831 ,82 12 12 111= =-∴-== （4）画M 图 M 图 l l l q
(b) 解：（1）确定基本未知量 1个角位移未知量，各弯矩图如下 1Z =1M 图 3 EI p M 图 （2）位移法典型方程 1111 0p r Z R += （3）确定系数并解方程 1115 ,352 p r EI R = =- 1 53502E I Z -= 114Z EI = （4）画M 图 () KN m M ?图 4m 4m 4m
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种M 图如下 1M 图 243 EI 243 EI 1243 EI p M 图 F R （2）位移法典型方程 11110 p r Z R +=（3）确定系数并解方程 1114 ,243 p p r EI R F = =- 14 0243 p EIZ F -= 12434Z EI = （4）画M 图 94 M 图 6m 6m F P 4
超静定结构计算一S移法 —.判断题： Is判断下列结构用位移法计算时基本未知呈的数目。 2、位移法求解结构力时如果Mp图为零，则自由项血一走为零。 3、位移法未知呈的数目与结构的超静定次数有关。 4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静走的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二计算题： (2) (3) (1) (6) ￡/=■ El El EA 2EI 、b EA E/=oc d 4EI一— J E/=oo 2E1 4A7 2EI 4 El
12.用位移法计算图示结构并作〃图，横梁刚度EA -8 ,两柱线刚度/相同。 13、用位移法计算图示结构并作〃图。F/二常数。 14、求对应的荷载集度g。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为512/（3 曰）（T）。 15、用位移法计算图示结构州乍M图。曰=常数。
16、用位移法计算图示结构r求出未知呈，各杆曰相同。 4m 4m 19、用位移法计算图示结构并作〃图。 -2/ 2f q 二i i 20、用位移法计算图示结构并作〃图。各杆日=営数r q = 20kN/m o 6m 4 ------- B 6m 6m R --- k ----- 1 23、用位移法计算图示结构州乍M图。曰=常数。 7T7F 24、用位移法计算图示结构州乍M图。曰=常数。
°^=ZJ 週AV 酔辭圍闕￥觀⑨由、充 。回申Z7阴甘县欲 遍如士星與莎竺园蔑44辛觀⑨由、6 乙 Ic n n M M I Z M f c/i in
38、用位移法计算图示结构并作〃图。曰=常数。 42、用位移法计算图示结构州乍〃图。 43、用位移法计算图示结构州乍〃图。曰=常数。 48、已知0点的位移0，求几
《结构力学》经典习题及详解 一、判断题（将判断结果填入括弧内，以 √表示正确 ，以 × 表示错误。） 1．图示桁架结构中有3个杆件轴力为0 。（×） 2．图示悬臂梁截面A 的弯矩值是ql 2。 (×) l l 3．静定多跨梁中基本部分、附属部分的划分与所承受的荷载无关。（√ ） 4．一般来说静定多跨梁的计算是先计算基本部分后计算附属部分。（× ） 5．用平衡条件能求出全部内力的结构是静定结构。（ √ ） 6．求桁架内力时截面法所截取的隔离体包含两个或两个以上的结点。（√ ） 7．超静定结构的力法基本结构不是唯一的。（√） 8．在桁架结构中，杆件内力不是只有轴力。（×） 9．超静定结构由于支座位移可以产生内力。 （√ ） 10．超静定结构的内力与材料的性质无关。（× ） 11．力法典型方程的等号右端项不一定为0。 （√ ） 12．计算超静定结构的位移时，虚设力状态可以在力法的基本结构上设。（√） 13．用力矩分配法计算结构时，汇交于每一结点各杆端分配系数总和为1，则表明分配系 数的计算无错误。 （× ） 14．力矩分配法适用于所有超静定结构的计算。（×） 15．当AB 杆件刚度系数i S AB 3 时，杆件的B 端为定向支座。 (×)
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号填在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分。） 1．图示简支梁中间截面的弯矩为（ A ） q l A ． 82ql B ． 42ql C ． 22 ql D ． 2ql 2．超静定结构在荷载作用下产生的内力与刚度（B ） A ． 无关 B ． 相对值有关 C ． 绝对值有关 D ． 相对值绝对值都有关 3．超静定结构的超静定次数等于结构中（B ） A ．约束的数目 B ．多余约束的数目 C ．结点数 D ．杆件数 4．力法典型方程是根据以下哪个条件得到的（C ）。 A ．结构的平衡条件 B ．结构的物理条件 C ．多余约束处的位移协调条件 D ．同时满足A 、B 两个条件 5． 图示对称结构作用反对称荷载，杆件EI 为常量，利用对称性简化后的一半结构为（A ）。 6．超静定结构产生内力的原因有（D ） A ．荷载作用与温度变化 B ．支座位移 C ．制造误差 D ．以上四种原因
超静定结构计算——位移法 一、判断题: 1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) EI EI EI EI 2EI EI EI EI EA EA a b EI= EI=EI= 24442 2、位移法求解结构内力时如果P M 图为零,则自由项1P R 一定为零。 3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 4、位移法的基本结构可以就是静定的,也可以就是超静定的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二、计算题: 12、用位移法计算图示结构并作M 图,横梁刚度EA →∞,两柱线刚度 i 相同。 2 13、用位移法计算图示结构并作M 图。E I =常数。 l l l /2l /2
14、求对应的荷载集度q 。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 ()5123/()EI →。 12m 12m 8m q 15、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l l l 16、用位移法计算图示结构,求出未知量,各杆EI 相同。 4m 19、用位移法计算图示结构并作M 图。 q l l 20、用位移法计算图示结构并作M 图。各杆EI =常数,q = 20kN/m 。 23、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
