高等数学实验报告
院（系） 仪器科学与工程学院 学号 姓名 成绩______
实验一
一、实验题目
利用参数方程作图，作出由下列曲面所围成的立体 ：
xy z =，01=-+y x 及0=z 。
二、实验目的和意义
利用Mathematics 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间图形的特点，以加强几何的直观性。时更加了解空间曲面是如何围成一个空间的封闭区域。
三、计算公式
xy z = : x=u ,y=v ,z=u ×v
01=-+y x : x=u ,y=1-u ,z=v
0=z : x=u ,y=v ,z=0
比如：
（1） 参数值取的小，就会使图像的变化不能明显表示出来。
z 的高度太大，会将中间的面挡住，不利于
（2）参数范围选大了，那么xy
实验二
一、实验题目
观察函数?
??<≤<≤--=ππx x x x f 0,10
,)(展成的Fourier 级数的部分和逼
近)(x f 的情况。 二、实验目的和意义
通过生成Fourier 级数，利用其图像研究级数的部分和逼近。同时利用幂级
数的部分和来对函数进行逼近和函数值的近似计算，进而研究Fourier 级数对周期函数的逼近。
三、计算公式
设f(x)是以2T 为周期的周期函数，在任一周期内，f(x)除有限个第一类间断点外都连续，并且只有有限个极值点，则f(x)可以展开为Fourier 级数：
∑∞=++10sin cos (2n n n T
x n b T x n a a ππ， 其中
???
????
====??-- 2,1,0,sin )(12,1,0,cos )(1T T n T T n n dx T x n x f T b n dx T x n x f T a ππ 且Fourier 级数在任一点0x 处收敛于
2
)0()0(00++-x f x f
四、程序设计
题中函数显然在任一周期内，f(x)除了有限个第一类间断点外都连续，并且只有有限个极值点，所以函数可以展开成Fourier级数。
再次观察函数逼近的图像，可以发现当N的值小的时候，逼近曲线接近于三角函数曲线，与原来的分段函数相去甚远。但是随着N的值的增大，曲线不断向着f(x)逼近,从最后一个图像可以看出Fourier级数的曲线已经几乎与原函数完全重合。这也再一次验证了题中周期函数可以展开为Fourier级数。
综上所述，N值越大，逼近函数的效果越好，而且Fourier级数的逼近不是一小段，而是对于函数整个定义域上的整体逼近。
高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1
数学在医学中的应用众所周知，数学是一门以高度的抽象性、严谨性为特点的学科，但同时数学在其他各门学科也有广泛的应用性，而且随着大型计算机的飞速发展，数学也越来越多的渗透到各个领域中。数学建模可以说是用数学方法解决实际问题的一个重要手段。简单的说，用数学语言来描述实际问题，将它变成一个数学问题，然后用数学工具加以解决，这个过程就称为数学建模。人们通过对所要解决的问题建立数学模型，使许多实际问题得到了完满的解决。如大型水坝的应力计算、中长期天气预报等。建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD(Computer Aided Design)技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。那么数学在医学领域有哪些应用呢？现代的医学为什么要借助数学呢？本研究主要叙述这两个问题。 1现代医学应用数学的必要性 现代医学的大趋势是从定性研究走向定量研究，即要能够有效地探索医学科学领域中物质的量与量关系的规律性，推动医学科学突破狭隘经验的束缚，向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展，并由此逐渐派生出生物医学工程学、数量遗传学、药代动力学、计量诊断学、计量治疗学、定量生理学等边缘学科，同时预防医学、基础医学和临床医学等传统学科也都在试图建立数学模式和运用数学理论方法来探索出其数量规律。而这些都要用到数学知识。数学模型有助生物学家将某些变量隔离出来、预测未来实验的结果，或推论无法
测量的种种关系，因为在实验中很难将研究的事物抽离出来单独观察。尽管这些数学模型无法极其精确地模仿生命系统的运作机制，却有助于预测将来实验的结果。可以利用数学分析实验数据资料。当实验数据非常多时，传统的方法就不再适用了，只能转而使用数值计算的相关理论，以发现数据中存在的关联和规则。特别地随着当前国际生命科学领域内最重要的基因组计划的发展，产生了前所未有的巨量生物医学数据。为分析利用这些巨量数据而发展起来的生物信息学广泛应用了各种数学工具，从而使得数学方法在现代生物医学研究中的作用日益重要。 2医学上的一些例子 医学统计学（Medical Statistics）临床上可用来解释疾病发生与流行的程度和规律；评价新药或新技术的治疗效果；揭示生命指标的正常范围，相互的内在联系或发展规律；运用统计的原理和方法，结合医学的工作实际,研究医学的实验设计和数据处理。医学统计学是基于概率论和数理统计的基本原理和方法，研究医学领域中数据的收集、整理和分析的一门学科。如在疾病的防治工作中，经常要探讨各种现象数量间的联系，寻找与某病关系最密切的因素；要进行多种检查结果的综合评定、探讨疾病的分型分类：计量诊断，选择治疗方案；要对某些疾病进行预测预报、流行病学监督，对药品制造、临床化验工作等作质量控制，以及医学人口学研究等。医学统计学，特别是其中的多变量分析，为解决这些问题提供了必要的方法和手段。以传染病模型为例，了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各
Image Image 高等数学数学实验报告 实验人员：院（系） ___________学号_________姓名____________实验地点：计算机中心机房 实验一 1、 实验题目： 根据上面的题目，通过作图，观察重要极限：lim（1+1/n）n =e 2、 实验目的和意义 方法的理论意义和实用价值。 利用数形结合的方法观察数列的极限，可以从点图上看出数列的收敛性，以及近似地观察出数列的收敛值；通过编程可以输出数列的任意多项值，以此来得到数列的收敛性。通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。 三、计算公式 （1+1/n）n 四、程序设计 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 当n足够
Image Image 大时，所画出的点逐渐接近于直线，即点数越大，精确度越高。对于不同解题方法最后均能获得相同结果，因此需要择优，从众多方法中尽可能选择简单的一种。程序编写需要有扎实的理论基础，因此在上机调试前要仔细审查细节，对程序进行尽可能的简化、改进与完善。 实验二一、实验题目 制作函数y=sin cx的图形动画，并观察参数c对函数图形的影响。 二、实验目的和意义 本实验的目的是让同学熟悉数学软件Mathematica所具有的良好的作图功能，并通过函数图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关性态，建立数形结合的思想。三、计算公式：y=sin cx 四、程序设计五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 c的不同导致函数的区间大小不同。 实验三 一、实验题目 观察函数f(x)=cos x的各阶泰勒展开式的图形。 二、实验目的和意义 利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 三、计算公式
浅谈高等数学在现代医学中的作用一、高等数学在医学领域的应用 数学是一门语言, 它是表达量变和质变最完美的工具; 数学又是一种感觉, 它是科学迅速超越时空的触角。恩格斯曾对数学做过如下定义: 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的 科学。数学是基础教育中最受重视的学科之一, 并贯穿于整个基础教育阶段。高等数学教育则几乎覆盖了大学本科阶段所有自然学科领域和部分人文社会学科领域。 随着计算机科学技术的不断发展, 数学的社会化程度也日 益提高, 数学的思想、观点、方法已广泛地渗透到自然科学和社会科学的各个领域。数学在传统领域的应用, 以及在新领域取得的许多重要进程, 使得数学在医学领域中的作用也不断突出。数学与医学, 特别是生物医学的结合越来越紧密。例如, 可以为生物医学工程学、细胞分子生物学、肿瘤生长动力学、药物动力学等现代生物医学做出定性描述向定量描述的趋变; 常微分方程 可以运用到临床医学的定量分析和群体医学的动态分析; 生物 统计学、概率论可以为药物使用、人口统计与流行病、公共卫生管理等作出决策; 数学可为医学基础、临床医学、预防医学建立医学数学模型,经过数学处理得到可供人们作出分析、判断、预测和决策的定量结果; 临床治疗和医学科研所使用到的各种高、精、尖端医学仪器都离不开数学和计算机科学的支持, 等等。 马克思曾说过:“一门科学只有成功地应用数学时, 才算达