l l 2 24、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l q l 29、用位移法计算图示结构并作M 图。设各杆的EI 相同。 q q l l /2/2 32、用位移法作图示结构M 图。 E I =常数。 q q l l /2 l /2l 36、用位移法计算图示对称刚架并作M 图。各杆EI =常数。 l l
超静定结构计算——位移法 一、判断题： 1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） EI EI EI EI 2EI EI EI EI EA EA a b EI= EI=EI= 24442 2、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。 3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二、计算题： 12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。 2 13、用位移法计算图示结构并作M 图。E I =常数。
l l l/2l/2 14、求对应的荷载集度q。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 () 5123 /() EI→。 12m12m 8m q 15、用位移法计算图示结构并作M图。EI =常数。 l l l 16、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI相同。 4m 19、用位移法计算图示结构并作M图。 q l l
20、用位移法计算图示结构并作M 图。各杆EI =常数，q = 20kN/m 。 6m 6m 23、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l 2 24、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 q 29、用位移法计算图示结构并作M 图。设各杆的EI 相同。 q q l l /2/2 32、用位移法作图示结构M 图。 E I =常数。
q l l /2 l /2l 36、用位移法计算图示对称刚架并作M 图。各杆EI =常数。 l l 38、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 q l l l l 42、用位移法计算图示结构并作M 图。 2m 2m 43、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
第十章位移法 §10－1 概述 位移法——以结点位移（线位移，转角）为基本未知量的方法。 基本概念：以刚架为例（图10-1） 基本思路：以角位移Z1为基本未知量 平衡条件——结点1的力矩平衡 位移法要点：一分一合 ①确定基本未知量（变形协调）基本体系－独立受力变形的杆件 ②将结构拆成杆件－杆件分析（刚度方程－位移产生内力、荷载产生内力） ③将结构杆件合成结构：整体分析——平衡条件——建立方程 §10－2 等截面直杆的转角位移方程 单跨超静定梁——由杆端位移求杆端力——转角位移方程 矩阵形式 一、端（B端）有不同支座时的刚度方程 （1）B端固定支座 （2）B端饺支座 （3）B端滑动支座 二、由荷载求固端力（3*，4，11*，12，19，20） （1）两端固定 （2）一端固定，一端简支 （3）一端固定，一端滑动（可由两端固定导出） 三、一般公式 叠加原理杆端位移与荷载共同作用 杆端弯矩：（10-1） 位移法意义（对于静定、超静定解法相同） 基本未知量－被动（由荷载等因素引起） →按主动计算——位移引起杆端力＋荷载的固端力 →结点满足平衡 正负号规则——结点转角（杆端转角） 弦转角——顺时针为正 杆端弯矩 位移法三要素： 1.基本未知量－独立的结点位移 2.基本体系－原结构附加约束，分隔成独立变力变形的杆件体系。 3.基本方程－基本体系在附加约束上的约束力（矩）与原结构一致 （平衡条件）
§10－3基本未知量的确定 角位移数＝刚结点数（不计固定端） 线位移数＝独立的结点线位移 观察 几何构造分析方法——结点包括固定支座）变铰结点 铰结体系的自由度数＝线位移数 ――即使其成为几何不变所需添加的链杆数。 §10－4典型方程及计算步骤 典型方程（10－5、6） 无侧移刚架的计算 无侧移刚架－只有未知结点角位移的刚架（包括连续梁）（△＝0） 有侧移刚架计算 有侧移刚架――除结点有位移外还有结点线位移 求解步骤： （1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系， （2）作荷载、Z i = 1 —— ()()01i P i i M M ??==、图 （3）求结点约束力矩：荷载 —— 自由项R Ip ，及ΔJ = 1 —— 刚度系数 k IJ （4）建立基本方程：[k IJ ]{ Z i } + { R Ip } = {0} —— 附加约束的平衡条件 求解Z i （Δi ） (5) 叠加法作i i P Z M M M ∑+= §10－5 直接建立位移法方程 求解步骤： （1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系， （2）写杆端弯矩（转角位移方程） （3）建立位移法方程—— 附加约束的平衡，求解Z i (4) 叠加法作i i P Z M M M ∑+= §10－6 对称性利用 对称结构 对称荷载作用 —— 变形对称，内力对称 （M 、N 图对称，Q 图反对称——Q 对称） 反对称荷载作用 —— 变形反对称，内力反对称 （M 、N 图反对称，Q 图对称——Q 反对称） —— 取半跨 对称结构上的任意荷载 ——对称荷载＋反对称荷载
> 超静定结构计算——位移法 一、判断题： 1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） EI EI EI EI 2EI EI EI EI EA EA a b EI= EI=EI= 24442 @ 2、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。 3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二、计算题： 12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。 2 * 13、用位移法计算图示结构并作M 图。E I =常数。
l l /2l /2 14、求对应的荷载集度q 。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 ()5123/()EI →。 12m 12m 8m q 15、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l l l — 16、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI 相同。 4m 19、用位移法计算图示结构并作M 图。 q l l