到了完善的地步。”因此可以看出, 数学与现代医学结合程度将决定现代医学的发展程度。中科院在《21 世纪初科学发展趋势》的研究报告中指出, 生命科学“可能发展成为科学革命的中心”, 数学科学则“一直是整个科学技术发展的带动因素”, 加快数学在医学领域的应用和发展是当今医学发展的必然趋势。 二、高等数学教育在医学教育中的作用及意义 数学的思维方式、计量分析技术有力地推动了现代医学的 迅速发展。强调用数学、统计学研究并解决医学问题的思路和方法, 增强对医学问题进行定量分析与处理的能力, 提高医学科研 水平, 促进临床工作进一步精确化、科学化早已成为各国高等医学教育所关注的重要内容。目前国内绝大多数的医学院校都在 大学一年级开设了《医用高等数学》。笔者认为, 开设这门课程除了可以扩大学生知识面以外, 还有着如下五个方面的作用及意义: 1. 高数教育可以加强医学生的道德教育 抽象性是数学的基本特征之一, 具体表现为推理的严谨性、 表达的准确性、类别的归纳性、计算的规定性、定义的唯一性等等。学生在学习高数的同时, 也能受到其特性的影响: 教育过程 中数学史的讲解可以激发学生的爱国主义热情; 逻辑性的推理 可以培养学生严谨的思维模式; 公理、定义、计算规则的唯一性要求可以使学生形成对法律法规、社会公德的内在自我约束; 对问题的归类、分析可以培养学生灵活思考问题、周密总结分析的
3 6. arctan x 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 第一章 、判断题题解 正确。设 h (x )=f (x )+f ( x ), 错。 错。错。错。函数、极限与连续习题题解(P27) y =2ln x 的定义域(0,+ ..1 lim , x 0 x 则 h ( x )= f ( x )+ f (x )= h (x )。故为偶函数。 ),y =ln x 2的定义域(,0)U (0,+ )。定义域不同。 O 故无界。 在x 0点极限存在不一定连续。 1 …, -0逐渐增大。 x lim x 正确。 设limf(x) A,当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域，有 A f(x) A 。 x 为 正确。 处也连续, 8.正确。 反证法：设 F (x )=f (x )+g (x )在 x 。处连续，则 g (x ) = F (x ) f (x ),在 x 。处 F (x ), f (x )均连续，从而 g (x )在 x =x 。 与已知条件矛盾。 是复合函数的连续性定理。 二、选择题题解 1. f(x) x 2, (x) 2x ,f[ (x)] 2x 22x (D) 2. 3. 4. y =x (C ) 1 lim xsin — xsin lim ------- - x 0 cosx 5. 帅 f (x) 6. 9 x 2 0 7. 8. (A ) (B ) 唧伽 1) 2, lim f (x) (D ) 画出图形后知：最大值是 一- 4 设 f(x) x x 1,则 f(1) 1,f(2) 帅 (3 10。 13, x) 2, lim f(x) 2 f ⑴(B ) x 1 (A ) f (x)连续，由介质定理可 知。 (D ) 三、填空题题解 0 1. 2. 3、 arctan(x )是奇函数, 关于原点对称。 3. 4. ,y ，可以写 成 5. 设 x t 6 , x 1,t 1, l t m t 2 t 3 —有界, 1 lim x x 故极限为 0 。
xx 级本科医用高等数学半期考试A 卷 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（2’*10,共20’） 1. 设=≤<≤<--=→)(10,0 1,1{)(lim 0 x f x x x x x f x 则 （ ） A .–1 B. 1 C. 0 D 不存在 2. 0)('=x f 是可导函数)(x f 在0x 点处有极值的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分为非必要条件若函数 3. )(x f 为可微函数，则dy （ ） A. 与x ?无关 B.为x ?的线性函数 C. 当0→?x 时为x ?的高阶无穷小 C.为x ?的等价无穷小 4. 若?==)()()('x dF x f x F ，则（ ） A. )(x f B )(x F C. C x f +)( D.C x F +)( 5. a x x a y =，求y '=( ) A. )(ln x a a x a a x + B. )1(x a x a a x + C. )(ln a a x a a x + D. a x a a x ln 1 1 -+ 6.下列各组函数中（ ）为同一函数的原函数 A.F 1（x ）=lnx F 2(x)=ln(3+x) B. F 1（x ）=lnx F 2(x)=ln(x -1) C.F 1（x ）=lnx F 2(x)=3lnx D. F 1（x ）=lnx F 2(x)=ln(3x)
7. =?dx x x 2ln （ ） A. C x x x ++1 ln 1 B. C x x x ++- 1 ln 1 C. C x x x +-1 ln 1 D. C x x x +--1 ln 1 8. =? →3 20 sin lim x dt t x x （ ） A. 0 B. 1 C. 3 1 D ∞ 9. 下列积分中，值为零的是（ ） A ? -1 1 2dx x B.?-2 13dx x C.?-1 1 dx D.?-11 2sin xdx x 10. 下无结论正确的是（ ） A 初等函数必存在原函数 B. 每个不定积分都可以表示为初等函数 C. 初等函数的原数必定是初等数 D. A,B,C 都不正确 二．填空题（2’*10,共20’） 1.若函数)(x f 在0x 点及其附近有二阶导数，且0)(,0)(0''0'<=x f x f ，则)(x f 在0x 处有极 值。 2. )1)(2(-+=x x y 的定义域 。 3.x e e im l x x x sin 0-→-＝ 。 4.若A x f x =∞ →)(lim ，则其几何意义： 。 5.== )('',)('x f dx dy x f 则 。 6.函数)(x f 在0x 点可导的充分必要条件是： 。 7.)ln (2x x d = 。 8.??xdx x tan sec ＝ 。 9. )'(arccos x ＝ 。 10.??=++=dx b ax f c x F dx x f )(,)()(则 。
高等数学实验报告 实验人员：院（系）化学化工学院 学号19013302 姓名 黄天宇 实验地点：计算机中心机房 实验七：空间曲线与曲面的绘制 一、 实验目的 1、利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空 间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。 2、学会用Mathematica 绘制空间立体图形。 二、实验题目 利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形： (1) x y x y x z =+--=2 222,1及xOy 平面； (2) 01,=-+=y x xy z 及.0=z 三、实验原理 空间曲面的绘制 作参数方程],[],,[,),(),() ,(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈? ?? ??===所确定的曲面图形的 Mathematica 命令为： ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax}, {v,vmin,vmax},选项] 四、程序设计及运行 (1)
(2)
六、结果的讨论和分析 1、通过参数方程的方法做出的图形，可以比较完整的显示出空 间中的曲面和立体图形。 2、可以通过mathematica 软件作出多重积分的积分区域，使积分能够较直观的被观察。 3、从(1)中的实验结果可以看出，所围成的立体图形是球面和圆柱面所围成的立体空间。 4、从(2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是xy z =，下底面的方程是z=0，右边的平面是01=-+y x 。 实验八 无穷级数与函数逼近 一、 实验目的 (1) 用Mathematica 显示级数部分和的变化趋势； (2) 展示Fourier 级数对周期函数的逼近情况; (3) 学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算。 二、实验题目 （1）、观察级数 ∑ ∞ =1 ! n n n n 的部分和序列的变化趋势，并求和。 （2）、改变例2中m 及x 0的数值来求函数的幂级数及观察其幂级数逼近函数的情况 （3）、观察函数? ? ?<≤<≤--=ππx x x x f 0,10 ,)(展成的Fourier 级数
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