20、用位移法计算图示结构并作M 图。各杆EI =常数，q = 20kN/m 。 6m 6m | 23、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l 2 24、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 q 29、用位移法计算图示结构并作M 图。设各杆的EI 相同。 q q l l /2/2 * 32、用位移法作图示结构M 图。 E I =常数。
第7章位移法 一. 教学目的 掌握位移法的基本概念； 正确的判断位移法基本未知量的个数； 熟悉等截面杆件的转角位移方程； 熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法 了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。 二. 主要章节 §7-1 位移法的基本概念 §7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作 §7-3 位移法解无侧移刚架 §7-4 位移法解有侧移刚架 §7-5 位移法的基本体系 §7-6 对称结构的计算 ＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容） §7-8小结 §7-9思考与讨论 三. 学习指导 位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。 四. 参考资料 《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257 第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解） §7-1 位移法的基本概念 1.关于位移法的简例 为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。图7-1和图7-2所示。 (a) (a) (b) (b) 图7-1 图7-2 第一步：从结构中取出一个杆件进行分析。（杆件分析） 图7-2中杆件AB 如已知杆端B 沿杆轴向的位移为i u （即杆件的伸长）则杆端力Ni F 为： i i i Ni u l EA F （7-1） E-为弹性模量，A-为杆件截面面积，i l -为杆件长度
超静定结构计算——位移法 一、判断题： 1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 （1）（2）（3） （4）（5）（6） EI EI EI EI 2EI EI EI EI EA EA a b EI= EI= EI= 2 444 2 2、位移法求解结构力时如果P M图为零，则自由项1P R一定为零。 3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二、计算题：
12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。 2 13、用位移法计算图示结构并作M 图。E I =常数。 l l l /2l /2 14、求对应的荷载集度q 。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 ()5123/()EI →。 12m 12m 8m q 15、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l l l
16、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI 相同。 4m 19、用位移法计算图示结构并作M 图。 q l l 20、用位移法计算图示结构并作M 图。各杆EI =常数，q = 20kN/m 。 6m 6m 23、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l 2 24、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
l q l 29、用位移法计算图示结构并作M 图。设各杆的EI 相同。 q q l l /2/2 32、用位移法作图示结构M 图。 E I =常数。 q q l l /2 l /2l 36、用位移法计算图示对称刚架并作M 图。各杆EI =常数。 l l
位移法 1.概述 力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。随后，由于钢筋混凝土结构的出现，大量高次超静定刚架逐渐增多，如果仍用力法计算将十分麻烦。于是20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。 力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，一般取静定结构为基本结构进行计算。利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。位移法的基本思路和力法相反。位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以单跨超静定梁为计算的基本单元。先设法确定出单根杆件的杆端内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。 为了说明位移法的基本概念，我们来分析图1a所示的刚架位移。 （a）原结构（b）基本结构
图1 在荷载作用下，刚架产生的变形如途中虚线所示，设结点B 的转角为 1?，根据变形协调条件可知，汇交于结点B 的BA 杆、BC 杆两杆端也该有 同样的转角1?。为了简化计算，在受弯杆件中，忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响，假设弯曲变形很小，因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。根据这些假定，B 结点就只有角位移没有线位移。这样 1b B 我们将第一步和第二步的结果叠加，得到的基本结构的变形和原结构一致。我们注意到原结构在B 点并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，所以可得 11F ＋P F 1＝0 （1） 这里的11F 是基本结构在B 点发生转角1?时，产生在附加刚臂中的反力矩。用11k 来表示基本结构在B 点处发生单位转角1?＝1时，产生在附加刚臂中的反力矩，则式（1）可以写成 01111=+?P F k （2）