高等数学知识在生物化学工程中的应用举例 高等数学是生命科学学院校开设的重要基础课程，数学方法为生物化学的深入研究发展提供了强有力的工具。下面仅举一些用高等数学基础知识解决生物化学工程中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。 例1 在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用 化工生产过程中常于密闭管道内输送液体，使液体流动的主要因素有（1）流体本身的位差；（2）两截面间的压强差；（3）输送机械向流体外作的外功。 流动系统的能量衡量常用柏努利方程式，下面来介绍柏努利方程式。 定态流动时液体的机械能衡量式为 ∑?-=+?+ ?f e p p h W v d p u z g 212 2 （1） 该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体，（1）式中?2 p p vdp 项应视过程性质（等温、绝热或多变过程）按热力学原则处理，对不可压缩液体，其比容v 或者密度ρ为常数，故ρ ρ ρp p p dp vdp p p p p ?= -= = ??2 12 2 1 ，代入（1）式有： ∑-=?+?+?f e h W p u z g ρ 22 或 ∑+++=+++f e h p u gz W p u gz ρ ρ22 22121122 （2） （2）式称为柏努利方程式。 需要注明的是，22u 为动能，gz 为位能，ρ p 为静态能，e W 为有效能，∑f h 为能量损耗，z ?为高度差。 例2 混合气体粘度的计算 常温下混合气体的计算式为
∑∑=== n i i i n i i i i m M y M y 1 211 21μμ （3） 其中m μ为常温下混合气体的粘合度（Pa.s ）；i y 为纯组分i 的摩尔分率；i μ为混合气体的温度下，纯组分i 的粘度（Pa.s ）；i M 为组分i 的分子量（Kg/kmol ）。 例如：空气组分约为01.0,78.0,21.022Ar N O （均为体积积分率），试利用 Ar N O ,,22的粘度数量，计算常温下C 020时空气的粘度？ 解：常温下空气可视为理想气体，故各组分的体积积分率等于摩尔分率， Ar N O ,,22的分子量分别为32，28及39.9，经查表知道常温下C 020时各组分的粘度为 s Pa Ar s Pa N s Pa O ??????---55252 1009.2107.11003.2 代入（3）式计算空气的粘度，即 s Pa M y M y n i i i n i i i i m ??=?+?+????+???+???= = ----==∑∑52 12 12 12 15 2 152 151 211 21 1078.19 .3901.02878.03221.09 .391009.201.028107.178.0321003.221.0μμ 例3. 在细胞生长计算中的应用 随着细胞的生成繁殖，培养基中的营养物质被消耗，一些有害的代谢产物在培养液中累积起来，细胞的生长速度开始下降，最终细胞浓度不再增加，进入静止期，在静止期细胞的浓度达到最大值。 如果细胞的生长速率的下降是由于营养物质的消耗造成的，可以通过以下的分析来统计分批培养可能达到的最大细胞浓度。设限制性基质为A ，其浓度为a ，
复习题 一、判断题 1．若sin 2()cos x f x x = ，()2sin g x x =，则()()f x g x =. ( ) 222 0011lim sin lim limsin 0x x x x x x x →→→=?= ( ) 3 ． cos d x a y t t =?在 x a =处的 导 数 为 cos a . ( ) 4．若2 lim (,)y kx f x y A =→=对任意k 的都成立，则必有0 lim (,)x y f x y A →→=成5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数00(,)x f x y '， 00(,)y f x y '都存在，则函数在该点不连续。 （ ） 6．微分方程4 2 [,,,()]0F x y y y '''=的通解中含有2个任意常数. ( ) 二、选择题 1．极限20tan sin lim sin x x x x x →-的值为( ). A ．0 B ．16 C ．1 2 D ．∞ 2．设2tan ln cos x y x x x =+-?，则y '=( ). A ．2 112ln 2cos sin ln 1x x x x x x + --+
B ．211 2ln 2cos sin ln 1x x x x x x + -++ C ．2 12ln 2sec cos sin ln x x x x x x +-+ D ．12ln 2sec tan cos sin ln x x x x x x x +?-+ 3．设d (12ln )x I x x = +?，则I =( ). A ．ln(1)x e C -+ B ．ln 12ln x C ++ C ． 1ln 12ln 2x C ++ D ．1 ln 12ln 2 x + 4．定积分1 d x x e x -? 的值为( ). A ．21e - B ．1 1e - C ．1 D ．1- 5．曲线2 y x =和y = ( ). A ．13 B ．1 C ．1 2 D ． 32 6．由3 y x =，2x =，0y =所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积为( ). A ． 656π B ．1287 C ．128 7 π D ．646 π 7．设2 2 ln x y z e xy +=+，则y z '=( ). A ．22 12x y xe x ++ B ．22 12x y xe y ++ C ．22 1 2x y ye x ++ D ．2212x y ye y ++
高等数学数学实验报告 实验人员：院（系） __ __学号____姓名_ __ 实验地点：计算机中心机房 实验一 空间曲线与曲面的绘制 一、实验题目：（实验习题1-2） 利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形： (1) x y x y x z =+--=2222,1及xOy 平面； (2) 01,=-+=y x xy z 及.0=z 二、实验目的和意义 1、利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。 2、学会用Mathematica 绘制空间立体图形。 三、程序设计 空间曲面的绘制 作参数方程] ,[],,[,),(),(),(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈?????===所确定的曲面图形的Mathematica 命令为： ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax}, {v,vmin,vmax},选项] (1) (2)
四、程序运行结果 (1) （2） 五、结果的讨论和分析 1、通过参数方程的方法做出的图形，可以比较完整的显示出空间中的曲面和立体图形。 2、可以通过mathematica 软件作出多重积分的积分区域，使积分能够较直观的被观察。 3、从(1)中的实验结果可以看出，所围成的立体图形是球面和圆柱面所围成的立体空间。 4、从(2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是xy z =，下底面的方程是z=0，右边的平面是01=-+y x 。 实验一 空间曲线与曲面的绘制 一、实验题目：（实验习题1-3） 观察二次曲面族kxy y x z ++=22的图形。特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。 二、实验目的和意义 1. 学会利用Mathematica 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特
第一章 函数、极限与连续习题题解(P27) 一、判断题题解 1. 正确。设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。故为偶函数。 2. 错。y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。定义域不同。 3. 错。+∞=→201lim x x 。故无界。 4. 错。在x 0点极限存在不一定连续。 5. 错。01lim =-+∞→x x 逐渐增大。 6. 正确。设A x f x x =→)(lim 0 ，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。 7. 正确。反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。 8. 正确。是复合函数的连续性定理。 二、选择题题解 1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====?? 2. y =x (C ) 3. 01sin lim 0=→x x x (A ) 4. 0cos 1sin lim 0=→x x x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 1 1111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++-- (B ) 6. 3092 -x x (D ) 7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。 (A ) 8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。 (D ) 三、填空题题解 1. 210≤-≤x ?31≤≤x
高等数学A（下册）实验报告 院（系）: 学号：姓名： 实验一 利用参数方程作图，作出由下列曲面所围成的立体： （1） 2 2 1Y X Z- - = ， X Y X= +2 2 及 xOy 面 ·程序设计： -1, 1},Axe s2=ParametricPlot3D[{1/2*Cos[u]+1/2,1/2*Sin[u],v},{u,- s3=ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,-1,1},{v,- DisplayFunction 程序运行结果： 实验二 实验名称：无穷级数与函数逼近 实验目的：观察的部分和序列的变化趋势，并求和
实验内容： （1）利用级数观察图形的敛散性 当n 从1~400时，输入语句如下： 运行后见下图，可以看出级数收敛，级数和大约为1.87985 （2先输入： 输出： 输出和输入相同，此时应该用近似值法。输入： 输出： 1.87985 结论：级数大约收敛于1.87985 实验三： 1. 改变例2中m 的值及的数值来求函数的幂级数及观察其幂级数逼近函数的情况
·程序设计： m 5; f x_:1 x^m;x0 1; g n_,x0_ :D f x, x, n .x x0; s n_,x_: Sum g k,x0/k x x0 ^k, k, 0, t Table s n, x, n, 20; p1 Plot Evaluate t ,x,1,2,3 2; p2 Plot 1 x ^m , x,1 2,3 2, PlotStyle RGBColor 0,0,1; Show p1,p2 ·程序运行结果 实验四 实验名称：最小二乘法 实验目的：测定某种刀具的磨损速度与时间的关系实验内容：
高等数学
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说 A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
《高等数学》课程标准 课程编号：03049042 总学时数：32 学分：2 一、课程性质及任务 课程性质：《高等数学D》是预防医学、医学检验、医学影像学本科专业的一门必修的学科础基课. 课程任务：通过该课程的学习,使学生掌握极限、微积分等基本的高等数学知识,并能运用它们解决简单的实际问题.为学习后继课程、进一步获得数学知识，奠定必要的数学基础. 二、本课程的基本内容 第一章函数极限与连续性 （一）教学目的与要求 1、掌握函数的概念和基本性质. 2、掌握基本的初等函数. 3、掌握求极限的基本方法. 4、掌握连续函数的概念及基本性质. （二）教学的重点与难点 重点:函数的基本性质；两个重点极限,函数连续性. 难点:夹逼定理；函数连续性. （三）课时安排:8学时 （四）主要内容 集合与映射. （0.5课时） 2、函数的概念和基本性质. （0.5课时） 3、基本初等函数与初等函数. （0.5课时） 4、双曲函数与反双曲函数. （0.5课时） 5、数列的极限. （1课时） 6、函数的极限. （1课时） 7、无穷大量与无穷小量、极限求法. （1课时） 8、两个重要极限（2课时） 9、函数的连续性. （1课时） 第二章导数与微分 （一）教学目的与要求. 1、熟练掌握导数的基本求法.
2、掌握洛必达法则. （二）教学的重点与难点 重点:导数的求法. 难点:洛必达法则. （三）课时安排:6学时 （四）主要内容 1、导数概念、求导法则. （2课时） 2、函数的微分. （1课时） 3、高阶导数与高阶微分. （1课时） 第三章微分中值定理与导数的应用（一）教学目的与要求 1、掌握函数作图. 2、洛必达法则. 3、函数的单调性与极值. 4、函数的最值及应用. 5、掌握函数作图. （二）教学的重点与难点 重点:函数的作图、洛必达法则. 难点:曲线渐近线的求法、洛必达法则. （三）课时安排:7学时 （四）主要内容 1、洛必达法则. （2课时） 2、函数的单调性与极值. （2课时） 3、函数的最值及应用. （1课时） 4、曲线的凹凸性及拐点. （1课时） 5、函数作图. （1课时） 第四章不定积分 （一）教学目的与要求 1、掌握简单不定积分的求法. （二）教学的重点与难点 重点:不定积求法. 难点:分部积分法. （三）课时安排:4学时 （四）主要内容
课程实验报告 专业年级2016级计算机类2班课程名称高等数学 指导教师张文红 学生姓名李发元 学号20160107000215 实验日期2016.12 .21 实验地点勤学楼4-24 实验成绩 教务处制 2016 年9月21 日
实验项 目名称 Matlab软件入门与求连续函数的极限 实验目的 及要求 实验目的： 1.了解Matlab软件的入门知识； 2.掌握Matlab软件计算函数极限的方法； 3.掌握Matlab软件计算函数导数的方法。 实验要求： 1.按照实验要求，在相应位置填写答案； 2.将完成的实验报告，以电子版的形式交给班长, 转交给任课教师，文件名“姓名+ 学号”。 实验内容利用Matlab完成下列内容： 1、（1） 2 2 1 lim 471 x x x x →∞ - -+ ；（2） 3 tan sin lim x x x x → - ；（3） 1 lim 1 x x x x →∞ - ?? ? + ??2、（1）x x y ln 2 =，求y'；（2）ln(1) y x =+，求()n y 实验步骤1.开启MATLAB编辑窗口,键入编写的命令，运行； 2.若出现错误，修改、运行直到输出正确结果; 3.将Matlab输入输出结果，粘贴到该实验报告相应的位置。第一题 2 2 1 lim 471 x x x x →∞ - -+ 运行编码是 >> syms x >> limit((x^2-1)/(4x^2x+1),x,inf) ans =
1/4 第二题3 0tan sin lim x x x x →- >> syms x >> limit((tanx-sinx)/(x^3),x,0) ans = 1 第三题1lim 1x x x x →∞-?? ?+?? >> syms x >> limit(((x-1)^x)/(x+1),x,inf) ans = 2 第四题（1）x x y ln 2=，求y '； >> syms x >>f(x)=x^2in(x) f(x)=x^2in(x) >>diff(f(x))， ans = 2xinx+x 第五题ln(1)y x =+，求()n y >> syms x >>f(x)In(1+x) f(x)In(1+x) >>diff(f(x),n)， ans =
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
《数学实验——高等数学分册》（郭科主编） ---《实验报告册》参考答案 ------轩轩 第5章 1.（1） syms x y; f=(1-cos(x^2+y^2))/((x^2+y^2)*exp(x^2*y^2)); limit(limit(f,x,0),y,0) ans = （2） syms x y; f=(log(x*exp(x)+exp(y)))/sqrt(x^2+y^2); limit(limit(f,x,0),y,0) ans = NaN 另解 syms x y; f=log(x*exp(x)+exp(y)); g=sqrt(x^2+y^2); limit(limit(f/g,x,0),y,0) ans = NaN 注：“（）”多了以后，系统无法识别，但在matlab的语法上是合理的。在有的一些matlab 版本上可以识别。在以下的题目答案中同理。 （3） syms x y; f=(2*x*sin(y))/(sqrt(x*y+1)-1); limit(limit(f,x,0),y,0) ans = 4 另解
syms x y; f=2*x*sin(y); g=sqrt(x*y+1)-1; limit(limit(f/g,x,0),y,0) ans = 4 2.（1） syms x y; z=((x^2+y^2)/(x^2-y^2))*exp(x*y); zx=diff(z,x) zx = (2*x*exp(x*y))/(x^2 - y^2) - (2*x*exp(x*y)*(x^2 + y^2))/(x^2 - y^2)^2 + (y*exp(x*y)*(x^2 + y^2))/(x^2 - y^2) zy=diff(z,y) zy = (2*y*exp(x*y))/(x^2 - y^2) + (x*exp(x*y)*(x^2 + y^2))/(x^2 - y^2) + (2*y*exp(x*y)*(x^2 + y^2))/(x^2 - y^2)^2 注：所有的x在高的版本中都可以替换为x。（即，不用单引号，结果任然正确。前提为：不与前面的函数冲突。） （2）syms x y z; u=log(3*x-2*y+z); ux=diff(u,x) ux = 3/(3*x - 2*y + z) uy=diff(u,y) uy = -2/(3*x - 2*y + z) uz=diff(u,'z') uz = 1/(3*x - 2*y + z) （3）syms x y; z=sqrt(x)*sin(y/x);